Stufenschätzung

Die Vergleichssterne in Objektnähe (Veränderlicher, Kleinplanet o.a.) erhalten die Buchstaben a,b,c,d...usw. in Reihenfolge abnehmender Helligkeit. Stern a etwas heller als der Veränderliche v im Maximum. Bei 4 Vergleichssternen ist der 4. Stern d noch etwas dunkler als der Veränderliche im Minimum.
Die Helligkeitsdifferenz zwischen einem Vergleichsstern und dem Objekt sollte >0.4-0.5 mag nicht übersteigen. Solche Sterne sind nur zum Vergleich geeignet, die gegenüber dem Veränderlichen mindestens 3 Stufen (etwa 0.3 mag) Helligkeitsunterschied erreichen.

Die Helligkeit des Veränderlichen v zwischen 2 Vergleichssternen wird in folg. Form angeordnet:

a 2 v 1 b.

Stern a 2 Stufen heller als der variable Stern v und v 1 Stufe heller als Vergleichsstern b.  Der hellere Stern wird stets links vom schwächeren angeordnet.

Hier wird grundsätzlich mit der folg. Schreibweise gerechnet, die auch mit Computer besser auszuwerten ist.

a 2 v = Stern a 2 Stufen heller als v.

b -1 v = Stern b 1 Stufe schwächer als v.

Der Veränderliche (Objekt) immer rechts, die Vergleichssterne links anordnen, wobei schwächere Vergleichssterne als der Veränderliche ein negatives Vorzeichen erhalten. Diese Schreibweise mit positiven und negativen Stufen verwende man stets für Berechnungen mit Stufenwerten nach Argelander.

Lange Beobachtungsreihen liegen nicht dem bürgerlichem Kalender zugrunde; denn die Angabe von Minima und Maxima Zeitpunkten im Julianischen Datum ergibt die Zeitdifferenzen in Tagen sofort. Z. B. 1.1.2000, 0h = JD 2451545.5 +15h12m UT (15+12/60m)/24 = JD 2451546.1333. Stunden und Minuten in Tagesbruchteilen. Invers: JD 2451546.1333 = 1.1.2000, 15h12m UT.
Das JD (Julianische Datum) beginnt um 12 Uhr mittags. 0h UT bezogenen JD haben daher die Endung 0.5.   0.1333d liegen nach 12 Uhr mittags + 0.5 = 0.6333*24h = 15.2 Uhr = 15h12m UT.



Verhältnismethode nach Pickering (auch Interpolations- oder Bruchmethode genannt)

Das Verfahren wird oft bei langperiodischen Veränderlichen (z. B. Mirasternen) verwendet, da man die Größenklasse des Veränderlichen sofort erhält. Beim Verfahren nach F.W.A. Argelander werden die Stufenschätzungen langperiodischer Veränderlicher erst am Ende einer langjährigen Beobachtungsreihe in Helligkeit umgerechnet.

Wie bereits erwähnt, sollte die Helligkeitsdifferenz der zwei Sterne, die mit dem Veränderlichen verglichen werden, bei etwa 0.5 mag liegen. Die Helligkeitsdifferenz zwischen 2 Vergleichssternen erhält stets den Wert 10 Stufen, in die der Veränderliche nach sorgfältigem Hin- u. Herschauen einzustufen ist.

Beispiel. Helligkeit Vergleichssterne a=7.11 mag, b=7.62 mag, c=8.10 mag. Ist Stern b gerade heller als der Veränderliche v, schätzt man b 3 v 7 c = Verhältnis 3:7 = Helligkeit Stern b 3/10 heller als v und v 7/10 heller als c.

b 5 v 5 c (Verhältnis 5:5 = Helligkeit v liegt genau in der Mitte)

b 0 v 10 c (b und v gleich hell, v 10 Stufen heller als c)

Oder b 10 v 0 c   (c und v gleich hell, b 10 Stufen heller als v)

b 8 v 2 c = Verhältnis 8:2. Stern c minus b = 0.48 mag Differenz / 10 = 1 Stufe 0.048 mag. 8/10 sind = 0.38 mag. Der Veränderliche v ist 8 Stufen bzw. 0.38 mag schwächer als Stern b, also b=7.62+0.38 = v 8.00 mag hell. Schätzt man Stern b zu 8 Stufen erhält man automatisch c zu 2 Stufen.
Schätz man hingegen umgekehrt Stern v 3 c, ergibt sich b 7 v 3 c. Das Mittel aus zwei Schätzungen beträgt dann (8+7)/2 = b 7.5 v 2.5 c = (2+3)/2.
Größenklasse des Veränderlichen nach der Agelanderschen Methode. Beispiel: Schätzung b 4 v 1 c. Zusammen 4+1=5 Stufen = 0.48 mag = 1 Stufe 0.48/5 = 0.096 mag. Veränderlicher 4 Stufen = 0.38 mag schwächer als Stern b. Helligkeit des Veränderlichen 8.00 mag.

Geübte Beobachter erreichen mit diesem Verfahren eine Genauigkeit von ±1 Stufe. Beträgt der Fehler 2 Stufen ist das Ergebnis auf 2 mal 1 Stufe 0.048 mag = ±0.096 mag genau.



Stufenschätzmethode nach Argelander (1799-1875)

Die erste Stufenschätzmethode stammt von W. Herschel. Argelander hat die Methode übernommen und Herschels Schreibweise mit Strichlängen oder einzelner Striche durch 1 bis 4 Stufen ersetzt. Die Stufenschätzmethode nach Argelander ist heute die am meisten verwendete und genaueste.

Den Veränderlichen mit zwei Sternen bekannter Helligkeit, die ein wenig heller und dunkler sind, vergleichen und den Helligkeitsunterschied mit 0-4 Stufen durch einprägsames Hin- u. Herschauen bewerten. Wegen der unterschiedlich lichtemfindlichen Stellen der Netzhaut, kann man mehrere durch indirektes oder direktes Sehen in verschiedenen Positionswinkeln gewonnene Schätzungen mitteln.
Die Beobachtungen besser homogen halten und stets mit der gleichen Stelle der Netzhaut vornehmen (evtl. durch Beobachtung im Nord-Süd-Kreis oder entsprechende Drehung des Zenitprisma).

Beobachtungsregel nach Argelander:

Stufe 0: Erscheinen mir beide Sterne (Vergleichsstern a und Veränderlicher V) immer gleich hell oder möchte ich bald den einen, bald den anderen ein wenig heller schätzen, so nenne ich sie gleich hell. Schreibweise: a 0 V oder  V 0 a .

Stufe 1: Kommen mir auf den ersten Anblick zwar beide Sterne gleich hell vor, erkenne ich aber bei aufmerksamer Betrachtung und wiederholtem Übergange von a zu V und V zu a entweder immer oder doch nur mit sehr seltenen Ausnahmen a für eben bemerkbar heller, so nenne ich a um eine Stufe heller als V und bezeichne dies durch a 1 V, ist hingegen V der hellere, durch V 1 a, so daß immer der hellere vor, der schwächere hinter der Zahl steht.

Stufe 2: Erscheint der eine Stern  stets und unzweifelhaft, deutlich heller als der andere, so wird dieser Unterschied für zwei Stufen angenommen und durch a 2 V bezeichnet, wenn a, hingegen durch V 2 a, wenn V der hellere ist.

Stufe 3: Eine auf den ersten Anblick ins Auge fallende, sofort auffällige Verschiedenheit gilt für 3 Stufen und wird durch a 3 V oder V 3 a bezeichnet.

