Parallellinienmethode

Der Engländer Pogson wandte vor über 100 Jahren die folg. Parallellinienmethode bei symmetrisch bzw. asymmetrisch verlaufenden Lichtkurven mit flachen Maxima und Minima (Mira-Veränderliche) an.

Punkte gleicher Helligkeit werden auf beiden Kurvenästen zu einer Linie verbunden (Fig. 24) und der Mittelpunkt der Linie markiert. Die durch die markierten Mittelpunkte gezogene Kurve (Kurvenlineal) schneidet die Lichtkurve am wahrscheinlichsten Minimum- bzw. Maximumzeitpunkt.

Regression eines Polynoms 2. Grades. Verlaufen die Schätzpunkte spitz und symmetrisch, kann der Maxima- oder Minima-Zeitpunkt durch eine Ausgleichskurve bestimmt werden: mag=a+b*t+c*t2; mag=Helligkeit, t=Beobachtungszeit.
Regression eines Polynoms 3. Grades. Verlaufen die Schätzpunkte spitz u. asymmetrisch, ist ein Polynom 3. Gades anwendbar: mag=a+b*t+c*t 2+d*t3.



Zwei-Geraden-Lichtkurve

Bei linear angeordneten ab- und ansteigenden Schätzpunkten wird durch die Punkte eine Ausgleichsgerade gelegt. Der Schnittpunkt der zwei Geraden legt den Minimums- bzw. Maximumszeitpunkt fest. Fig. 25.



Transformation des Kalenderdatums in julianisches Datum (JD) vice versa

Kalenderdatum: 10.925 Dez. 2010 = JD 2455541.425.

Lichtwechselelemenet von Beta Persei (Algol): Minima jd=2450461.46+2.8673075*E. Nach diesen Elementen war vor E -2549 Perioden Algol lt. Globus am 9.1.1977 um 5h36m MEZ im Minimum. E 2 Perioden = Minimum Algol am 2.03115 Febr. 1997 um 0h45m UT = 1h45m MEZ (0.03115*24 = 0.7476 Std. UT; 0.7476*60 Min. = rund 45 Min.  [Lichtzeitkorrektur heliozentrisch in geozentrisch Zeit vernachlässigt}).



Bestimmung der Lichtwechselperiode

Zuerst wird man anhand der Beobachtungen und der daraus erstellten Lichtkurve feststellen, ob der Lichtwechsel zwischen zwei Maxima (Minima) regelmäßig periodisch verläuft. Das ist bei vielen Gruppen der veränderlichen Sterne der Fall, so bei den Algolvertretern (Bedeckungssterne), Delta-Cephei-Sterne u. die mit ihnen verwandten RR-Lyrae-Sterne (Pulsationsveränderliche). Die langperiodischen Pulsationsveränderlichen (Mira-Sterne) sind zwar noch periodisch, fluktuieren aber stark mit der Zeit oder zeigen Tendenzen einer langsam ab- oder zunehmenden Periode. Die Periode des Mira-Sterns Chi Cygni schwankt innerhalb der Schranken 403 und 412 Tagen mit der Tendenz einer langsamen Periodenvergrößerung. Manche dieser Veränderlichen zeigen zudem Schwankungen in der Amplitude und Form der Lichtkurve. Die Maxima- oder Minima-Zeitpunkte lassen sich häufig nicht durch mittlere Lichtwechselelemente darstellen.

Die meisten Cepheiden besitzen eine streng konstante Periode. Bei d-Cephei stellt man hingegen eine langsame Periodenverringerung fest. d-Cephei (Sternbild des Cepheus) ist ohne optische Hilfsmittel mit bloßem Auge zu beobachten und dient noch immer vielen Beginnern als Schulstern der Veränderlichenbeobachtung. Visuelle Amplitude 3.48mag - 4.37mag. Periode 3.566341d Tage. Epoche Maximum JD 2450473.34 = 24.1.1997, 21h10m UT heliozentrische Lichtwechselelemente: JD Max. = JD 2450473.34 + 5.366341 * E.

Man schätzt den Veränderlichen visuell 1-2 mal pro Nacht. Geeignete Vergleichssterne sind (bei weiten Abständen tritt die differentielle Extinktion in Erscheinung): e Cephei: V=4.19mag (UBV-System. V=visuelle Helligkeit), Spektrum F0; f (Zeta) Cephei V=3.35mag, K1; m (Ny) Cepheus: V=4.29mag, A2; n (Xi) Cepheus (Kurhah genannt): V=4.29mag, A; i (Iota) Cephei: V=3.52mag, K1; a (Alpha) Lacertae (Sternbild der Eidechse): V=3.77mag, A2.

