Planetoiden

GFA-Programme der Thematik Meteore, Ringmikrometer, Veränderliche Sterne, Doppelsterne usw. zum Download: http://www.spaceglobe.de/Download/GFAPROG.exe.

Die Orts-, Bahnbestimmung und Anfertigung von Rotationslichtkurven nach photometrischen Beobachtungen der Planetoiden, ist ein interessantes Forschungsgebiet für den Liebhaberastronomen. 
Da die wenigsten Amateure über ein lichtelektrisches Photometer verfügen, um kleinste Amplituden (0.01 mag) zu erfassen, bleibt der Mehrzahl nur die simple visuelle Stufenschätzmethode nach Argelander (s. Veränderliche Sterne) oder die Photometrie durch Auswertung von CCD-Kamera-Aufnahmen. Die für jeden Amateur erschwingliche, vielseitige CCD-Kamera erlaubt ebenfalls sehr genaue Helligkeits- u. Positionsbestimmungen. 

Mit der visuellen Methode sind Kleinplaneten mit Helligkeitsschwankungen über 0.15 mag visuell beobachtbar. Die Schwankung der größten Planetoiden Ceres (mit 1003 km Durchmesser größter Planetoid), Pallas (608 km), Juno (288 km) und Vesta (538 km) betragen nur 0.04, 0.13, 0.15 und 0.15 mag. Entdecker Piazzi, 1.1.1801, Olbers, 28.3.1802, Harding, 1.9.1804 und Olbers, 29.3.1807.

D. Tholen (Sky and Telescope, Heft Aug. 1980) entdeckte die sich über eine Größenklasse erstreckende Amplitude des Kleinplaneten 216 Kleopatra, obwohl etwa nur 73 Planetoiden während der Perihelopposition heller als 9.5 mag werden.

                         Rotations-         Rotations-
                         lichtwechsel      periode            H(1,0)      G mag

(7)    Iris                     0.3 mag         7.12h           5.51        0.25
(9)    Metis                  0.3 mag         5.07h          6.28         0.29
(15)   Eunomia            0.5 mag         6.08h           5.28        0.20
(17)   Thetis                0.4 mag       12.28h           7.77        0.13
(39)   Laetitia              0.5 mag        5.14h             -             -   
(44)   Nysa                 0.4 mag         6.42h           7.05         0.44
(63)   Ausonia             1.0 mag         9.3h               -             -
(216)  Kleopatra          1.0 mag        5.3855h          -              -
(321)  Florentina          0.4 mag        2.87h            -              -
(433)  Eros                  1.5 mag        5.27027h      10.74       0.25
(951)  Gaspra              0.8 mag        7.04207h        -              -
1971   FA                   0.9 mag        8.56h              -              -
(1620) Geographos      2.0 mag         -                 15.60       0.15

Bei kugelförmigen und rotationselliptischen (abgeplatteten) Planetoiden, ist die Lichtwechselperiode, die in diesem Fall durch unterschiedlich helle Oberflächenregionen verursacht wird, gleich der Rotationsperiode. Bei triaxialen Ellipsoiden mit einer stark verlängerten Achse (Zigarrenform), bedeuten 3 Maxima oder 3 Minima der Lichtkurve eine Umdrehung, da wir abwechselnd auf die schmale u. breite Seite blicken. Die Rotationsperiode ist dann das Doppelte der Lichtwechselperiode.

Die Helligkeit des Planetoiden Vesta schwankt um 0.15 mag innerhalb einer Periode von 5h20m31.7s, die man nach photometrischen Untersuchungen von T. Gehrels als Rotationsperiode annahm. Mit 6.4 mag ist Vesta der hellste Planetoid. 1971 fand R.C. Taylor bei lichtelektrischen Messungen auf dem Mauna Kea-Observatorium (Hawaii), daß jedes zweite Maximum um 0.1 mag niedriger lag als das erste. Die südliche Hemisphäre der Vesta war 1971 der Erde stärker zugeneigt.
Taylor konnte die Gestalt von Vesta aufgrund der Lichtkurvenformen, als ein Sphäroid mit einer um 15 % längeren Achse, recht gut beschreiben. Er ging von einem flachen, nahe des Rotationspols entlang der längeren Achse gelegenen, Einschlagkrater bis 45 Grad südlicher Breite aus. Bei der Erde zugeneigtem Nordpol liegt der größte Teil des Einschlagkraters auf der erdabgewandten südl. Hemipshäre. Die beiden Helligkeitsmaxima sind dann gleich. Die Rotationsperiode (2 Maxima und 3 Minima) bestimmte Taylor zu 10h40m58.84s. Lt. Taylor zeigt das nördliche Ende der Rotationsachse von Vesta auf den Punkt mit der Rektaszension 11h, Deklination 58° (zwischen Merak [Beta] und Dubhe [Alpha] im Sternbild des Gr. Bären).
HST (Hubble-Space-Telescope) - Aufnahmen bestätigten jetzt Taylors Erklärung der Vesta-Lichtkurven. Der flache Einschlagkrater, am Pol der Vesta entlang der längeren Seite gelegen, besitzt 460 km Durchmesser

Bis zum Jahre 1899 erhielten fast alle Planetoiden vorwiegend weibliche Namen der griech. Mythologie (Ausnahmen sind 20 Massalia [Marseille] und 21 Lutetia [Paris]), später auch männliche Vornamen (1860 bekam der Planetoid [59] Elpis den ersten männlichen Vornamen vor [433] Eros) und Städtenamen; heute vorwiegend eine aus der Jahreszahl der Entdeckung und zwei lat. Großbuchstaben bestehende Kennzeichnung (z. B. 1971 FA), und erst auf Antrag eine Registriernummer und den vorgeschlagenen Namen.



Planetoidennamen

(100) Hecate, (966) Muschi, (1181) Lilith, (1486) Marilyn (nach der Tochter des Direktors des Cincinnati-Observatoriums), (1625) The NORC (nach einer Rechenmaschine), (1047) Geisha, (1372) Haremari (zu Ehren der weiblichen Mitglieder [Harem] des Astr. Rechen-Inst. [ARI] Berlin); Städtenamen: (470) Kilia (benannt nach der Stadt Kiel); Trojaner: (588) Achilles, (617) Patroclus, (624) Hektor, (659) Nestor, (1143) Odysseus usw.
Nach Amateurastronomen benannte Planetoiden: (2213) Meeus (zu Ehren des bekannten Astronomie-Publizisten J. Meeus), (3559) Violaumayer (zu Ehren von Martin Mayer, Leiter des Bruder-Klaus-Heims, Violau), Astronomie-Publizist (3030) Vehrenberg, Leiter der Bayerischen Volkssternwarte (3275) Oberndorfer, (3683) Baumann, (2602) Moore (P. Moore war Vizepräsident der British Astronomical Association).



