Astronomische Standortbestimmung durch Zenitphotographie mit Kleinbildkamera

GFA-Programme der Thematik Meteore, Ringmikrometer, Veränderliche Sterne, Doppelsterne usw. zum Download: http://www.spaceglobe.de/Download/GFAPROG.exe.

Die geographischen Standortkoordinaten (Breite und Länge) werden gewöhnlich mit einem Winkelmeßinstrument bestimmt. Die Meßresultate sind jedoch häufig mit systematischen instrumentellen (Kreisteilungsfehlern, Deformationen, Refraktionsbestimmung nach durchschnittlichen Tafelwerten) und persönlichen Fehlern (Kreisablesefehlern usw.) behaftet.

Die Photographie bietet dagegen einige Vorteile, da sämtliche mit dem instrumentellen Aufwand eines Winkelmeßinstruments verbundenen systematischen mechanischen (Libellen-, Achsen-, Kreisteilungs- u. Deformationsfehler) und persönlichen Fehlerquellen (Beobachtungsfehler, persönl. Gleichung) ausgeschlossen sind. Die Zenitphotographie zählt daher zu den genauesten Methoden der geodätischen Ortsbestimmung.



Astronomisch-photographische Bestimmung von Paßpunkten für photogrammetrische und astrometrische Vermessungen

Zur Ausrüstung einer Sternwarte gehört in der Regel ein stationärer Photoapparat (sog. »Zenitkammer« oder PZT mit Brennweiten F>700 mm), um den Durchgang der Zenitsterne aufzunehmen.  Für den temporären Einsatz einer Feldsternwarte dienen Zenitkammern mit Brennweiten ab F=300 mm.

Die atmosphärische Refraktion ist auch bei zenitnahen Sternen zu beachten, da der Betrag bei 0.5, 5 und 15 Grad Zenitdistanz bereits ca. 0.5'', 5'' u. 22'' (Bogensekunden) ausmacht. Die Ermittlung der Refraktion nach Tabellen ist im Mittel etwa um 0.3'' (inkl. leichter Luftunruhe) fehlerhaft. Man sollte daher Anhaltssterne in möglichst geringer Zenitdistanz wählen.

Die Hamburger Zenitkammer (PZT=Photo-Zenit-Teleskop) besitzt eine Objektivöffnung von 250 mm und eine Brennweite von 3750 mm. Damit werden noch Sterne um 9.5 mag bis zur Zenitdistanz von 15' erfaßt.

Die Photographie erlaubt die sehr genaue Bestimmung der sphärischen Koordinaten (scheinbare Deklination und Rektaszension) des Zenits durch Anschlußmessungen an zahlreichen um den Zenit gruppierten Anhaltssternen mit bekannten sphärischen Koordinaten (scheinbare Deklination d und Rektaszension a; denn die Deklination u. Rektaszension des Zenits ist gleich der astronomisch-geographischen Breite u. Länge des Standorts minus Sternzeit in Greenwich.

Der Einsatz einer speziellen Präzisionsmeßkammer, wie z. B. auch in der terrestrischen Photogrammetrie eingesetzt wird, ist nicht unbedingt notwendig, da die modernen Auswertungsmodelle auch den preiswerten Einsatz einer gewöhnlichen Kleinbildkamera oder CCD-Kamera für astrometrische Vermessungsungsaufgaben erlauben. (s
»ASTROGRAPH II WEITWINKEL -  Photographische Ortsbestimmung auf großmaßstäbigen Feldsternaufnahmen « und »ASTROGRAPH I -  Photographische Ortsbestimmung auf kleinmaßstäbigen Feldsternaufnahmen«.

Mit der direkten mikrometrischen Messung am Fernrohr bzw. Meßinstrument sind zeitlich schnell veränderliche, zudem stark von der Verfassung des Beobachters abhängende Größen verbunden, während die Photographie diese für das ganze Bild ein für allemal dokumentiert. Die Aufnahme kann in Ruhe mehrmals präzise ausgemessen werden.

Die durch Luftturbulenzen verursachten Ortsschwankungen der Sterne betragen meist 0.1'' bis zu einigen Bogensekunden. Bei Sternenfeldaufnahmen liegen die Primärbrennweiten allerdings zwischen 240 bis 1000 mm, so daß die Schwankungen hier 22'' und 5'' erreichen müßten, um auf dem Film abgelichtet zu werden. Bei großer Luftunruhe mit entsprechenden Szintillationseffekten (stark flimmernde Sterne), erhält man minderqualitative Aufnahmen deren Vermessung sich nicht lohnen.

Eine 24x36 mm2 Kleinbildaufnahme bildet bei F=300 mm Brennweite ein rechteckiges Himmelsareal von 4.6 x 6.8 Grad ab (= ARCTAN(36 mm/500 mm) rad * 57.29578), wobei ein runder Fernrohrtubus das Bildfeld modifizieren kann. Da bei eingeschränktem Bildfeld weniger Anschlußsterne vorhanden sind, werden i.a. Brennweiten über F=>700 mm vermieden.
Infolge des Himmelumschwungs bewegt sich ein Stern um 15.04107'' * cos
d (Deklination des Sterns) pro Sonnenzeitsekunden. Bei F=300 mm Brennweite der Optik, entspricht 1'' (Winkelbogensekunde) an der Sphäre linear 0.00145444 mm auf dem Film ([= 1'' * F 300 mm)/206264.8906'']. Ein Stern mit der Deklination 15.3° bildet demnach auf der Aufnahme [(F=300 mm) 0.00145444 mm * 15.04'' * cos d 15.3° =] eine Spur von 0.021 mm Länge pro Zeitsekunde.

Das Auflösungsvermögen einer feinkörnigen Photoemulsion liegt bei 0.02 mm. Ab (0.02 mm/0.021 mm =) 0.95 Sek. Belichtungszeit erscheint ein Stern (F=300 mm) somit nicht mehr punktförmig, sondern wird als Strichspur abgebildet.
Jedoch sind die Sterne der täglichen scheinbaren Bewegung der Sphäre nicht nachzuführen, da die Sternspurenden zum Verschlußzeitpunkt vermessen werden.

Die genaue Zenitlage  findet man durch Anschluß an die Referenzsterne des vom Himmelsglobus dargestellten Sternfeldes der Aufnahme.
Brauchbar sind natürlich nur Sternkoordinaten höchster Genauigkeit (Hipparcos-Katalog). Solche Sterne sind zudem dem Fundamentalkatalog (FK5) zu entnehmen. Die Fundamentalsterne repräsentieren das Fundamentalsystem, das die Grundlage der Positionsbestimmung aller stellaren Objekte bildet.

Der Fundamentalkatalog (FK) beinhaltet über 1500 ausgesuchte Sterne (<7 mag). 1907 erschien der Neue Fundamentalkatalog (NFK), 1937 der FK3, 1963 der FK4 und 1988 der FK5 (Veröff. des Astronom. Rechen-Institut, Heidelberg, Nr. 32, 1988).

Die gewählten Anhaltssterne sind am Himmelsglobus durch Anklicken zu identifizieren.
Die Korngröße der Photoemulsion liegt bei etwa 0.001-0.003 mm. Bei einer Brennweite von 300 mm entspricht 1'' auf dem 32x24 mm Negativfilm 300/206264.806'' = 0.0014544 mm.
Die Körnergröße liegt demnach bei 0.002 mm/0.00145 = 1.4''. Bei der für genaue Ortsbestimmung zu geringen Brennweite von 50 mm, entspricht 1'' auf dem Film linear 0.000242 mm. Die Korngröße liegt dann bei 0.003/0.000242 mm = 12.4''.