Liegen etwa 50 Beobachtungen vor, reduziert man diese auf eine in der Mitte des Beobachtungszeitraums gelegene Periode. Das Minimum der Lichtkurve verläuft bei Pulsationsveränderlichen in der Regel wesentlich flacher, so daß für Periodenbestimmungen die wesentlich spitzeren Maxima herangezogen werden sollten.

Die Periode des Bedeckungsveränderlichen (Typ EB) Beta-Lyrae (Sheliak genannt) verlängert sich langsam: Periode um 1855 = 12.908 Tage, um 1997 = 12.938 Tage.

Man schätzt den Stern 1-2 mal pro Nacht. Visuelle Amplitude 3.34-4.34 mag. Periode z. Zt. 12.938040 Tage. Lichtwechselemente: Epoche Minimum JD 2450452.53 = 4.1.1997, 1 h45m UT heliozentrisch; JD Minimum=JD 2450452.53+12.938040 Tage * E (E=1,2,3,..., abgelaufene Minima bzw. Epochen).
Geeignet sind die Vergleichssterne:
c Lyrae: V=3.24mag, Spektrum B9; | (Kappa) Lyrae: V=4.33mag, K2; h (Theta) Lyrae: V=4.36mag, K0; n (Xi) Herculis: V=3.70mag, K0; h  (Theta) Herculis: V=3.86mag, K1.

Liegen etwa 50 Beobachtungen vor, reduziert man diese auf eine in der Mitte des Beobachtungszeitraums gelegene Periode (siehe Normalichtkurve bzw. mittlere Lichtkurve). Bedeckungssterne besitzen i.a. lang anhaltende Maxima mit konstanter Helligkeit, so daß in den meisten Fällen nur die Minima verwendbar sind.

Die Lichtausbrüche eruptiver Veränderlicher ist unberechenbar. Der hellste Vertreter der U Geminorum-Sterne ist SS Cygni, dessen Helligkeit alle 30-80 (im Durchschnitt alle 50) Tage spontan von 14.2 auf 8.2 Größenklassen steil ansteigt und langsam abflacht, falls dieser Sterntyp nicht unmittelbar hintereinander ausbricht.

Der Zeitraum zwischen zwei Maxima (Minima) ist die Lichtwechselperiode. Die Anzahl E-Maxima (E-Minima) umfaßt somit ganzzahlige Epoche-Perioden (E=1,2,3.. usw.). Zur Periodenbestimmung müssen daher eine genügend große Anzahl beobachteter periodischer Maxima (Minima) vorliegen, andernfalls die Bestimmung problematisch werden kann, da auch Scheinperioden einen Lichwechselzyklus häufig ausreichend genau wiedergeben können.

Die in den Katalogen verzeichneten Perioden sind entweder Mittelwerte längerer Beobachtungszeiträume oder der angegebene Periodenwert stützt sich auf vorläufige Beobachtungen bzw. Elemente.



Fourier-Analyse

Die BAV-Rundbriefe berichten oftmals über PC-Programme zur Periodensuche des Lichtwechsels, vielfach unter Anwendung der Fourier-Analyse. Entsprechende Software für die Betriebssysteme Windows 95, UNIX oder LINUX vermittelt die BAV, Munsterdamm 90, Berlin..

Eine genäherte Periode erhält man, wenn der Zeitraum zwischen des ersten und letzten beobachteten Maximums oder Minimums durch die Anzahl der dazwischenliegenden Maxima oder Minima dividiert wird: P=dt/E; dt=Zeitraum in Tagen zwischen der ersten (JD1=To) und letzten (JD2=T) beobachteten Hauptphase (dt=T-To); E=Anzahl der dazwischenliegenden Hauptphasen (E= ganzzahlige Vielfache der Periode); P=mittlere Periode dieses Zeitraums.



Ermittlung der Lichtwechselelemente durch Least-Square-Fits

Vorläufige Lichtwechselelemente: Minimum (Max.) Rechnung (heliozentr.) = To + P * E; To oder Eo (Epoche Null) = Ausgangsepoche eines ersten Maximums oder Minimus; E=Zahl der seit der Ausgangsepoche [-maximum/-minimum] vergangenen ganzzahligen Perioden bzw. Epochen, P=Periode.

Um die endgültigen Elemente des Lichtwechsels zu erhalten, ist das Beobachtungsmaterial nach der Methode der kleinsten Fehlerquadratsumme auszugleichen.

Bedingungsgleichung (p=Gewicht der Beobachtung):

Åp B-R=Åp ÕEo + Åp Õ P*E (Lineare Regression). Verbesserung der vorläufigen Elemente: Eo=Eo+ÕEo; P=P+ÕP; B-R = Beobachtung minus Rechnung (O-C = observation-calculation).