Lichtzeit

Das Licht braucht 8.317 Minuten um die Strecke 1 AE (1 AE = astronomische Einheit = 149597870 km) zurückzulegen. Von der Beobachtungszeit (Weltzeit UT oder TDT) ist der Betrag 8.317 Minuten * Õ zu subtrahieren, um die Zeit zu erhalten, zu der der Planetoid die beobachtete Helligkeit einnahm. Õ = Entf. Erde-Planetoid in AE.
Reduktion z. B. 12.2.1975 0h TDT,
Õ=0.17513 AE: 8.317*0.17513 = 1.457 Min. 0h/24h - 1.457 Min. = 11.2.1975, 23h58.543m TDT.



Reduktion der beobachteten Helligkeiten (m(i)) auf die Einheitsentfernung 1 AE [H(1,0)] oder mittl. Oppositionshelligkeit (Ho)

Um die beobachteten Planetoidenhelligkeiten vergleichen zu können, reduziert man diese auf eine Einheitsentfernung. Hierdurch wird der Lichtwechsel aufgrund der Bahngeometrie ausgeschaltet. H(1,0)i = Helligkeit des Planetenoiden in der Einheitsentfernung r = 1 AE und Õ =1 AE; Hoi = mittlere Oppostionshelligkeit = Helligkeit des Planetoiden in der Entfernung von der Sonne der großen Halbachse (a) der Planetoidenbahn. Die Entfernung zur Erde ist dann a-1 AE. mi = beobachtete mit Phasenwinkel (i) behaftete scheinbare Zenithelligkeit.

H(1,0)i = mi-5*LOG10(r*Õ).

Hoi = mi-5*(LOG10(r*Õ )-LOG10(a*(a-1))); Bahnelement a = mittlere große Halbachse der Planetoidenbahn in AE.

Oder: Hoi=mi+2.5*LOG10(((a-1)2*a2)/(r2*Õ2)).

Beispiel: 11.2.1975 0h TDT, (433) Eros: r=1.14088 AE, Õ = 0.17513 AE, R=0.9869 AE. Große halbe Bahnachse des Planetoiden (433) Eros: a=1.4579 AE. mi=8.29 mag. H(1,0)i = 11.79 mag; Hoi = 10.91 mag.

Die Helligkeiten H(1,0)i und Hoi sind allerdings mit dem Phasenwinkel (i) behaftet.



Geometrischer Phasenwinkel (i in Grad)

Der Phasenwinkel mißt von 0 (voll beleuchtete Scheibe) bis 180 Grad (unbeleuchtet). Gesehen von der Sonne, ist die eine Hemisphäre mit der Sonne am Zenit (Sub-Solar Ort auf dem Gestirn) stets voll beleuchtet. Von der Erde gesehen ergeben sich jedoch verschiedene Phasenwinkel. Der Phasenwinkel ist demzufolge der Winkel am Gestirnsmittelpunkt zwischen Sonne- (Sub-Solar Ort) und der Erdrichtung (Sub Erde Ort = Ort mit der Erde am Zenit auf dem Planetoiden).

Bei i=90 Grad ist der Planetoid zur Hälfe beleuchtet, da die Richtungen am Planetoidenmittelpukt zur Sonne und Erde einen rechter Winkel bilden. Der größte Teil der Planetoiden erreicht einen max. Phasenwinkel unter 30 Grad. Für max. i=45 Grad müßte der Planet bereits die Marsbahn kreuzen.

R=Distanz Erde-Sonne, r = Distanz Sonne-Planetoid, Õ = Distanz Erde-Planetoid (Distanzen in astronomischen Einheiten AE).

Für große Phasenwinkel ist diese Formel ausreichend (i in Grad):
i = ARCCOS((r2+
Õ2-R2)/(2*r*Õ))*57.2957795.

Die folg. Formel ist für kleine Phasenwinkel präziser.
i=ARCTAN(
Å(((d-r)*(d-Õ))/(d*(d-R))))*2*57.29577951; d=(R+r+Õ)/2.

Beispiel: 11.2.1975 0h TDT, (433) Eros: r = 1.14088 AE, Õ = 0.17513 AE, R = 0.9869 AE.
i = 26.2978 Grad mal (PI/180) = 0.45898353 Phasenwinkel i in RAD.



Phasenkoeffizient

Der Phasenkoeffizient k bezeichnet das Maß der Helligkeitsabnahme des Planetoiden, wenn der Phasenwinkel um 1 Grad zunimmt.
Bedingungsgleichung y(n)=a+b*x(n), n=1,2,3..., Anzahl Beobachtungen:
H(1,0)i = H(1,0) + k*i.
Oder: Hoi = Ho + k*i.

Hoi,H(1,0)i = auf Einheitsentfernung reduzierte mit Phasenwinkel i behaftete Helligkeit, i = Phasenwinkel, k = Phasenkoeffizient.
Ho = mittlere Oppositionshelligkeit bei Phasenwinkel i = 0; H(1,0) = mittlere Helligkeit bei r=
Õ=1 AE und Phasenwinkel i=0 Grad.

Die Unbekannten Ho bzw. H(1,0) und k ermittelt man durch Ausgleichsrechnung (Lineare Regression), wobei der Zusammenhang zwischen i und k im allg. linear angenommen wird.

Statt H(1,0)i ist Hoi ebenso einsetzbar.

Akkumulation:

[y]  =  S H1(1.0)i+H2(1.0)i+H3(1,0)i+...
[x]  = 
S i1+i2+i3+...
[xx] =
S i12+i22+i32+...
[xy] =
S H1(1,0)i*i1+H2(1,0)i*i2+H3(1,0)i*i3+...
n = Anzahl Bedingungsleichungen

REM NORMALGLEICHUNG FÜR ZWEI UNBEKANNTE (LINEARE REGRESSION)
n    H(1,0) + [x]   k = [y]
[x] H(1,0) + [xx]  k = [xy]

Awendungsbeispiele der Normalgleichung in Doppelsterne und Veränderliche Sterne.

T. Gehrels kann eine Linearität der Phasenkurve nicht bestätigen, da er bei kleinen Phasenwinkeln einen beträchtlich größeren Phasenfaktor findet, als bei größeren Phasenwinkeln (Oppositionseffekt). Linear verhält sich der Phasenfaktor erst ab einem Phasenwinkel i>8 Grad.

