Wahrer Radiant

Folg. Progr. transformiert äquatoriale in ekliptikale Radiantenkoordinaten (Äquinoktium J2000 oder des Datums) v.v. Gelten die ekliptikalen (bq,lq) oder äquatorialen (dw2,arw2) Radiantenkoordinaten für das Äquinoktium J2000 = Datum 1.1.2000 12h (TDT) eingeben (Ein- u. Ausgabe = Äquinoktium J2000).

REM GFA40  TRANSFORMATION  ÄQUATORIAL-EKLIPTIKAL --
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
a4 = 1990 //EINTRAG JAHR
a3 = 11  //EINTRAG MONAT
a2 = 5    //EINTRAG TAG
ut = 12 + 1 / 60 + 12.3 / 3600 //EINTRAG WELTZEIT z. B. 12h01m12s UT
GOSUB jd
t2 = ((jd + ut / 24) - 2451545) / 36525
dw2 = RAD(50)
arw2 = RAD(100)
dr = dw2  //EINTRAG DEKLINATION   RADIANT
arr = arw2 //EINTRAG REKTASZENSION RADIANT
GOSUB ekl
PRINT "EKLIPTIKALE LÄNGE RADIANT: ";DEG(bq);" GRAD"
PRINT "EKLIPTIKALE LÄNGE RADIANT: ";DEG(lq);" GRAD"
REM ---------------------------------------------
REM  TRANSFORMATION EKLIPTIKAL-ÄQUATORIAL----
bq1 = bq   //EINTRAG EKL. BREITE RADIANT
lq1 = lq  //EINTRAG EKL.  LÄNGE RADIANT
GOSUB equ
PRINT "DEKLINATION   RADIANT: ";DEG(dr);" GRAD"
PRINT "REKTASZENSION RADIANT: ";DEG(arr);" GRAD"
STOP
PROCEDURE ekl   //TRANSFORMATION ÄQUATORIAL-EKLIPTIKAL
  ec = 0.4090928042223 - 0.000227 * t2
  bq = ASIN(SIN(dr) * COS(ec) - COS(dr) * SIN(ec) * SIN(arr))
  x = (COS(dr) * COS(arr)) / COS(bq)
  y = (SIN(dr) * SIN(ec) + COS(dr) * COS(ec) * SIN(arr)) / COS(bq)
  lq = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
RETURN
PROCEDURE equ    //TRANSFORMATION EKLIPTIKAL-ÄQUATORIAL
  ec = 0.4090928042223 - 0.000227 * t2
  dr = ASIN(SIN(bq1) * COS(ec) + COS(bq1) * SIN(ec) * SIN(lq1))
  x = (COS(bq1) * COS(lq1)) / COS(dr)
  y = (-SIN(bq1) * SIN(ec) + COS(bq1) * COS(ec) * SIN(lq1)) / COS(dr)
  arr = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
RETURN
PROCEDURE jd
  jd = 1720996.5 + a2 + FIX(30.6001 * ((a3 - 12 * (a3 < 3)) + 1)) + FIX(365.2425 * (a4 + (a3 < 3)))
RETURN

Der für Zenitattraktion und tägliche Aberration korrigierte Radiant (dw2,arw2,bq,lq) ist schließlich noch für Erdgeschwindigkeit (vt) zu korrigieren, um die wahre Richtung (wahrer Radiant) zu erhalten aus der das Meteor zur Erde gelangt.

Nennt man vg u. vh die geozentrische und heliozentrische Bahngeschwindigkeit des Meteors und vt die Bahngeschwindigkeit der Erde (Fig. 36, 37), so ist (z) der Winkelabstand des um die Zenitattraktion und täglichen Aberration korrigierten scheinbaren Radianten (Q) vom Apex  und (w) der Winkelabstand des wahren Radianten (R) vom Apex (A).Der Winkelabstand (z) des scheinbaren Radianten (Q) und den des wahren Radianten (w) vom Apex (A),  bilden den um den Winkel (s) gegen die Ekliptik geneigten Kreis A-Q-R. Sind bq, lq die auf die Ekliptik bezogenen Koordinaten von Q, und br, lr die von R, läßt sich folg. Beziehung ableiten (Fig. 36,37).