Beträgt die Differenz (B-R in Tagen) zwischen den beobachteten (B) und berechneten Hauptphasen (R) weniger als 1/15 der Periode, wird die vorläufige Periode P als Näherungswert angenommen.

Natürlich kann man auch direkt ausgleichen: Åp mal JD Veränderlichen-Maximum (-Minimum) beobachtet (heliozentr.) = Åp Eo + Åp P*E (Ausgangsepoche und Periode sind sofort verfügbar).

Quadaratische, kubische oder periodische Zusatzglieder. Ob die Ausgleichsrechnung durch Zusatzglieder erweitert werden kann, ist aus dem B-R Diagramm ersichtlich. Falls daraus hervorgeht, daß der Lichtwechsel nicht durch einen streng konstanten Periodenwert P darstellbar ist, können folg. Zusatzglieder verwendet werden.

Bedingungsgleichung (p = Gewicht der Beobachtung):

Polynom 2. Grades:  Å p mal JD Veränderlichen-Max. oder -Min. beobachtet (heliozentrisch) = Åp a+ Åp b*E+ Åp c*E2.

Normalgleichung:

    p a +    [px]   b +   [pxx]   c = [py]
[px] a +  [pxx]  b +  [pxxx]  c = [pxy]
[pxx] a + [pxxx] b + [pxxxx] c = [pxxy]

Akkumulation:
[px]  =
S p1*x1+p2*x2+p3*x3+p4*x4...
[pxx] =
S p1*x1*x1+p2*x2*x2+p3*x3*x3...
usw.

Polynom 3. Grades: Åp mal JD Veränderlich-Max. oder -Min. beob. (helioz.) = Åp a+ Åp b*E+ Åp c*E2+ Åp d*E3

Normalgleichung:
      p  a +      [px]  b +       [pxx] c +      [pxxx]  d = [py]
   [px] a +     [pxx] b +     [pxxx] c +     [pxxxx] d = [pxy]
 [pxx] a +   [pxxx] b +   [pxxxx] c +   [pxxxxx] d = [pxxy]
[pxxx] a + [pxxxx] b + [pxxxxx] c + [pxxxxxx] d = [pxxxy]

Zyklisch verlaufende Periodenänderung: Å p mal JD Veränderlichen-Max. oder -Min. beob. (helioz.) = Åp a+ Åp b*E+ Åp c*I.
I=SIN((PI*2/n)*E+phase); c=halbe Amplitude (in Tagesbruchteile) der Schwingung, n=Wellenlänge der Sinuskurve in Grundperioden, phase=Phase (in rad) der Sinusschwingung zur Epoche (Abszisse) Null (die entsprechenden Werte werden an der Sinuskurve des B-R Diagramms abgegriffen).

 Normalgleichung (die Minima werden analog berechnet):
    p  a +   [pE]  b +   [pI]  c = [p*max]
[pE] a +  [pEE] b + [pEI] c = [p*E*max]
 [pI] a +   [pEI] b +  [pII] c = [p*I*max]

Lichtwechselelemente Zeta Geminorum mit periodischem Zusatzglied: JD max=JD 2410638.86+10.1538*E+1.05d*sin(0.07*E+112°).

Die Wellenlänge der Sinusschwingung erreicht hier n=5143 Grundperioden (E) zu je P 10.1538 Tagen: 0.07 Grad = 360/5153; die Amplitude der über 5143 Perioden gehenden Sinusschwingung der B-R Kurve = 1.05 Tage. 1,2,3 Nullstelle der  Sinusschwingung = phase +0,180,360 Grad (=+0,PI,PI*2 rad).

Liegen mehrere Maxima oder Minima zu Normalmaxima oder -minima zusammengefaßt oder mit verschiedenen Methoden durchgeführte Beobachtungen vor, können die Beobachtungen wiederum gewichtet werden (p=Gewicht; keine Wichtung p=1 setzen). Lichelektrische Beobachtungen erhalten eine höheres Gewicht, als photographische und diese ein etwas höheres Gewicht als visuelle.

Numerisches Beispiel.

Folg. Minima von b-Lyrae nach Rocznik 1974. Zwischen 2440052.254 und 2439935.86 liegen 9 Minima bzw. Epochen bzw. Perioden. (= mittlere Periode 12.9327 Tage). 2400000 subtrahieren, um die Abrundungsfehler klein zu halten.