Bei nicht linearem Verlauf liefert wiederum ein Polynom 2 oder 3 Grades genauere Resultate.

Bedingungsgleichung Polynom 2 Grades:
Hoi = Ho + k*i + k1*i2.
H(1,0)i = H(1,0) + k*i + k1*i2.

Bedingungsgleichung Polynom 3 Grades:
Hoi = Ho + k*i + k1*i2 + k2*i3.
H(1,0)i = H(1,0) + k*i + k1*i2 + k2*i3.



Helligkeit eines Planetoiden mit Phasenkoeffizienten

Bei linear angenommenen Verlauf bzw. großen Phasenwinkeln:
m i = H(1,0)+5*LOG10(r*
Õ) + k*i.
Oder:
mi=Ho+5*(LOG10(r*
Õ)-LOG10(a*(a-1))) + k*i.

Bei nicht linearem Verlauf bzw. kleinen Phasenwinkeln:
mi=H(1,0)+5*LOG10(r*
Õ) + k*i + k1*i2.
Oder:
mi=Ho+5*(LOG10(r*
Õ )-LOG10(a*(a-1))) + k*i + k1*i2.
k*i=mi -5*LOG10(r*
Õ)-H(1,0).

Phasenkoeffizienten (absolute visuelle Helligkeit + Phasenkoeffizient [durchschnittl. k=0.023 mag]): Ceres mag = 3.40 + k 0.049*i mag, Pallas mag = 4.53 + k 0.036*i mag, Juno mag = 5.62 + k 0.04*i mag, Vesta mag = 3.54 + k 0.0266*i mag, (433) Eros mag = 11.44 + k 0.024*i mag, an dem erstsmals Oppolzer 1901 einen kurzperiodischen Lichtwechsel feststellte.

Die Kommission 20 der IAU (New Dehli, Nov. 1985) führte ein neues Helligkeitssystem für Planetenoiden ein.
mi = H(1,0)+5*LOG10(r*
Õ ) - 2.5*LOG10((1-G)*P1+G*P2).
P1=EXP(-3.33*TAN(i/2)0.63)
P2=EXP(-1.87*TAN(i/2)1.22)
i = Phasenwinkel in RAD (i rad = i Grad / 57.2957795); EXP(n) = Exponentialfunktion ex.
mi = visuelle scheinbare Zenithelligkeit; H(1,0) = visuelle Zenithelligkeit in der Einheitsentfernung bei Phasenwinkel i=0 Grad.

Parameter H(1,0) und G. Ceres H(1,0) = 3.34 mag,  G = 0.12 mag; Pallas H(1,0) = 4.13 mag, G = 0.11 mag; Juno H(1,0) = 5.33 mag, G = 0.32 mag; Vesta H(1,0) = 3.20 mag, G = 0.32 mag.
Korrektion der langperiodischen Helligkeitsänderung aufgrund der Bahngeometrie und des Phasenwinkels. Der kurzperiodische Rotationslichtwechsel ist unberücksichtigt.

Beispiel: 11.2.1975 0h TDT, (433) Eros: r=1.14088 AE, Õ=0.17513 AE, R=0.9869 AE.
i=26.2978 Grad mal (PI/180) = 0.45898353 Phasenwinkel i in RAD; H(1,0)=10.74 mag, G=0.25 mag.
P1 0.263879 = EXP(-3.33*TAN(0.4589835/2)^0.63).
P2 0.728152 = EXP(-1.87*TAN(0.4589835/2)^1.22).
Mittlere visuelle Helligkeit (433) Eros am 11.2.1975 0h TDT (Zenithelligkeit):
mi 8.29 mag = 10.74+5*LOG10(1.14088*0.17513)-2.5*LOG10((1-0.25)*P1+0.25*P2).



Rotationslichtwechsel (Lichtkurve)

Die für Extinktion korrigierte, beobachtete Helligkeit (mi) ist auf die Einheitsentfernung (H(1,0) oder Ho) zu reduzieren und für Phasenwinkel (k*i) zu korrigieren:

 H(1,0) mag = mi - 5*LOG10(r*Õ) - k*i.
Oder: Ho mag = mi - 5*(LOG10(r*
Õ)-LOG10(a*(a-1))) - k*i.
Beobachtungszeit (UT oder JD) für Lichtzeit korrigieren (s. Abschnitt Lichtzeit).



Zeit-Helligkeit-Diagramm

An die vertikale Ordinate wird die reduzierte Helligkeit des Planetoiden (mag) und an der Abszisse die reduzierte Beobachtungszeit (UT oder JD) abgetragen.
Die im Kap. Veränderliche Sterne ausführlich beschriebenen Verfahren zur Bestimmung der Maxima bzw. Minima der Lichtkurve, Epochen und Perioden sind hier analog anzuwenden. Aus zahlreich bestimmten Maxima oder Minima (Julian. Datum JD) ist die Epoche und die Periode des Lichtwechsels (Rotationszeit) durch Ausgleichsrechnung zu bestimmen.

Numerisches Beispiel:

JDmax = Eo + P*E
Jdmini = Eo + P*E; Eo=Ausgangsepoche (JD),P = Lichwechselperiode, E = Anzahl der Epochen bzw. Perioden, B-R = Beobachtung minus Rechnung

Bedingungsgleichung:
B-R = dEo + dP*E (Lineare Regression).

Verbesserung der vorläufigen Elemente: Eo=Eo+ dEo; P=P+dP.

Evtl. Änderungen, Ungenauigkeiten der Periode P erkennt man aus dem B-R Diagramm. Einfaches photometrisches Verfahren zur Bestimmung des Lichtwechsels.

Nach den von M. Beyer beobachteten 56 JDminima (ab E=169093, Eo=2.919 September 1951) des Lichtwechsels des Planetoiden (433) Eros, erhält man als Ausgangsepoche Eo = JD 2415326.496 Tage, Lichtwechselperiode P=0.1097971910977 Tage (um die siderische Rotation zu erhalten, ist neben der Lichtzeit die Polwinkelkorrektion (P/360°*K) von den beobachteten Minima zu subtrahieren).

Der mittl. Fehler von Eo beträgt 0.510059 Tage, so daß weit mehr als 56 beobachtete Lichtwechselminima heranzuziehen sind (Material mehrerer Oppositionen), um den mittleren Fehler Eo weiter zu senken. Der mittlere Fehler von P beträgt 0.00000299 Tage.