Methode I.

z=acos(cos(bq)*cos(lq-al))
y=sin(bq)/sin(z)
x=(cos(bq)*sin(lq-al))/sin(z)
s=FN r(ATN(y/(1+x))*2)

WAHRER RADIANT:

m=asin((vt/vh)*sin(z))+z
br=asin(sin(m)*sin(s)) //EKLIPTIKALE BREITE DES WAHREN RADIANTEN
x=cos(m)/cos(br)
y=(sin(m)*cos(s))/cos(br)
lr=FN r(ATN(y/(1+x))*2+al) //EKLIPTIKALE. LÄNGE

Methode II:
arccos z=cos(bq)*cos(lq-al).
arccos s=(1/tan(z))*tan(lq-al).
arcsin m=(vg/vh)*sin(z)+z; arccos m=(vg2-vh2-vt2)/(2 vh vt).
arctan m=(vg*vt*sin(z))/(vg2-vh2-vt2).

WAHRER RADIANT:

br=asin(sin(m)*sin(s)) //EKLIPTIKALE BREITE DES WAHREN RADIANTEN
x=cos(m)/cos(br)
y=(sin(m)*cos(s))/cos(br)
lr=FN r(ATN(y/(1+x))*2+al) //EKL. LÄNGE DES WAHREN RADIANTEN



Heliozentrische Bahnelemente eines sporadischen Meteors bzw. periodischen Meteorschwarms.

Liegen die ekliptikalen Koordinaten des wahren Radianten (br,lr) endlich vor, können die Bahnelemente ermittelt werden.
Die ekliptikale Länge der Erde (ls+180°) zur Beobachtungszeit entspricht stets der ekliptikalen Länge des Bahnknotens, da die kleinste geozentrische Entfernung (Perigäum) der Meteorbahn (Hyberbelbahn) innerhalb der Erde liegt.

Bahnknoten (W). ls=wahre ekliptikale Länge der Sonne.
Ekl. Breite des wahren Radianten nördliche der Ekliptikebene positiv (br>0).
Aufsteigender Bahnknoten:  W = ls.
Ekl. Breite des wahren Radianten südlich der Ekliptikebene negativ (br<0).
Aufsteigender Bahnknoten:W = ls+180 Grad (+PI/2 in RAD).
Da die Meteorbahn durch die Erde und den wahren Radianten verlaufen muß, ist der Neigungswinkel der Bahn gegen die Ekliptik (i=inclination) eindeutig festgelegt.

Ekl. Breite des wahren Radianten nördlich positiv (br>0):
u=acos(cos(br)*cos(lr-ls)) //ls=wahre ekl. Länge der Sonne
x=(cos(br)*sin(lr-ls))/sin(u)
y=sin(br)/sin(u)
i=ARCTAN(y/(1+x))*2 // i=Inclination ARCTAN=ATN

Ekl. Breite des wahren Radianten südlich negativ (br<0):

u=acos(cos(br)*cos(lr-ls))

x=(cos(br)*sin(lr-ls))/sin(u)
y=-sin(br)/sin(u)
i=ATN(y/(1+x))*2
i=arctan(tan(br)/sin(lr-ls))

Inclination (i) u. aufsteigender Knoten (W ) gelten für elliptische, parabolische u. hyperbolische Bahnen.
Bei Entwicklung der weiteren Elemente ist zwischen den Arten der Kegelschnitte zu unterscheiden.

k=29.784691826 km/sec; ko=2*k2/rs; rs=heliozentrische Entfernung Erde-Sonne in Astronom. Einheiten.
vh2 <ko; a>0; e<1 (elliptische Bahn).
vh2=ko; a=º; e=1 (parabolische Bahn).
vh 2>ko; a<0; e>1 (hyperbolische Bahn).



Elliptische Bahn (Exentrizität der Bahn e<1)

Halbe große Achse (a) der Bahn in Astronom. Einheiten:

a=1/(2/rs - vh2/k2).
(vt/vh)=Å((1-0.5*rs)/(1-rs/(2*a))).
(vh/k)=Å(2/rs - 1/a).
eo=acos(((rs*cos(br)*sin(lr-ls))/(SQR(a)*cos(i)))*(vh/k)).

Ekl. Breite des wahren Radianten närdlich der Ekliptik positiv (br>0):

eo=acos(((rs*sin(br))/(sqr(a)*sin(i)))*(vh/k))

Ekl. Breite des wahren Radianten südl. der Ekliptik negativ (br<0):

eo=acos(-((rs*sin(br)/(SQR(a)*sin(i)))*(vh/k)).

Bahnparameter (p): p=a*cos(eo)2.

Numerische Exentrizität (e) der Bahn: e=sin(eo).

Periheldistanz (q): q=a*(1-e); q=p/(1+e).