Stufe 4: Endlich bedeutet a 4 V eine noch auffallendere, große Verschiedenheit zugunsten von a, oder V 4 a, wenn V heller ist.

Stufe 5: Noch größerer Unterschied als bei Stufe 4.

Stufe 4 ist noch einigermaßen sicher zu schätzen. Die Schätzungen streuen stärker mit wachsender Stufenhöhe die daher geringer gewichtet werden. Den Unterschied 4ter und 5ter Stufe können nur langjährig geübte Beobachter noch eben erfassen. Um Helligkeitseindrücke der Stufen 1-5 genau kennen zu lernen, entnimmt man die Helligkeiten der Sterne eines offenen Sternhaufens (M45 Plejaden Fig. 19a, M44 Praesepe Fig. 22, die Sternhaufen h und chi im Perseus) einem Sternkatalog und vergleicht die Stufenunterschiede 0-5 im Intervall 0.05-0.25 mag oder 0.1-0.5 mag. Diese Prüffelder sind zum Training und Einprägen der Stufen immer wieder aufzusuchen.

Bei 0.05 mag Schätzgenauigkeit pro Stufe können manchmal außer ganzen Stufen auch halbe Stufen (a 2.5 V) geschätzt werden. Dann sind Vergleichssterne notwenig, die bis auf 3 Stufen (=0.15 mag) in den Helligkeitsbereich des Vergleichssterns gelangen, wobei 5 Stufen 0.25 mag ausmachen. Bei Verwendung ganzer Stufen wird man sogar über die Stufe 5 hinausgehen müssen.

Die Schätzung wird durch Kombination der Stufenschätz- mit der Verhältnismethode erheblich sicherer.
Beispiel: Schätzung nach Argelander b 2 v 3 c.

Der Helligkeitsunterschied b-v und v-c ist nach der Verhältnismethode einzuschätzen. b 2 v 2 c ergibt ein 2:2 Verhältnis. Die Helligkeit des Veränderlichen v läge genau zwischen b und c. c wird jedoch geringfügig lichtschwächer empfunden, so daß ebenfalls das Verhältnis 2:3 bzw. b 2 v 3 c vorliegt.

Beispiel: a 3 v. Wird der Helligkeitsunterschied a-v doppelt so groß wie v-b empfunden, schreibt man a 3 v 6 b, etwas weniger oder mehr a 3 v 5 b oder a 3 v 7 b.

Die Argelandermethode erfordert einigen Rechechenaufwand, der mit programmierbaren Taschenrechnern oder Computern schnell zu erledigen ist. Die Kenntnis der Vergleichssternhelligkeiten in Größenklassen (magnitudo) ist anfangs wegen der Stufenzuordnung nicht notwendig.

Unterbricht eine Schlechtwetterperiode die Beobachtung, ist in machen Fällen ein völlig neues Paar Vergleichssterne zu wählen, so daß die Beobachtung neu beginnen muß.

Bei »v 0 x« darf der Veränderliche immer nur zwischen dem bereits verwendeten und neu gewählten Stern verglichen werden (z. B. 7. Juni: b 1 v 0 c = Vergleichsstern b-c; 9 Juni: c 1 v 2 d = Vergleichsstern c-d).

Vergleich mit 2 Sternen.

Beobachtungsreihe:

Juni  1  21h18m  b 1 v 3 c   = 4 b-c
        2  22h38m   b 4 v 3 c   = 7
        5  21h46m  b 2 v 2 c   = 4
        7  22h20m   b 1 v 0 c   = 1
        9  21h50m  c 1 v 2 d   = 3 c-d
      10  21h52m   c 0 v 4 d   = 4
      14  22h30m  c 2 v 2 d   = 4
      18  22h17m  c 2 v 0 d   = 2
      20  23h04m  c 1 v 2.5 d = 3.5
      22  21h15m  c 3 v 1 d    = 4
      26  21h20m  b 4 v 2 c    = 6 b-c
      30  21h10m  b 3.5 v 3 c = 6.5
      31  23h11m  b 3 v 2 c    = 5
Juli   4  20h50m  b 2 v 5 c    = 7
        5  21h55m  a 5 v 3 b   = 8 a-b
        6  22h02m  a 3 v 2 b   = 5
        8  21h13m  a 5 v 0 b   = 5
      13  20h03m  a 2 v 3 b   = 5
      14  22h12m  a 4 v 4 b   = 8
      15  22h56m  a 2.5 v 3 b = 5.5
      25  20h36m  b 0 v
      27  22h30m  b 2 v 4 c   = 6 b-c
      28  21 h00m  b 3 v 3 c   = 6
      29  23h01m  b 2 v 2 c   = 4

Stufenwerte.

Formel  (sta = Stufe a, stb = Stufe b usw.):

a sta V  (z. B. a  2 V)
b stb V  (z. B. b -3 V)
c stc V  
d std V usw.
usw.
da=sta-stb
db=stb-stc
dc=stc-std usw.

Die Stufen der Vergleichssterne b-c, c-d und d-e addieren und den Mittelwert bilden.

Vergleichssterne a-b (6 Beobachtungen):

da (8+5+5+5+8+5.5)/6 = Mittelwert ma 6.08 Stufen.

b-c (11 Beobachtungen):

db (4+7+4+1+6+6.5+5+7+6+6+4)/11 = Mittelwert mb 5.14 Stufen.

c-d:

dc (3+4+4+2+3.5+4)/6 = Mittelwert mc 3.42 Stufen.

Mittlerer Fehler.

Vergleichssterne a-b:

8    - ma 6.08 = 3.6864 (Quadrat der Differenz)
5    - ma 6.08 = 1.1664
5    - ma 6.08 = 1.1664
5    - ma 6.08 = 1.1664
8    - ma 6.08 = 3.6864
5.5 - ma 6.08 = 0.3364

Summe der Quadarte: [vv]=11.2084. n=Anzahl der Einzelwerte.

Standartabweichung (Streuung der Werte): r = Å([vv]/(n-1))

Vergleichssterne a-b:

n=6; r = 1.5 Stufen.

[vv]=11.2084.

Vergeichsterne b-c:

n=11; r = 1.79 Stufen.

[vv]=32.0456.

Vergleichssterne c-d:

n=6; r = 0.80 Stufen.

[vv]=3.2084.

Mittlerer Fehler des Mittelwertes (mw):

f =Å([vv]/n(n-1))

n=6; n*(n-1)=6*5=30. Å(11.2084/30)=0.61 Stufen.

Mittl. Stufenunterschied zwischen Vergleichsstern a-b:

ma 6.08  ± fa 0.61 Stufen.

Mittl. Fehler einer Einzelschätzung: r 1.5 Stufen.

Mittl. Stufenunterschied zwischen Vergleichsstern b-c:

mb 5.14 ± fb 0.54 Stufen.

Mittl. Fehler einer Einzelschätzung: r 1.79 Stufen.

Mittl. Stufenunterschied zwischen Vergleichsstern c-d:

mc 3.42 ± fc 0.33 Stufen.

Mittl. Fehler einer Einzelschätzung:  r 0.80 Stufen.

Die Wahrscheinlichkeit, daß der wahre Wert innerhalb der Schranken mw ± f liegt beträgt 68.3 %, und 99.7 % innerhalb der Grenzen mw ± f mal 3. Die Aussagekraft des mittleren Fehlers ist für n<10 allerdings gering.

Stufenskala der Vergleichssterne.

a = 0.00
b = a + ma ±
Å fa
c = b + mb ±
Å(fa2+fb2)’
d = c + mc ± 
Å(fa 2+fb2+fc2)

usw.