Da dieser Planetoid die ungefähre Gestalt einer >Zigarre< besitzt (theoretische Modellform Kreiszylinder mit zwei Halbkugeln), macht die Lichtwechselperiode 0.109797 Tage von 2 Minima nur die halbe Umdrehung (½P) aus.  (433) Eros rotiert demzufolge in ½P 0.109797 Tage mal 2 = in P 0.219594 Tage um die Achse (5h16m12.9s).

Lichtwechselelemente dieses Planetoiden:
 JDminima = Eo 2415326.413 + ½P 0.10979685*E + Lichtzeit 0.005775521*
Õ + f 0.000061d/° * K.

f=P/360°. Õ= Entfernung Erde-Planetoid in AE. Eo=2.913 Nov. 1900; die Polwinkelkorrektion K bezieht die siderische (auf einen Stern bezogende) Rotation (P) auf die jeweilige am Planetoidenmittelpunkt herrschende planetozentrische Rektaszension (K) der Erde (=Erdrichtung bzw. auf den Sub-Erde Ort = Ort auf dem Plantoiden mit der Erde am Zenit), da  von der Erde aus nur synodische Rotationen beobachtet werden können.

REM GFA41 ROTATIONSELEMENTE PLANETOIDEN
DIM p(20,20),ko(10),z(80),d(80)
REM DATEN E UND JDminima EINLESEN
jdo = 2430000        //JDminima (433) EROS UM JD 2430000 TAGE VERMINDERT
RESTORE dat
FOR i = 1 TO 56
  READ z,d
  z(i) = z  //EPOCHEZAHL E
  d(i) = d  //JULIAN. DATUM JD MINIMA (433) EROS
NEXT i
dat:
DATA 169093,3892.419,169094,3892.518,169102,3893.414,169129,3896.379,169147,3898.369
DATA 169148,3898.452,169293,3914.367,169294,3914.463,169302,3915.358,169303,3915.465
DATA 169347,3920.319,169348,3920.415,169383,3924.269,169384,3924.372,169385,3924.495
DATA 169411,3927.364,169420,3928.339,169430,3929.452,169447,3931.334,169448,3931.439,169474,3934.3 17
DATA 169475,3934.423,170020,3994.248,170021,3994.367,170512,4048.25,170513,4048.356
DATA 170540,4051.31,170549,4052.298,170550,4052.405,170567,4054.273,170568,4054.387,170576,4055.26 1,170577,4055.367,170687,4067.441,170695,4068.329
DATA 170696,4068.432,170786,4078.312,170795,4079.311,170850,4085.338,170859,4086.338,170877,4088.3 16,170896,4090.39
DATA 170905,4091.39,170969,4098.412,170987,4100.398,171023,4104.342,171032,4105.324
DATA 171142,4117.402,171160,4119.377,171169,4120.366,171178,4121.355,171242,4128.391
DATA 171251,4129.37,171260,4130.355,171278,4132.349,171306,4135.399
REM ------------------------
n1 = 56 //EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN: JDminima(nr)=Eo+P*E(n); n=1,2,3... usw.
REM NORMALGLEICHUNG FÜR ZWEI UNBEKANNTE (LINEARE REGRESSION)
REM  n  a + [x]  b = [y]
REM [x] a + [xx] b = [xy]
x = 0
y = 0
xx = 0
yy = 0
xy = 0
REM AKKUMULATION [x] = x+x+x+x...,n; [xx] = x*x+x*x...,n
FOR i = 1 TO n1
  x = x + z(i)            //[x]
  y = y + d(i)            //[y]
  xx = xx + z(i) * z(i)
  xy = xy + z(i) * d(i)
  yy = yy + d(i) * d(i)
NEXT i
REM ---------------------
m = 2 //ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 2 //ANZAHL UNBEKANNTE
p(1,1) = n1
p(1,2) = x
p(1,3) = y //RESIDUUM
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy //RESIDUUM
GOSUB elim
PRINT "KOEFFIZIENT Eo JD: ";ko(1) + jdo
PRINT "KOEFFIZIENT     P: ";ko(2);" TAGE LICHTWECHSEL"
PRINT
REM SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE
vv = yy - y * ko(1) - xy * ko(2)
s = SQR(vv / (n1 - 2))
mfa = s * SQR(xx / (n1 * xx - x * x))
mfb = s * SQR(n1 / (n1 * xx - x * x))
REM KORRELATIONSKOEFFIZIENT (r = 1 perfekte Anpassung, r>0.9 = gute Korrelation, geringe Streuung, r<0.5 geringe Korrelation, starke Streuung der Werte, r=0 kein Zusammenhang x mit y)
r = (n1 * xy - x * y) / (SQR(n1 * xx - x * x) * SQR(n1 * yy - y * y))
REM SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE
vo = 0
FOR i = 1 TO n1
  vo = vo + (d(i) - (ko(1) + ko(2) * z(i))) ^ 2
NEXT i
PRINT "MITTLERER FEHLER DER EINZELMESSUNG.: ";s;" TAGE"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT Eo....: ";mfa;" TAGE"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT P.....: ";mfb;" TAGE"
PRINT "KORRELATIONSKOEFFIZIENT............: ";r
PRINT "SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE.: ";vv;" TAGE"
PRINT "SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE.: ";vo;" TAGE"
KEYGET HALT%
END
PROCEDURE elim  //AUSGLEICHSRECHNUNG NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
  FOR j = 1 TO n - 1  //GAUSS ELIMINATION
    nr = j
    no = ABS(p(j,j))
    FOR i = j + 1 TO n    //ZEILENPIVOT
      noo = ABS(p(i,j))
      EXIT IF (noo - no) < 0
      no = noo
      nr = i
    NEXT i
    IF nr = j THEN
      GOTO jum1
    ENDIF
    FOR i = j TO m + 1
      no = p(nr,i)
      p(nr,i) = p(j,i)
      p(j,i) = no
    NEXT i
    jum1:
    FOR i = j + 1 TO m + 1   //ELIMINATION
      p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
    NEXT i
    FOR i = j + 1 TO n
      FOR k = j + 1 TO m + 1
        p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
      NEXT k
    NEXT i
  NEXT j
  ko(n) = p(n,n + 1) / p(n,n )  //RÜCKSUBSTITUTION
  j = n
  REPEAT
    j = j - 1
    ko(j) = p(j,n + 1)
    FOR i = j + 1 TO n
      ko(j) = ko(j) - p(j,i) * ko(i)
    NEXT i
  UNTIL j < 2
RETURN

Da Planetoiden sich sehr schnell bewegen, müssen täglich neue Anschlußsterne ausgewählt werden (Spektraltyp G2 gemäß unserer Sonne - Planetoiden leuchten im reflektierten Sonnenlicht). Da mit der Methode nach Argelander Helligkeitsdifferenzen geschätzt werden, ist die Kenntnis der Größenklasse der Vergleichssterne nicht unbedingt erforderlich, da die Amplituden in Stufen ausgedrückt sind. Bei bekannten Vergleichssternhelligkeiten können die Stufenwerte (Amplituden) in Größenklassen umgerecht werden.



