Interpolation

Einschalten von Zwischenwerten aus Funktionstabellen (z. B. Ephemeriden tabulierter tägl. Gestirnsstände). Der jeweilige Gestirnsort ergibt sich direkt aus der Funktion der Zeit. Umgekehrt (inverse Interpolation) erhält man die Zeit aus den Funktionswerten des Gestirnsortes. Zeitbestimmungen von Periheldurchgängen, Aspektverbindungen (Konjunktion, Quadratur, Opposition), kleinste Erdnähe usw., werden daher aus einer Anzahl Positionswerten interpoliert.

Lineare Interpolation

Falls die x-Werte eng genug aufeinander folgen, die erste Differenz der Funktionswerte (y+1/2) sich nur wenig unterscheiden, und keine hohe Genauigkeit benötigt wird, kann linear interpoliert werden.

Die gesuchte Position (y) ergibt sich lienar nach der Uhrzeit (p oder x) aus:
p=p/24;
y = y1+(y2-y1)*p
oder: y = (y1*(1-p)/p)+y2)*x;
oder: y = y1 + (x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)).

y = Position zur Uhrzeit x. Umgekehrt ergibt sich die Uhrzeit durch lineare Interpolation aus: p=((y-y1)/(y2-y1))*24.

Beispiel: Mondposition am 25.7.1978 um 11h15m31.5s DT = p = 11.25875 = p 0.46911458 = p/24;
x = 25+p (25+p = 25. Juli).

25.7.1978 0h TDT:  8°06'28'' ekl. Länge.
26.7.1978 0h TDT: 21°25'39'' ekl. Länge.

x1=25.   y1=8.10777777° (dezimal).
x2=26.   y2=21.4275°.

y = 14.3562537° = 14°21'22''. Jedoch lautet die wahre Position am 25.7.1978 um 11h15m31.5s DT 14°24'37'', was einen Fehler von 3'15'' in der Mondposition durch lineare Interpolation ausmacht.

Linear interpolierte Uhrzeit eines exakten Aspektes (z. B. Konjunktion 0°, Quadratur 90°; oder Opposition 180° ekl. Längendifferenz).
Beispiel: Um welche Uhrzeit erreicht der Mond die exakte Opposition zur Sonne (180°-Aspekt) am 20.11.1983 (Vollmondzeitpunkt)?

Sonne: 20.11.1983 0h TDT: 237.084000° ekl. Länge
           21.11.1983 0h TDT: 238.093193° ekl. Länge
Tägl. Differenz  dy1                   1.009193°

Mond: 20.11.1983 0h TDT: 50.64274° ekl. Länge.
           21.11.1983 0h TDT: 64.07765° ekl. Länge.
Tägl. Differenz  dy2             13.43491°

y=237.084°; y1=230.64274° = Aspekt 180°+50.64274°;
p=((y-y1)/(dy2-dy1))*24; p = 12.4412 Uhr = 12h26m28s DT (dynamical time=Ephemeridenzeit) bei linearer angenommener Bewegung. Der wahre Vollmondeintritt erfolgte am 20.11.1983 jedoch um 12h30m15s DT.

Erst die Verwendung höherer Differenzen berücksichtigt die ungleichförmige Mondbewegung.

Interpolation mit höheren Differenzen

Differenzenbildung unterer minus oberer Wert:

Differenzenspiegel symbolisch:

x-3  y-3
               y-5/2
x-2  y-2             y2-2
               y-3/2            y3-3/2
x-1  y-1             y2-1               y4-1
               y-1/2            y3-1/2            y5-1/2
xo   yo               y2o               y4o                 y6o
               y+1/2           y3+1/2           y5+1/2             y7+1/2
x+1  y+1
          y2+1               y4+1               y6+1
               y+3/2          y3+3/2           y5+3/2
x+2  y+2           y2+2               y4+2
               y+5/2          y3+5/2
x+3  y+3           y2+3
               y+7/2
x+4  y+4
 

Differenzenspiegel numerisch (Mondposition v. 22.7.1978 0h DT bis 29.7.1978 0h DT):

x 22.7.1978 y 325°24'01''
                                         +52878''
x 23.7.1978 y 340°05'19''              -1595''
                                         +51283''                -102''
x 24.7.1978 y 324°20'02''                -1697''               +164''
                                         +49586''                + 62''
x 25.7.1978 y 368°06'28''               -1635''               +116''
                                         +47951''                 +178''             -59''
x 26.7.1978 y 381°25'39''                 -1457''                + 57''
                                         +46494''               +235''
x 27.7.1978 y 394°20'33''                -1222''                + 24''
                                           +45272''                +259''
x 28.7.1978 y 406°55'05''                - 963''
                                           +44309''
x 29.7.1978 y 419°13'34''

 Bessel's Interpolationsformel:

Die Funktion verwendet folg. Differenzen (Symb. oben unterstrichen): A=y+1/2; B=(y2o+y2+1); C=y3+1/2; D=(y4o+y4+1); E=y5+1/2.

p=(x-xo)/(x1-xo)
y=(yo+y+1)/2 //y+1 lt. symbol. Differenzen
y1=(p-0.5)*A
y2=((p*(p-1)/4)*B
y3=((p*(p-1)*(p-0.5))/6)*C
y4=((p*(p-1)*(p+1)*(p-2))/48)*D
y5=((p*(p-1)*(p+1)*(p-2)*(p-0.5))/120)*E

Beispiel: Mondposition am 25.7.1978, 11h15m31.5s DT (h = lat. hora = Std.).
Am 24.7.1978 0h TDT beträgt die Mondposition 354°20'02'', am 25.7.1978 0h DT 8°06'28''. Demzufolge sind 360° zu addieren, sonst >springen< die Differenzen und ergeben unbrauchbare Resultate.

DIM y(10)
y(0)=325.4002778 //n = 8-ter Ordnung
y(1)=340.0886111
y(2)=354.3338889
y(3)=8.1077778   // Sprung +360° DEG
y(4)=21.4275       (2*PI in RAD)
y(5)=34.3425
y(6)=46.9180556
y(7)=59.2261111

REM Vermeidung des Nullstellensprungs
REM 0/360 Grad
FOR n=1 TO 8
IF y(n-1)>y(n) THEN //Stetigmachung -
y(n)=y(n)+360      //gilt nur für
ENDIF                //rechtläufige
NEXT n               //Bewegung (Sonne
FOR n=0 TO 7       //u. Mond)
PRINT y(n)
NEXT n

xo = 25.7. x+1 = 26.7. Intervall (x-1 - xo) = 1 Tag = 24 Std. Uhrzeit 11h15m31.5s DT sexagesimal = 11.25875h dezimal /24h Intervalllänge = Tagesbruchteil p 0.4691145 (p = Interpolationsfaktor).
x = 25.4691145. p = (x-xo)/(x-1 - xo) = p 0.4691145 (25.4691145 - 25)/(26-25).
yo=368.1.077778°
y+1=391.4275°
y 14°46'3.5'' = (368.1077778+391.4275)/2.
A=47951; B=((-1635)+(-1457))/2; C=178; D=((+116)+(+57))/2; E=-59.

                                               y 14°46'03.5''
y1=-0.0308855 * A +47951'' = -        24'41.0''
y2=-0.124523 * B - 1546'' =   +        3'12.5''
y3=+0.001282 * C +  178'' =   +             0.2''
y4=+0.023338 * D + 85.5'' =   +            2.0''
                                                   14°24'37''

Hier genügen 4. Differenzen. Durch Abrundungsfehler oder Rechenfehler können die Differenzen >springen<.
Exakter Mondstand am 25.7.1978 um 11h15m31.5s DT unter Verwendung höherer Differenzen = 14°24'37''. Lineare Interpolation erbrachte 14°21'22''.

Interpolationsformel von Gauß:

A=y+1/2; B=y2o; C=y3+1/2; D=y4o; y=yo+p*A+(p*(p-1)/2//)*B+((p*(p-1)+(p+1))/3//)*C+((p*(p-1)*(p+1)*(p-2))/4//)*D.

Danach ergibt sich z. B. folg. Mondstand am 25.7.1978 um 12h DT:

   yo 8°06'28''
 + 6°39'35.5''
 +   03'24.2''
 -       11.1''
 +        2.7''
     14°49'19''

DIM x(20),y(20),z(20,20)
n=8
x=25+(11+15/60+31.5/3600)/24 //x = Tag + Uhrzeit
x(0)=22 'Tage ab 22.7.1978
x(1)=23
x(2)=24
x(3)=25
x(4)=26
x(5)=27
x(6)=28
x(7)=29
y(0)=325.4002778 //y = Mondposition
y(1)=340.0886111 //n = 8-ter Ordnung
y(2)=354.3338889
y(3)=8.1077778
y(4)=21.4275
y(5)=34.3425
y(6)=46.9180556
y(7)=59.2261111
GOSUB intnev
REM **** INTERPOLATION NACH NEVILL ****
PROCEDURE intnev
z(0,0)=y(0)
n=n-1
FOR i=1 TO n
REM IF y(i-1)>y(i) THEN //falls Stetigmachung
REM y(i)=y(i)+360      //0/+360
REM ENDIF
z(i,0)=y(i)
FOR v=1 TO i
z(i,v)=(x-x(i))*(z(i,v-1)-z(i-1,v-1))/(x(i)-x(i-v))+z(i,v-1)
NEXT v
NEXT i
y=z(n,n)
PRINT y
RETURN


REM *** INTERPOLATION NACH LAGRANGE ****
REM Eingabeschema wie Neville
n=8
x=25+(11+15/60+31.5/3600)/24 //x = Tag + Uhrzeit
GOSUB intlag
PROCEDURE intlag
y=0
n=n-1
FOR i=0 TO n
REM IF i>0 THEN
REM  IF y(i-1)>y(i) THEN //falls Stetigmachung
REM  y(i)=y(i)+360       //0/+360
REM  ENDIF
REM ENDIF
z=1
FOR v=0 TO n
IF v=i THEN
GOTO s
ENDIF
z=(x-x(v))/(x(i)-x(v))*z
s:
NEXT v
y=y+y(i)*z
NEXT i
PRINT y
RETURN

Wann erreichen Sonne und Mond am 20.11.1983 die Opposition?