Der hellste Vergleichsstern ist Nullpunkt, der dann stets die Stufe 0.00 erhält. Die Vergleichssterne haben dann folg. aufsummierte Stufen:

Vergleichsstern.

a:  0.00 Stufen
b:   6.08 ± 0.61 Stufen.
c: 11.22 ± 0.82 Stufen.
d: 14.64 ± 0.88 Stufen.

Helligkeit in Größenklassen der Vergleichssterne lt. Sternkatalog.

a: 7.01 mag.
b: 7.60 mag.
c: 8.21 mag.
d: 8.45 mag.

Der Helligkeitsunterschied einer Stufe entspricht dem persönlichen Stufenwert, der i.a. 0.05-1.2 mag ausmacht. Der von Beobachtungsnacht zu -nacht etwas fluktuierende persönliche Stufenwert wird mit zunehmender Übung bzw. Homogenität der Beobachtung nahezu konstant.

Vergleichsstern d 8.45 - a 7.01 mag = 1.44 mag / 14.64 Stufen = persönlicher Stufenwert 0.098 mag.

Oder genauer:

b 7.60 - a 7.01 = 0.59 mag / ma 6.08 Stufen = 0.097 mag
c 8.21 - b 7.60 = 0.61 mag / mb 5.14 Stufen = 0.119 mag
d 8.45 - c 8.21 = 0.24 mag / mc 3.42 Stufen = 0.070 mag

Mittelwert.

Persönlicher Stufenwert: 0.095 mag  ± 0.014 mag.

Stufenwert des Veränderlichen.

1. Methode:

Beobachtung 1. Juni (s. Beobachtunsgreihe w. o.)): b 1 v 3 c (=b 1 v, c -3 v) betrifft die Stufenskala der Vergleichssterne b=6.08 Stufen und c=11.22 Stufen.

b  6.08 + 1 Stufen = 7.08 Stufen (b 1 Stufe heller als v)
c 11.22 - 3 Stufen = 8.22 Stufen (c 3 Stufen schwächer als v)

Mittelwert: (7.08+8.22)/2 = Stufenwert des Veränderlichen 7.65 ± 0.57 Stufen.

Dieser Stufenbetrag ist allderdings nicht ganz exakt, da die 1 Stufe wesentlich sicherer geschätzt wird als höhere mit wesentlich größerer Streuung. Da die 1 Stufe am präzisesten geschätzt werden kann, erhält diese im allg. doppeltes Gewicht.

 Es empfiehlt sich folg. Gewichte (p) zu verwenden:

Stufe    0-1: p = 10
Stufe 1.5-2: p =   5
Stufe 2.5-3: p =   2
Stufe 3.5-4: p =   1

7.08 Stufen * p 10 = 70.8 (Stufe 1), 8.22 * p 2 (da Stufe 3) = 16.44 = (70.8+16.44)/(p 10 + p 2) = 7.27  ± 0.43 Stufen, oder wenn man der 1 Stufe nur ein doppeltes Gewicht zuteilt: (14.16+8.22)/3 = 7.46.

Beobachtung 5. Juli: a 5 v 3 b (=a 5 v, b -3 v) betrifft die Stufenskala der Vergleichssterne a=0.00 Stufen und b=6.08 Stufen.

a  0.00 + 5 Stufen = 5 Stufen    * p Gewicht 1 = 5 Stufen
b  6.08 - 3 Stufen  =  3.08 Stufen * p Gewicht 2 = 6.16 Stufen

Mittelwert: (5+6.16)/3 = Stufenwert des Veränderlichen 3.72  ± 0.91 Stufen.

Methode 2:

Beobachtung 1. Juni: b 1 v 3 c (=b 1 v, c -3 v) betrifft die Stufenskala der Vergleichssterne b=6.08 Stufen und c=11.22 Stufen.

Differenz c-b = mb 5.14 Stufen.

b 1 v (v ist 1 Stufen schwächer als b)
v 3 c (v ist 3 Stufen heller als c)

Verhältnis 1:3. mb 5.14 Stufen/(1+3) Stufen = 1.285 Stufe (»Stufenwert des Abends«). 1 Stufe 1.285 * b 1 = 1.285 + b 6.08 Stufen = Stufenwert des Veränderlichen 7.37 Stufen (gewichtete Stufe 7.46).

Schätzung 5. Juli: a 5 v 3 b (=a 5 v, b -3 v) betrifft die Stufenskala der Vergleichssterne a=0.00 Stufen und b=6.08 Stufen.

Differenz b-a = ma 6.08 Stufen.

Verhältnis 5:3. ma 6.08 Stufen/(5+3) Stufen = 0.76 Stufen (»Stufenwert des Abends«). 1 Stufe 0.76 * a 5 = 3.8 + a 0.00 Stufen = Stufenwert des Veränderlichen 3.8 Stufen (gewichtete Stufe 3.72).



Vergleich mit 4...usw. Sternen derselben Schätzung

Nahezu zur gleichen Zeit gemachte Beobachtungen können zu einem Mittelwert zusammengefaßt werden.

Beobachtung:

12.1.91   15.1.91  17.1.91   20.1.91  usw.

a  1 v       a  2 v     a  4 v     a  6 v
b -2 v      b -2 v     b -1 v    b  3 v
c -3 v      c -3 v     c -2 v     c  2 v
d -6 v      d -5 v     d -4 v    d -2 v

Die Stufen der Vergleichssterne a,b, c, d addieren und den Mittelwert bilden.

Vergleichssterne a-b [4 Beobachtungen: a 1 - (b -2) = 3]:

da (3+4+5+3)/4 = Mittelwert ma 3.75 Stufen.
b-c (4 Beobachtungen):
db (1+1+1+1)/4 = Mittelwert mb 1 Stufe.
c-d:
dc (3+2+2+4)/4 = Mittelwert mc 2.75 Stufen.

Vorteilhafter sind natürlich weit mehr Beobachtungen.

Stufenskala der Vergleichssterne.

a = 0.00        (3.75 Stufen zwischen a-b)
b = 3.75 Stufen (1 Stufe zwischen b-c)
c = 4.75 Stufen (2.75 Stufen zwischen c-d)
d = 7.50  Stufen



Stufenwert des Veränderlichen

Der Veränderliche ist nicht unbedingt immer mit einem etwas helleren und dunkleren Stern zu vergleichen, obwohl die Genauigkeit dadurch erhöht wird. Die Reihenfolge der Helligkeiten, wonach der hellste Vergleichsstern mit a und der nächstschwächere mit b,c,d usw. bezeichnet wird, ist dagegen zu beachten.

Methode 1:

Messung vom 12.1.91:

a 0.00 + 1 = 1.00 * p 10 = 10
b 3.75 - 2 = 1.75 * p 5  = 8.75
c 4.75 - 3 = 1.75 * p 2  = 3.5
d 7.50 - 6 = 1.50 * p 1  = 1.5

Mittelwert: (10+8.75+3.5+1.5)/(10+5+2+1) = gewichteter Stufenwert des Veränderlichen 1.32 ± 0.21 Stufen.

Der Stufenwert des Veränderlichen wird in analoger Weise für jede Beobachtung bestimmt.

Methode 2:

Messung vom 12.1.91:

ma 3.75/(+1-(-2)) = 1.25 * a +1 =  1.25 + a 0.00 = 1.25 * p 10 = 12.5
mb 1.00/(-2-(-3)) = 1.00 * b -2 = -2.00 + b 3.75 = 1.75 * p 5  = 8.75
mc 2.75/(-3-(-6)) = 0.92 * c -3 = -2.75 + c 4.75 = 2.00 * p 1  = 2

Mittelwert. (12.5+8.75+2)/(10+5+1) = gewichteter Stufenwert des Veränderlichen 1.38 ± 0.20 Stufen.