JD 2439935.86     E 0  (Epoche)
JD 2439948.793   E 1
JD 2439974.658   E 3
JD 2439987.591   E 4
JD 2440000.524   E 5
JD 2440026.389   E 7
JD 2440039.322   E 8
JD 2440052.254   E 9

Man steigert und verbessert die Genauigkeit der Elemente, wenn das gesamte vorliegende Beobachtungsmaterial in die Ausgleichsrechnung einbezogen wird. Elemente, die dagegen aus wenigen Minima (Maxima)  für kurzfristige Vorhersagen berechnet werden, nennt man instantane Elemente.

Die Ausgleichsrechnung ergibt die mittleren Lichtwechselemente: JD Min = Ausgangsepoche JD 2439925.86 + Periode 12.9327*E.

REM GFA34  LICHTWECHSELELEMENTE
DIM p(20,20),ko(10),z(10),d(10),g(11)
REM BEOBACHTETE MINIMA (JD) VON BETA-LYRAE (+2400000 TAGE = JD)
d(1) = 39935.86   //BEDINGUNSGGLEICHUNG
d(2) = 39948.793  //39935.860=Eo+P*0  GEWICHT 10
d(3) = 39974.658  //39948.793=Eo+P*1  GEWICHT 10
d(4) = 39987.591  //39974.658=Eo+P*2  GEWICHT 10
d(5) = 40000.524  //usw.
d(6) = 40026.389
d(7) = 40039.322
d(8) = 40052.254
REM EPOCHEZAHL (E)
z(1) = 0
z(2) = 1
z(3) = 3
z(4) = 4
z(5) = 5
z(6) = 7
z(7) = 8
z(8) = 9
REM GEWICHT DER BEOBACHTUNG ------
g(1) = 10
g(2) = 10
g(3) = 10
g(4) = 5
g(5) = 5
g(6) = 3
g(7) = 3
g(8) = 2
REM ------------------------
n1 = 8 //EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN
REM NORMALGLEICHUNG FšR ZWEI UNBEKANNTE (LINEARE REGRESSION)
REM   p   Eo +  [px]   P = [py]
REM [px] Eo + [pxx]  P = [pxy]
p = 0
x = 0
y = 0
xx = 0
yy = 0
xy = 0
REM AKKUMULATION
FOR i = 1 TO n1
  p = p + g(i) //GEWICHT
  x = x + z(i) * g(i)            //[px]
  y = y + d(i) * g(i)            //[py]
  xx = xx + z(i) * z(i) * g(i)     //[pxx]
  xy = xy + z(i) * d(i) * g(i)
  yy = yy + d(i) * d(i) * g(i)
NEXT i
REM ---------------------
m = 2     //ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 2 //ANZAHL UNBEKANNTE
p(1,1) = p  //GEWICHT AKKUMULIERT
p(1,2) = x
p(1,3) = y  //RESIDUUM
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy     //RESIDUUM
GOSUB elim
REM KORRELATIONSKOEFFIZIENT (r = ;(&HF1);1 perfekte Anpassung, r=0 kein Zusammenhang zwischen x u. y)
k = (p * xy - x * y) / (SQR(p * xx - x * x) * SQR(p * yy - y * y))
REM REM MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT a = ko(1)
vv = ABS(yy - y * ko(1) - xy * ko(2)) //SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE
REM DIREKTE SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE
REM NACH DEN BEOBACHTUNGEN
vo = 0
FOR i = 1 TO n1
  vo = vo + (d(i) - (ko(1) + ko(2) * z(i))) ^ 2 * g(i)
NEXT i
s = SQR(vv / (n1 - 2))
mfa = s * SQR(xx / (p * xx - x * x))
mfb = s * SQR(p / (p * xx - x * x))
PRINT "KOEFFIZIENT a (AUSGANSGEPOCHE Eo).: ";ko(1);" JD"
PRINT "KOEFFIZIENT b (PERIODE P).........: ";ko(2);" TAGE"
PRINT "KORRELATIONSKOEFFIZIENT...........; ";k
PRINT "MITTLERER FEHLER DER EINZELMESSUNG: ";s;" TAGE"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT a....: ";mfa;"TAGE"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT b....: ";mfb;" TAGE"
PRINT "SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE: ";vv;" TAGE"
PRINT "SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE: ";vo;" TAGE"
KEYGET HALt%
END
PROCEDURE elim  //AUSGLEICHSRECHNUNG NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
  FOR j = 1 TO n - 1  //GAUSS ELIMINATION
    nr = j
    no = ABS(p(j,j))
    FOR i = j + 1 TO n    //ZEILENPIVOT
      noo = ABS(p(i,j))
      EXIT IF (noo - no) < 0
      no = noo
      nr = i
    NEXT i
    IF nr = j THEN
      GOTO jum1
    ENDIF
    FOR i = j TO m + 1
      no = p(nr,i)
      p(nr,i) = p(j,i)
      p(j,i) = no
    NEXT i
    jum1:
    FOR i = j + 1 TO m + 1   //ELIMINATION
      p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
    NEXT i
    FOR i = j + 1 TO n
      FOR k = j + 1 TO m + 1
        p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
      NEXT k
    NEXT i
  NEXT j
  ko(n) = p(n,n + 1) / p(n,n )  //RÜCKSUBSTITUTION
  j = n
  REPEAT
    j = j - 1
    ko(j) = p(j,n + 1)
    FOR i = j + 1 TO n
      ko(j) = ko(j) - p(j,i) * ko(i)
    NEXT i
  UNTIL j < 2
RETURN