Sonne: 19.11.1983 0h DT 236°04'30'' ekl. Länge
           20.11.1983 0h DT 237°05'02''
           21.11.1983 0h DT 238°05'35''
           22.11.1983 0h DT 239°06'10''
           23.11.1983 0h DT 230°06'46''

Mond:  19.11.1983 0h DT 37°28'52'' ekl. Länge
           20.11.1983 0h DT 50°38'33''
           21.11.1983 0h DT 64°04'38''
           22.11.1983 0h DT 77°45'19''
           23.11.1983 0h DT 91°38'03''

Differenzenbildung durch Subtraktion des schnelleren vom langsameren Gestirn. Dabei wird wie bei einer Konjunktion verfahren. Sextil- (Abstand 60 Grad)u. Triogonalschein (120 Grad) oder Quadratir (Differenz 90 Grad) lassen sich entsprechend berechnen.

Sonne:         Mond:
236.0750000° - 217.481111°   = x(0)  18.938889
237.0838889° - 230.6425000° = x(1)   6.441339
238.0930556° - 244.0772222° = x(2)   -5.98416667
239.1027778° - 257.7552778° = x(3) -18.652500
240.1127778° - 271.6341667° = x(4) -31.5213889

x=0 ergibt die genaue Oppositionszeit. Inverse Interpolation.

Datumzuordnung (ab 19.11.1983):
y(0)=19 oder y(0)=2445657.5 //(julian. Datum JD)
y(1)=20 oder y(1)=2445658.5
y(2)=21 oder y(2)=2445659.5
y(3)=22 oder y(3)=2445660.5
y(4)=23 oder y(4)=2445661.5

n=5 (n=5-ter Ordnung), x=0. Mit diesen Parametern und y(0...n), x(0...n), gibt Neville's oder Lagrange's;

Interpolationsformel für die exakte Oppositionszeit: 20.52100802d (d = lat. dies = Tag) = 20.7.1978 = Tagesbruchteil 0.52100802*24 Std. = 12.504192 Std. dezimal = 12h30m15s DT sexagesimal. JD 2445659.021008 = 20.521008. Umgekehrt erhält mit x(0..n) = 19,20,..., y(0...n) = 18.938889, 6.441339,..., x = 20.52100802d, den Ort aus der Zeit.

Iteration

Eines der Grundelemente der Datenverarbeitung. Computer eignen sich ausgezeichnet zum Iterieren (lat. iterare = wiederholen), da der Computer ohnhehin zwischen vielen kleinen Schritten hin- und herwechselt, um bestimmte Bedingungen zu erfüllen.
Auf Schnellrechnern wird das Iterationsverfahren daher zunehmend angewendet. Iterationsschleifen brechen erst ab, wenn die gewünschte Bedingung bzw. Genauigkeit erfüllt ist. Die Funktionen Potenzierung, Radizierung und Fakultät wurden z. B. durch schrittweise Annäherung (Iteration) berechnet.

Das Iterationensverfahren dient zur Auflösung algebraischer Gleichungen vom 3.,4.,5,.. Grad der transzendenten Keplergleichung, Nullstellenermittlung einer Funktion nach der Regula falsi oder der Newton-Methode, Bestimmung von Konjunktionszeiten des Mondes mit Sternen und ihren Ein- u. Austrittszeiten am Mondrand bei Sternbedeckungen, genauen Ein- und Austrittszeiten des Mondrandes am Sonnenrand bei Sonnenfinsternissen usw.

Iterative Gleichungsauflösung. Gleichungen mit Gliedern zur >Nullstellenermittlung< auf der linken Seite f(x)=0) werden durch Umformung in eine iterierfähige Form gebracht (x=l(x)):

x5+ 3x-2 = 0
x=(2-x5)/3

FOR i=1 TO 50  //Die Iteration konvergiert
x=(2-x^5)/3    //für l (x)<1
PRINT z,x
NEXT i
1. Schritt: 0.33333333333
2.         0.66529492455
3.         0.62322066678
             ....
24.    x = 0.63283452024.

Gleichung: x3 - 5 = 0. Addition von x3+5 auf beiden Seiten der Gleichung ergibt x*x*x+x*x*x = x^3+a = 2*x*x*x=x^3+a = iterierfähige Form x=(x^3+a)/(2*x^2) = x = (1/(2*x^2)*(x^3+a).
x=1. Resultat nach 40 Schritten: Kubikwurzel aus 5 (5^(1/3)) = x = 1.709975946677. x^3-5 = 0 (Nullstelle).

x6+5x-16=0. x^6+5x=16; x^6=16-5x; x = 16-5x. x=(16-5x)^(1/5) nach 15. Schritten: x=1.437233890385: x^6+5*x-16=0.

Regula falsi

Iterationsvorschrift Regula falsi (lineare Interpolation): x
» x2 = xo-yo*((x1-xo)/(y1-yo)).

Die Sekante durch yo,y1 ersetzt die Funktionskurve (Fig 1). Der Schnittpunkt x2 markiert den Näherungswert des gesuchten Konjunktionszeitpunktes x (Sehnennäherungsverfahren).



Bestimmung von Konjunktionszeitpunkten.

Beispiel: Der Mond bedeckt z. B. Aldebaran am 22.6.1998.

Rektaszension (AR) Aldebaran: y 68.95079°.

xo = 22.6.1998 0h DT AR Mond yo = 61.537644°
x1 = 23.6.1998 0h DT AR          y1 = 75.964319°
(Koordinaten: Rektaszension [AR] oder ekliptikale Länge [
l]).

» x2 = x1-(y1-y)*((x1-xo)/(y1-yo))
Mit dem genäherten Konjunktionszeitpunkt x2 wird die Mondposition yn iteriert. x2 > yn: xo = x2 und yo = yn; x2 < yn: x1 = x2 und y1 = yn.

jd=2450981.5 //Julian. Tag = 22.6.1998
yop=68.95079 //yop = AR Objekt Aldebaran o.a.
REM GOSUB venpos       //Subroutine Venusposition
REM yop=FN deg(VenusLänge) //Falls Konj. mit Venus
GOSUB reg
PROCEDURE reg
jd=(jd-2451545)/36525
GOSUB dat(jd,d,m,j)    //JD, Tag, Monat, Jahr
xo=d                           //Tag: 22. Juni 0h TDT
GOSUB mpos             //Subroutine Mond o.a. Gestirn
yo=FN deg(mpos)        //yo AR Mond 60.4838°
jd=((jd+1)-2451545)/36525
GOSUB dat(jd,d,m,j)    //JD in Tag,Monat,Jahr
x1=d                   //Tag: 23. Juni 0h TDT
GOSUB mpos
y1=FN deg(mpos)        //y1 AR Mond 75.30064°
IF yo>y1 THEN
y1=y1+360
ENDIF
IF yop=0 THEN    //yop=Stern-, Planetenkoordinaten o.a.
yop=yop+360      //Bei Rechnungen in Rad, 360 GRAD
ENDIF            //durch PI*2 ersetzen
k=(yop>=yo) AND (yop<=y1)
k1=0
IF (NOT k) THEN
k1=1
yop=yop+360
ENDIF
k=(yop>=yo) AND (yop<=y1)
IF k==-1 THEN
no=0
REPEAT
no=no+1
x2=x1-(y1-yop)*((x1-xo)/(y1-yo))
f6=((jd+FRAC(x2))-2451545)/36525
GOSUB mpos
yn=FN deg(mpos)
REM GOSUB venpos
REM yop=FN deg(VenusLänge)   //REM = Falls Konj. des Mondes
PRINT x2,yn            //mit Venus o.a. entspr.
IF k1=1 THEN           //Unterprogr. (yn=sunpos,
yn=yn+360              //yop=venpos) aufrufen
ENDIF
IF yop-yn>0 THEN
xo=x2
yo=yn
ELSE
x1=x2
y1=yn
ENDIF
IF no>10 THEN
GOTO jum10
ENDIF
UNTIL ABS(yn-yop)<0.00001
ENDIF
jum10:
PRINT x2,yn //x2=Konjunktionszeitpunkt,yn=AR Konjunktion
RETURN

Die Konjunktion am 22.6.1998 des Mondes mit dem hellsten Stern im Sternbild des Stieres, Aldebaran, ist um x2=22.573506d = 22. Juni, 0.5735057d Tagesbruchteil * 24h = 13.7641358h dezimal = 13h45m51s sexagesimal. Die Iteration mit der Regula falsi eignet sich ebenfalls für die Bestimmung des Eintritts der Neu-, Halb- und Volmondzeiten, der Aspektverbindungen (Konj., Opposition usw.) der Planeten und die des Mondes, der genauen Zeitpunkte des Eintritts der Stillstände und der rückläufigen Planetenbewegung usw.

Newton-Verfahren

Newton-Verfahren. Bei der Regula falsi ersetzt eine durch zwei Kurvenpunkte gelegte Sekante (s. Fig. 1) die Funktionskurve, deren Schnittpunkt mit der Abzissenachse ein Näherungswert für x ergibt. Beim Newton-Verfahren wird die Kurve in Nähe x durch ihre Tangente (Fig. 2) ersetzt. Die Tangente schneidet die x-Achse in x1, als verbesserter Näherungswert für x. Der Winkel tan a ist die Steigung der Kurve am Schnittpunkt der Tangente x1. tan a = f'((x1) = f(x1)/(x1-xo) oder xo = x1-(f(x1))/(f'(x1)).