Mittlerer Fehler.

Messung vom 12.1.91:

a 0.00 + 1 = 1.00 * p 10 = 10
b 3.75 - 2 = 1.75 * p 5  = 8.75
c 4.75 - 3 = 1.75 * p 2  = 3.5
d 7.50 - 6 = 1.50 * p 1  = 1.5

Mittelwert: (10+8.75+3.5+1.5)/(10+5+2+1) = gewichteter Stufenwert des Veränderlichen 1.32 Stufen.

(1.00 - 1.32)2 * p 10 = 1.024 (Fehlerquadrate)
(1.75 - 1.32)2 * p 5  = 0.9245
(1.75 - 1.32)2 * p 2  = 0.3698
(1.50 - 1.32)2 * p 1  = 0.0324

Summe der gewichteten Fehlerquadrate: vv=2.3507

Mittlerer Fehler einer Einzelmessung vom Gewicht p=1.

m=Å(vv/(n-1)); Anzahl der Messungen n=4.

m 0.89 =Å (2.3507/3).

Mittl. Fehler einer Einzelmessung vom Gewicht pi (i=1,2,3,..,n)

mp=m/Å(pi).

Mittl. Fehler der Messung 1.00 * p 10: 1.00 ± 0.28 Stufen.

Mittl. Fehler der Messung 1.75 * p  5: 1.75 ± 0.40 Stufen.

Mittlerer Fehler des Schätzwertes.

mf=m/Å(S pi).

Mittelwert: (10+8.75+3.5+1.5)/(10+5+2+1) = gewichteter Stufenwert des Veränderlichen 1.32 Stufen.

mf 0.21 = m 0.89/Å(10+5+2+1).

Gewichteter Stufenwert des Veränderlichen: s 1.32 ± 0.21 Stufen.

Mittelwert (s.o.): (12.5+8.75+2)/(10+5+1) = gewichteter Stufenwert des Veränderlichen 1.38 Stufen.

vv=1.2379. n=3. m = 0.79 Stufen.

mf 0.20 = m 0.79/Å(10+5+1).

Gewichteter Stufenwert des Veränderlichen: s 1.38 ± 0.20 Stufen.



Auswertung der Beobachtungen

Zeit-Stufendiagramm. Die in der Stufenskala einiger Vergleichssterne (hellster Stern a=Stufe 0.00) bestimmten Stufenwerte des Veränderlichen (oder eines Kleinplaneten) kann man auf Millimeterpapier in ein Koordinatennetz abtragen. Die rechte vertikale Ordinate (y-Leiter) bezeichnet die Stufenskala der Vergleichssterne, die linke Seite der Ordinate die zugehörigen Helligkeiten der Vergleichssterne, die Abszisse (x-Leiter horizontal) die Beobachtungszeit (Julian. Datum JD).

Periodenlänge, Kurvenverlauf und die exakten Zeitpunkte der Hauptphasen (Maximum und Minimum) sind an der Lichtwechselkurve graphisch zu ermitteln. Die Bestimmung der Lichtwechselamplitude erfordert dagegen die Umrechnung der Stufenwerte in Größenklassen.



Umrechnung der Stufen in Größenklassen (magnitudo)

Die Amplitude des Lichtwechsels ergibt sich durch Umrechnung der Stufen des Veränderlichen in Größenklassen.

Lineare Regression. Bedingungsgleichung: mag=a+b*s (s=Stufenwert).

In fast allen Fällen kann eine lineare Korrelation zwischen den Meßgrößen angenommen werden. Der Koeffizient a entspricht der Stufenskala für 0 Stufen (a=0.00) und somit der Helligeit des hellsten Vergleichssterns der Beobachtungsreihe. Der Koeffizient b entspricht dem magnitudo einer Stufe (meist 0.05-0.1 mag).

Normalgleichung:

n1  a + [x]  b = [y]
[x] a + [xx] b = [xy]

REM KORRELATIONSKOEFFIZIENT (r = ± 1 perfekte Anpassung, r>0.9 = gute Korrelation, geringe Streuung, r<0.5 geringe Korrelation, starke Streuung der Werte, r=0 kein Zusammenhang zwischen x u. y)

r=(n1*[xy]-[x]*[y])/(Å(n1*[xx]-[x]*[x])*Å(n1*[yy]-[y]*[y]))
REM FEHLERQUADRATSUMME (F.Q.S.)
[vv]=[yy]-[y] a - [xy] b
REM MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG
s=SQR(vv/(n1-2))
REM MITTLERER FEHLER (M.F.) KOEFFIZIENT a
mfa=s*
Å ([xx]/(n1*[xx]-[x]*[x]))
REM MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT b
mfb=s*
Å(n1/(n1*[xx]-[x]*[x]))
PRINT mfb
REM MITTL. FEHLER mag ± m.
m=
Å(mfa+(b*mf)2+(mfb*s)2); s=Stufe des Veränderlichen ± mf mittl. Fehler

Stufenskala:

a:  0.00 Stufen
b:  6.08 ± 0.61 Stufen.
c: 11.22 ± 0.82 Stufen.
d: 14.64 ± 0.88 Stufen.

Visuelle Helligkeit in Größenklassen der verwendeten Vergleichssterne lt. Sternkatalog.

a: 7.01 mag.
b: 7.60 mag.
c: 8.21 mag.
d: 8.45 mag.

Die Bedingungsgleichungen lauten:

7.01=a+b*0
7.60=a+b*6.08
8.21=a+b*11.22
8.45=a+b*14.64

REM GFA30 STUFENWERTE IN GRÖSSENKLASSEN
DIM p(20,20),ko(10),s(8),m(8)
REM STUFENSKALA VERGLEICHSSTERNE
s(1) = 0
s(2) = 6.08
s(3) = 11.22
s(4) = 14.64
REM GROESSENKLASSE DER VERGLEICHSSTERNE
m(1) = 7.01
m(2) = 7.6
m(3) = 8.21
m(4) = 8.45
REM ------------------------
n1 = 4  //EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN m =a+b*s
REM NORMALGLEICHUNG FÜR ZWEI UNBEKANNTE (LINEARE REGRESSION)
REM  n  a + [x]  b = [y]
REM [x] a + [xx] b = [xy]
x = 0
y = 0
xx = 0
yy = 0
xy = 0
REM AKKUMULATION [x] = x+x+x+x...,n; [xx] = x*x+x*x...,n
FOR i = 1 TO n1
  x = x + s(i)            //[x]
  y = y + m(i)            //[y]
  xx = xx + s(i) * s(i)
  xy = xy + s(i) * m(i)
  yy = yy + m(i) * m(i)
NEXT i
REM ---------------------
m = 2   //ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 2  //ANZAHL UNBEKANNTE
p(1,1) = n1
p(1,2) = x
p(1,3) = y     //RESIDUUM
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy   //RESIDUUM
GOSUB elim
PRINT  "KOEFFIZIENT a.........: ";ko(1)
PRINT  "KOEFFIZIENT b.........: ";ko(2)
REM KORRELATIONSKOEFFIZIENT
r = (n1 * xy - x * y) / (SQR(n1 * xx - x * x) * SQR(n1 * yy - y * y))
REM MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT a = ko(1)
vv = yy - y * ko(1) - xy * ko(2)  //SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE
s = SQR(vv / (n1 - 2))
mfa = s * SQR(xx / (n1 * xx - x * x))
mfb = s * SQR(n1 / (n1 * xx - x * x))
PRINT "MITTLERER FEHLER DER EINZELMESSUNG: ";s
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT a....: ";mfa
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT b....: ";mfb
PRINT "KORRELATIONSKOEFFIZIENT...........: ";r
PRINT "SUMME DER FEHLERQUADRATE..........: ";vv
? n1 * ko(1) + x * ko(2),y
? x * ko(1) + xx * ko(2),xy
? ko(1) + ko(2) * s(2)  //STUFEN IN HELLIGKEIT
KEYGET HALT%
END