Scheinperioden

Bei Serienbeobachtungen eines Objektes zur nahezu gleichen Zeit oder im fast gleichen Stundenwinkel (Meridian) treten Scheinperioden auf. Eine große Streuung der Beobachtungen um die mittlere Lichtkurve  könnte eine Scheinperiode anzeigen. Eine exakte Periodenbestimmung bei Veränderlichen (und Kleinplaneten) mit kleinen Perioden (um 0.5 Tage), ist durch Serienbeobachtungen über große Stundenwinkel hinweg möglich (Studenwinkel eines Objekts: t = Ortssternzeit minus Rektaszension).

Scheinperioden und wahre Perioden haben die Beziehung:

1 l 1/Pschein - 1/Pwahr

Scheinperiodenfamilien:

1/Pwahr  ± n = ± 1/Pschein (1,2,3,..., n)

Beobachtungsperiode und wahre Lichtwechselperiode können sich überlagern.

Mittl. Sonnentagsintervalle: 366.2422/365.2422 = 1.002738.
Synodische Mondintervalle: 1/29.53059 = 0.03386.
Tropische Jahresintervalle: 1/365.2422 = 0.002738.

Der GCVS u. auch andere Kataloge enthalten sicher viele Veränderliche mit noch unerkannten Scheinperioden. Der spezialisierte Amateurastronom kann die katalogisierten Lichtwechselelemente einmal durch systematische Serienbeobachtungen über große Stundenwinkel untersuchen und die Scheinperioden durch wahre Perioden ersetzen.

 



Normallichtkurve einer Einheitsperiode

Auf Vorschlag Argelanders erhalten Veränderliche ohne griechischen Kennbuchstaben zuerst lat. Großbuchstaben von R bis Z und die Abk. des Sternbildes. Bei mehr als 9 Veränderliche innerhalb der Sternbildgrenzen folgen Doppelbuchstaben (RR, RS, RT usw. bis RZ; SS, ST usw. bis SZ; TT, TU, TV usw. bis TZ; die Reihe endet mit ZZ), dann weitere Buchstabenkombinationen (nach ZZ kommt AA...AZ, BB...BZ usw. bis QZ) die insgesamt 334 Veränderliche pro Sternbild erfassen. Zusätzliche Veränderliche erhalten eine mit V beginnende Nummer (V 335, V 336 usw.). Daneben verwenden die Entdeckersternwarten eigene Bezeichnungen, z. B. Sternwarte Sonneberg: S 5220, Sternwarte Bamberg: BV 205, Harvard Sternwarte: HV 7700.

Liegen viele Beobachtungen mehrerer Monate eines periodischen Veränderlichen vor, werden diese zweckmäßig auf eine Periode reduziert, um die endgültige Lichtkurve zu erhalten. Das Verfahren ist natürlich nur bei Veränderlichen mit ziemlich regelmäßiger Periodenwiederholung praktizierbar.

Aus der Normallichtkurve kann der Zeitpunkt der Hauptphase (bei Bedeckungsveränderlichen auch der des Nebenminimums) abgelesen werden. Abweichungen der Form (Verhältnis von An- u. Abstieg, Steilheit) und Helligkeit (größe der Amplitude) lassen sich  durch Vergleich der Lichtkurven verschiedener Jahre feststellen. Für Bedeckungsveränderliche, Cepheiden, RR-Lyrae-Sterne ist die Normallichtkurve daher eines der wichtigsten sehr sorgfältig zu bestimmenden Elemente.

Die endgültige Lichtkurve kann erst eingezeichnet werden, wenn das gesamte Beobachtungsmaterial einer Ausgleichsrechnung unterzogen wurde und die Lichtwechselelemente (Ausgangsepoche und Periode) hinreichend genau bekannt sind.

Lichtwechselelemente: JDmaxi (JDmini) = Eo+P*E; Eo=Ausgangsepoche; P=Periode, E=Epoche.