Wahre Anomalie (u):

e=sin(eo) //numerische Bahnexentrizität
u=acos(cos(br)*cos(lr-ls))
x=p/rs-1
y=(p/rs)*(1/tan(u)) = y = (SQR(p)/(k*rs))*rs*vh*cos(br)*cos(lr-ls)
e1=SQR(x^2+y^2) //numerische Bahnexentrizität
x=x/e1
y=y/e1
u =FN r(ATN(y/(1+x))*2) //wahre Anomalie der Bahn

Ekl. Länge des Perihels ab Frühlingspunkt (Aries-Punkt): p  = FN r(PI+ls-u) (in GRAD: p =180°+ls°-u°) = FN r(W+z).

Perihelargument (z = Länge auf der Bahn ab aufsteigenden Bahnknoten zum Perihelion in Bewegungsrichtung des Meteors):

z = (p - W).

Umlaufzeit (U) in siderischen Jahren aus dem 3. Bahngesetz Keplers: U=a^1.5; a=U^(2/3).

Mittl. tägliche tropische Bewegung (RAD): n=((2*PI)/365.2421897)*(1/U); tropisch=ab Frühlingspunkt zu Frühlingspunkt.

k=0.01720209895; n=SQR(k^2/a^3); n=mittlere tägliche siderische Bewegung; siderisch=ab Stern zu Stern 360 Grad).

Perihelionpassage (T):

ex=FN r(atn(SQR((1-e)/(1+e))*tan(u / 2))*2) //ex=exentrische Anomalie
m=ex-e*SIN(ex)  //mittl. Anomalie M (RAD)
REM m=m-(m+e*SIN(ex)-ex)/(1+e*COS(m))

T=to-m/n; n=mittl. tägl. Bewegung; to=Julian. Datum (JD) der Meteorerscheinung (to=JD+UTm/24); UTm=(UTa+UTe)/2; UTa,UTe=Weltzeit des Aufleucht- u. Verlöschzeitpunktes; T=Julian. Datum der Periheldurchgangszeit.



Parabolische Bahn (e=1)

(vt/vh)=SQR(1-0.5*rs)

Wahre Anomalie (u):u = atn((1/tan(lr-ls))*cos(i))*2

Periheldistanz (q): q=rs*sin(u)2.

u=acos(cos(br)*cos(lr-ls))
Oder: q=rs*cos(0.5*u)2; q=0.5*p.

Bahnparameter (p): p=q/0.5.

Ekl. Länge des Perihels ab Aries Punkt:  p=FN r(ls+2*u) = FN r(W+z).

Perihelargument (z = Länge auf der Bahn ab aufsteigenden Bahnknoten zum Perihelion in Bewegungsrichtung des Meteors): z=(p -W).

Perihelionpassage (T):

k=0.01720209895

T=to-((1/3)*tan(u/2)^3+tan(u /2))*(SQR(2)/k)*q^(3/2).
T=to-SQR((2*q^3)/k^2)*((1/3)*tan(u/2)^3+tan(u/2)).
to=Julian. Datum (JD) der Meteorerscheinung; T=Julian. Datum der Periheldurchgangszeit.



Hyperbolische Bahn (e>1)

Halbe große Achse (a) der Bahn in Astronom. Einheiten: a=1/(vh 2/k2 - 2/rs).

k=29.784691826 km/s.

Ekl. Breite des wahren Radianten nördliche der Ekliptik positiv (br>0):
Bahnparameter (p): p=((rs*sin(br)/sin(i))*(vh/k))^2

Ekl. Breite des wahren Radianten südlich der Ekliptik negativ (br<0):
Bahnparameter (p): p=(-(rs*sin(br)/sin(i))*(vh/k))^2

Numerische Exentrizität (e) der Bahn: e=SQR(1+p/a)

Periheldistanz (q): q=a*(e-1)

Wahre Anomalie ( u):

u=acos(cos(br)*cos(lr-ls))
x=p/rs-1
y=(p/rs)*(1/tan(u))
e=SQR(x^2+y^2) //numerische Exentrizität der Bahn
x=x/e
y=y/e
u =FN r(ATN(y/(1+x))*2) //wahre Anomalie der Bahn

Ekl. Länge des Perihels ab Aries Punkt:p =FN r(PI+ls- u) = FN r(W+z).

Perihelargument (z = Länge auf der Bahn ab aufsteignde Bahnknoten zum Perihelion in Bewegungsrichtung des Meteors): z = (p - W).

Perihelionpassage (T):

DEFFN sinh(x)=(EXP(x)-EXP(-x))/2 //Sinushyperbolicus
DEFFN arctanh(x)=LOG((1+x)/(1-x))/2 //Arcustangenshyperbolicus
k=0.01720209895
h=FN arctanh(SQR((e-1)/(e+1))*TAN(wa/2))*2
T=to-SQR(ABS(a)^3/k^2)*(e*FN sinh(h)-h) //to siehe Wahrer Radiant, Perihelionpassage (T)

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