PROCEDURE elim  //AUSGLEICHSRECHNUNG NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
  FOR j = 1 TO n - 1  //GAUSS ELIMINATION
    nr = j
    no = ABS(p(j,j))
    FOR i = j + 1 TO n    //ZEILENPIVOT
      noo = ABS(p(i,j))
      EXIT IF (noo - no) < 0
      no = noo
      nr = i
    NEXT i
    IF nr = j THEN
      GOTO jum1
    ENDIF
    FOR i = j TO m + 1
      no = p(nr,i)
      p(nr,i) = p(j,i)
      p(j,i) = no
    NEXT i
    jum1:
    FOR i = j + 1 TO m + 1   //ELIMINATION
      p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
    NEXT i
    FOR i = j + 1 TO n
      FOR k = j + 1 TO m + 1
        p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
      NEXT k
    NEXT i
  NEXT j
  ko(n) = p(n,n + 1) / p(n,n )  //RÜCKSUBSTITUTION
  j = n
  REPEAT
    j = j - 1
    ko(j) = p(j,n + 1)
    FOR i = j + 1 TO n
      ko(j) = ko(j) - p(j,i) * ko(i)
    NEXT i
  UNTIL j < 2
RETURN

Ergebnis der Ausgleichsrechnung.

Die Koeffizienten der Ausgleichung sind hier mit a, b und c bezeichnet, die nicht mit den Stufenwerten a,b verwechselt werden dürfen.
Koeffizient a=7.01 ± 0.057 mag = Helligkeit des hellsten Vergleichssterns a.

Koeffizient b=0.101 ± 0.00516 mag 

Summe der Fehlerquadrate vv=0.006528, Korrelationskoeffizient r = +0.99739.

Stufen in Größenklassen (Magnitudines):

mag=(7.01 ± 0.05)+(0.101 ± 0.005)*s (Stufe)



Stufen-Helligkeits-Diagramm

Auf Millimeterpapier horizontal (Absizze) die Stufen (s) und vertikal (Ordinate) die Helligkeiten (mag) abtragen. Durch die Punkte wird die Ausgleichsgerade nach Augenmaß gezogen oder berechnet: mag=7.01+0.101*s. Die Beziehung zwischen Stufen u. Größenklassen kann dann am Diagramm abgelesen werden. Der Computer ist für graphische Wiedergaben natürlich prädestiniert.
Der Koeffizient b gibt die Steigung der Regressionsgeraden an. Qualität und Güte der Beobachtungen bestimmen die Steigung der Ausgleichsgeraden und Streuung der Meßwerte; denn je flacher die Gerade ansteigt, umso empfindlicher ist das Auge des Beobachters.

In den seltenen Fällen nichtlinearer Zusammenhänge, wenn z. B. sehr lang Beobachtungsreihen vorliegen, ist die Polynomausgleichung vorzuziehen. Polynomausgleichung 2. Grades - Bedingungsgleichung: mag=a+b*s+c*s2.

 Normalgleichung:

  n1  a + [x]    b + [xx]    c = [y]
 [x]  a + [xx]   b + [xxx]   c = [xy]
[xx]  a + [xxx] b + [xxxx] c = [xxy]

REM SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE:

[vv]=[yy]-[y] a - [xy] b - [xxy] c

REM MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG:

s=[vv]/(n1-2-1); n1=Anzahl Bedingungsgleichungen.

REM KORRELATIONSKOEFFIZIENT (r = ±1 perfekte Anpassung, r>0.9 = gute Korrelation, geringe Streuung, r<0.5 geringe Korrelation, starke Streuung der Werte, r=0 kein Zusammenhang zwischen x u. y)

r=Å((a*[y]+b*[xy]+c*[xxy]-(1/n1)*[y]*[y])/([yy]-(1/n1)*[y]*[y]))



Unbekannte oder fehlerhafte Vergleichssternhelligkeit

 Stufenskala:

a:  0.00 Stufen
b:  6.08 ± 0.61 Stufen.
c: 11.22 ± 0.82 Stufen.
d: 14.64 ± 0.88 Stufen.

Helligkeit in Größenklassen der verwendeten Vergleichssterne lt. Sternkatalog.

a: 7.01 mag.
b: ?
c: 8.21 mag.
d: 8.45 mag.

Die Helligkeit des Vergleichssterns b ist z. B. unbekannt oder fehlerhaft; oder nur einige Helligkeiten der Vergleichssterne sind bekannt, dann ermittelt man die unbekannte oder genaue Helligkeit aus der bekannten Stufenskala mit Hilfe der Ausgleichsrechnung.

Beispiel:

Die Helligkeit des Vergleichssterns b ist unbekannt. Der Stufenwert beträgt 6.08. Für b wird dann in der Ausgleichsrechnung die Helligkeit 0 (m(2)=0 in Progr. GFA30) eingesetzt (oder ein Schätzwert m(2)=0 oder m(2)=7). Man erhält dann für b=0 = 5.499=4.164 a +0.2196 b *6.08.

Als nächsten Schritt setzt man b = 5.499 ein (m(2)=5.499 in Progr. GFA30), man erhält 7.037=a+b*6.08, der wiederum eingesetzt (m(2)=7.04) 7.468=a+b*6.08, 7.59=a + b *6.08 usw. ergibt. Das Resultat der schrittweisen Einsetzung (Iteration) ist die gesuchte Helligkeit b=7.63 mag = Stufenwert 6.08.



Farbgleichung

Wählt man Vergleichssterne gleich oder ähnlich der Farbe (Spekraltyp) des Veränderlichen, ist der Farbeffekt ausgeschlossen. Bei der visuellen Schätzung der Sternabbildungen auf Schwarzweiß-Photographien tritt dieser Effekt natürlich gar nicht erst auf.
Größere Unterschiede weit über den persönlichen Stufenwert der Beobachter (>0.1 mag) zwischen Stufenskala und Größenklasse der Vergleichssterne (mag=a+b*s), sind daher neben zufälligen Fehlern hauptsächlich auf den Farbeffekt zurückführen.
Um den Farbfehler zu erfassen, ist die Bedingungsgleichung mag=a+b*s um ein Farbkorrekturglied zu erweitern. Die jeweilige Sternfarbe kann durch das folg. Gleichungssystem berücksichtigt werden: mag=a+b*s+c*f.

Normalgleichung:

 n1 a + [s]   b + [f]   c = mag
 [s] a + [ss] b + [sf] c = s*mag
 [f] a + [sf] b + [ff]  c = f*mag

Die Variable f bedeutet der in Zahlen ausgedrückte Farbwert.