Die Photoplatten werden an einem auf 1 bis 2 tausendstel Millimeter lineargenauen Koordinatenmeßapparat (Kreuztisch) mit Ablesemikroskop ausgemessen, der Winkel- bzw. Positionsgenauigkeiten um 0.01'' ermöglicht. Da in den seltesten Fällen ein Mikroskop mit Fadenmikrometer (LEITZ) oder ein Koordinatenmeßapparat zur Verfügung steht, um ein Negativ genau auszumessen, behilft man sich mit dem einfachen Diaprojektor.
Bei F=240 mm Brennweite entspricht 1 Bogensek. auf dem 36x24 mm2 Negativfilm 0.0011635528 mm (=240/206264.806''). Wenn ein Diaprojektor das Negativ linear um den Faktor 100 auf 36 mm * 100 = 3.6x2.4 m2 vergrößert, entspricht 1 Bogensek. auf der Projektionsebene 0.11635528 mm oder 1/0.11635528 mm = 1 mm = 8.59437'' Bogensekunden.

Die Diaprojektion kann allerdings einige Geometriefehler beinhalten, die bei sachkundiger Handhabung vermeidbar sind. Neben den Verzeichnungen der Kameraoptik spielen hier auch die opt. Abbildungsfehler des Dia- oder Reproduktionsprojektors eine Rolle. Das Bild darf keinesfalls verzerrt (gekippt oder schräg) projiziert werden, da die optische Achse des Diaprojektors genau senkrecht auf der Projektionswand stehen muß (ein an der Projektionswand anliegender ebener Spiegel reflektiert dann den Lichtstrahl der Justierblende [kleine Lochblende] auf sich selbst zurück).
Digitalisierte (CCD-, Video-, Digital-Kamera) Aufnahmen sind analog zu den herkömmlichen Photographien pixelweise auszumessen und auszugleichen.

Um durch Ausmessung von 24x36 mm2 Kleinbildfilm eine Bogensekunde Mindestgenauigkeit zu erzielen, vergrößert man das Negativ durch einen Diaprojektor auf das 50-100fache (1'' entspricht bei F=300 mm Brennweite u. 50facher Vergr. z. B. 0.07272 mm der Projektionsfläche). Die maximalmögliche Vergrößerung ist versuchsweise festzustellen.
Die Auflösung von hochempfindlichem Filmmaterial liegt bei 50 Linien/mm (1/50 = 0.02 mm), von geringer empfindlichem Korn bei 120 Linien/mm (0.008 mm). Bei 100facher Bildvergrößerung beträgt die Korngröße bereits etwa 0.1-0.3 mm.
Geringer empfindliche und dafür feinkörnige Materialien sind daher vorzuziehen, wodurch bessere Positionsergebnisse erreicht werden.
Korngröße, Kontrast, Entwicklung, Lichtdiffusion, Schärfeeinstellung usw. beeinflussen das Auflösunsgvermögen einer Filmschicht. Technical Pan von Kodak besitzt etwa 0.01 mm Auflösung.

Den Vergrößerungsfaktor der Projektion ermittelt man durch Division des berechneten Gradabstandes (d) zweier Sterne in Millimeter (d_mm) auf dem Film durch den jeweils gemessenen Millimeterabstand auf dem Projektionsbild.
Referenzstern Nr. 2  hat die AR1 (Rektaszension) 0h16m53.972s (0+16/60+53.972/3600 =) 0.28165878h * 15° = AR1 4.22881749°, Deklin.
d1 -15°28'26.89'' = d1 -15.47413693°.
Referenzstern Nr. 4  AR2 0h17m14.426s = AR2 4.310106818°, Deklin.
d2 -14°59'44.89'' = d2 -14.99580197° (einschließich Eigenbewegung in -11.322528 julian. Jahren).Der Winkelabstand der zwei Sterne an der Sphäre beträgt dann:

ARCCOS d = sin(d1) sin(d2) + cos( d1) cos(d2) cos(AR1 - AR2) = d 0.485351473° * 3600'' = 1747.265'' * 0.004848 mm = Abstand auf dem Kleinbildfilm d' 8.47074 mm.

Gemessener Abstand der zwei Sterne der Diaprojektion: 101.65 mm/8.47074 mm = Vergrößerungsfaktor der Kleinbildaufnahme 11.99979x.
Brennweite der Aufnahmeoptik F=1000 mm. Vergrößerung 11.99979x. Effektive Brennweite 1000 mm * 11.99979 = 11999.79 mm * 1/206264.8 = Maßstab: 1'' : 0.0581766 mm = (1/0.0581766 mm) = 1 mm : 17.189''.

Die Kamerabrennweite (F) läßt sich aus dem Maßstab analog ermitteln. Beispiel. Der Winkelabstand zweier Sterne wurde z. B. zu 1200 Bogesekunden berechnet. Die auf dem Negativ gemessene Distanz der zwei Sterne beträgt 2.909 mm. Brennweite der Kamera: F=500.02 mm = 2.909 mm/(1200''/206264.8062471).

Falls der Abstand der zwei Sterne auf der Projektionswand gemessen wurde, ist die effektive Brennweite (f) durch den Vergrößerungsfaktor der Projektion (V) zu divdieren (F=f/V) Bei zahlreichen in Bogensekunden (d'') berechneten und in Millimeter (d_mm) gemessenen Sterndistanzen, kann man die unbekannte Brennweite F (oder f) durch Ausgleichsrechnung (Lineare Regression) genauer ermitteln. Bedingungsgleichung: d_mm =a+F*(d''/206264.8062471).

Die Kamera wird auf den Zenit ausgerichtet und mit den Libellen einer auf die Objektivfassung gelegten Wasserwaage waagerecht (Levelfehler = 0) ausgerichtet, so daß die optische Kameraachse (Collimatorachse) und Lotrichtung exakt zusammenfallen.
Die Kleinbildkamera mit Spiegelreflexsucher ist an ein Teleobjektiv längerer Brennweite (F=>210 mm) anzubringen. Wird die Kamera mit handelsüblichen Adapter an ein Teleskop montiert, können auch lange maßstabvergrößernde Brennweitern (F=>500 mm) genutzt werden.

Der Auslösungszeitpunkt des Kameraverschlusses ist exakt festzuhalten: Drahtauslösung mit akustischem Signal koppeln und mit Zeitzeichen auf Kassettenrecorder aufnehmen, oder das akust. Drahtauslösungssignal mit Zeitzeichen über das Viedeokameramikrofon zusammen mit der elektronischen Stoppuhr synchron aufnehmen. Korrektion des Zeitzeichensignals UTC für DUT1, um UT zu erhalten.

Auf 50 Grad Breite dreht sich die Sphäre mit 15.04''*cos(50 rad) = 9.67'' pro Sonnenzeitsekunde scheinbar nach Westen. Bestimmt man den Verschlußzeitpunkt mit einer Genauigkeit von 0.1 Sek.,  macht das 0.97 Bogensekunden in Länge aus. Bei einer Brennweite von F=300 mm, einer Filmauflösung von 0.02 mm u. auf 50 Grad geograph. Breite, ist die Abbildung der Sternspur ohnehin nur auf 0.95/2 Sek. bzw. 4.6 Bogensek. [=15.04*cos(50 rad)*0.95/2] genau.
Die Zeitbestimmungsmethoden (Zeitzeichen-Stoppuhr, persönl. Gleichung usw.) sind im Begleittext  zum Mondglobus (Sternbedeckungen) beschrieben.