Iterationsvorschrift Newton-Verfahren: xk+1 (=xk-(f(xk))/(f'(xk)), k=0,1,2 ,...

Qudratwurzelfunktion: y = f(x) = x^2 - a = 0.

Addition von x^2+a auf der linken u. rechten Seite ergibt die iterierfähige Form xn+1 = 1/(2x)*(x^2 + a). Im Fall des Newton-Verfahrens: x^2-a=0 = iterierfähige Form xn+1 = xn-(x^2-a)/(2*xn);
xn+1 = xn-(1/2)*xn+a/(2*xn); schließlich xn+1 = 0.5*(xn+a/xn).

Beispiel: x=1, a = 2 = Qudratwurzel aus 2.

FOR i=1 To 20
x=0.5*(x+a/x)
PRINT x
NEXT i

1. Schritt:    1.5
2.             1.416666666667
3.             1.414215686275
4.             1.414213562375
5.             1.414213562373

Das Newton-Verfahren löst ebenfalls die transzendente Keplergleichung: M =ÖGM/a3 (t-T) = x-e*sin(x);
iterierfähige Form: E = M+e*sin(E). Fig. 2a zeigt die Lösungsproblematik dieser Funktion, die in hoher Exentrizität nicht konvergiert. Startwert E=M.

Unter größerem >e< konvergiert das Verfahren nur noch mühsam unter stark zunehmenden Iterationen, um schließl. mit >e< nahe 1 und >M<  » 180° zu versagen. Diese Gleichung E = M+e*sin(E) ist daher nur für kleine Exentrizitäten verwendbar. e = Bahnexentrizität, M = mittl. Anomalie, E = exentrische Anomalie.

Besser geeignet ist: E+1 = E-(E-e*sin(E)-M)/(1-e*cos(E)). Startwert E=PI oder E=M:
f(E) = E-e sin E; f'(E) = 1-e cos E.

Fig. 2b zeigt den kritischen Bereich zahlreicher Iterationen (0.975<e<1 und |M|=<30) unter Verwendung des Startwertes E=M.
Unter Verwendung folg. Startwertes konvergiert diese Funktion auch im kritischen Bereich mit nur 1-6 Lösungschritten;

(S. Mikkola, >A cubic approximation for Kepler's Equation<, Celestial Mechanics, Vol. 40, 329-334 [1987]):
a=(1-e)/(4*e+0.5)
b=M/(8*e+1)
c=(b+SQR(b^2+a^3)*SGN(M))^(1/3)
d=c-a/2
f=d-(0.078*d^5)/(1+e)
E=M+e*(3*f-4*f^3).

Ist >E< gegeben, lässt sich die Keplergleichung nach >t< algebraisch auflösen. Wird >E< zum Zeitpunkt >t< gesucht, ist die Keplergleichung transzendent und nicht streng und geschlossen auflösbar. Die transzendente Gleichung wird dann durch Versuche, Reihenentwicklung oder iterativ nach E gelöst.

 

 

 

 

 

REM Keplergleichung
m=30 //GRAD
m=FN rad(m) //RAD
e=0.7
en=PI //Grad: en=180
FOR i=1 TO 300 //ITERATION
en=en-(en-e*SIN(en)-m)/(1-e*COS(en)) //RAD: m,en,e
REM en=en-(en-FN deg(e)*SIN(FN rad(en))-m)/(1-e*COS(FN rad(en))) //GRAD: m,en,e
PRINT en
NEXT i
E = 1.167416464222 RAD = 66.88803633°.


REM GFA-BASIC 3-D FUNKTION KEPLERGLEICHUNG
DIM g(640),h(640)
xo = 420 //KOORDINATENNULLPUNKT DER 640 X 400 GRAPHIKPUNKTE
yo = 320
ss = 10  //EINTARG ZEILEN- U. SPALTENABSTAND 10 PUNKTE
wz = RAD(330) //EINTRAG DREHWINKEL UM Z-ACHSE
wx = RAD(30) //EINTRAG DREHWINKEL UM X-ACHSE
e1 = SIN(wz)
e2 = COS(wz)
e3 = SIN(wx)
e4 = COS(wx)
nn = 0
x = -100
FOR y = -100 TO 100
  GOSUB bord
NEXT y
y = -100
FOR x = -100 TO 100
  GOSUB bord
NEXT x
x = -100
y = 100
nn = 1
FOR z = 0 TO 400 STEP 50
  GOSUB bord
NEXT z
z = 200  //MARKIERUNG 200 ITERATIONEN Z-KOORDINATE
x = -100
FOR y = -100 TO 100
  GOSUB bord
NEXT y
z = 200
y = -100
FOR x = -100 TO 100
  GOSUB bord
NEXT x
nn = 0
FOR y = -100 TO 100
  FOR x = -100 TO 100
   GOSUB func
   GOSUB rot
   s = xo + INT(x1)
   n = 0
   IF z2 > g(s) THEN
     g(s) = z2
     n = 1
   ENDIF
   IF z2 < h(s) THEN
     h(s) = z2
     n = 1
   ENDIF
   IF n = 1 THEN
     IF (x / ss = INT(x / ss)) OR (y / ss = INT(y / ss)) THEN
       PLOT xo + x1,yo - z2
     ENDIF
   ENDIF
  NEXT x
  EXIT IF e >= 0.9999999
NEXT y
DO
  w$ = UPPER$(INKEY$)
  IF w$ = "S" THEN //TASTE >S< NEUSTART
   RUN
  ENDIF
  IF w$ = "E"  //PROGRAMM BEENDEN
   END
  ENDIF

LOOP
PROCEDURE func //KEPLERFUNKTION
  m = ABS((RAD(x + 100) * 0.9)) //MITTL. ANOMALIE m=0-PI RAD = 0-180 GRAD
  e = ABS(100 + y) * 0.005     //EXENTRIZIT?T e=0-1 METHODE I,II
  REM  m=ABS((RAD(x+100)*0.175)) //METHODE III m=0-35 GRAD
  REM  e=0.94+ABS(100+y)*0.0003 //e=0.94 bis e=1 METHODE III
  IF e => 0.9999999999 THEN
   e = 0.9999999999
  ENDIF
  ii = 0
  REM -- KEPLERGLEICHUNG METHODE I (Fig. 2a) -- REM setzen wenn Methode II,III
  ex = m       //StARTWERT ex=m
  REPEAT
   ADD ii,1 //ANZAHL ITERATIONEN
   ex1 = ex
   ex = m + e * SIN(ex) //KEPLERLEICHUNG
   IF ii > 14000 OR e >= 0.99999 THEN
     ii = 1             //DREHWINKEL wz=350, wx=30
     e = 1
     GOTO jump
   ENDIF
  UNTIL ABS(ex - ex1) < 1.0E-09
  jump:
  REM -- KEPLERGLEICHUNG METHODE II (Fig 2b) ----
  REM ex=m //STARTWERT ex=m
  REM REPEAT     //DREHWINKEL wz=10, wx=30
  REM ADD ii,1 //ANZAHL ITERATIONEN
  REM ex1=ex
  REM ex=ex-(ex-e*SIN(ex)-m)/(1-e*COS(ex)) //KEPLERLEICHUNG
  REM IF ii>14000 OR e>=0.99999 THEN
  REM ii=1
  REM e=1
  REM GOTO jump
  REM ENDIF
  REM UNTIL ABS(ex-ex1)<1.0E-09
  REM jump:
  REM -- KEPLERGLEICHUNG METHODE III (Fig. 2c) --
  REM a=(1-e)/(4*e+0.5) //STARTWERT ex
  REM b=m/(8*e+1)
  REM c=(b+SQR(b^2+a^3)*SGN(m))^(1/3)
  REM d=c-a/2
  REM f=d-(0.078*d^5)/(1+e)
  REM ex=m+e*(3*f-4*f^3)
  REM REPEAT     //DREHWINKEL wz=20, wx=30
  REM ADD ii,1 //ANZAHL ITERATIONEN
  REM ex1=ex
  REM ex=ex-(ex-e*SIN(ex)-m)/(1-e*COS(ex)) //KEPLERLEICHUNG
  REM IF ii>14000 OR e>=0.9999 THEN
  REM ii=1
  REM e=1
  REM GOTO jump
  REM ENDIF
  REM UNTIL ABS(ex-ex1)<1.0E-09
  REM jump:
  REM --------------------------------------------
  PRINT AT(1,1);USING "Exentrizität: #.##### ",e
  PRINT AT(1,2);USING "Iteration...: ######## ",ii
  PRINT AT(1,3);USING "M. Anomalie.: ####.### ",DEG(m)
  IF nn = 0 THEN //Z-KOORDINATE ANZAHL ITERATIONEN
   z = ii //METHODE I z=0-200 ITERATIONEN
   REM    z=ii*10 //METHODE II,III Z=0 BIS 20 ITERATIONEN
  ENDIF
RETURN
PROCEDURE bord
  GOSUB func
  GOSUB rot
  IF nn = 0 THEN
   s = xo + INT(x1)
   g(s) = z2
   h(s) = z2
  ENDIF
  PLOT xo + x1,yo - z2
RETURN
PROCEDURE rot //ROTATIONSMATRIX
  x1 = x * e2 - y * e1
  y1 = x * e1 + y * e2
  z2 = y1 * e3 + z * e4
RETURN

Programmoptimierung

Beispiel: T = (JD - 2451545)/36525. Mittlere Länge (L) Merkur: Argument
L = Lo 252.25° + n 149474.072° T + acc 0.00303° T2 + acc1 0.000000018° T3.