REM GFA31  FARBGLEICHUNG
DIM p(20,20),ko(10),s(10),m(10),f(10)
REM FARBWERT f (PERSOENL. FARGBLEICHUNG)
f(1) = 2.9  //SPEKTRALTYP A  VERGLEICHSSTERNE
f(2) = 2.9         //      A
f(3) = 7             //    M
f(4) = 2.2         //      B
REM STUFENSKALA VERGLEICHSSTERNE
s(1) = 0
s(2) = 6.08
s(3) = 11.22
s(4) = 14.64
REM GROENSSENKLASSSE VERGLEICHSSTERNE
m(1) = 7.01
m(2) = 7.6
m(3) = 8.21
m(4) = 8.45
REM ------------------------
n1 = 4   //EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN
REM AKKUMULATION [x] = x+x+x+x...,n; [xx] = x*x+x*x...,n
FOR i = 1 TO n1
  x = x + s(i)            //[x]
  y = y + f(i)            //[y]
  xx = xx + s(i) * s(i)
  xy = xy + s(i) * f(i)
  yy = yy + f(i) * f(i)
  mo = mo + m(i)
  sm = sm + s(i) * m(i)
  fm = fm + f(i) * m(i)
NEXT i
REM ---------------------
m = 3           //ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 3              //ANZAHL UNBEKANNTE
p(1,1) = n1
p(1,2) = x
p(1,3) = y
p(1,4) = mo
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = yy
p(2,4) = sm
p(3,1) = y
p(3,2) = xy
p(3,3) = yy
p(3,4) = fm
GOSUB elim
PRINT "KOEFFIZIENT a: ";ko(1)
PRINT "KOEFFIZIENT b: ";ko(2)
PRINT "KOEFFIZIENT c: ";ko(3)
REM ERGEBNIS mag = a+b*f+c*f
PRINT ko(1) + ko(2) * 0 + ko(3) * 2.9   //Helligkeit Vergeleichsstern m(1)
PRINT ko(1) + ko(2) * 6.08 + ko(3) * 2.9
PRINT ko(1) + ko(2) * 11.22 + ko(3) * 7
PRINT ko(1) + ko(2) * 14.64 + ko(3) * 1
KEYGET HALT%
END
PROCEDURE elim  //AUSGLEICHSRECHNUNG NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
  FOR j = 1 TO n - 1  //GAUSS ELIMINATION
    nr = j
    no = ABS(p(j,j))
    FOR i = j + 1 TO n    //ZEILENPIVOT
      noo = ABS(p(i,j))
      EXIT IF (noo - no) < 0
      no = noo
      nr = i
    NEXT i
    IF nr = j THEN
      GOTO jum1
    ENDIF
    FOR i = j TO m + 1
      no = p(nr,i)
      p(nr,i) = p(j,i)
      p(j,i) = no
    NEXT i
    jum1:
    FOR i = j + 1 TO m + 1   //ELIMINATION
      p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
    NEXT i
    FOR i = j + 1 TO n
      FOR k = j + 1 TO m + 1
        p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
      NEXT k
    NEXT i
  NEXT j
  ko(n) = p(n,n + 1) / p(n,n )  //RÜCKSUBSTITUTION
  j = n
  REPEAT
    j = j - 1
    ko(j) = p(j,n + 1)
    FOR i = j + 1 TO n
      ko(j) = ko(j) - p(j,i) * ko(i)
    NEXT i
  UNTIL j < 2
RETURN
 



Berücksichtigung der persönlichen Farbwahrnehmung

In der Regel ermittelt man die persönliche Farbgleichung nach der sog. Osthoff-Skala 0-10.

0=Weiß.
1=gelbliches Weiß.
2=Weiß und Gelb zu gleichen Teilen.
3=helles oder blasses Gelb.
4=Reingelb.
5=Dunkelgelb.
6=rötliches Gelb (Gelb überwiegt).
7=Geld und Rot zu gleichen Teilen.
8=gelbliches Rot (rot überwiegt).
9=Rot mit einer Spur Gelb.
10=Rot.

Zwischen dem Farbwert nach Osthoff und dem Spektraltyp besteht allg. folg. Wechselbeziehung.

Spektralklasse:

B = 2.2    G = 5.2
A = 2.9    K = 6.0
F = 4.1    M = 7.0

Skala Spektralklasse k: O=0, B=10,A=20,F=30,G=40,K=50 und M=60. Der Spektraltyp K3 besitzt demnach k=53, Spektraltyp M7 k=67, B0 k=10, G8 k=48 usw.

Mit Feldstecher oder kleinem Fernrohr wird die subjektive Farbwahrnehmung heller Sterne nach der Osthoffskala 0-10 eingestuft, wonach ein reingelb empfundener Stern den Wert 4 erhält.

Beispiel:
Beobachteter Stern       Spektraltyp k     Farbwert  f  (Mittwert aus 5 Schätzungen)
Epsilon Orionis                 B0=10          1+1+2+1+2 = 1.4
Kappa Orionis                  B0=10          1+2+3+2+1 = 1.8
Gamma Orionis                B2=12          2+2+1+2+1 = 1.6
Beta Canis Minoris           B8=18          2+2+3+2+1 = 2.0
Alpha Canis Maioris         A1=21           3+3+3+2+1 = 2.4
Beta  Aurigae                   A2=22          4+3+2+3+3 = 3.0
Alpha Geminorum            A2                usw.
Alpha Leporis                   F0
Gamma Canis Maioris       F6

Für die Aufstellung der persönlichen Farbgleichung sollten natürlich viel mehr Sternbeobachtungen einbezogen werden.

Die Wechselbeziehung zwischen Spektraltyp und persönlicher Farbwahrnehmung wird wiederum durch Ausgleichsrechnung ermittelt.

Lineare regression: Bedingungsgleichung: f=a+b*k; f=Wert der persönlichen Farbgleichung nach Osthoff. k=Spektralklasse.

Oder Polynom 2. Grades: Bedingungsglecihung f=a+b*k+c*k2
Oder Polynom 3. Grades: Bedingungsgleichung f=a+b*k+c*k2+d*k3



Farbdiagramm

Auf Millimeterpapier horizontal (Absizze) die Spektralklasse (O0-M9=k=0-70) und vertikal (Ordinate) die Osthoff-Skala 0-10 abtragen. Durch die Punkteschar wird die Ausgleichsgerade nach Augenmaß gezogen oder durch Ausgleichsrechnung berechnet. Mit dem persönlichen Farbdiagramm bzw. der Beziehung f=a+b*k, ist neben dem Spektraltyp (O,B,A,F,G,K,M) der Vergleichssterne auch der persönliche Farbwert (f) bekannt, der bei Umrechnung der Stufenskala in Größenklassen als Farbkorrektionswert in die Ausgleichsrechnung eingeht (Progr. GFA31).



Umrechnung der Stufenwerte des Veränderlichen in Größenklassen

Stufen in Helligkeit (Magnitudines):

mag=(a 7.01 ± 0.05)+(b 0.101 ± 0.005)*s.

Helligkeit in Größenklassen der verwendeten Vergleichssterne lt. Sternkatalog.

a: 7.01 mag.
b: 7.60 mag.
c: 8.21 mag.
d: 8.45 mag.

1. Methode:

Mit dem durch Ausgleichsrechnung bestimmten Koeffizienten b=0.101 mag (persönlicher Stufenwert) erhält man die Helligkeit des Veränderlichen (Progr. GFA30).

Beispiel:

Beobachtung 1. Juni: b 1 v 3 c (=b 1 v, c -3 v).

Die Beobchtung betrifft Vergleichssternhelligkeit b=7.60 mag und c=8.21 mag.

b=7.60 mag + 0.101 mag   * b +1 = v 7.70 mag * p Gewicht 10 = 77.0
c=8.21 mag + 0.101 mag   * c  -3 = v 7.91 mag  * p Gewicht 2  = 15.82

Mittelwert: (77.0+15.82)/12 = gewichtete Helligkeit des Veränderlichen v 7.74 ± 0.08 mag.