Die gnomonische Projektion ist sphärisch weder längen- noch winkeltreu, jedoch werden alle Großkreise als Gerade auf einer rechwinkligen Ebene (z. B. Photoplatte) abgebildet, so daß die kürzeste Entfernung zweier Punkte eine Gerade bildet (Meteorbahnen erscheinen auf der gnomonischen Karte z. B. als Gerade). Hierbei projizieren vom Mittelpunkt der Kugel ausgehende Strahlen Teile der Kugel auf eine x-,y-Tangentialebene.

Eine Photoplatte, deren Mitte bzw. optische Achse die Sphäre berührt, kann man als Tangentialebene ansehen (Fig. 46). Die Gradnetzschablonen  photographischer Sternatlanten (z. B. Falkauer Atlas, Atlas Stellarum) liegen daher der gnomonischen Projektion zugrunde.



Streng berechnete kartesische (rechtwinklige) Plattenkoordinaten x,y

Die +x-Achse weist in Richtung Nordpol, die transversale +y-Achse in westlicher Richtung (Fig. 47).

Koordinatennullpunkt dez,arz Zenit. br=astronomisch-geographische Breite, lr=astronomisch-geographische Länge des Standorts, gstz = wahre Sternzeit in Greenwich (Nullmeridian) für den Aufnahmezeitpunkt. dez,arz = scheinbare Deklin. u. Rektaszension der Plattenmitte (Zenitpol). fo=ungefährer Wert der Kamerabrennweite F. dek,ar = scheinbare Deklin. und Rektaszension der Referenzsterne, wahres Äquinoktium des Datums (Verschlußzeitpunkt der Kamera).

Für die Kamerabrennweite (F) und Breite (br), Länge (lr) des Standorts ist ein ungefährer Startwert einzusetzen.

fo=F
dez = br
arz = gstz + lr //arz=ORTSSTERNZEIT osz des Orts lr

Standardkoordinaten:
xr=-F*(SIN(dez)*COS(dek)*COS(ar-arz)-COS(dez)*SIN(dek))/(COS(dez)*COS(dek)*COS(ar-arz)+SI N(dez)*SIN(dek))
yr=F*(COS(dek)*SIN(ar-arz))/(COS(dez)*COS(dek)*COS(ar-arz)+SIN(dez)*SIN(dek))

Oder alternativ:
p=arctan(tan(dek)/cos(ar-arz))
xr=F*tan(p-dez)
yr=F*cos(p)*tan(ar-arz)/cos(p-dez)

Die Standardkoordinaten xr,yr sind streng auf die Nordrichtung (Ortsmeridian=Nord-Süd-Linie) der Sphäre (Fig. 48) bezogen, die auch so eingesetzt werden, wenn die +xb-Achse der Bildmessung und die Nordrichtung; der Aufnahme exakt übereinstimmen.
Ist hingegen >w< der Winkel der für die Bildausmessung verwendeten +xb-Achse mit der Nordrichting (+xr-Achse) der Aufnahme, sind die Standardkoordinaten (xr,yr) in die +xb-Achse der Bildmessung zu drehen.

xr1=xr
yr1=yr
xr=xr1*cos(w)+yr1*sin(w)
yr=-xr1*sin(w)+yr1*cos(w)

Die Anhaltssterne kann man anhand des Himmelsglobus oder eines photographischen Sternatlas auswählen (Falkauer Atlas, Atlas Stellarum). fo=effektive Brennweite der Aufnahmeoptik (ungefähre Brennweite fo=450 mm x 11.99979fache Vergrößerungsfaktor der Diaprojektion = fo 5399.9055 mm).

Gleichmäßig über die Aufnahme verteilte Referenzsterne wählen, da die Ausgleichung der Plattenfehler davon abhängt.
Bei einem guten Objektiv, das mit den Libellen einer Wasserwaage und mit dem Laserpointer richtig lotrecht eingespielt wurde, sollten Bildmitte (opt. Achse) und Zenit des Standorts exakt übereinstimmen (Bildkoordinaten xb=0,yb=0).
Das aufgenommene Paßpunktfeld (Sterne) wird an ein genau durch den Bildmittelpunkt (Zenit) gezogenes Achsenkreuz, das exakt rechtwinklig (xb-Achse) und parallel (yb-Achse) zu den Sternspuren verläuft  vermessen.

Die mehrmals hin- und zurück gemessenen xb-,yb-Werte mitteln. Messung mit der um 180 Grad gedrehten Platte (Negativ) evtl. wiederholen. Die unabhängigen Messungen mitteln.
Die Sterne realisieren mit dem äquatorialen Koordinatensystem Deklination und Rektaszension ein raumfestes, rotationsunabhängiges Paßpunktfeld. Durch Vermessung der aufgenommenen Sterne, ergeben sich die für den Aufnahmezeitpunkt erdfesten kartesischen Plattenkoordinaten (xb,yb).

Die Differenz zwischen den berechneten Standardkoordinaten (xr,yr) und gemessenen Planettenkoordinaten (xb,yb), bilden Fehlergleichungen, die durch Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate ausgelichen werden.



Photogrammetrische Reduktion (Kamerberennweiten <500 mm)

Die Bedingungsgleichungen (Rx,Ry) gelten für eine genähert nach Norden orientierte Aufnahme. Die Größe dm ist der i.a. zu vernachlässigende Rechtwinkelfehler des verwendeten Meßinstruments.

Rx=A  dxz + B  v2 + C  px + D dm
Ry=A1 dyz + B1 v2 + C1 py

p=ARCTAN(dxz/fo)+dez
arz1=FN r(arz+ARCTAN(((dyz/fo)*COS(p-dez))/COS(p)))
br=ARCTAN(TAN(p)*COS(arz1-arz))
lr=FN deg(FN r(arz1-gstz))

arz1=Rektaszension Zenit.
dxz,dyz=Zuschläge rechtwinkliger Lagekonstanten in Millimetern der wahren Hauptpunktlage (Zenitlage) gegenüber der genäherten.

px,py=beinhalten die Maßstabunbekannten mx,my,v1 und df/fo.
df/fo=Korrektion der Brennweite F (=fo).

dm,mx,my=Fehler des für die Ausmessung verwendeten Meßinstruments (Komparator, Kreuzmeßtisch, Mikroskop oder Diaprojektor). v1,v2=Verzeichnungsgrößen.

Schrittweise Verbesserung der Kamerabrennweite:
px=mx-df/fo-v1; df/fo=mx-v1-px
py=my-df/fo-v1; df/fo=my-v1-py

Da mx,my,v1 in erster Näherung vernachlässigbar sind, ergibt sich die wahre Brennweite aus:

fo=fo+fo*(df/fo) l fo=fo+px*fo l fo=fo+py*fo.
px oder py mit der kleinsten Fehlerquadratsumme (vv,vv1) verwenden.