Determination des Rotationspols

Die meisten Planetoiden erscheinen auch in den größten Fernrohren als sternartige Lichtpünktchen, die daher auch Asteroiden (sternähnlich) genannt werden. Ausnahmen sind die größten und hellsten Planetoiden, an denen mikrometrische Durchmesserbestimmungen vorgenommen werden können. Auch (433) Eros ist in großen Teleskopen in größter Erdnähe (22 600 000 km) als unregelmäßige, längliche »Zigarre« (Zylinderform mit den Achsen a=35 km, b=16 km, c=17 km km Durchmesser, durchschnittlich 23 km Durchm.) sichtbar..

(23 km /23000000 km)*57.29578*3600'' = scheinbarer Winkeldurchmesser 0.21'' (Bogensekunden). (0.01 m /(0.21/3600))*57.29578 = 9822 m. 0.21'' entspricht dem Winkel von 1 cm, gesehen aus 9.82 km Abstand.
Da das Auge zwei Punkte erst in 120'' (2') Distanz getrennt erkennt, liegt die Mindestvergrößerung bei 120/0.21'' = 571fach. Um die längliche Form des Planetoiden auszumachen, muß die Auflösung des Fernrohrs bei 0.2'' liegen. Dawes-Regel: 115.824''/Objektivöffnung 600 mm = 0.19''. Bei bester Luftbeschaffenheit liegt die Mindestöffnung des Fernrohrs bei 60 cm (z. B. 60-cm Refraktor [18 m Brennweite] des Pic du Midi Observatoriums [+0°8'32.4'' ö. L., +42°56'12.0'' n. Br., NN 2862 m]).

Das Zigarren- bzw. Zylindermodell trifft auf etwa 90 % aller Planetoiden zu. Die Informationen sind daher, wenn Radarmethoden und Aufnahmen durch Raumsonden ausgeschlosssen werden, allein aus der Lichtkurve (Planetoidengestalt) und Amplitudenänderung (Achsenorientierung) zu gewinnen.

Regionen mit unterschiedlichem Rückstrahlvermögen (Albedo) sind am Vergleich zweier Maxima oder zweier Minima einer halben Umdrehung (systematische Unterschiede zwischen den geraden und ungeraden Phasenepochen E) zu erkennen. Der bei großen Amplituden kaum bemerkbare Unterschied macht durchschnittlich 0.04 mag aus. Viel krasser als die Albedovariationen der Oberfläche, spiegelt die Lichtkurvenform die unregelmäßige Gestalt (Trümmerstück) der Planetoiden wider. Spiegelnde Oberflächenregionen ergeben - bei geringster Änderung der Achsenneigung - eine völlige Änderung der Lichtkurve.
Eckige oder kantige Oberflächenregionen führen zur diskontinuierlichen Lichtkurvenformen hauptsächlich um die Minimumszeit, da der Planetoid uns dann die spitzen Seiten zuwendet. Unebenheiten, Ecken und Kanten können dann wegen des geringeren Krümmungsradius besonders scharf hervorstechen. Die Schattenwirkung wird mit kleinen Phasenwinkeln oder Phasenwinkel um i=0 (Oppositionszeit) minimal.

Die Achsenorientierung bei ellipsoidischen oder zylinderförmigen Körpern ist aus der Änderung der Amplitude des Lichtwechsels abzuleiten.
Erreicht die Erde die größte nördliche oder südliche planetozentrische Deklination De (= Abweichung des Sub-Erde Ortes - = Ort auf dem Plnetoiden mit der Erde am Zenit - vom Planetoidenäquator), so daß Sichtlinie und Richtung der Rotationsachse nahe zusammenfallen (De = 80-90 Grad), wird die Amplitude des Rotationslichtwechsels stets minimal oder null (unabhängig von Gestalt u. Oberfächenbeschaffenheit) und die Helligkeit nahezu konstant (z. B. Planetoid [433] Eros), da stets dieselbe Planetoidenseite (Polkalotte) in Richtung Erde zeigt. Passiert die Erde die Äquatorebene des Planetoiden (plantozentrische Deklination des Sub-Erde Orts De = 0 Grad), so daß die Rotationsachse senkrecht auf der Sichtlinie steht, wird die Amplitude des Lichtwechsels maximal (die Amplitude von [433] Eros erreicht max. 1.5 mag).
Die Rotationsachse wird als unveränderlich angenommen (evtl. Präzessions- u. Tumbling-Effekt unberücksichtigt). Fällt die Bahnebene des Planetoiden mit der Erdbahnebene zusammen (Inclination i=0, z B. [1383] Limburgia i=0.014°, [1486] Marylin i=0.084°), ist die Lage des Rotationspols nicht feststellbar, da sämtliche um den Planetoidenort gezogenen Polkurven die Ekliptikebene zum Mittelpunkt haben.
Die zwei Polkurven mit je 90 Grad (Erde überschreitet den Planetoidenäquator von Süden nach Norden und von Norden nach Süden) fallen zusammen und bilden keinen Schnittpunkt (in diesem speziellen Fall die Polkurven um den Nordpol und durch die jeweiligen Planetoidenorte zeichnen [Fig. 38]).

Fig. 38a zeigt die Relation zwischen der Amplitude (A) und dem zur Erde geneigten Winkel der Rotationsachse (De) für (433) Eros und den Kurvenverlauf zweier theoretischer Modellformen: Kreiszylinder (Kurve b) mit zwei angesetzten Halbkugeln (»Zigarre«) und dreiachsiger Rotationsellipsoid (Kurve c). Die Modelle ergeben jedoch nur sehr grobe Anhaltspunkte des Winkels De.

Da der Winkel De die Erhebung der Erde über den Planetoidenäquator bezeichnet, entspricht der durch die Erde (Sub-Erde Ort) verlaufende Deklinationskreis der Polkurve 90°-De. Von der Erde gesehen, ist der auf den Planetoidenäquator bezogene Erdort De, K (=Sub Erde Ort) der scheinbare Mittelpunkt des Planetoiden (= Rektaszension a, Deklination d).