Stufen in Helligkeit (Magnitudines):

Beispiel. mag=(7.492 ± 0.113) + (0.153 ± 0.023)*s

Messung vom 12.1.91:

a +1
b -2
c -3
d -6

Helligkeit in Größenklassen der verwendeten Vergleichssterne lt. Sternkatalog.

a: 7.50 mag.
b: 7.95 mag.
c: 8.35 mag.
d: 8.61 mag.

a 7.50 + 0.153 * a +1 = 7.65 * p 10 = 76.5
b 7.95 + 0.153 * b -2 = 7.64 * p 5  = 38.2
c 8.35 + 0.153 * c -3 = 7.89 * p 2  = 15.78
d 8.61 + 0.153 * d -6 = 7.69 * p 1  =  7.79

Mittwert: v 7.68 ± 0.04 mag = gewichtete Helligkeit des Veränderlichen.

Methode 2:

Stufen in Helligkeit (mag=Magnitudines) nach der Gleichung: mag=7.01+0.101*s.

Beobachtung 1. Juni: b 1 v 3 c (=b 1 v, c -3 v) betrifft die Stufenskala der Vergleichssterne b=6.08 Stufen und c=11.22 Stufen.

b  6.08 + 1 Stufen = 7.08 Stufen * p 10 = 70.8
c 11.22 - 3 Stufen = 8.22 Stufen * p  2 = 16.44

Mittelwert: Stufenwert des Veränderlichen s 7.27 ± mf 0.43 Stufen.

Helligkeit Veränderlicher (s.o.): v 7.74 = a 7.01 + b 0.101*7.27.

Koeffizient mfa ± 0.051098 mag mittl. Fehler.
Koeffizient mfb ± 0.005168 mag mittl. Fehler.

Mittl. Fehler mag ± m.

m=Å(mfa+(b*mf)2+(mfb*s)2); s=Stufe des Veränderlichen ± mf mittl. Fehler.

m 0.08 mag = Å(0.05112+(0.101*0.43)2+(0.005168*7.27)2)

Helligkeit Veränderlicher am 1. Juni: v 7.74 ± 0.08 mag.

Messung vom 12.1.91:

a 0.00 + 1 = 1.00 * p 10 = 10
b 3.75 - 2 = 1.75 * p 5  = 8.75
c 4.75 - 3 = 1.75 * p 2  = 3.5
d 7.50 - 6 = 1.50 * p 1  = 1.5

Mittelwert: (10+8.75+3.5+1.5)/(10+5+2+1) = gewichteter Stufenwert des Veränderlichen 1.32 ± 0.21 Stufen.

Helligkeit Veränderlicher: v 7.69 = 7.49+0.153*1.32.

mag=(7.492 ± 0.113) + (0.153 ± 0.023)*s.
m 0.12 mag =
Å(0.1132+(0.153*0.21)2+(0.023*1.32)2).

Helligkeit Veränderlicher am 12.1.91: v 7.69 ± 0.12 mag.



Lichtzeit

Das Licht legt pro Sek. 299792.458 km zurück. Für die Strecke der mittleren Entfernung Erde-Sonne (1 AE 149597870 km) braucht es 499.005 Sek. = 8.317 Min. = 0.0057755 Tage. Die Entfernung Erde-Veränderlicher ändert sich infolge des Erdumlaufs um die Sonne periodisch. Die Hauptphasenzeitpunkte (Maxima und Minima) des Lichtwechsels können dadurch maximal um 8.3 Minuten früher oder später eintreten; denn liegt die Sonne zwischen Veränderlicher und Erde braucht das Licht gegenüber dem umgekehrten Fall zusätzliche 16.6 Minuten, um die Erde zu erreichen.
Bei kurzperiodischen Veränderlichen und Bedeckungsveränderlichen, die minutengenau beobachtet werden, ist die Lichtzeitreduktion unvermeidlich. Die Beobachtungszeit (Weltzeit UT) ist vor Ableitung der Lichtwechselemente für Lichtzeit zu korrigieren, wodurch sich die auf die Sonne bezogene (heliozentrische) Zeit des Veränderlichen ergibt.

Reduktion der Beobachtungszeit (UT) auf das Sonnenzentrum in ekliptikalen Koordinaten des Veränderlichen.

h=UT-8.317*R*cos( b)*cos(ls-k).

R=Entfernung Erde-Sonne in astronomischen Einheiten (1 AE = 149597870 km); L=ekliptikale Länge der Sonne; b, k = heliozentrische ekliptikale Breite u. Länge des Objekts.

Eintrag: a=Jahr, m=Monat, d=Tag.

jd=1720996.5+d+FIX(30.6001*((m-12*(m<3))+1))+FIX(365.2425*(a+(m<3))) //JD=Julianisches Datum
t=(jd-2451545)/36525 //t=Julian. Datum JD in Julian. Jahrh. ab Epoche J2000=1.1.2000, 12h
ec=0.4090928042223-0.000227*t  //mittl. Ekliptikschiefe
e
lms=4.895063+628.33197*t //mittl. ekl. Länge der Sonne
ms=6.24006+628.301955*t //mittl. Anomalie
//Mittelpunktsgleichung c
c=0.03342*SIN(ms)+0.00035*SIN(2*ms)
ls=lms+c //genäherte ekl. Länge der Sonne (auf 0.01 Grad)
v=ls-lms+ms.
R=0.9997/(1+0.0167*cos(v)) //Entfernung Sonne-Erde in Astronomischen Einheiten 1 R=149 597 870.66 km 

Die meisten Sternkataloge enthalten nur die äquatorialen heliozentrischen Koordinaten Rekatszension (a) und Deklination (d) der Sterne (Äquinoktium J2000), so daß eine Umrechnung in ekliptikale Koordinaten und auf das Äquinoktium des Datums notwendig wird.

arcsin b =cos(ec)*sin(d)-sin(ec) cos(d) sin(a)
x=(cos(
d) cos(a))/cos(b)
y=(sin(ec) sin(
d)+cos(ec)*cos(d) sin(a))/cos(b)
k =ARCTAN(y/(1+x))*2

REM GFA32 LICHTZEIT
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
ut = 12   //EINTRAG STD.
mi = 12   //EINTRAG MINUTE
d = 1     //EINTRAG TAG
m = 1     //EINTRAG MONAT
a = 2000  //EINTRAG JAHR
REM -----------------
ut = ut + (mi / 60) / 24
jd = 1720996.5 + d + FIX(30.6001 * ((m - 12 * (m < 3)) + 1)) + FIX(365.2425 * (a + (m < 3)))
jd = jd + ut
jd1 = jd - 2451545
tj = jd1 / 365.25
t = jd1 / 36525
ec = FN r(0.4090928 - 0.000227 * t) //mittl. Ekliptikschiefe
ms = FN r(4.895063 + 628.33197 * t) //mittl. ekl. Länge der Sonne
ms = FN r(6.24006 + 628.30196 * t) //mittl. Anomalie
c = 0.03342* SIN(ms) + 0.00035 * SIN(2 * ms) //Mittelpunktsgleichung
s = FN r(lms + c) //genäherte ekl. Länge der Sonne (0.01 Grad)
v = FN r(ms + c)
r = 0.9997 / (1 + 0.01671 * COS(v))
REM TRANSFORMATION ÄQUATORIAL J2000 ZUM MITTL. ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
d = RAD((20 + 30 / 60 + 45 / 3600))      //EINTRAG DEKLINATION (o,','') STERN  ÄQUINOKTIUM J2000
ar = RAD((13 + 45 / 60 + 23.3 / 3600) * 15) //EINTRAG REKTASZENSION (h,m,s) STERN ÄQUINOKTIUM J2000
dd = (0.0000989019 * COS(ar)) * tj
dr = (0.00022362 + 0.0000989019 * SIN(ar) * TAN(d)) * tj
d = d + dd
ar = FN r(ar + dr)
REM TRANSFORMATION ÄQUATORIAL - EKLIPTIKAL ---------
bet = ASIN(COS(ec) * SIN(d) - SIN(ec) * COS(d) * SIN(ar))
x = (COS(d) * COS(ar)) / COS(bet)
y = (SIN(ec) * SIN(d) + COS(ec) * COS(d) * SIN(ar)) / COS(bet)
l = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
REM LICHTZEIT IN STD. ------------
lz = -8.317 * r * COS(bet) * COS(ls - l)
h = ut + lz / 60 //HELIOZENTRISCHE ZEIT IN STD.
ut = h - lz / 60 //GEOZENTRISCHE ZEIT IN STD.
PRINT "LICHTZEIT IN MINUTEN : ";lz;" Min."
PRINT "HELIOZENTRISCHE ZEIT IN STD.: ";h;" h"
KEYGET HALT%