Die nach dem ersten Programmdurchlauf ausgegebene astronomische Breite, Länge und die unbekannte Kamerabrennweite fo (F) lassen sich schrittweise (iterativ) verbessern, wenn die verbesserten Größen br,lr,fo erneut eingesetzt werden.

dek,ar=scheinbare Deklin. und Rektaszension der vermessenen Anhaltssterne.
az=Azimut der vermessenen Anhaltssterne:
tw=osz-ar //STUNDENWINKEL DES STERNS ORTSSTERNZEIT MINUS REKASZENSION (osz=gstz+lr)
h=arcsin(sin(br)*sin(dek)+cos(br)*cos(dek)*cos(tw)) //HÖHE STERN
x=(cos(dek)*sin(tw))/cos(h)
y=(sin(br)*cos(dek)*cos(tw)-cos(br)*sin(dek))/cos(h)
az=arctan(x/(1+y))*2 //AZIMUT STERN

p(n)=Gewicht der Messung = 1. Eine Gewichtung erfolgt in der Regel nicht (Gewicht =1), wenn alle Beobachtungen der gleichen Meßreihe entstammen. Sollten die Sernpositionen aus Katalogen unterschiedlicher Genauigkeit stammen, kann eine Gewichtung vorgenommen werden.

n=Anzahl Bedingungsgleichungen bzw. Anhaltssterne. Koeffizienten A,B,C,D der Bedingungsgleichung Rx (1,2,3,...,n).

A(n)=1
B(n)=xr*(xr^2+yr^2)
C(n)=xr
D(n)=yr
Rx(n)=(xr-xb) //Residuenvektor

Koeffizienten A1,B1,C1 der Bedingungsgleichung Ry (1,2,3,...,n):

A1(n)=1
B1(n)=xr*(xr^2+yr^2)
C1(n)=yr
Ry(n)=(yr-yb) //Residuenvektor

Akkumulation Rx:

 [paa] = S p(n)*A(n)*A(n)
 [pba] =
S p(n)*A(n)*A(n)
 [pca] =
S p(n)*C(n)*A(n)
 [pda] =
S p(n)*D(n)*A(n)
 [pab] =
S p(n)*A(n)*B(n)
 [pbb] =
S p(n)*B(n)*B(n)
 [pcb] =
S p(n)*C(n)*B(n)
 [pdb] =
S p(n)*D(n)*B(n)
 [pac] =
S p(n)*A(n)*C(n)
 [pbc] =
S p(n)*B(n)*C(n)
 [pcc] =
S p(n)*D(n)*C(n)
 [pdc] =
S p(n)*D(n)*C(n)
 [pad] =
S p(n)*A(n)*D(n)
 [pbd] =
S p(n)*B(n)*D(n)
 [pcd] =
S p(n)*C(n)*D(n)
 [pdd] =
S p(n)*D(n)*D(n)

 [pax] =
S p(n)*A(n)*rx(n) //Residuen
 [pbx] =
S p(n)*B(n)*rx(n)
 [pcx] =
S p(n)*C(n)*rx(n)
 [pdx] =
S p(n)*D(n)*rx(n)

Normalgleichung Rx für 4 Unbekannte und 5 Residuen:
 [paa] dxz+[pab] v2+[pac] px+[pad] dm = [pax],1,0,0,0
 [pba] dxz+[pbb] v2+[pbc] px+[pbd] dm = [pbx],0,1,0,0
 [pca] dxz+[pcb] v2+[pcc] px+[pcd] dm = [pcx],0,0,1,0
 [pda] dxz+[pdb] v2+[pdc] px+[pdd] dm = [pdx],0,0,0,1

Akkumulation analog zur Normalgeichung Rx.

Normalgleichung Ry für 3 Unbekannte u. 4 Residuen:

 [paa] dyz+[pab] v21+[pac] py = [pay],1,0,0
 [pba] dyz+[pbb] v21+[pbc] py = [pby],0,1,0
 [pca] dyz+[pcb] v21+[pcc] py = [pcy],0,0,1



Astrometrischer Transformationsansatz mit höherer Korrelation für Kameras mit kleinen Bildwinkeln (Brennweiten >500 mm)

Plattenkonstanten: Koeffizienten A,B,C,D,E,F,A1,B1,C1,D1,E1,F1.

Bedingungsgleichung für 6 Unbekannte (1,2,3,...,n):

Rx=A  xb*xr + B  xb*yr + C  xr + D  yr + E  xr*(xr^2+yr^2) + F
Ry=A1 yb*xr + B1 yb*yr + C1 xr + D1 yr + E1 yr*(xr^2+yr^2) + F1

A(n) = S xb*xr
B(n) = 
S xb*yr
C(n) =
S xr
D(n) =
S yr
E(n) =
S xr*(xr^2+yr^2)
F(n) = 1
r(n) = 
S (xb-xr) //RESIDUENVEKTOR Rx

A(n)  = S yb*xr
B(n)  =
S yb*yr
C1(n) =
S xr
D1(n) =
S yr
E(n)  =
S yr*(xr^2+yr^2)
F1(n) = 1
r1(n) =
S (yb-yr) //RESIDUENVEKTOR Ry

dxz=-F+A*fo^2
dyz=-F1+B*fo^2
v2=-E
px=C
py=D1
dm=-(C1+D)

Akkumulation analog zur photogrammetrischen Reduktion.

Normalgleichung Ry analog zu Rx.

Normalgleichung Rx für 6 Unbekannte und 7 Residuen:

 [paa] A+[pab] B+[pac] C1+[pad] D1+[pae] E+[paf] F1 = [par1],1,0,0,0,0,0
 [pba] A+[pbb] B+[pbc] C1+[pbd] D1+[pbe] E+[pbf] F1 = [pbr1],0,1,0,0,0,0
 [pca] A+[pcb] B+[pcc] C1+[pcd] D1+[pce] E+[pcf] F1 = [pcr1],0,0,1,0,0,0
 [pda] A+[pdb] B+[pdc] C1+[pdd] D1+[pde] E+[pdf] F1 = [pdr1],0,0,0,1,0,0
 [pea] A+[peb] B+[pec] C1+[ped] D1+[pee] E+[pef] F1 = [per1],0,0,0,0,1,0
 [pfa] A+[pfb] B+[pfc] C1+[pfd] D1+[pfe] E+[pff] F1 = [pfr1],0,0,0,0,0,1

Beispiel. Instrument: Teleskop (Refraktor=Linsenfernrohr) 80 mm/F=2000 mm auf Stativ mit Fokaladater und T2-Ring am Okularauszug angeschraubtem Spiegelreflexkameragehäuse. Exakte lotrechte Tubuseinspielung durch Laserpointer und Wasserwaage.
Zenitaufnahme am 8.7.1982, um 23h30m20.50s UTC +0.60s DUT1 = 23h30m21.10s UT1. Ungefähre Br. u. L.: br=50°06' n. Br. u. lr=+8°42' ö. L.

Korrektionswert für Ephemeridenzeit 8.7.1982: Õ T 52.58 Sek.
 (
ÕTT 53.184s - ÕT 52.58s) = DUT1 +0.60 Sek.

Eine bessere Genauigkeit der Ortsbestimmung ist durch die Verwendung langer Teleskopbrennweiten (F=2000 mm) erreichbar. Mit F=300 mm und 0.001 mm genaue Ausmessung ergeben sich etwa auf 1'' genaue Koordinaten. Mit F=2000 mm läßt sich ein Feld von 1 x 0.7 Grad um den Zenit auf Kleinbildfilm abbilden.1 Bogensekunde macht bei 2000 mm Brennweite auf dem 50fach vergrößerten Negativ 0.4848 mm aus (auf dem Originalnegativ 0.0097 mm).

Die Meßgenauigkeit eines Meßschiebers (Auflösung des Digital-Meßschiebers von Conrad Electronic 0.01 mm) liegt bei 0.1 mm /50fach = 0.002 mm auf dem Originalnegativ (ergibt theoretisch 0.002 / 0.0097 mm = 0.1/0.4848 mm = 0.2'' Genauigkeit).