Passiert die Erde die Äquatorebene des Planetoiden von Süden nach Norden (De=0), ergibt sich eine Maximalamplitude und eine weitere bei der nachfolgenden umgekehrten Überquerung der Äquatorebene von Norden nach Süden (wieder De=0). Dadurch erhält man zwei senkrecht zur Rotationsachse verlaufende Polkurven (Kreis um den Planetoidenort a, d mit dem Radius 90°-De, Fig. 39), deren Schnittpunkt die Lage des Rotationspols festlegt.

Ein zunehmender Phasenwinkel kann die Lichtwechselamplitude vergrößern und zu tieferen und schärferen Minima führen. Der Rotationspol ist jedenfalls mit dem Beobachtungsmaterial mehrerer Oppositionen zu vereinbaren.
Da die Feststellung der zwei Äquator-Passagen ein umfangreiches Beobachtungsmaterial erfordert, wird in der Regel eine bestimmte Modellform (Fig. 38a) des Planetoiden mit entsprechender Beziehung der Lichtwechselamplitude (A) mit dem Winkel De angenommen: Funkion A=f(De).

Da der Winkel De die Erhebung der Erde über den Planetoidenäquator bezeichnet, entspricht der durch die Erde (Sub-Erde Ort) verlaufende Deklinationskreis der Polkurve 90°-De. Von der Erde gesehen, ist der auf den Planetoidenäquator bezogene Erdort De, K (=Sub Erde Ort) der scheinbare Mittelpunkt des Planetoiden (= auf den Erdäquator bezogen a, d).

Schlägt man daher um den Nordpolort a1, d1 Kreise (Polkurven) mit den Radien 90°-De, müssen diese Deklinationskreise den jeweiligen Planetoidenort a, d schneiden. Der durch Nordpol u. De verlaufende planetozentrische (Längenkreis der Erde auf dem Planetoiden) Längenkreis K schneidet geozentrisch den Nordpol des Planetoiden und den jeweiligen Planetoidenort (Fig. 38,39) und verläuft durch den Sub-Erde Ort (Erde am Zenit auf dem Planetoiden bzw. im scheinbaren Planetoidenmittelpunkt, gesehen von der Erde) des Planetoiden.

Bei unbekanntem Nordpol a1, d 1 zeichnet man die Polkurven 90°-De jedoch um den jeweiligen Planetoidenort  a, d ; denn dann schneiden sich alle Polkurven im Nordpol a1, d1 des Planetoiden.  Die Längenkreise K verlaufen durch den Schnittpunkt (Nord-/Südpol) und den Planetoidenort (Fig. 39).

Ist der Nordpol nach der Beziehung 90°-De [Funktion A=f(De) und (P/360)*K] in Einklang mit dem Beobachtungsmaterial mehrerer Oppositionen gebracht, kann De und K berechnet werden.
 


a, d = geozentrische Deklination und Rektaszension des Planetoidenortes.
a1, d1 = geozentrische Deklination und Rektaszension des Rotationspols.

Winkel der Äquatorbene des Planetoiden mit der Äquatorebene der Erde (Fig. 39a): i = 90°-d1. Rektaszension des Winkels i (Rektaszension des aufsteigenden Knotens der Planetenoidenäquatorebenene ab Aries-Point [Frühlingspunkt]): N=a1+90°. Die Beobachtungen beziehen sich auf das Äquinoktium des Datums.

De = planetozentrische (= auf den Planetoidenmittelpunkt bezogene) Deklination der Erde (Erhebung der Erde über die Planetoidenäquatorebene: -90° Südpol<=De<=+90° Nordpol); K = planetozentrischer Polwinkel der Erde = planetozentrische Rektaszension der Erde (K = Länge der Erde [im gleichen Sinne wie a gezählt, nämlich um den Nordpol des Planetoiden entgegen dem Uhrzeigersinn 0<K<360 Grad] parallel zur Planetoidenäquatorebene), ab dem aufsteigenden Knoten (N) der Planetenoidenäquatorebene mit der Erdäquatorebene gemessen (= Winkel am Planetoidennordpol zwischen Richtung Erdnordpol und Sub-Erde Ort [De, K]).

Geozentrisch (= auf die Erdemitte bezogen) verläuft K ± 180° (Fig. 39a) durch den Planetoidenort a, d und den Planetoidennordpol a1, d1 . Die Sphäre der Fig. 38 und Fig. 39 ist allerdings umgekehrt  wiedergegeben, so daß die Rektaszension (von Norden gesehen) im Uhrzeigersinn mißt.

Bei Pos. 4 (Fig. 38) besitzt die Erde K=206.28° und (433) Eros 206.28° - 180° = 26.28° (geozentrisch). Da bei Fig. 38,39 die Rektaszension (von Norden gesehen) im Uhrzeigersinn zählt, wird der Winkel 26.28° (von Süden gsehen) entgegen dem Uhrzeigersinn (ab aufsteigenden Knoten N) gemessen.

De = ARCSIN(-sin(d 1) sin(d)-cos(d1) cos(d) cos(a1-a))
x=(cos(
d) sin(a1-a))/cos(De)
y=(-cos(
d1) sin(d)+sin(d1) cos(d) cos(a1-a))/COS(De)
K=ARCTAN(y/(1+x))*2; K negativ +360 (oder 2*PI bei Rechnung in RAD) addieren.

Geozentrischer Positionswinkel (pw) der Rotationsachse:

y=(cos(d1) sin(a1-a))/cos(De)
x=(sin(
d1) cos(d)-cos(d1) sin(d) cos(a1-a))/COS(De)
pw=ARCTAN(y/(1+x))*2; pw negativ +360 (oder 2*PI bei Rechnung in RAD) addieren. Der Positionswinkel mißt ab (Nord-Richtung) dem Rektaszensionskreis
a, d entgegen dem Uhzeigersinn (0°<=pw<=360°).

Fig. 38 (Gradnetzmittelpunkt +9, 150 Grad) zeigt die Bahn (30 zu 30 Tage) des Planetoiden (433) Eros (Opposition 1974-75) mit Polkurven 90°-De um den Südpol der Rotationsachse. Position 1: 1.11.1974, De=2.02°/K 234.89° (Amplitude 1.5 mag?).

Pos. 2: 1.12.1974, De=11.19°/K=243.22°.
Pos. 3: 31.12.1974, De=19.21°/K=239.22° (Amplitude Mitte Januar 1.1 mag!).
Pos. 4: 30.1.1975, De=31.37°/K=206.28°.
Pos. 5: 1.3.1975, De=48.43°/K=177.85°.
Pos. 6: 31.3.1975, De=53.0°/K=169.05°.
Pos. 7: 30.4.1975, De 69.22°/K=161.01°.
Pos. 8: 30.5.1975, De=82.47°/K=102.63° (Eros nahe Südpol - Amplitude 0.0 mag?)
Pos. 9: 29.6.1975, De=70.93°/K=31.8°.