JD = julianisches Tagesdatum. 2451545 = julian. Tag der Epoche (1.1.2000 12 Uhr DT); 36525 = Tage eines julian. Jahrhunderts (1 julian. Jahr = 365.25 Tage). Tägl. Merkurbewegung 149474.072°/36525 = 4.09237°/julian. Tag. T -6999.9657768 julian. Jarh. am 1.1.-5000 v. Chr. 0 Uhr DT = JD -105192.5.

L 223.731° = -1046313388.519° = 252.25° + n 149474.072° * T -6999.9657768 julian. Jahre.

Oder man ersetzt T durch To zur Vermeidung großer Zahlen, die Nachkommastellen auslöschen: P = 360°/149474.072°; To = T MOD P [ = Funktion FRAC(t/p)*p; FRAC(2.1234) = Bruchteil einer Dezimalzahl)]:
149474.072 *To -0.0001907952537295 = -28.519° + 252.25° = L 223.731°.

L = Lo + a T + a1 T*T + a2 T*T*T. Statt dessen (Polynom mit nur 3 Multiplikationen):
L = Lo + T(a+T(a1 + a1 T)) (Horner'sches Schema).
L = Lo + a T + a1 T*T + a2 T*T*T + a3 T*T*T*T durch
L = Lo + T(a+T(a1+T(a2+ T a3))) ersetzen.
L=Lo+T*(a1+T*(a2+T*(a3+T*(a4+T*a5))))

Vermeidung der Potenzierungsroutine spart Ausführungszeit (T^3 = T*T*T [^ = Potenzierung = T3]:
e2 = (a2 - b2)/ a2, besser e2 = 1 - (b/a)2.

Zur Speicherplatzeinsparung möglichst wenige und stets dieselben Variablen (x,y,z) für Rechenoperationen verwenden. REM-Zeilen streichen. Oft vorkommende Winkelfunktionen für dieselbe Variable nur einmal berechnen: x = cos b cos l; y = cos b sin l; z = sin b; Hilfsgröße w = cos b; Verbesserung: x = w cos l, y = w sin l, z = sin b. Oft benötigte Routinen als Funktion (DEFFN) oder Unterprogramm definieren. Wenige Befehle in Schleifen beschleunigt die Ausführungszeit.

Optimierung periodischer Störungsterme der Form S li sin(ai + vi T):
(Planetentheorien VSOP 87 P. Bretagnon, G. Francou):
l = 0.0567891 sin(4.333333 +   100.123456 T)
+ 0.0335632  sin(5.937458 + 23456.444123 T)
+ 0.0032333 sin(2.345678 + 23422.122234 T)
+  ......

RESTORE TERM
L=0
FOR I=1 TO N
READ X,Y,Z
L=L+X*SIN(Y+Z*T)*1E-07
NEXT I
TERM:
DATA 567891,4.333333,100.123456,335632,5.937458.23456.444123,32333,2.345678,23422.122234...

Halbsummensatz

Optimierung der Reihenentwicklung y = li sin(ai....a-n) oder L = vc cos(jg' + ig) + vs sin(jg' + ig):
Simon Newcomb's Planetentheorie von 1898 und Brown's Mondtheorie von 1919, war bis 1983 Grundlage des amtl. astronom. Jahrbuches >The Astronomical Ephemeris< (ab 1983 >The Astronomical Almanac<) des anglo-amerik. Sprachraums.

Reihenentwicklung unter expliziter Auswertung der sin-Funktion:
y =    0.5345 sin(L +  M)
y = y + 0.1234 sin(2L + 3M)
y = y + 0.0451 sin(3L - 2M)
y = y + ....

Unter Anwendung des Summensatzes (i>0):
y = 0.5345*(s(1,1)*c(1,2)+c(1,1)*s(1,2))
+ 0.1234*(s(2,1)*c(3,2)+c(2,1)*s(3,2))
+ 0.0451*(s(3,1)*c(2,2)-c(3,1)*s(2,2))
+ ....

Oder (i>0):
RESTORE TERM
L=0
FOR I=1 TO N       //n = Anzahl der Terme
READ X,Y,Z,K
L=L+x*(s(y,1)*c(z,2)+(c(y,1)*s(z,2)*k)*1E-04
NEXT I
TERM:
DATA 5345,1,1,1,1234,2,3,1,451,3,2,-1...

sin(x+y) = k = 1; sin(x-y) = k = -1.

Analytische Reihenentwicklungen für Positionsbestimmungen im 1/100 Bogensekundenbereich umfassen tausende periodische Terme. Astronom. Recheninstitute berücksichtigen z. B. über 5000, um eine Genauigkeit der Mondbahn auf 0.01'' zu erreichen.
Angesichts der großen Anzahl gleicher Argumente, ersetzt man die aufwendige Sinus- bzw. Cosinusfunktion durch elementare Rechenoperationen mit kürzerer Verarbeitungszeit.

Mit Hilfe des Additionstheorems (Summensatz) der Sinus- u. Cosinusfunktion, berechnet man die Winkelfunktion einer Summe (sin(iL+iM)) oder einer Differenz (sin(iL-iM)), aus der Funktion der Einzelwinkel (sin(M), sin(3L), sin(2M) usw.).

Additionstheorem der Sinusfunktion:
sin(a+b)=sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
sin(a-b)=sin(a) cos(b) - cos(a) sin(a)

Additionstheorem der Cosinusfunktion:
cos(a+b)=cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)
cos(a-b)=cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

Für i=1,2,3... (i mit positivem Vorzeichen: i>0) der Argumente M,L:

DIM s(n,2),c(n,2)
FOR i=1 TO n
s(i,1)=sin(i*L)
s(i,2)=sin(i*M)
c(i,1)=cos(i*L)
c(i,2)=cos(i*M)
NEXT i

Halbsummensatz:
sin(L+M) = (s(1,1)*c(1,2)+c(1,1)*s(1,2)) = sin(L+M)=sin(L)*cos(M)+cos(L)*sin(M)
sin(2*L+M) = (s(2,1)*c(1,2)+c(1,1)*s(1,2))
sin(l-3M)  = (s(1,1)*c(3,2)-c(1,1)*s(3,2))

Der Ausdruck >L =  vc cos(jg1 + ig) + vs sin(jg1 + ig)< kombiniert den Summensatz der Cosinus- und Sinusfunktion.

Planetentheorie nach Newcomb: Newcomb's >TABLES OF THE SUN<: Störungen der Venus (j,i = Koeffizienten der trigonometr. Argumente): j = -10,-9,-8...0,1,2,3...; i = 0,1,2,3...

l=l+vc*(COS(j*g1)*COS(i*g)-SIN(j*g1)*SIN(i*g))+vs*(SIN(j*g1)*COS(i*g)+COS(j*g1)*SIN(i*g))
in der Form:
l=l+vc*(c(j,1)*c(i,2)-s(j,1)*s(i,2))+vs*(s(j,1)*c(i,2)+c(j,1)*s(i,2))

DIM s(30,2),c(30,2)
j=-11
i=-11
FOR ii=1 TO 29
j=j+1       
i=i+1
s(ii,1)=SIN(j*g1)       
s(ii,2)=SIN(i*g)
c(ii,1)=COS(j*g1)
c(ii,2)=COS(i*g)
NEXT ii

l,b,r = Venus-Störungen in heliozentr. Länge, Breite u. Entfernung (Radius Vector).

l=0
b=0
r=0
RESTORE TERM
FOR z=1 to n //n = Anzahl der Terme
READ j,i,vc,vs,bc,bs,pc,ps
j=j+11 //-11<j<+18 Anpassung j>0, da neg. Zahlen in BASIC
i=i+11 //-11<i<+18 Anpassung i>0  nicht dimensionierbar
l=l+vc*(c(j,1)*c(i,2)-s(j,1)*s(i,2))*1E-03+vs*(s(j,1)*c(i,2)+c(j,1)*s(i,2))*1E-03
b=b+bc*(c(j,1)*c(i,2)-s(j,1)*s(i,2))*1E-03+bs*(s(j,1)*c(i,2)+c(j,1)*s(i,2))*1E-03
r=r+pc*(c(j,1)*c(i,2)-s(j,1)*s(i,2))*1E-09+ps*(s(j,1)*c(i,2)+c(j,1)*s(i,2))*1E-09
NEXT z
TERM:  //j i vc vs bc bs pc ps j i vc  vs usw.
DATA -1,0,33,-67,-24,17,-85,-39,-1,1,2353,-4228,4,-3,-2062,-1146,-1,2,-65,-34,-6,92,68,-14...

E.W. Brown's Mondtheorie >Tables of the Motion of Moon< (1919), die überarbeitete Version von 1954 (ILE) >Improved Lunar Ephemeris< und die moderne Theorie ELP-2000 (1982), verwenden Terme der Form si = sin(il+jl'+kF+mD); co = cos(il+jl'+kF+mD).

l = 22639.500 sin(il+jl'+kF+mD) i=1,j=0,k=0,m= 0
-  4586.465 sin(1l+jl'+kF-2D)    i=1,j=0,k=0,m=-2
-    38.428 sin(1l+jl'+kF-4D)      i=1,j=0,k=0,m=-4
+  ...