Einheitsperiode: E+Phase = (JD-Eo)/P; E=ganzzahlige Epoche; Phase=Bruchteil der über 0-1 gehenden Einheitsperiode E (in Tagen = Phase*P); JD=Beobachtungszeit; Eo=Zeitpunkt (JD) des letzten Maximums bei Pulsationsveränderlichen bzw. Minimus bei Bedeckungsveräderlichen.



Diagramm Einheitsepoche

An der vertikalen Ordinate werden stets die Helligkeits- oder die Stufenwerte des Veränderlichen markiert, an der horizontalen Abszisse entweder die Bruchteile einer Periode (Phase 0.5...1...0.5) oder die Bruchteile der Einheitsperiode P in Tagen (Lichtwechselperiode z. B. P = 0 bis n Tage) oder das Julianische Datum (JD) zwischen einer Einheitsperiode (JD 0 P bis JD 1 P).

Numerisches Beispiel (Fig. 26). Die Elemente und Beobachtungsreihe basieren zur Verdeutlichung auf angenommene Werte. Lichtwechselelemente: max=Eo 2444960.593 + P 11.9315*E.

 Beobachtungsreihe:

                                                                  Einheitsepoche

JDbeob           Helligkeit/Stufe  P*E        JDred            phase     Tage
..................            ...               ..       ...................      ....        ....
2445757.55          7.1              +3    2445793.345    0.79     9.48
2445758.60          5.9              +3    2445794.395    0.88    10.50
2445770.59          5.8              +2    2445794.453    0.89    10.62
2445771.45          4.5              +2    2445795.313    0.96    11.45
2445783.60          4.1              +1    2445795.532    0.98    11.69
2445790.51          9.1 --------     0                            0.56     6.68
2445791.52          9.0                0                            0.64     7.64
2445793.45          7.1  Eine        0                            0.80     9.55
2445795.56          4.1  Epoche   0                            0.98    11.69
2445797.55          5.0                0                            0.15      1.79
2445799.44          8.1                0                            0.31      3.70
2445801.53          9.3 --------      0                            0.48     5.73
2445809.55          5.0                -1    2445797.619    0.15     1.79
2445811.57          8.3                -1    2445799.639    0.32      3.82
2445823.55          8.3                -2    2445799.697    0.33      3.94
2445836.40          9.4                -3    2445800.606    0.40      4.77
 .................            ...                  ..     .....................  .  ....        .....  usw.

Die hier wiedergegebene Normallichtkurve (Fig. 26) ist das Mittel aus 7 Epochen. E (67+68+69+70+71+72+73)/7 = mittlere ganzzahlige Epoche E 70.

Wie man nach Anwendung der Parallellinienmethode erkennen kann, fällt das Maximum auf die Phase 0.03. E 70 + Phase 0.03 = Epoche 70.03. JD 2444960.593+11.9315*E 70.03 = Normalmaximum JD 2445796.156. JDbeo = JD der beobachteten Helligkeit (oder Stufenwert) des Veränderlichen.

P*E = Epochedifferenz zwischen JDbeob und JD Einheitsepoche z. B. JDbeob 2445757.55+11.9315*3 = JDred 2445793.345 fällt dann in die Einheitsepoche (2445757.55-Eo 2444960.593)/P = E 66.7943 = ganzzahlige Epoche E = 66, Phase (Bruchteil der Epoche E) 0.7943 * P 11.9315 = Phase 9.48 Tage der Einheitsepoche.

Einheitsepoche: Differenz JD-JDo  und E*P addieren bzw. subtrahieren.

Wählt man z. B. JDo 2445790.51 zum Nullpunkt (Fig. 27):

                                                     Einheitsepoche

 JD beob        Helligkeit/Stufe      JD-JDo   P*E   Phase/Tage

...................              ...                  .....        ..      .....
2445757.55             7.1              -32.96     +3   2.84
2445758.60             5.9              -31.91     +3   3.89
2445770.59             5.8              -19.92     +2   3.9
2445771.45             4.5              -19.06     +2   4.80
2445783.60             4.1               - 6.91     +1   5.02
2445790.51             9.1 --------      0.00       0    0.00
2445791.52             9.0                 1.01       0    1.01
2445793.45             7.1 Einheits-   2.94       0     2.94
2445795.56             4.1 epoche     5.05        0    5.05
2445797.55             5.0                 7.04       0    7.04
2445799.44             8.1                 8.93       0     8.93
2445801.53             9.3 --------    11.02        0    11.02
2445809.55             5.0                19.04      -1    7.11
2445811.57             8.3                21.06      -1    9.13
2445823.55             8.3                33.04      -2    9.18
2445836.40             9.4                45.89      -3  10.10
...................              ...                  .....         ..   ...... usw.