Nordpol der Opposition 1951-52 nach M. Beyer: d1 = +9°, a1 = 349° angegeben (Südpol ±180°: -9, 169°).
Lt. L.D. Schmadel liegt der Rotationsnordpol bei 
d1 = +30°, a1 = 0°.
Rotationsnordpol des Planetoiden (243) Ida: Rektaszension 348.76° (=23h15m02.4s), Deklination +87.12° (Äquinoktium J2000). Siderische Rotationszeit 4h38m01.1s. Triaxialer Ellipsoid mit den Achsen (Durchmesser) a=53 km, b=24 km, c=15.2 km.
Rotationsnordpol des Planetoiden (951) Gaspra: Rektaszension 9.47° (=0h 37m52.8s), Deklination 26.70° (Äquinoktium J2000). Siderische (auf einen Stern bezogene) Rotationszeit 7h02m31.46s ± 0.10s. Dimension: a=18.2 km, b=10.4, c=8.8 km.

Fig. 39 zeigt dagegen die Polkurven 90°-De um den jeweiligen Planetoidenort gezeichnet, deren Schnittpunkt die Südpollage bezeichnet (d1 -9° Deklin., a1 169° Rektaszension).

Da die Minima schärfer verlaufen, werden diese vorwiegend zur Bestimmung der Rotationszeit herangezogen, wobei in der Regel davon ausgegangen wird, daß der Planetoid im Raum um seine kleinste Achse (c) entgegen dem Uhrzeigerinn (von Norden gesehen) rotiert (direkte Rotation), da eine kontinuierliche, periodische Amplituden- u. Lichtwechseländerung eine stabilisierte Rotationsachse voraussetzt.

Bei jedem Minima und max. Amplitude (De l 0°) wird davon ausgegangen, daß die längste Achse (a) direkt auf die Erde ausgerichtet ist, wobei diese (bzw. die Rotationsachse c) mit der Erde ansonsten den Winkel De einschließt.

Bei Zugrundelegung der Minima-Beobachtungen, wählt man den rotierenden Null-Längengrad (Zentralmeridian ZM = 0 Grad der Minimazeitpunkte) in Richtung der großen Achse (a), an einem der beiden Enden des länglichen Planetoidenkörpers. Zum Minimumzeitpunkt beobachtet man dann die schmale Seite (b-Achse) mit ZM=0 Grad.

Da sich die beobachteten Minimazeitpunkte auf die Erdrichtung beziehen (synodische Rotationsphasen), ändert sich mit zunehmender Länge der Erde K die Blickrichtung. Die Rotation bezieht man daher auf die feste Richtung des aufsteigenden Knotens N mit K=0 Grad. An die beobachteten Minimazeitpunkte (UT) ist somit folg. Korrektion unter Annahme direkter Rotation (= Rotation von Norden gesehen, entgegen dem Uhrzeigersinn) anzubringen: UTk (K=0°) = UT - (P/360°)*K. Bei retrograder Rotation (= von Norden gesehen, im Uhrzeigersinn):  UTk (K=0°) = UT + [P/360°].

K=Länge der Erde (in Grad), P=siderische Rotationszeit des Planetoiden. Die Korrektion P(360)*K für Blickrichtungswechsel, an die beobachtete Rotationszeit UT angebracht, ergibt die Zeitpunkte UTk der siderischen (auf einen festen Punkt N oder Stern bezogenen) Rotationsphasen.

Bei bekannter siderischer Rotationszeit P sind die Werte B-R=K*(P/360) aus den Beobachtungszeiten zu ermitteln. Die dafür notwendige Kenntnis der siderischen Periode P bestimmt man durch schrittweise Näherung: (P/360°)*K=B-R (Beobachtung minus Rechnung).
Mit einem wahrscheinlichen Wert für die Lage des Rotationsnordpols
a1, d1, läßt sich K berechnen und daraus oder aus den Lichtkurven ein erster Näherungswert für die Periode P ableiten.

Die Minimazeitpunkte werden mit der folg. Rechnung verglichen und schrittweise (iterativ) der Beobachtung (B) angeglichen.
Minima-bobachtet (B) = Eo+ ½P * E+(P/360)*K+Lichtzeit 0.005775521*
Ê.

Die Richtigkeit der Lage des Planetoidenpols ist verbürgt, wenn das gesammelte Beobachtungsmaterial mit der Berechnung übereinstimmt.



Amplituden-Achsen-Diagramm

1) Amplitudenbedingung: [A=f(De)] De-beobachtet minus De-berechnet = l 0. Bedingung: Maximale Amplitude (A) bei De=0 Grad (Äquatordurchgang), und minimale Amplitude (A) bei maximaler Achsenneigung (De=90 Grad = Amplitude = 0).
Mit den vorläufigen Polkoordinaten
a1, d1 ist der Neigungswinkel der Rotationsachse De zu berechnen und zu überprüfen, ob De mit der Amplitude A in Einklag steht.

An der vertikalen Ordinate die Amplitude A abtragen (Fig. 38a), an der horizontalen Abszisse der Neigungswinkel der Achse De mit zugehörigem julianischen. Datum (JD). Bei linearer Proportionalität ergibt sich einfach: i = Amax (maximale Amplitude)/90 Grad, oder falls A bei 75 Grad = Null wird, i=Amax/75 Grad. A=Amax-i*De.

2) Phasenbedingung: K*(P/360)-beobachtet minus K*(P/360)-berechnet = l 0.

Minima-berechnet (R) = Eo + ½P * E + Lichtzeit 0.005775521*Ê.

(P/360)*K ist die Differenz aus berechneten minus beobachteten Minima [B-R=K*(P/360)].



B-R Diagramm

Ordinate B-R = K*(P/360) in Tagen, Abszisse JD der Minimazeitpunkte. Die angenommene Polkoordinate a 1, d1 ist richtig, wenn die danach berechnete Länge K, mit P/360 multipliziert, in das B-R Diagramm eingetragen, denselben Verlauf wie die B-R Kurve nimmt. Bei Versetzung um eine konstante B-R Differenz dürfte die Periode P ungenau sein.

3) Positionswinkelbedingung: pw-beobachet minus pw-berechnet = l 0. Die scheinbaren Winkeldurchmesser der Planetoiden sind zu klein und Positionswinkelmessungen daher zu unsicher.