Halbsummensatz-Umsetzung:

lm=RAD(10)
ls=RAD(20)
fm=RAD(100)
dm=RAD(150)
x=SIN(lm+ls+fm+dm)
y=COS(lm+ls+fm+dm)
PRINT x
PRINT y
co1=COS(lm)
si2=SIN(ls)
co2=COS(ls)
si3=SIN(fm)
si1=SIN(lm)
co3=COS(fm)
si4=SIN(dm)
co4=COS(dm)
GOSUB halbs
REM SIN(lm+ls)
PRINT
PRINT si
PRINT co
REM -----------------
si1=si
co1=co
REM -----------------
REM  SIN(lm+ls+fm)
si2=si3
co2=co3
GOSUB halbs
PRINT
PRINT si
PRINT co
REM -------------------
si1=si
co1=co
REM -------------------
REM SIN(lm+ls+fm+dm)
si2=si4
co2=co4
GOSUB halbs
PRINT
PRINT si
PRINT co
END
PROCEDURE halbs
si=si1*co2+co1*si2 //Additionstheorem der Sinusfunktion
co=co1*co2-si1*si2 //Additionstheorem der Cosinusfunktion
RETURN

DIM s(21,21),c(21,21),n(9)
REM DELAUNAY-ELEMENTE l,l',F,D
lm=RAD(10) = l  = mittl. Anomalie des Mondes
ls=RAD(20) = l' = mittl. Anomalie der Sonne
fm=RAD(100) = F  = Argument der Mondbreite
dm=RAD(150) = D  = Elongation Sonne-Mond
REM--------------------------------------
REM jh=((jd+(UT+ddt)/24)-2451545)/36525
a=1.000002208            //Korrektion für
b=(1-0.002495388*jh)     //Mondbahnneigung
c=1.000002708+139.978*dg //und Exentrizität
REM----------------------------------------
i=-9               -8<i<+8 +9 Anpassungsgröße
FOR o=1 TO 18      an 1<o<18
i=i+1
s(o,1)=SIN(i*lm)*a^ABS(i) zu i
c(o,1)=COS(i*lm)*a^ABS(i) zu i
s(o,2)=SIN(i*ls)*b^ABS(i) zu k
c(o,2)=COS(i*ls)*b^ABS(i) zu k
s(o,3)=SIN(i*fm)*c^ABS(i) zu m
c(o,3)=COS(i*fm)*c^ABS(i) zu m
s(o,4)=SIN(i*dm)
c(o,4)=COS(i*dm)
NEXT o
REM l/lam = Terme in ekl. Länge des Mondes
REM s/ds = Terme in ekl. Breite
REM g1C/g = Terme in ekl. Breite
REM p/pa = Terme in Parallaxe
n=1
l=0
s=0
g=0
p=0
RESTORE term
FOR t=1 TO n //n Anzahl der Terme
READ i,j,k,m,lam,ds,gc,pa
n(1)=i
n(2)=j
n(3)=k       //-8 < i,j,k,m < +8
n(4)=m
co=1
si=0
FOR n1=1 TO 4
IF n(n1)<>0 THEN
co1=co
si1=si
co2=c(n(n1)+9,n1)  //+9 = Anpassungsgröße an 1<o<18, da BASIC
si2=s(n(n1)+9,n1)  //neg. Indizierungen nicht dimensioniert.
si=si1*co2+co1*si2 //Halbsummensatz der Sinusfunktion
co=co1*co2-si1*si2 //Halbsummensatz der Cosinusfunktion
ENDIF              //si=a^ABS(i)*b^ABS(j)*c^ABS(k)*SIN(i*lm+j*ls+k*fm+m*dm)
NEXT n1            //co=a^ABS(i)*b^ABS(j)*c^ABS(k)*COS(i*lm+j*ls+k*fm+m*dm)
l=l+lam*si
s=s+ds*si          //Aufsummierung
g=g+gc*co          //der Störungen
p=p+pa*co
NEXT t
term: //   i j k m lam   ds    gc    pa i j k m lam
DATA 1,0,0,0,22639.5,22609.07,0.07,186.5398,1,0,0,-2,-4586.456,-4578.13,-0.077,34.3117,...

Die Präzision der ILE nach 65 Jahren beträgt -0.9 Bogensekunden, was in 384400 km mittl. Mondentfernung ( (0.9/3600)/57.29578)*384400 km = 1.7 km ausmacht. Die Zentrallinie einer totalen Sonnenfinsternis wird damit rund 2 km genau. Ein Markstück (0.0235 m Durchmesser) erscheint aus 5.385 km unter einem Winkel von 0.9'' (5385 m =(0.0235 m/(0.9''/3600''))*(180/PI)).

Tschebyschevsche Polynome

Die Planetenheorie VSOP 87 (Variations Séculaires des Orbites Planétaires) umfasst z. B. 1163,1529, 2111, 3441, 3297, 6763, 8987, 4994 Terme für die Merkur-, Venus-, Erde-, Mars-, Jupiter-, Saturn-, Uranus- und Neptunbahn. Da man für jeden Koeffizienten die Sinus- u. Cosinusfunktion benötigt (VSOP 82), ist ihre Anzahl sogar zu verdoppeln.
Durch Anwendung des Additionstheorems werden rechenzeitaufwendige Winkelfunktionswerte für jedes Argument nur einmal berechnet und abgespeichert. Die konstanten Argumente erlauben die Ergebnisberechnung langer Koeffizientenreihen mit den vier elementaren Grundrechenarten. Die Abarbeitungsgeschwindigkeit wird dadurch wesentlich gesteigert und das Endergebnis somit deutlich schneller erreicht.

Die meisten Anwendungen erfordern sehr viele Positionswerte (z. B. für Echtzeitanwendungen, Sternbedeckungen, Sonnenfinsternisse usf.). Jedoch ist die laufende Berechnung einer Vielzahl rechenintensiver Terme entsprechend zeitaufwendig.
Aus Stützwerten erhält man die Koeffizienten des Tschebyschev-Polynoms, die ohne jeden Aufwand auswertbar die Koordinaten sehr schnell approximieren. Die Bahnen der Himmelskörper oder ihre scheinbaren Winkeldurchm., rechtwinkl. Koordinaten usw., sind durch ein Tschebyschev-Polynom innerhalb eines Zeitintervalls sehr gut zu approximieren. Die Berechnung der Stützstellen dauert allerdings etwas.

Um die Mondbahn für 32 Tage auf 0.3'' in AR (0.02 Sek.) und 0.1'' in Deklination zu nähern, werden 36 stützende Positionswerte benötigt (je Polynom eine Stützstelle). Gegenüber der zeitaufwendigen exakten Berechnung tausender Terme, ergeben die 36 Terme des TPolynoms blitzschnelle Positionswerte für jeweils 32 Tage (1 Mondumlauf).
Das TPolynom der scheinbaren Sonnenbahn 22. Grades gilt 95 Tage bei einem max. Approximationsfehler von max. 0.3'' in Länge und 0.1'' in Breite (bei 3'' Genauigkeit gilt das TPolynom 22. Grades 365 Tage).

Ein TPolynom 34. Grades zur Berechnung der Sternzeit gilt über 95 Tage bei einem max. Fehler von 0.001 Sek . Das TPolynom 38. Grades von Merkur und Venus gilt 95 Tage bei einem max. Fehler von 0.5'' und 0.2''. Die Bahn von Mars und Jupiter lassen sich über 95 Tage mit einem TPolynom 16. Grades bei einem max. Fehler von 1'' (0.07 Sek. in AR) und 0.5'' (0.03s in AR) approximieren. Das TPolynom 12. Grades von Saturn, Uranus, Neptun u. Pluto gilt 95 Tage bei einem max. Fehler von 0.6'', 1.5'', 0.5'', 0.1''.
Das Intervall darf nicht größer als die Umlaufzeit sein. Beim Mond sollte man statt 32 Tagen besser ein Intervall von 29 oder 30 Tagen wählen, da über fast 2 Umläufe die Polynome unsinnige Resultate ergeben.

>The Astronomical Almanac< (pages D23-D45) enthält (zusätzl. zur Ephemeride für 0h DT) die tägl. TPolynome des Mondstandes.

a=56.3657354 //(= Rektaszension am 5.1.1993 0h TDT).
a1=14.1696655 //Polynome
a2=0.4123944
a3=-0.0234435
a4=-0.0081047
a5=0.0002903

t=(14+31/60+15.1/3600)/24 //TDT Tagesbruchteil.
ar=a+t*(a1+t*(a2+t*(a3+t*(a4+t*a5))))
ar = 65.08360107996;CHR$(248); Rektaszension (AR) des Mondes am 5.1.1993 um 14h31m15.1s DT in Grad (ar/15 = 4.338906738644 Std. = 4h20m20.064s.
t = 1 = 70.9165374 (= AR Mond am 6.1.1993 0h TDT

Die Interpolation des Mondortes unter Verwendung höherer Differenzen entfällt dadurch. Der vom U.S. Nautical Office jährl. veröffentl. >Almanac for Computers< trägt der allg. Computeranwendung Rechnung und verwendet generell TPolynome für die Berechnung der Positionswerte.

Beispiel: Rektaszension der Sonne am 10.7.1986 um 12h23m49.4s UT = 7h17m49.01s.