Reduktion der Beobachtungszeit auf das Sonnenzentrum in rechtwinkligen äquatorialen Koordinaten des Veränderlichen.

h=UT+8.317*(Xs*x+Ys*y+Zs*z).
h=UT+(-8.317*COS(
d )*COS(a)*Xs+8.32*(COS( d)*SIN(a)+TAN(ec)*SIN(d))*Ys).

RECHTWINKLIGE ÄQUATORIALE STERNKOORDINATEN
x=cos(
d) cos(a)
y=cos(
d) sin(a)
z=sin(
d)

REM RECHTWINKLIGE ÄQUATORIALE SONNENKOORDINATEN

Xs=R*COS(ls)
Ys=R*SIN(ls)*COS(ec)
Zs=R*SIN(ls)*SIN(ec)

Reduktion der Beobachtungszeit auf das Baryzentrum

Bei genauen lichtelektrischen Messungen sehr kurzer Perioden (Pulsare) ist eine zusätzliche Reduktion auf das Baryzentrum (Schwerpunkt des Sonnensystems) notwendig. Die sehr regelmäßige Periode der Radioimpulse liegt bei 0.05 bis 3.7 Sek. Wellenlängenbereich 1 cm bis 1 m, wobei das Max. der Intensität etwa bei 30 cm liegt. 

hb=h-499.005*Rb*(sin(d)*sin(d1)+cos(d)*cos(d1)*cos(a1-a)).
h=heliozentr. Zeit (in Zeitsek.); Rb=Entfernung Baryzentrum-Sonnenzentrum in AE; hb=auf das Baryzentrum bezogene Zeit.
d1, a1 = Äquatorialkoordinaten des Baryzentrums; d a = Äquatorialkoordinaten des Veränderlichen.



Lichtkurve

Da meistens nur die Hauptphasen der Lichtwechsels interessieren,  wird die Kurve gezeichnet, um die Zeitpunkte des höchsten und schwächsten Lichtes die Lichtwechselelemente (Periode und Amplitude) zu bestimmen.

Bei W UMa-, b-Lyrae und RR-Lyrae-Sternen wird man etwa zwei Stunden vor dem (lt. Lichtwechselemente) Minimumzeitpunkt mit der unvoreingenommenen Beobachtung beginnen (man schätzt alle 10 Min.). Bei Sternen mit Perioden von wenigen Stunden ist die Lichtkurve in einer Nacht mit Beobachtungen gedeckt. Bei Sternen mit Periodenlängen weniger Tage wird man in einer Nacht eine längere Beobachtungsreihe erhalten. Lanperiodische Veränderliche erfordern den geringsten Zeitaufwand, da eine Schätzung alle 2, 3 Tage ausreicht.

Mit den zuvor bestimmten Stufen- oder Helligkeitswerten des Veränderlichen erhält man eine erste Kurve des Lichtwechsels.



Zeit-Stufendiagramm bzw. Zeit-Helligkeitsdiagramm

Die Stufenwerte des Veränderlichen (oder eines Kleinplaneten) auf Millimeterpapier abtragen. Die rechte vertikale Ordinate (y-Leiter) bezeichnet die Stufenskala, die linke Vertikale der Ordinate die zugehörigen Helligkeiten der Vergleichssterne, die horizontale Abszisse (x-Leiter) die Beobachtungszeit (Julian. Datum JD).

Sollte die numerische Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate versagen (Polynom 2. oder 3. Grades), zeichnet man die bestmögliche Ausgleichskurve freihändig nach Augenmaß. Die Abweichungen der durch die Punkteschar gezogenen Kurve sollte möglichst klein und die Summe der positiven und negativen Differenzen gleich Null werden (Fig. 11).

Man bildet die Differenz jeden einzelnen Punktes gegen die durchgelegte möglichst glatt anschmiegende Kurve im Sinne Punkt minus Kurve. Man kann davon ausgehen, daß die Kurve richtig gezogen ist und dem Bahnverlauf gut entspricht, wenn die Summe der Quadrate aller notierten Differenzen (q12+q22+q32...qn2 = [vv]) nahezu Null wird. Sollte der Wert [vv] nicht nahe Null betragen, zeichnet man eine bessere Ausgleichskurve mit kleinerer Fehlerquadratsumme (<[vv]). Standardabweichung (Streuung der Werte): r = Å ([vv]/(n-1)); n=Anzahl der Messungen.



Bestimmung der Hauptphasen (Maximum und Minimum) des Lichtwechsels

Je nach dem symmetrischen oder asymmetrischen Verlauf der Lichtkurven mit flachen oder spitzen Hauptphasen, verwendet man verschiedene Methoden die Minima- und Maxima-Zeitpunkte möglichst genau zu bestimmen. Die geschätzten Helligkeitswerte des Veränderlichen müssen zur Auswertung in Form des Zeit-Helligkeitsdiagramms vorliegen.



Tracing-Paper-Method (Pauspapiermethode ) oder auch Symmetrieachsen-Umklappmethode, die K. Kordylewski (Krakau) erstmals 1924 bei Bedeckungssternen mit breiten oder spitzen Minima praktizierte, deren Helligkeitsab- u. -anstieg symmetrisch verlaufen. Diese Methode ist bei asymmetrischen  an- u. absteigenden Verlauf der Schätzpunkte nicht anwendbar.
In das Zeit-Helligkeitsdiagramm (Fig. 23) wird ein kleines Achsenkreuz parallel zur vertikalen und horizontalen Achse des Diagramms eingezeichnet. Kreuz und Schätzpunkte werden auf ein darüber gelegtes Paus- bzw. Transparentpapier durchgezeichnet.

Die Kreuzbalken des Diagramms und die des seitenverkehrt aufgelegten Durchschlags- bzw. Transparentpapiers ist zur exakten Deckung zu bringen und parallel zur horizontalen Achse soweit zu verschieben, bis sich die geringste Streuung zwischen den ursprünglichen und gepausten Punkten einstellt. Die Mittellinie zwischen beiden senkrechten Kreuzbalken legt den genauen Zeitpunkt der Minimumshelligkeit fest. Fig. 23.

Mit Hilfe der Kordylewski-Tracing-Paper-Method wird bei symmetrischen Lichtkurven durch Verdopplung der Schätzpunkte eine größere Genauigkeit der Hauptphasenzeitbestimmung erreicht. Die Verdopplung der Schätzpunkte ermöglicht auch eine sichere Einzeichnung der Lichtkurve nach Augenmaß durch mehr Anhaltspunkte.

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