1'' in Breite und Länge macht auf 50 Grad Breite (br) etwa 30.9 m und 19.8 m aus.
1'' in Breite: 30.87 m - 0.156 m * cos(2*br)
1''  in Länge: 30.95 m * cos(br) - 0.026 m * cos(3*br)

Die Zenitaufnahme gestattet auch eine Zeitbestimmung, da die durch Ausmessung erhaltene Rektaszension des Zenits der Ortssternzeit entspricht, die sich bei genau bekannter geographischer Länge (lr in Grad auf den wahren Erdpol CEP bezogen) in Weltzeit (UT) umwandeln läßt.

szh=Sternzeit in Greenwich für 0h UT1 (in Std., UT1=UT), Rektaszension Zenit ar in rad.

UT0=FN deg(ar)/15-szh-lr/15
UT0=(UT0-INT(UT0/24)*24)/1.002737909

Auf den mittl. Pol (CIO) bezogene kartesischen  Koordinaten (x,y) des wahren Pols (CEP):

x=0.216''. lr=wahre Länge, br=wahre Breite (CEP).
y=0.225''.

UT1=UT0+((1/15)/3600)*(-y*cos(lr)-x*sin(lr))*tan(br). UT0 (in Std.) = aus astronom. Messungen abgeleitete Weltzeit.

UTC=UT1-DUT1.

Anhand des Himmelsglobus oder des Atlas Stallarum ausgewählte und identifizierte Anhaltssterne der Aufnahme. Die Koordinaten Deklin. (d) u. Rektaszension (a ) usw. sind dem PPM-Katalog entnommen. Referenzsterne (mittl. Sternort, Äquinoktium J2000):

1)                       AR 19h 15m19.148s, p.m. -0.0012s   x = -3.46984 mm
                           
d 50°04'15.88''     p.m.   0.0036''  y = 18.552961 mm
2)
                         AR 19h08m33.293s, p.m. -0.0012s  x = 6.857336 mm
 
                            d 50°21'50.11''    p.m.   0.013''    y = -19.178029 mm
3)
                        AR 19h29m42.349s,  p.m. +0.0022s x = 56.998703 mm
 
                           d 51°43'47.26''     p.m.    0.13''    y = 95.853698 mm
4)
                        AR 19h08m25.774s, p.m. -0.0107s x = 78.86791 mm
 
                           d 52°25'32.92''    p.m. -0.052”   y = -18.80417 mm
5)
                        AR 19h23m23.815s,  p.m. 0.0008s   x = 4.509637 mm
 
                           d 47°17'14.52''     p.m. 0.027''   y = 63.5418 mm
6)
                        AR 19h 02m10.209s,  p.m. +0.0001s x = -99.677098 mm
                           d   47°17'14.52''     p.m. 0.025''      y = -58.545779 mm
7)
                        AR 18h59m09.915s, p.m. +0.0004s x = -27.963248 mm
                           d 49°19'10.67''    p.m.  0.016''    y = -73.961374 mm
8)
                        AR 19h27m49.381s, p.m. +0.0007s x = -67.53125 mm
                           d 48°10'36.62''    p.m.   0.01''     y = 91.918861 mm
9)
                         AR 18h58m59.357s, p.m. -0.0005s x = 24.00938 mm
                            d  50°48'33.39''    p.m.   0.016''  y = -71.69864 mm

(p. m. = proper motion: Eigenbewegung des Sterns in AR u. Deklin. pro Jahr)

REM GFA 45  PROGRAMM PZT
REM GFA-BASIC-WINDOWS 95/98 -- PROGR. PZT  -----
DEFFN gzb(x) = FN deg(ATN(1 / (1 + 0.006739501819 * (6378140 / (6378140 + eh))) * TAN(x))) //Grad
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI)
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180)
DEFFN r(x) = x - INT(x / (PI * 2)) * (PI * 2)
DIM xr(200),yr(200),xb(200),yb(200),do(200),aro(200),a(200),b(200),c(200),d(200),e(200),f(200),g(200),rx( 200),ry(200),p1(200)
DIM kof(20,20),kof1(20,20),p(20,20),ko(20,20),pp(20,20)
REM ---------
k = 20.49552 //ABERRATIONSKONSTANTE
k1 = FN rad(k / 3600)
REM ----- INPUT - PARAMETER ------------
n1 = 9 //EINTRAG ANZAHL AUSGEMESSENER ANHALTSSTERNE DER AUFNAHME
fo = 2000 //EINTRAG UNGEFÄHRE KAMERABRENNWEITE (F) IN MILLIMETERN
REM ------------------------------------
a2 = 8    //EINGABE TAG DER AUFNAHME
a3 = 7    //EINGABE MONAT
a4 = 1982 //EINGABE JAHR
REM ------------------
REM EINGABE GENHERTE UHRZEIT DER AUFNAHME (WELTZEIT) UT0 ~ UT1
ut0 = 23.505861 - 0.0025666 / 3600 //UT0=UT1-ds; ds=UT1-UT0
ddt = 52.58 / 3600 //EINGABE EPHEMERIDENZEITKORREKTUR 52.58 SEKUNDEN
GOSUB jd //JULIANISCHES DATUM JD
jd1 = jd + (ut0 + ddt) / 24
t = (jd1 - 2451545) / 36525
GOSUB nut
br = FN rad(50.14235542) //EINGABE GENÄHERTE WAHRE GEOGRAPH. BREITE RAD
lr = 8.72222379 //EINGABE GENÄHERTE WAHRE GEOGRAPH. LÄNGE IN GRAD
eh = 0                   //EINGABE HÖHE ÜBER NN
REM SOLLWERT WAHRE BREITE 50.14235542 GRAD / MITTL. BR. 50.1423056 GRAD
REM SOLLWERT WAHRE LNGE   8.72222379 GRAD / MITTL. L. 8.7221389 GRAD
REM ----------- KORREKTION FšR REFRAKTION -------------
rh = 0.6  //EINTRAG RELATIVE LUFTFEUCHTIGKEIT (HYGROMETERSTAND 0...1 = 0...100 %)
tem = 20  //EINTRAG LUFTTEMPERATUR IN GRAD CELSIUS IN HÖHE šBER NN
mb = 1013 //EINTRAG LUFTDRUCK IN HÖHE eh METER ber NN IN MILLIBAR (mb); k=REFRAKTIONSINDEX DER LUFT IN RAD
ko = 0.000292731 * (mb / 1013.33) * (273.15 / (273.15 + tem)) - 5.333E-08 * ABS(-4.067 + 0.008207 * mb) * rh * (273.15 / (273.15 + tem))
REM FORMATION ---------------------------------------
REM lms,ms,ls = geometr. mittl. Länge der Sonne. mittl. Anomalie der Sonne, geometr. wahre Länge der Sonne
lms = FN r(4.895063 + 628.3319667861 * t )
ms = FN r(6.24006 + 628.3019553261 * t )
ls = FN r(lms + (0.03341607386 - 0.00008407251 * t - 2.44346E-07 * t * t) * SIN(ms) + (0.0003489436 - 1.76278E-06 * t) * SIN(2 * ms))
REM ds, ars = Deklin. und Rektaszension der Sonne quinoktium des Datums JD
ds = ASIN(SIN(ec) * SIN(ls))
y = COS(ec) * SIN(ls)
x = COS(ls)
z = SQR(x ^ 2 + y ^ 2)
x = x / z
y = y / z
ars = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
REM e,rs,pe = Erdbahnexentrizität, Entf. Erde-Sonne, mittl. ekl. Länge des Perigäumes
e = 0.01670862 - 0.000042037 * t
rs = 10 ^ (((3040 - 15 * t) + (-727600 + 1810 * t) * COS(ms) + (-9090 + 50 * t) * COS(2 * ms)) / 100000000)
pe = FN rad(102.937348 + 0.7195269 * t)
t = (jd - 2451545) / 36525
lr1 = lr
lr = 0
GOSUB osz
gstz = osz //STERNZEIT IN GREENWICH
lr = lr1
GOSUB osz           //=arz ORTSSTERNZEIT LÄNGE lr
dez = br   //DEKLINATION ZENIT = GEOGRAPH. BREITE
arz = osz  //REKTASZENSION ZENIT = ORTSSTERNZEIT
RESTORE stardat
FOR i = 1 TO n1
  REM nr=KATALOGNUMMER,do=DEKLINATION (GRAD),aro=REKTASZENSION (GRAD),dar=JÄHRL. EIGENBEWEGUNG IN REKTASZENSION (ZEITSEK.),dd=JÄHRL. EIGENBEWEGUNG IN DEKLINATION (BOGENSEK.),rv=RADIALGESCHWINDIGKEIT (km pro Sek.),p=JÄHRL. PARALLAXE DES STER