Ab Jan. 0 bis 10.7. = 191 Tage.

t=191+(12+23/60+49.4/3600)/24 //Tagesbruchteil
PRINT t                      //t=191.51654398
w=182          //1. Juli = 182 Tage.
a=47.5
x=(t-w)/a-1    //x -0.799651705

Dim a(30),b(30)
a(0)=19.4083302 //Tschebyschev-Polynom 22. Grades
a(1)=2.98816   //für Rektaszension der Sonne im
a(2)=-0.064904 //Zeitraum von 95 Tagen, ab
a(3)=0.0109856 //1.7.1986 bis 3.10.1986.
a(4)=0.0037436
a(5)=-0.0004093
a(6)=-0.0000231
a(7)=0.0000489
a(8)=0.0000357
a(9)=-0.000059
a(10)=-0.0000242
a(11)=0.0000261
a(12)=7.3E-06
a(13)=-6.3E-06
a(14)=-2.0E-07
a(15)=1.7E-06
a(16)=-2.0E-07
a(17)=-5.0E-07
a(18)=-8.0E-07
a(19)=-7.0E-07
a(20)=1.4E-06
a(21)=9.0E-07

Polynom-Auswertung:
b23=0
b22=0
b21=2*x*b22-b23+a(21)
b20=2*x*b21-b22+a(20)
b19=2*x*b20-b21+a(19)
b18=2*x*b19-b20+a(18)
b17=2*x*b18-b19+a(17)
b16=2*x*b17-b18+a(16)
b15=2*x*b16-b17+a(15)
b14=2*x*b15-b16+a(14)
b13=2*x*b14-b15+a(13)
b12=2*x*b13-b14+a(12)
b11=2*x*b12-b13+a(11)
b10=2*x*b11-b12+a(10)
b9=2*x*b10-b11+a(9)
b8=2*x*b9-b10+a(8)
b7=2*x*b8-b9+a(7)
b6=2*x*b7-b8+a(6)
b5=2*x*b6-b7+a(5
b4=2*x*b5-b6+a(4)
b3=2*x*b4-b5+a(3)
b2=2*x*b3-b4+a(2)
b1=2*x*b2-b3+a(1)
b0=2*x*b1-b2+a(0)
fx=(b0-b2)/2
PRINT fx

 

REM oder kurz:
FOR a=21 TO 0 STEP -1
b(a)=2*x*b(a+1)-b(a+2)+a(a)
NEXT a
ar=(b(0)-b(2))/2
PRINT ar
AR Sonne 7.2969458818 Std. = 7h17m49.01s

Tschebyschev-Polynom: f(x) = nSk=0 zk Tk(x) + zo/2

Koeffizienten zk = 2/(n+1) n+1Sk=1 fi (tn+1) Tk (xin+1).

fi (tn+1)=((ie-ia)/2)*cos(PI*((2i-1)/(2n+2)))+((ia+ie)/2)
Tk (xin+1)=cos(k*PI*((2i-1)/(2*n+2)))

Zeitpunkt t im Intervall (ia,ie = Intervallanfang u.-ende): x = (t-0.5*(ia+ie))/(0.5*(ie-ia)); -1<x<+1
Oder: x = (t-ta)/(int/2)-1; t = Zeitpunkt im Intervall; ta = Zeitpunkt des Intervallbeginns; int/2 = halbe Intervalllänge.

Lunare Tschebyschev-Polynome für AR, Deklin. u. Parallaxe. TPolynome für ekliptikale Länge und Breite o.a. durch entsprechende Koordinateneinsetzung und Wahl des Polynomgrades (no) und der Intervalllänge (int). (Sonne no=22, int=95).

DIM rp(80),dp(80),pp(80),ra(80),de(80),r(80),a(80),b(80)
DEFFN k(x)=x-INT(x/360)*360
fn=((fo+(UT+ddt)/24)-2451545)/36525
d=1
m=monat      //Julian. Datum für den
a=jahr       //1. des Kalendermonats
GOSUB jd     //Intervallbeginn)
int=30       //Intervall 30 Tage (1 Monat)
ia=(f-2451545)/36525       //Intervall Anfang
ie=((f+int)-2451545)/36525 //Intervall Ende
un=(ie-ia)/2
uo=(ia+ie)/2
no=36          //n Polynom-Grad
ko=2/(no+1)
tx=(fn-uo)/un  //-1<x<+1 (Intervallbeginn -1.
GOSUB poly     // Intervallende +1)
fn=((fo+(UT+ddt)/24)-2451545)/36525 //ddt = TDT-UT
GOSUB mpos
PRINT
PRINT FN deg(aro)/15 //Exakte direkte Berechnung
PRINT FN deg(dek)    //der Mondposition
PRINT par
END
PROCEDURE poly
FOR i=1 TO no+1
fn=un*COS(PI*((2*i-1)/(2*no+2)))+uo
GOSUB mpos       //Subroutine für Mondkoordinaten
ar(k)=FN deg(aro)  //Rektaszension
de(k)=FN deg(dek)  //Deklination
r(k)=par           //Entfernung
NEXT i
FOR i=2 TO no+1
IF (ar(i-1)<ar(i)) THEN        //Stetigmachung
ar(i)=ar(i)-360                //-360<AR<+360
ENDIF
NEXT i
FOR k=0 TO no
rp(k)=0
dp(k)=0
pp(k)=0
FOR i=1 TO no+1
nr=COS(k*PI*((2*i-1)/(2*no+2)))
rp(k)=rp(k)+nr*ar(i)
dp(k)=dp(k)+nr*de(i)
pp(k)=pp(k)+nr*r(i)
NEXT i
rp(k)=rp(k)*ko   //TPolynome
dp(k)=dp(k)*ko
pp(k)=pp(k)*ko
NEXT k
GOSUB aw
RETURN
PROCEDURE aw       //Auswertung
CLS
t=tx*2
FOR i=no TO 0 STEP -1
b(i)=t*b(i+1)-b(i+2)+rp(i)
NEXT i
ra=FN k((b(0)-b(2))/2)/15
REM oder ohne Dimensionierung:
REM b=0
REM a=0
REM FOR i=no TO 1 STEP -1
REM c=b
REM b=t*b-a+rp(i)
REM a=c
REM NEXT i
REM ra=FN k(tx*b-a+rp(0)/2)
REM ------------------------
FOR i=no TO 0 STEP -1
b(i)=t*b(i+1)-b(i+2)+dp(i)
NEXT i
de=(b(0)-b(2))/2
FOR i=no TO 0 STEP -1
b(i)=t*b(i+1)-b(i+2)+pp(i)
NEXT i
pa=(b(0)-b(2))/2
PRINT ra   //genäherte Rektaszension,
PRINT de   //Deklination und
PRINT pa   //Entfernung
RETURN
PROCEDURE jd //Julianisches Datum
f=a+(m<3)
f1=INT(f/100)
f2=2-f1+INT(f1/4)
f=1720994.5+d+FIX(30.6001*((m-12*(m<3))+1))+FIX(f*365.25+(f<0)*0.75)
f=f-(f>=2299160.5)*f2
RETURN

Divisionen brauchen gegenüber Multiplikationen wesentlich länger. Ein i486 Prozessor benötigt für 1 Mio. Floating-Point-Multiplikationen/-Divisionen 2.6 Sek/22 Sek. Bei Divisionen mit einer Konstante x, ist die Multiplikation mit dem Kehrwert 1/x schneller. Die Integer-Addition statt Floating-Point-Addition rechnet sich zumeist.
Die float Konstante der Form “x=10.23f;” ist schneller (z. B. OpenGL glColor3f(GLfloat,GLfloat,GLfloat); glColor3f (1.0f,1.0f,1.0f)), ansonsten die Konstante x=10.23 (ohne f ) zu double (doppelte Genauigkeit) konvertiert. Mit dem Zusatz “f” oder “F” erzwingt man eine Konstante einfacher Genauigkeit und mit dem Zusatz “l” oder “L” eine vom Typ long double. Bei heutigem Coprozessor lohnt sich das Ersetzen einer Floating-Point Multiplikation durch eine Integer-Multiplikation zumeist nicht. Auf vielen 32-Bit Rechnern, die intern mit 64-Bit rechnen, erfolgt die Floating-Point-Divisionen mit double-Werten wesentlich schneller als die von float-Werten. Besonders auf 64-Bit Rechner sollten daher float-Werte als double deklariert werden.
Mit Intel’s Streaming SIMD Extension können in einem Zyklus 4 Floating-Point-Multiplikationen oder Additionen berechnet werden. Die 64 Produkte und 48 Summen einer 4x4 Matrix, reduzieren sich mittels SIMD (single instruction multiple data) auf 16 Multiplikationen und 12 Summen.  

Rundungsfehler

Die Dualzahlen-Arithmetik (Ziffern 0 und 1) beinhaltet eine gewisse Problematik. Auf Grund endlicher Stellenanzahl der Fließkomma-Arithmetik sind z. B. alle periodischen und nicht-periodischen Brüche (1/3 = 0.3333333, 1000000000000.75 = Auslöschung 1000000000001) nicht genau darstellbar. In langen Rechnungen mit wenigen signifikanten Stellen, können sich daher Abbrech- u. Rundungsfehler in den letzten Stellen aufsummieren. Einige Hochsprachen-Interpreter (BASIC, PASCAL, FORTRAN) arbeiten darum mit einfacher u. doppelter Stellanzahl (ATARI-GFA-BASIC 3.0 rechnet 13stellig, OMIKRON-BASIC für ATARI ST 9.5 oder FORTRAN-Compiler  Stellen (einfache Genauigkeit), 18-19 Stellen (double precision).
Addition und Subtraktion großer, nahezu gleicher Zahlen, ergeben Differenzen mit nur wenigen Nachkommastellen. Die Unterdrückung letzter Stellen kann zur gegenseitigen Auslöschung führen.
a=10000000002.15, b=1.55, c=10000000000.19; a+b-c = 3.510009765625; a-c+b = 3.510021972656. Differenz 0.000012207. Einfache algebraische Umformungen beeinflusst daher die Genauigkeit.
Intern speichert der Rechner alle Zahlen im Zweier- bzw. Dualsystem. Der Rechner vermag daher gewisse Zahlen nicht exakt darzustellen (z. B. dezimal 0.1 = dual unendlicher Bruch 0.000110011...; PRINT 10000.1-10000 = 0.1000000000349).

Schleifen funktionieren deshalb ebenfalls nicht ganz exakt:
FOR n=1 to 1000 STEP 0.1
PRINT n
NEXT n

a=100, b=12, c=12; 100 =a/b*c; 0.694444 = a/(b*c) = b*c/a. Zwei Fließkommavariable sollten somit nie mit dem Operationszeichen (=) auf Gleichheit geprüft werden (x=y), sondern auf kleiner als etwa <1E-08 (Maschinengenauigkeitswert): PRINT 1.000000000001=1 = 0 logisch falsch. PRINT (1.0000000000001=1 )<1E-08 = -1 logisch wahr (in GFA-BASIC u. C++ mit Gleichheitsoperator = = berücksichtigt, statt mit dem Zuweisungsoperator = ).