JD 2445757.55 - JDo 2445790.51 = -32.96 + 3*P 11.9315 = Phase 2.84 Tage. Die Phase ist stets positiv und kleiner als die Periode P. Das Maximum tritt 5.65 Tage nach dem Nupllpunkt ein, wie aus Diagramm (Fig. 27) zu ersehen ist. Normalmaximum: JD 2445790.51+5.65 Tage = JD 2445796.16.

Bei der Reduktion auf eine Periode werden sozusagen alle Epochen übereinandergelegt. Bei 20 oder 50 übereinandergelegten Epochen sind natürlich  viel mehr Bestimmungspunkte der Lichtkurve vorhanden, die auch Feinheiten erkennen lassen, als aus der Beobachtungsreihe einer Epoche. Nahezu gleiche Schätz- bzw. Phasenwerte wird man daher zu einem Mittelwert zusammenfassen. Diese Mittelwerte nennt man Normalorte und Normalhelligkeiten und die durch die Normalorte gezogene Kurve mittlere Normallichtkurve.

Man teilt die Periode in kleine gleiche Zeitintervalle (z. B. in je 3 Tagen, wenn die Periode mehrere Wochen umfaßt) und bildet in jedem dieser Intervalle das Mittel der Helligkeiten (Normalhelligkeit) und der Phasenbruchteile (Normalort).

Beispiel.
 Phase  7.18 Tage  Größe  9.31  mag Veränderliche
               7.08                       9.45  (oder Stufenwerte)
               7.32                       9.55
               7.77                      9.47
Summe  29.35         Summe 37.78

Mittel Normalort 7.34. Mittel Normalhelligkeit 9.45.

Liegt eine große Anzahl Beobachtungen vor, eliminiert die Mittelwertbildung die zufälligen Beobachtungsfehler mit denen die einzelnen Helligkeitsschätzungen und -messungen eines Veränderlichen behaftet sind. Erst wenn die zufälligen Fehler beseitigt sind, kann an der Normallichtkurve der endgültige Zeitpunkt des Maximums und Minimums bestimmt werden (s. Tracing-Paper-Method und Parallellinienmethode).

Die gebildeten Mittwelwerte zeichnet man in das Diagramm ein und zieht duch diese Normalorte eine möglichst glatte Kurve. Die ungemittelten Einzelbeobachtungen werden ebenfalls eingetragen. Im Sinne Punkt minus Kurve läßt sich die Fehlerquadratsumme und daraus den mittl. Fehler einer Einzelbeobachtung bestimmen.

Nach Einzeichnung aller ungemittelten Einzelbeobachtungen in das Diagramm, ist auch eine graphische Mittelwertbildung möglich, wobei jeder Punkt mit zwei benachbarten Punkten zu einem Dreieck verbunden werden, dessen Schwerpunkt nach Augenmaß einzuzeichnen ist. Das Verfahren läßt sich mehrmals wiederholen. Man erhält eine geglättete Kurve. Das Verfahren ist auch für die Normalortbildung streuender Doppelsternmessungen geeignet.

Eine große Streuung der Einzelbeobachtungen um die mittlere Lichtkurve könnte auf eine Scheinperiode hinweisen. Falls das aus den Beobachtungen abgleitete Maximum (Minimum) nicht nahezu mit der Phase 0.0 zusammenfällt, sind die Lichtwechselelemente wahrscheinlich ungenau, so daß die Ausgangsepoche (Eo), Periode (P) oder beides auf der Grundlage aller verfügbaren Beobachtungen zu verbessern ist.



B-R Diagramm

Die B-R (beobachtete minus berechnete) Werte in Minuten oder Tagesbruchteilen werden an der vertikalen Ordinate abgetragen, die Epochezahlen (E=Periodenanzahl) oder julianische Datum (JD) für Jahre, Jahrzehnte oder Jahrhunderte an der Abszisse. Die positiven u. negativen B-R-Werte liegen oberhalb u. unterhalb der Nullinie.

Durch die eingetragenen Punkte wird wie bei einer Lichtkurve die Ausgleichskurve gezogen, wobei einige 1000 Einzelminima (-max.) in B-R Diagrammen einiger 10 000 Epochen auch zu 100-300 Normalminima (-max.) zusammengefaßt werden können (Mittel aus jeweils 100 Epochen), soweit das gesamte Material eines jahrhundertelang beobachteten Veränderlichen vorliegt (z. B. bei Algols 188jähriger ungeklärter Periode).