  REM (BOGENSEK.), MAG=VISUELLE HELLIGKEIT AM ZENIT.
  READ nr,do,aro,dar,dd,rv,p,mag    //EINLESEN DER KATALOGDATEN ÄQUINOKTIUM J2000
  REM -----------------------
  rvo = rv / 977792.2218
  r = 1 / p //ENTFERNUNG DES STERNS IN PARSEC
  naro = dar / (((180 / PI) * 3600) / 15)
  ndo = dd / ((180 / PI) * 3600)
  do1 = FN rad(do)
  aro1 = FN rad(aro)
  REM -------- KART. 3D STERNKOORDINATEN -------
  x = r * COS(do1) * COS(aro1)
  y = r * COS(do1) * SIN(aro1)
  z = r * SIN(do1)
  REM --------- EIGENBEWEGUNG ---------
  t = (jd1 - 2451545) / 365.25
  xo = x + ((x / r) * rvo - z * ndo * COS(aro1) - y * naro) * t
  yo = y + ((y / r) * rvo - z * ndo * SIN(aro1) + x * naro) * t
  zo = z + ((z / r) * rvo + r * ndo * COS(do1)) * t
  REM ---- POLARKOORDINATEN DES STERNS ---------
  ro = SQR(xo ^ 2 + yo ^ 2 + zo ^ 2)
  do = ASIN(zo / ro)
  xx = xo / (ro * COS(do))
  yy = yo / (ro * COS(do))
  aro = FN r(ATN(yy / (1 + xx)) * 2)
  REM ----- PRZESSION AUF ÄQUINOKTIUM DES DATUMS ----------
  t = (jd1 - 2451545) / 36525
  w1 = FN rad((2306.218 * t + 0.302 * t * t ) / 3600)
  w2 = FN rad((2306.218 * t + 1.1 * t * t ) / 3600)
  w3 = FN rad((2004.311 * t - 0.427 * t * t ) / 3600)
  d = ASIN(SIN(w3) * COS(do) * COS(aro + w1) + COS(w3) * SIN(do))
  x = (COS(w3) * COS(do) * COS(aro + w1) - SIN(w3) * SIN(do)) / COS(d)
  y = (COS(do) * SIN(aro + w1)) / COS(d)
  ar = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + w2)
  do = d
  aro = ar
  REM REDUKTION AUF DEN SCHEINBAREN ORT
  REM -------- LICHTABLENKUNG ----------------
  REM elo = Elongationswinkel bzw. Winkeldistanz Stern-Sonne.
  abl = FN rad(0.00407 / 3600)
  elo = ACOS(SIN(ds) * SIN(do) + COS(ds) * COS(do) * COS(aro - ars))
  ard = abl * COS(ds) * SIN(aro - ars) / (1 - COS(elo) * COS(do))
  ded = abl * (SIN(do) * COS(ds) * COS(aro - ars) - COS(do) * SIN(ds)) / (1 - COS(elo))
  REM ---------- JÄHRLICHE PARALLAXE  ----------
  apa = FN rad((rs * p * (COS(aro) * COS(ec) * SIN(ls) - SIN(aro) * COS(ls)) * (1 / COS(do))) / 3600)
  dpa = FN rad((rs * p * (COS(do) * SIN(ec) * SIN(ls) - COS(aro) * SIN(do) * COS(ls) - SIN(aro) * SIN(do) * COS(ec) * SIN(ls))) / 3600)
  REM ---------- NUTATION --------------------
  anu = (COS(ec) + SIN(ec) * SIN(aro) * TAN(do)) * FN rad(nu / 3600) - COS(aro) * TAN(do) * FN rad(nu1 / 3600)
  dnu = (SIN(ec) * COS(aro) * FN rad(nu / 3600) + SIN(aro) * FN rad(nu1 / 3600))
  REM --------- JÄHRL. ABERRATION (FIXSTERNABERRATION) ------
  aab = -k1 * ((COS(aro) * COS(ls) * COS(ec) + SIN(aro) * SIN(ls)) / COS(do)) + e * k1 * ((COS(aro) * COS(pe) * COS(ec) + SIN(aro) * SIN(pe)) / COS(do))
  dab=-k1*(COS(ls)*COS(ec)*(TAN(ec)*COS(do)-SIN(aro)*SIN(do))+COS(aro)*SIN(do)*SIN(ls))+e*k 1*(COS(pe)*COS(ec)*(TAN(ec)*COS(do)-SIN(aro)*SIN(do))+COS(aro)*SIN(do)*SIN(pe))
  REM ------------------- TÄGL. ABERRATION ------
  ata = FN rad(0.32 / 3600) * (COS(FN gzb(br)) * COS(osz - aro) * (1 / COS(do)))
  dta = FN rad(0.32 / 3600) * SIN(FN gzb(br)) * SIN(osz - aro) * SIN(do)
  REM -------- SCHEINBARER STERNORT --------------------------------
  dek = do + ded + dpa + dnu + dab + dta
  ar = FN r(aro + ard + apa + anu + aab + ata)
  REM ---------------- REFRAKTION -----------------
  zr = ACOS(SIN(br) * SIN(dek) + COS(br) * COS(dek) * COS(osz - ar))  //ZENITDISTANZ STERN
  re = ko * TAN(zr) //REFRAKTION IN ZENITDISTANZ zr (RAD)
  x = (SIN(br) * COS(dek) - COS(br) * SIN(dek) * COS(osz - ar)) / SIN(zr)
  y = COS(br) * SIN(osz - ar) / SIN(zr)
  et = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2) //PARALLAKTISCHER WINKEL
  ar = FN r(ar + (re * SIN(et)) / COS(dek)) //REFRAKTION IN AR
  dek = dek + re * COS(et) //REFRAKTION IN DEKLIN.
  REM --------------------
  do(i) = dek //SCHEINBARE DEKLINATION BEHAFTET MIT REFRAKTION
  aro(i) = ar //SCHEINBARE REKTASZENSION BEHAFTET MIT REFRAKTION
  REM KARTESISCHE STANDARDKOORDINATEN x,y -----------------
  p = ATN(TAN(dek) / COS(ar - arz))
  xr(i) = fo * TAN(p - dez)
  yr(i) = fo * ((COS(p) * TAN(ar - arz)) / COS(p - dez))
  DEFFILL 1
  LINE 320,0,320,400
  LINE 0,200,640,200
  PCIRCLE 320 + yr(i),200 - xr(i),2
NEXT i
REM OPERATION -------------------------
REM GEMESSENE PLATTENKOORDINATEN xb,yb ----------------
pp = 0
FOR i = 1 TO n1
  READ nr,xb,yb,p //DATEI EINLESEN
  p1(i) = p
  pp = pp + p //GEWICHT DER MESSUNG
  xb(i) = xb
  yb(i) = yb
  DEFFILL 1
  LINE 320,0,320,400
  LINE 0,200,640,200
  REM   PCIRCLE 320+yb,200-xb,2
NEXT i
REM AUSGLEICHSRECHNUNG (LEAST-SQUERE- FITS)
FOR i = 1 TO n1
  tw = osz - aro(i)