Transite, Verfinsterungen, Beinahezusammenstöße und Sternbedeckungen der Kleinen Planeten

Durchgänge vor der Sonne sind terrestrisch nur bei Planetoiden beobachtbar, die ihren auf- oder absteigenden Bahnknoten zusammen mit der Sonne passieren. Um vor der Sonne sichtbar zu sein, muß zudem die Bahn innerhalb der Erdbahn liegen. Diese Bedingungen erfüllen nur wenige Planetoiden, wobei Objekte mit größeren Durchmesser als ein paar Kilometern nahe der Erdbahn nicht vorkommen. Der Planetoid (2201) Oljato erfüllt zeitweise diese Bedingungen (Bahnneigung gegen die Erdbahn i=2.5146°, aufst. Knoten W 76.39°, mittl. Halbachse der Bahn a=2.1759 AE, Bahnexentrizität e=0.7107, Sonnenentfernung im Perihelion a 2.17*(1 - a 0.7107) = 0.63 AE).

Ist die topozentrische ekliptikale Breite des Planetoiden, in genauer Konjunktion mit der Sonne nahe eines Bahnknotens, kleiner als der scheinbare Sonnenradius (16'), findet ein Durchgang vor der Sonne statt. Der Durchgang des Halleyschen Kometen 1910 vor der Sonne war trotz intensiver Bemühung nicht nachzuweisen.
(2100) Ra-Shalom (a=0.83208, e=0.436) und (2062) Aten (a=0.966, e=0.1825) bewegen sich innerhalb der Erdbahn. (1685) Toro (a=1.366, e=0.435, Durchm. etwa 3 km) kommt der Erde periodisch gefährlich nahe.

Durchgänge durch den Schatten eines Planeten (Erde, Venus, Mars, Jupiter usw.) treten bei folg. Bedingungen ein. Der Planetoid muß die Opposition zur Sonne einnehmen (Sonne-Planet-Planetoid in einer Linie), und die Bahnebene des Planeten schneiden bzw. den auf- oder absteigenden Knoten der Planetoidenbahn mit der Planetenbahnebene passieren, da Planetenschatten stets innerhalb der Planetenbahnebene liegen. Ist die vom jeweiligen Planeten sichtbare topozentrische ekliptikale Breite eines Planetoiden kleiner als der Halbmesser des Planetenkernschattens am Planetoidenort, tritt zum Zeitpunkt der Opposition eine totale Verfinsterung ein, sofern die topozentrische Entfernung des Planetoiden kleiner ist, als die Länge des nahezu runden bzw. abgeplatteten konischen Planetenschattens.

Sternbedeckungen durch Planetoiden zählen zu den häufig zu beobachten Erscheinungen, da diese Objekte eine sehr schnelle Eigenbewegung besitzen. Die an vielen verschiedenen Erdorten beobachteten Durchgangssehnen des Sterns bezeichnen das Profil u. den Durchmesser des Planetoiden.
Hermes passierte die Erde am 30.10.1937 in nur 800 000 km Abstand (doppelte Mondentfernung), Hathor überquerte die Erdbahn am 20.10.1976 in 1.2 Mio. km Abstand, Toro am 8.8.1972 in 2.1 Mio. km (53facher Mondabstand).



Ortsbestimmung

Die Deklination und Rektaszension eines Planetoiden erhält man durch Anschlußmessung mit Mikrometer (Positionsfadenmikrometer, Brechungsgittermikrometer usw.) an Sternen genau bekannter Position, oder mit den Mitteln der photographischen Ortsbestimmung (s. ASTROGRAPH I u. II).

Kleinplaneten mit unsicheren Bahnelementen sind in den Ephemerides of Minor Planets besonders gekennzeichnet. Ohne neue Positionsmessungen und daraus resultierende Bahnelementeverbesserung gehen viele Kleinplaneten verloren. Im Jahr 1900 verlor man 452 Hamiltonia aus den Augen, der erst 1973 wiederentdeckt wurde. Der seit 1916 vermißte Planetoid (843) Nicolaia wurde nach 65 Jahren wiedergefunden. (2101) Adonis wurde am 23.6.1984 wiederentdeckt

Eine Beobachtungsreihe dauert mindestens 6-8 Wochen, wobei auch die Mitarbeit des Amateurastronomen erwartet wird. Die wissenschaftl. Institute verlangen eine Positionsgenauigkeit von mindestens 1-2 Bogensekunden. Durch Anschlußmessung mit dem Brechungsgittermikrometer oder Fadenmikrometer ist diese Meßgenauigkeit an mittleren u. größeren Instrumenten (Öffnung ab 150 mm) zu erreichen (durch vergleichende Vermessung von Sterndistanzen bekannter Position gewinnt man Einblick in die Genauigkeit des Meßverfahrens).

Die photographische Ortsbestimmung (Kamerabrennweite 300-500 mm) erfordert eine Ausmessung mit Meßmaschinen auf mindestens 0.001 mm (Mikrodensitometer oder Kreuzmeßtisch). Da die wenigsten Amateurastronomen über die Meßapparate astronom. Institute verfügen, bleibt der Mehrzahl nur die Ausmessung von Vergrößerungen durch Projektionsgeräte, wobei der Diaprojektor am besten geeignet ist (s. ASTROGRAPH I,II,). Da die Papierdehnung bei Reproduktionen wegfällt, können sich die Fehler der Projektionsoptik und die mangelande Planlage von Dia und Projektionsfläche zur optischen Achse bemerkbar machen, die sich jedoch nahe der opt. Achse kaum auswirken. Der Genauigkeitsgrad der verwendeten Apparatur ist durch Ausmessung bekannter Sternpositionen leicht festzustellen.

Die Meßwerte können zur Reduktion in die entsprechende Rubrik des Globus eingegeben werden. Die Meßdaten (Datum, Uhrzeit UTC, verwendete Anschlußsterne und gemesse Distanz, Positionswinkel und Angaben über Instrument, Meßmethode und -vorrichtung, geograph. Breite und Länge des Beobachtungsortes) können auch unreduziert an »The Minor Planet Center«, 60 Garden St., Cambridge, MA 02138, USA, geschickt werden  (dort ist auch das »Minor Planets Circular« erhältlich), früher Cincinnati Observatory, Observatory Place, Cincinnati, Ohio, USA.
Bei der Sektion Kleine Planeten der Vereinigung der Sternfreunde e.V. (VdS), D-85540 Haar, Jagdfeldring 31, können nähere Informationen eingeholt werden.
http://cfa-www.harvard.edu/iau/mpc.html.

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