Der berechnete Zeitpunkt (R) der Hauptphasen ergibt sich aus den Lichtwechselelementen: JD Rmaxi oder Rmini = Eo+P*E.

Auf Grund verschiedenster Störungen differieren die beobachteten (B) und mit einer konstanten Periode berechneten (R) Hauptphasenzeiten im Sinne Beobachtung minus Rechnung (B-R). Überlagern sich die verschiedenen B-R-Kurven können unerklärbare Formen entstehen. Bei Veränderlichen mit komplizierten B-R-Kurven sind nur kurzfristige instantane Lichtwechselemente ermittelbar.

Das B-R Diagramm gibt Auskunft über die Genauigkeit der Elemente, Periodenänderung, physikalische Eigenschaften des Veränderlichen und erlaubt Rückschlüsse auf die Art der Störungen.

B-R-Kurven:

1) Gerade Kurve mit ungestörten, konstanten B-R Werten (Fig. 28a): Konstante Periode. Die falsche Ausgangsepoche (Eo) ist um den konstanten B-R-Wert zu korrigieren.
2) Sinuskurve (Fig. 28b): Als Ursache kommen Lichtzeiteffekte in einem Mehrfachsternsystem bei Bewegung um den gemeinsamen Schwerpunkt, oder bei elliptischer Bahn der Komponenten eines Bedeckungveränderlichen, eine Periheldrehung in Frage. Die Lichtwechselelemente können bei zyklisch verlaufender Periodenänderung durch ein Sinusglied ergänzt werden: I=SIN(((PI*2)/n)*E+phase). Die Werte I=halbe Amplitude der Sinusschwingung, n=Wellenlänge in Grundperioden (E), Phase der Sinusschwingung bei der Epoche Null (E=0), müssen an der B-R-Kurve abgegriffen werden.
3) Die B-R-Kurve ist eine Gerade (Fig. 28c), wobei die positiven (negativen) B-R-Werte mit den Epochen zunehmen: Die Periode ist zu kurz oder zu lang.
4) Die positive (negative) B-R-Kurve (Fig. 28d) steigt mit den Epochen steil an:  Die Periode wird mit der Zeit länger oder kürzer).
5) Parabolische (Fig. 28e) B-R-Kurve (Polynom 2. Grades): Als Störungsursache kommen Massenverluste bei Pulsationsveränderlichen oder Massenaustausch bei Bedeckungsveränderlichen in Frage, wodurch sich die Umlaufzeit um den gemeinsamen Schwerpunkt und der Bahnradius ändern kann. Die parabolische Periodenänderung bleibt bei der Vorhersage i.a. unberücksichtigt.
6) Die B-R-Kurve ist geknickt, verschoben oder sprunghaft (Fig. 28f): In Frage kommt eine plötzliche Änderung der physikalischen Struktur (Zerfall einer Schicht) oder Änderung der Dichte eines Sterns durch innere Vorgänge oder Wechselwirkung mit einem unsichtbaren Begleiter,die eine abrupte Periodenänderung bewirkt.



Fehlerberücksichtigung

s=Größenklassendifferenz geteilt durch die Stufendifferenz zweier Vergleichssterne.

Beispiel: Vergleichsstern a=9.34mag, b=9.83mag. Einzelbeobachtung a 3 v 2 b.

Wert einer Stufe s 0.098 mag = (9.83-9.34)/(+3-(-2)); Stufenskala der Vergleichssterne  a=0.00, b=5.5: Einstufenwert s 0.089 mag = (9.83-9.34)/(b 5.5 - a 0.00).

Durch Vergleich der über Abende, Wochen u. Monate zwischen helleren und schwächeren, weiten oder nahe Vergleichssternen, große und kleine Stundenwinkel, Zenitdistanzen und Farbabweichungen usw., gewonnenen Einheitsstufenwerte (s), können Auswirkung und Verteilung der Beobachtungsfehler festgestellt werden. Die Fehlergrößen können dann durch entsprechende Korrektionen und Verteilung der Gewichte bei der Bildung der Vergleichssternskala und Stufenwerte des Veränderlichen verringert werden.



Vereinigungen

Folg. Vereinigungen veröffentlichen Mitteilungen, Rundbriefe, Anweisungen und Ergebnisse. Der BAV-Rundbrief erscheint viermal im Jahr mit Beiträgen der Beobachter BAV - Berliner Arbeitsgemeinschaft für Veränderliche Sterne e.V., Munsterdamm 90,  D-12169 Berlin.
American Association of Variable Star Observers, AAVSO, 25 Birch St., Cambridge, MA 02138, USA.
Information Bulletin of Variable Stars (IBVS) der IAU Commission 27. Budapest: Konkolny-Observatorium erscheint laufend).

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