  h = ASIN(SIN(br) * SIN(do(i)) + COS(br) * COS(do(i)) * COS(tw)) //HÖHE DES STERNS
  x = (COS(do(i)) * SIN(tw)) / COS(h)
  y = (SIN(br) * COS(do(i)) * COS(tw) - COS(br) * SIN(do(i))) / COS(h)
  az = FN r(ATN(x / (1 + y)) * 2) //AZIMUT DES STERNS
  REM --- PHOTOGRAMMETRISCHER TRANSFORMATIONSANSATZ
  REM BEDINGUNGSGLEICHUNG Rx ---------------------
  kof(i,1) = SQR(p1(i)) * 1
  kof(i,2) = SQR(p1(i)) * xr(i) * (xr(i) ^ 2 + yr(i) ^ 2)
  kof(i,3) = SQR(p1(i)) * xr(i)
  kof(i,4) = SQR(p1(i)) * yr(i)
  kof(i,5) = SQR(p1(i)) * (xr(i) - xb(i)) //Residuen
  REM BEDINGUNGSGELEICHUNG Ry -----------------------
  kof1(i,1) = SQR(p1(i)) * 1
  kof1(i,2) = SQR(p1(i)) * yr(i) * (xr(i) ^ 2 + yr(i) ^ 2)
  kof1(i,3) = SQR(p1(i)) * yr(i)
  kof1(i,4) = SQR(p1(i)) * (yr(i) - yb(i)) //Residuen
NEXT i
REM ------------ GLEICHUNG Rx ------------------------
n = 4    //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE EINER BEDINGUNGSGLEICHUNG
m = 9    //EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN
REM NORMALGLEICHUNG p(i,j) ------------
FOR i = 1 TO n
  FOR j = 1 TO n + 1
    p(i,j) = 0
    FOR k = 1 TO m
      p(i,j) = p(i,j) + kof(k,i) * kof(k,j) //AKKUMULATION
      pp(i,j) = p(i,j)
    NEXT k
  NEXT j
NEXT i
FOR i = 1 TO n
  p(i,n + 1 + i) = 1 //RESIDUUM = 1
NEXT i
resi = 5 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN DER NORMALGLEICHUNG
n = 4
m = 4
m = m + resi
GOSUB elim
dx = ko(1,1)
v2 = ko(2,1)
px = ko(3,1)
dm = ko(4,1)
REM ---------- FEHLERQUADRATSUMME Rx ----------------------
vv = 0
FOR i = 1 TO n1
  vv = vv + (kof(i,5) - (kof(i,1) * ko(1,1) + kof(i,2) * ko(2,1) + kof(i,3) * ko(3,1) + kof(i,4) * ko(4,1))) ^ 2
NEXT i
REM -------- MITTL. FEHLER -----------------
s = vv / (n1 - 4)
IF n1 <> pp THEN
  sv = SQR(s) / SQR(pp)
ENDIF
a = SQR(ABS(ko(1,2) * s))
b = SQR(ABS(ko(2,3) * s))
c = SQR(ABS(ko(3,4) * s))
d = SQR(ABS(ko(4,5) * s))
REM ----------- GLEICHUNG Ry ---------------------
n = 3    //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE DER BEDINGUNGSGLEICHUNG
m = 9    //EINTRAG ANZAHL DER BEDINGUNGSGLEICHUNGEN
REM NORMALGLEICHUNG p(i,j) ------------
FOR i = 1 TO n
  FOR j = 1 TO n + 1
    p(i,j) = 0
    FOR k = 1 TO m
      p(i,j) = p(i,j) + kof1(k,i) * kof1(k,j) //AKKUMULATION
      pp(i,j) = p(i,j)
    NEXT k
  NEXT j
NEXT i
FOR i = 1 TO n
  p(i,n + 1 + i) = 1 //RESIDUUM = 1
NEXT i
resi = 4 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN DER NORMALGLEICHUNG
n = 3
m = 3
m = m + resi
GOSUB elim
dy = ko(1,1)
v21 = ko(2,1)
py = ko(3,1)
REM ------------------ FEHLERQUADRATSUMME Ry ----------------------
vv1 = 0
FOR i = 1 TO n1
  vv1 = vv1 + (kof1(i,4) - (kof1(i,1) * ko(1,1) + kof1(i,2) * ko(2,1) + kof1(i,3) * ko(3,1))) ^ 2
NEXT i
REM -------- MITTL. FEHLER ---------
s = vv1 / (n1 - 3)
IF n1 <> pp THEN
  sv1 = SQR(s) / SQR(pp)
ENDIF
a1 = SQR(ABS(ko(1,2) * s))
b1 = SQR(ABS(ko(2,3) * s))
c1 = SQR(ABS(ko(3,4) * s))
REM ---------------------------------
p = ATN(dx / fo) + dez
ar = FN r(arz + ATN(((dy / fo) * COS(p - dez)) / COS(p))) //ar ZENIT
br = ATN(TAN(p) * COS(ar - arz)) //DEKLINATION ZENIT = ASTR.-GEOGR. BR.
lr = FN deg(FN r(ar - gstz)) //ASTR.-GEOGR. LÄNGE
REM MITTL. FEHLER --------------------
p1 = ATN((dx + a) / fo) + dez
ar1 = FN r(arz + ATN((((dy + a1) / fo) * COS(p1 - dez)) / COS(p1))) //ar ZENIT
br1 = ATN(TAN(p1) * COS(ar1 - arz)) //DEKLINATION ZENIT = ASTR.-GEOGR. BR.
lr1 = FN deg(FN r(ar1 - gstz)) //ASTR.-GEOGR. LÄNGE
dar = ABS(FN deg(ar - ar1))
dl = ABS(lr - lr1)
db = ABS(FN deg(br - br1))
REM --------------------
REM ar=FN z(arz+ATN((dy/fo)/(COS(dez)-(dx/fo)*SIN(dez)))) //AR ZENIT
REM br=ASIN((SIN(dez)+(dx/fo)*COS(dez))/SQR(1+(dx/fo)^2+(dy/fo)^2))
REM lr=FN z(ar-gstz) !ASTR.-GEOGR. LÄNGE
REM -----------BRENNWEITE F ---------------------
IF vv < vv1 THEN
  fo = fo + fo * px
ELSE
  fo = fo + fo * py
ENDIF
REM ----- OUTPUT -----------
PRINT "KAMERA-KALIBRIERUNG:"
PRINT "BRENNWEITE (F).....: ";fo;" mm"
PRINT "ZENIT dx...........:";dx;" +/-";a;" mm"
PRINT "ZENIT dy...........: ";dy;" +/- ";a1;" mm"
PRINT "MASSTAB............: 1 mm / ";1 / (fo / 206264.806);" ´´ / 1´´ / ";(1 / 206264.806) * fo;"  mm"
PRINT
PRINT "WAHRE ASTRONOM. BREITE (CEP)..: ";FN deg(br);" +/- ";db;" GRAD"
PRINT "WAHRE ASTRONOM. LÄNGE  (CEP)..: ";lr;" +/- ";dl;" GRAD"
PRINT "SCHEINBARE DEKLINATION   ZENIT: ";FN deg(br);" +/- ";db;" GRAD"
PRINT "SCHEINBARE REKTASZENSION ZENIT: ";FN deg(ar);" +/- ";dar;" GRAD"
REM --------- ds=UT1-UT0 in Std.---------------------
x = 0.216  //EINTRAG POLREDUKTION x