Der Globus rechnet in der C++ Spezifizierung lt. der Datei FLOAT.H mit double und long double DBL_MANT_DIG= 53, LDBL_MANT_DIG=64 Bit Stellen der Mantisse. DBL_DIG = 15, LDBL_DIG = 18 Stellen Genauigkeit. Zahlenbereich double: DBL_MIN ±2.22507E-308 bis DBL_MAX ±1.797693E+308, long double: LDBL_MIN ±3.362-4932 bis DBL_MAX ±1.8973149E+4932. In den Grundrechenarten unsterstützen die Compiler Visual C++ und C++ Builder den Datentyp long double nicht mehr auf 19stellige Genauigkeit. Die Rechengenauigkeit dieser C++ Compiler beträgt daher max. 15-16 Stellen (leider fehlt eine entsprechende Compiler-Option die dem Anwender die Wahl lässt). Ensprechend im C++ Code integrierte Assemblerroutinen rechnen mit dem Koprozessor jedoch auch hier auf 18 Stellen genau. Die math. Funktionen (Winkelfunktion) vom Typ long double des C++ Compilers sind jedoch nach wie vor mindestens auf 18 Stellen genau.

Grad- u. Bogenmaß

Die Konstante p (Ludolfsche Zahl Pi = 3.14159265359) geht in Rechnungen oft ein. Allgemein wird in Kreiseinheiten gerechnet: 1r = 360° (Grad). 0.45236r* 360° = 162.8496°. Dies erfordert eine hohe Stellenanzahl, weshalb auf 1 Kreiseinheit (360°) reduzierd wird: 1628.4°/360° = 4.5233333r = Bruchteil 0 .523333° * 360° = 188.4°.
Funktion definieren (GFA-BASIC): DEFFN k(x)=x-INT(x/360)*360: FN k(x) oder DEFFN k(x)=FRAC(x/360)*360-(x<0)*360. Kreisradius 1 rad 57.29577951308°*2*PI = Umfang 360 Grad. 1 Grad (°) ist der 1/360 Teil eines Vollkeises. Grad- u. Zeitangaben entweder im Dezimalsystem (Basiszahl 10) oder im Sexagesimalsystem (Basiszahl 60). Dezimal 124.6789° = sexagesimal 124°40'44.04'' (40.734' = 0.6789° * 60'; 44.04'' = 0.734' * 60''). Sexagesimal 124° (Grad) 40' (' = Bogenminuten) 44.04'' ('' = Bogensekunden) = dezimal 124+40'/60'+44.04''/3600'' = 124.6789° (1° = 60' = 3600'' = 60*60'').
Winkelbogenbezeichnungen (°,','') sollten mit Zeitbezeichnungen (h = Std., m = Minute u. s = Sek.) nicht kombiniert bzw. verwechselt werden.

1 Radiant = 1 rad = Winkel vom Bogenmaß: 1 rad 57.2957795131° = 180°/o. 1 rad = 57.2957795131° * 60´ = 3437.74677078´ = 1 rad 57.2957795131° * 60´ * 60´ = 206264.806247´´. 1° = 0.01745329251 rad = o./180°. 1° = 60´ = 3600´´. DEFFN rad(x)=x*(o/180), FN rad(x)=Umwandlung Grad in rad. DEFFN deg(x)=x*(180/o ), FN deg(x)=Umwandlung rad in Grad; C/C++ Grad in Rad: #define DEGTORAD(x)((x)*(3.14159265/180.0)).

Apparatesteuerung

Dazu zählt u.a. die Ansteuerung der Teilkreis- bzw. Achsen-Motoren des Teleskops und Beobachtungskuppel zur automatischen Einstellung von Himmelsobjekten, sowie lichtelektrische Messungen (Photometer) und Nachführsysteme.
Der Profi wird die unmittelbare Himmelsbeobachtung vorziehen. Wer jedoch die Direktbeobachtung bei ungünstigen Witterungsverhältnissen scheut, kann ein Video-CCD-Robotor-Teleskop selber bauen, und in der gemütlichen Stube die per Tastatur eingestellten Objekte des Sternenhimmels am Monitor des PC bewundern bzw. auf Videoband aufzeichnen. Spezielle Astro-Video-CCD-Kameras oder Bildverstärker sind im Fachhandel erhältlich (s. Sterne und Weltraum, Heft 1/997, S. 51; Internet-Recherche:
http://home.t-online.de/home/s-haas/CCDCam.htm; http://www.joki-foto.de/astroshop/g87g.htm;http://www.patania.de/artikel/ccdk.htm).
Gegenüber der visuellen Beobachtung sind bereits auf den durch handelsübliche CamCorder aufgezeichneten Videobildern viel mehr Details auf Sonne, Mond und Planeten auszumachen (evtl. durch entsprechende Kontrastregelung des Monitors bzw. spezielle Bildbearbeitung:
http://www.videoastronomy.org; http://www.astromanie.de/; http://home.t-online.de/home/interarchiv-software/astro.htm; http://www.starlight-xpress.co.uk/; http://www.ing-brandtner.de/; http://www.fli-cam.com/; http://astrosurf.com/legaul; http://www.fortunecity.com/victorian/canterbury/222/astrovid.htm ).

Einer Teleskop-Montierung mit bereits integrierter Motorsteuerkarte und Interface (elektronische Schnittstelle Seriell, Parallel, RS-232), liegt meist ein Steuerungsprogramm für die Nachführmotoren bei, dem lediglich noch die von der Spacglobe angegebenen Objektkoordinaten (Höhe und Azimut oder Rektaszension und Deklination) übergeben werden. Statt eines Okulars kann der Bildsensor einer preiswerten WebCam (
http://www.astrocam.org/ ; http://www.astrosurf.com/cidadao/quickcam.htm; http://www.otte.net/astro/astrowebcam01.html ), die statt eines einfachen CMOS- ein CCD-Chip enthalten sollte, dienen (http://astrofotografie.cjb.net/ ; http://astrovp.free.fr/traitement.htm; http://home.pages.at/astrofan/ ; http://www.buk.ktn.gv .at/sterne/stwelt/webcam.htm; http://www.quickastro.de/quickastro.htm; http://www.astronomie2000.de/)

Fachliteraturhinweis: Trueblood/Genet , Microcomputer Control of Telescope. Willmann-Bell, Inc., P.O. Box 35025, Richmond, Viginia 23235. In früheren Ausgaben werden allerdings wesentlich mehr Schaltungen
für diverse Computerplattformen vorgestellt; denn fertig zu kaufende Motorsteuerkarten waren für PC bzw. Home-Computer anfangs noch Mangelware.

Fachartikel: P. Höbel, Photoelektrische Nachführsysteme. Sterne und Weltraum, Heft 1973/7/8, S. 225

INSTRUMENTE


Teleskope

Ein gut korrigiertes Objektiv (Refraktor) ist für Präzessionsbeobachtungen und -messungen an den Körpern des Sonnensystems vorzuziehen. Lichtstarke Spiegelteleskope (Reflektoren) sind besonders gut für die Beobachtung von lichtschwachen Deep Sky-Objekten (Galaxien, Sternhaufen, Kometen usw.) geeignet. Die Eignung ist jedoch von der Dimension des Spiegels und Fangspiegels abhängig, welche die Bilddefinition maßgeblich beeinflußt - i.a. sind größere Spiegelteleskope wie Refraktoren allen Aufgaben gleichermaßen gewachsen.

Die interessanten Fachzeitschriften (Sterne und Weltraum [http://www.mpia-hd.mpg.de/suw/ SuW/SuW- News/News/n004/SuW-News.html] , Sky and Telescope [www.SkyandTelescope.com], Die Sterne u.a.)  enthalten u.a. auch zahlreiche Informationen (Zeiss, Takahashi, Celestron, Meade, Kosmos-Astrogeräte u.v.a.) über ausgezeichnete Instrumente und Zusatzapparate.
Preisgünstige Fernrohre für den Beginner
&: E. Remmert, Das Siberia 110 - ein bemerkenswertes Spiegelteleskop für Anfänger. Sterne und Weltraum, Heft 11/1997, S. 992-997. Sterne und Weltraum, Heft 1/1998, S 89; Heft 5/1997, S. 418; Heft 7/1997, S. 618.
K.-L. Bath, Billigste Spiegelteleskope. Sterne und Weltraum, Heft 1/1997, S. 69-71.
Fa. Baader Planetarium, D-82291 Mammendorf: Schutzbauten, Kuppeln, Teleskope und Zubehör.

Der Profi wird bei einigem Kunstgeschick und genügender Sachkenntnis den Selbstbau von Teleskopen, Montierungen und Kuppeln bevorzugen  &:
H. Rohr; Das Fernrohr für Jedermann. 7. Auflage. Orell Füssli Verlag Zürich und Schwäbisch Hall 1983.
A. Staus; Fernrohrmontierungen und ihre Schutzbauten für Sternfreunde. UNI-Druck, München 1959.
H. Oberndorfer; Fernrohr-Selbstbau. Sterne und Weltraum Taschenbuch Nr. 1. Dr. Vehrenberg GmbH, Portiastr. 10, 81545 München.
K. Wenske; Spiegeloptik. Sterne und Weltraum Taschenbuch Nr. 7.
U. Laux; Astrooptik. Sterne und Weltraum Taschenbuch Nr. 11.
J. Waggershauser; Selbstbau einer Deutschen Montierung. SuW, Heft 7/1997, S. 684-687.
H.R. Suiter; Star Testing Astronomical telescopes.Willmann-Bell, 1994.
J. Dragesco; High Resolution Astrophotography. Cambridge University Press, 1995.
C. Buil; CCD Astronomy. Willmann-Bell, 1991.
H.R. Rutten/M.v.Venrooij; Telescope optics. Willmann-Bell, 1988.
J. Texereau; How to make a telescope. Willmann-Bell, 1984. Collimation optischer Systeme.
N. Stapper; Bims, Beton, Bitumen: Der Bau meiner Sternwarte. Sterne und Weltraum 5/1997, S. 483-485.