y = 0.225  //EINTRAG POLREDUKTION y'
dut1 = 0.6 //EINTRAG UT=UTC+DUT1 (Sek.)
REM ------------------------------
ds = ((1 / 15) / 3600) * (-y * COS(lr) - x * SIN(lr)) * TAN(br)
REM ---------------------------------------
ut0 = FN deg(ar) / 15 - szh - lr / 15 //szh=WAHRE STERNZEIT GREENWICH 0h UT1
ut0 = (ut0 - INT(ut0 / 24) * 24) / 1.002737909
ut1 = ut0 + ds
utc = ut1 - dut1 / 3600
REM --------------------------
x = FN rad(0.216 / 3600) //REDUKTION CEP ZU CIO
y = FN rad(0.225 / 3600)
lr = FN rad(lr)
brm = FN deg(br + (y * SIN(lr) - x * COS(lr))) //MITTL. ASTRONOM.-GEOGRAPH. BR.
lrm = FN deg(lr - (x * SIN(lr) + y * COS(lr)) * TAN(br)) //MITTL. ASTR.-GEOGR. LÄNGE
REM -------------------------------------;a$;M
PRINT "MITTL. ASTRONOM. BREITE (CIO).: ";brm;" +/- ";db;" GRAD"
PRINT "MITTL. ASTRONOM. LÄNGE..(CIO).: ";lrm;" +/- ";dl;" GRAD"
PRINT "UT1-UT0.......................: ";ds * 3600;" Sek."
PRINT "UT0 AUFNAHME..................: ";ut0;" h UT0"
PRINT "UT1 AUFNAHME..................: ";ut1;" h UT1"
PRINT "UTC AUFNAHME..................: ";utc;" h UTC"
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME Rx.........: ";vv
PRINT "MITTL. FEHLER EINZELMESSUNG...: ";sv
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME Ry.........: ";vv1
PRINT "MITTL. FEHLER EINZELMESSUNG...: ";sv1
KEYGET HALT%
END
REM DATEI STERNKATALOG
stardat:
DATA 37239,50.07107778,288.8297833,-0.0012,0.003,6,0.023809,6.30,37126,50.363919,287.1387208,-0.00 12,0.013,1,0.005263,6.94
DATA 37459,51.7297944,292.426454,0.0022,0.13,-20,0.0244,3.79,37123,52.425811,287.1073917,-0.0107,-0 .052,4,0.0303,5.81
DATA 37362,50.27147222,290.8492292,0.0008,0.027,-24,0.001,6.3,57779,47.2873667,285.5425375,0.0001, 0.025,1,0.01961,7.9
DATA 57708,49.31963056,284.7538125,0.0004,0.016,1,0.00476,8.0,58354,48.17683889,291.955754,0.0007, 0.01,1,0.001,8
DATA 36990,50.809275,284.7473208,-0.0005,0.016,-21,0.0322,6.3
starko:
REM DATEI GEMESSENE PLATTENKOORDINATEN nr,xb,yb,p1=GEWICHT
DATA 37239,-3.469840138343,18.55296113867,1,37126,6.857336360309,-19.17802875698,1,37459,56.998 7027767,95.85369832623,1
DATA 37123,78.86791325961,-18.80417107669,1,37362,4.509636927003,63.54181773651,1,57779,-99.677 09827606,-58.5457788803,1
DATA 57708,-27.96324581883,-73.96137391025,1,58354,-67.53125430193,91.91886077592,1,36990,24.009 3805402,-71.69864617966,1
REM ---------------------------
PROCEDURE jd //JULIAN. DATUM
  jd = 1720996.5 + a2 + FIX(30.6001 * ((a3 - 12 * (a3 < 3)) + 1)) + FIX(365.2425 * (a4 + (a3 < 3)))
RETURN
PROCEDURE osz //ORTSSTERNZEIT
  f8 = 6.697374558333 + 2400 * t + 0.05133690722222 * t
  f8 = f8 - INT(f8 / 24) * 24
  szh = f8 + (nu / (15 * 3600)) * COS(ec)
  szh = szh - INT(szh / 24) * 24
  f9 = f8 + ut0 * 1.002737909 + lr / 15 + (nu / (15 * 3600)) * COS(ec)
  sz = f9 - INT(f9 / 24) * 24
  osz = FN rad(sz * 15)
RETURN
PROCEDURE nut //NUTATION
  REM DELAUNAY-ELEMENTE
  d = FN r(5.198468 + 7771.37714 * t)
  ll = FN r(6.24006 + 628.3019555 * t)
  l = FN r(2.3555482 + 8328.691422 * t)
  f = FN r(1.627903 + 8433.46615813 * t)
  af = FN r(2.182438 - 33.757045 * t)
  REM NUTATION IN LÄNGE
  nu = -172000 * SIN(af) + 2060 * SIN(2 * af)  - 1320 * SIN(2 * f - 2 * d + 2 * af) + 1430 * SIN(ll)
  nu = nu / 10000
  REM NUTATION IN SCHIEFE
  nu1 = 92025 * COS(af) - 895 * COS(2 * af) + 5740 * COS(2 * f - 2 * d + 2 * af) + 220 * COS(ll + 2 * f - 2 * d + 2 * af)
  nu1 = nu1 / 10000
   ec = FN rad(23.439291)
  ec = ec + FN rad(nu1 / 3600)
RETURN
PROCEDURE elim
  FOR j = 1 TO n - 1     //GAUSS ELIMINATION
    nr = j
    no = ABS(p(j,j))
    FOR i = j + 1 TO n    //ZEILENPIVOT
      noo = ABS(p(i,j))
      EXIT IF (noo - no) < 0
      no = noo
      nr = i
    NEXT i
    IF nr = j THEN
      GOTO jum1
    ENDIF
    FOR i = j TO m + 1
      no = p(nr,i)
      p(nr,i) = p(j,i)
      p(j,i) = no
    NEXT i
    jum1:
    FOR i = j + 1 TO m + 1  //ELIMINATION
      p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
    NEXT i
    FOR i = j + 1 TO n
      FOR k = j + 1 TO m + 1
        p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
      NEXT k
    NEXT i
  NEXT j
  FOR i = 1 TO (m + 1) - n
    IF p(n,n) = 0 THEN
      p(n,n) = 1.0E-12
    ENDIF
    ko(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n)  //RÜCKSUBSTITUTION
    FOR k = 1 TO n - 1
      l = n - k
      ko(l,i) = p(l,n + i)
      FOR s = l + 1 TO n
        ko(l,i) = ko(l,i) - p(l,s) * ko(s,i)
      NEXT s
    NEXT k
  NEXT i
RETURN

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