Zubehör für den Fernrohr-Selbstbau und Spiegelschleifer (Duran- u. Zerdodur-Rundscheiben, Polier und Schleifmittel) bei Moestein-Optik, W. Mönch, Astronomische Bauelemente, Wört/Ostalb. Materialzentrale der Vereinigung der Sternfreunde. Schleifmaschinen-Angebote u.a. in Sky and Telescope.

Auktionen rund um optische Instrumente (Kamerahalterung, Teleskope) bei eBay (Kategorie Optik zum Thema Foto):
www.ebay.de.

http://www.gerd.neumann.net/
http://www.minutella.ch/atm/index.html
http://www.upb.de/StaffWeb/jogger/astronomy/

Fernrohrzusatzapparate

Mikrometer-Hersteller

Fadenmikrometer stellen her:
RETEL Electro-Mechanical Design
Units 4 & 5 Abingdon Road Nuffield Industrial Estate
Poole Dorset BH17 OUG
England

Wahlweise mit 18- oder 27 mm-Kellner-Okular, aber eine Anpassung an andere geeignete Okulare ist möglich, die man an den Hersteller schickt (bis f=12 mm Okularbrennweite).
Die aus Wolfram bestehenden Fäden sind 0.012 mm stark, die eine recht lange Haltbarkeit gewährleisten. Damit erscheinen sie im Fernrohr mit F=2000 mm Brennweite 1.24'' Bogensekunden breit [=((0.012*(180/PI )/2000)*3600'']. Eine Barlowlinse verdoppelt oder verdreifacht die Primärbrennweite, wodurch 0.62'' bzw. 0.41'' Fadendurchmesser erreicht werden können. Der Vergrößerungsfaktor steigt allerdings ebenfalls um das 2- bzw. 3-fache: F=1000 mm mit Barlowlinse 3x = F=3000 mm / f=18 mm Ouklar = Vergrößerung bereits 167fach. Bei dieser Fadenbreite ist es vielleicht zweckmäßiger Fadenranddistanzen zu messen. Gute mechanische Ausführung (Metallgehäuse), besonders der Mikrometerschraube.

M. Möller stellt in Das Positionsfadenmikrometer in der Praxis, Sterne u. Weltraum, 3/1986, S. 157-161, ein Instrument vor, das die Fa. Ron Darbinian, 1681 12th St., Los Osos, CA 93402 herstellt. Ablesung der Meßtrommel auf ±0.001 mm. Okular f=12 mm Brennweite. Positionskreis 76 mm Radius. Preis $695 ppd USA (Digital model $1500 ppd USA). Die anzufordernde Free broschure enthält nähere Einzelheiten.

Das Digital-Mikrometer von Conrad-Electronic besitzt einen Meßbereich von 0-25 mm bei 0.001 mm Auflösung. Die preiswerte Mikrometerschraube ist zum Selbstbau eines digitalen Positionsfadenmikrometers ausgezeichnet geeignet (vgl. G.D. Roth, Handbuch für Sternfreunde. 2. Aufl., Springer-Verl., Berlin 1967, S. 70-71).

Ein Bifilar Micrometer bietet die Fa. Van Slyke Engineering, 12815 Porcupine Lane, Colorado Springs, CO 80908, USA, an (http://www.observatory.org/bfm.htm).

Beleuchtete Fadenkreuzokulare: Sky & Telescope, 7/1990, p. 51. Micro Guide Okular (Meßfeldokular mit intergrierter Beleuchtung) der Fa. Baader Planetarium, 82291 Mammendorf.
Die Fa. Walter Uhl, Techn. Mikroskopie, Loherstr. 7, D-35614 Asslar, produziert Schraubenmikrometerokulare, und die Fa. Helmut Hund GmbH, Wilhelm-Will-Str. 7, D-35580 Wetzlar, Okulare mit Mikrometerteilung.

Bauanleitung Objektivgittermikrometer: C.M. Pither, Measuring dbl. stars with a grating micrometer. Sky and Telescope, June 1980, p. 519-523.
Das leicht selbst herstellbare Objektiv- bzw. Brechungsgittermikrometer ist allerdings nur für die Positionswinkel- und Distanzmessung von Doppelsternen, Kleinplaneten und Planetarmonden geeignet. Versierte Beobachter erreichen mit dem vor dem Objektiv angebrachten Gitter aus zugeschnittenen Pappstreifen ±0.3 % Meßgenauigkeit. Ein teures Positionsfadenmikrometer ist bei Anschlußmessungen daher nicht unbedingt notwendig.

Mikrometerplättchen für Okularblenden vertreibt die Fa. Dr. Heidenhain, Postf. 1260, 83301 Traunreut.
Webb Scociety Deep Sky Observers Handbook Vol. 1, Double Star (Willmann-Bell Inc., Richmond, Virginia, USA), enthält eine leicht selbst zu bauende Winkelmeßanordnung.
Eine weitere Bauanleitung findet sich bei Ingalls, A.G.: Amateur Telescope Making, Book II, S. 447ff. New York: Scientific American 1953 (s. Sterne und Weltraum, Heft 12/1996, S. 981). J. Polman, A Homemade Filar Micrometer, in Gleanings for ATM's, Sky and Telescope, May 1977, p. 391. C.E. Worley, The Construktion of a Filar Micrometer, Sky and Telescope, Sep. 1961, p. 140.

Ein Doppelbildmikrometer fertigt:

MECA - PRECIS
Zone Industrielle des Sables de Beauregard
36700 Chatillion sur Indre
Frankreich

Jedes Okular einsetzbar. Weite Distanzen können damit leider nicht gemessen werden. Bei F=1000, F=3000 und F=6000 mm Brennweite liegt das Meßfeld bei 36'', 12'' u. 6''. Preis ca. 2500 DM. Beschreibung bei W. D. Heintz, Doppelsterne, Handbuch für Sternfreunde, S. 395-406, 2. Aufl., Springer-Verlag 1967. Mißt sehr kleine Winkel viel präziser als ein Fadenmikrometer.

Großer Koordinatenmeßtisch der Fa. Wild Heerbrugg AG, CH-9435 Heerbrugg/Schweiz (s. Sterne und Weltraum, Heft 8/99, S. 711). Präzisionswinkelmeßgeräte (Theodoliten u.a.)

Ferner sei auf die in der Vermessungskunde (z. B. Fachliteratur Geodätische Astronomie) verwendeten und beschriebenen prof. Instrumente (Theodoliten, Astrolabien, Mikrometer und Zeitmeßgeräte) hingewiesen.

CCD-Astro-Kamera

Die digitale Astro-Photographie mit einer am Fernrohrtubus anschraubbaren CCD-Kamera, ermöglicht hochpräzise Ausmessungen (Astrometrie, Photometrie u. evtl. Spektroskopie) aufgenommener Objekte am Computer durch komfortable Bildbearbeitungsprogramme (liegen der Kamera meist bei). Die Helligkeiten und Positionen auf CCD-Aufnahmen können auf 0.01 mag und 0.02'' genau oder besser vermessen werden (Sky & Telescope, Heft 3/91, S. 257ff).
Vgl. PC-Bildverarbeitungsprogramme für den Amateur, Sterne und Weltraum, Heft 12/1995, S. 930-939; Bildverarbeitung mit der CCD-Kamera, Sterne und Weltraum, Heft 8-9/1996, S. 680-684.

Die Entstehung eines CCD-Bildes,  Sterne und Weltraum, Heft 12/1991, S. 760ff; Neue Verarbeitungstechniken für CCD-Bilder, Sterne und Weltraum, Heft 4/1994, S. 311ff.
Fachliteratur (Verlag Willmann-Bell, Inc., P.O. Box 35025, Richmond, Virginia 23235 USA (
www.willbell.com) - dt. Anbieter: Verlag Vehrenberg KG, Postf. 140551, D-40075 Düsseldorf (www.Vehrenberg.de):
Buil, CCD-Astronomy.
R. Berry, Intro. to Astro. Image Processing [inkl. Diskette mit Quick-Basic-Quellcode des Progr. AIP - Quick Basic ist Bestandteil des Betriebssystems Windows 9x/ME - enthalten auf der Windows-CDROM im Ordner OLDMSDOS].
Lindley, Practical Image Processing.
Pratt, Digital Image Processing.

CCD-Astronomie (Apparatesteuerung)

Die weitere Auswertung erfolgt am besten mit dem kostenfrei erhältlichen Bildbearbeitungsprogramm MIDAS (Munich Image Data Analysis System) der Europäischen Südsternwarte ESO (Internet: http://www.hq.eso.org/midas-info/midas.html).
MIDAS läuft mit dem Betriebssystem LINUX und besitzt eine Länge von ca. 14 MB (davon 6 MB Dokumentation)
.

Alle Rechte vorbehalten (all rights reserved), auch die der fotomechanischen Wiedergabe und der Speicherung in elektronischen Medien, Translation usw. Dasselbe gilt für das Recht der öffentlichen Wiedergabe. Copyright © by H. Schumacher, Spaceglobe

 

Sternbeobachter - Sterntagebuch - Produktinformation - www.spaceglobe.de