Graphische Bestimmung der Thiele-Innes Elemente A,B,F,G.

Sind x1,y1 die auf S bezogenen Koordinaten von P (Fig. 15), gilt für die Thiele-Innes Konstanten: A=x1/(1-e), B=y1/(1-e). Liegt P sehr nahe an S, bezieht man die Koordinaten des Periastrons P(x1,y1) besser auf den Mittelpunkt M: A=x1,B=y1. Die Punkte H,Q liegen in den wahren Anomalien ±90 Grad. Die parallel zur konjugierten kleinen Achse b durch S gezogene Linie, schneidet die scheinbare Ellipse in den Punkten Q und H. Q wird erst nach dem Periastron erreicht. Sind x2,y2 die rchtwinkligen Koordinaten von Q, gilt: F=x2/(1-e2), G=y2/(1-e2).

Bei stark exentrischer Bahn bestimmt der Punkt R die Konstanten F u. G., wobei R (=Apastron der großen Halbachse der scheinbaren Bahnellipse) erst nach dem Periastron erreicht wird. F=Rx/cos(arcsin(e)), G=Ry/cos(arcsin(e)). x=d*COS(p), y=d*SIN(p).

Beispiel Doppelsternsystem Sirius Fig. 15. Punkt P Positionswinkel N-P 249° Distanz S-P d1=24.5 mm. Punkt Q: N-Q 176° . Distanz S-Q = d2 34 mm.

Exentrizität e=0.593 Streckenverhältnis (S-M)/(P-M).

Das folg. Progr. STARGRAPH berechnet die Thiele-Innes Elemente und daraus die geometrischen Bahnelemente i, z , W.

REM GFA21 STARGRAPH
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * 2 * PI   //REDUKTION AUF INTERVALL 0<=x<=PI*2
d1 = 24.5   // EINTRAG d1 24.4 mm
p1 = RAD(249)  //EINTRAG
d2 = 34   //EINTRAG
p2 = RAD(176)  //EINTRAG
x1 = d1 * COS(p1)
y1 = d1 * SIN(p1)
x2 = d2 * COS(p2)
y2 = d2 * SIN(p2)
e = 0.593
aa = x1 / (1 - e)          //Koeffizient A
bb = y1 / (1 - e)          //                  B
ff = x2 / (1 - e ^ 2)       //                  F
gg = y2 / (1 - e ^ 2)     //                  G
y = bb - ff
x = aa + gg
r = SQR(x * x + y * y)
xx = x / r
yy = y / r
z1 = FN r(ATN(yy / (1 + xx)) * 2)
y = -bb - ff
x = aa - gg
r = SQR(x * x + y * y)
xx = x / r
yy = y / r
z2 = FN r(ATN(yy / (1 + xx)) * 2)
w = (z1 + z2) / 2
k = (z1 - z2) / 2
i = ATN(SQR(((-bb - ff) / (bb - ff)) * (SIN(w + k) / SIN(w - k)))) * 2
a = (bb - ff) / (2 * SIN(w + k) * COS(i / 2) ^ 2)
kof = a * (COS(w) * COS(k) - SIN(w) * SIN(k) * COS(i))
PRINT  "CHECK: ";aa;" ";kof;""
PRINT
PRINT "GEOMETRISCHE BAHNELEMENTE"
PRINT "i..........: ";DEG(i);" GRAD"
PRINT "Omega: ";DEG(w);" GRAD"
PRINT "Knoten: ";DEG(k);" GRAD"
PRINT "DYNAMISCHE BAHNELEMENTE"
PRINT "e.....: ";e
PRINT "a.....: ";a
KEYGET HALT%



Auflösung linearer Gleichungssysteme nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate

Gleichungssystem:

0.5 A+3     B-0.1 C+0.7 D-0.3 E = +0.5 //RESIDUUM
0.3 A+1     B-0.9 C+0.5 D+5   E = -0.1
0.1 A+0.3  B-0.1 C+0.7 D-0.3 E = +3
0.8 A+4     B-0.9 C+0.4 D+1.9 E = -0.7
0.5 A+7     B-0.5 C+5   D-0.9  E = +0.1

REM GFA22 PROGRAMM MULTIPLE LINEARE REGRESSION --------------
DIM p(10,10),ko(10)
m = 5   //ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 5   //ANZAHL UNBEKANNTE (n+1 RESIDUUM)
REM -------------
p(1,1) = 0.5
p(1,2) = 3
p(1,3) = -0.1
p(1,4) = 0.7
p(1,5) = -0.3
p(1,6) = 0.5 //RESIDUUM
REM -----------
p(2,1) = 0.3
p(2,2) = 1
p(2,3) = -0.9
p(2,4) = 0.5
p(2,5) = 5
p(2,6) = -0.1 //RESIDUUM
REM ---------
p(3,1) = 0.1
p(3,2) = 0.3
p(3,3) = -0.1
p(3,4) = 0.7
p(3,5) = -0.3
p(3,6) = 3 //RESIDUUM
REM -----------
p(4,1) = 0.8
p(4,2) = 4
p(4,3) = -0.9
p(4,4) = 0.4
p(4,5) = 1.9
p(4,6) = -0.7 //RESIDUUM
REM ---------------
p(5,1) = 0.5
p(5,2) = 7
p(5,3) = -0.5
p(5,4) = 5
p(5,5) = -0.9
p(5,6) = 0.1 //RESIDUUM
GOSUB elim
PRINT "KOEFFIZIENTEN"
PRINT "A ";ko(1)
PRINT "B ";ko(2)
PRINT "C ";ko(3)
PRINT "D ";ko(4)
PRINT "E"';ko(5)
PRINT
PRINT "ERGEBNIS"
PRINT 0.5 * ko(1) + 3 * ko(2) - 0.1 * ko(3) + 0.7 * ko(4) - 0.3 * ko(5)
PRINT 0.3 * ko(1) + 1 * ko(2) - 0.9 * ko(3) + 0.5 * ko(4) + 5 * ko(5)
PRINT 0.1 * ko(1) + 0.3 * ko(2) - 0.1 * ko(3) + 0.7 * ko(4) - 0.3 * ko(5)
PRINT 0.8 * ko(1) + 4 * ko(2) - 0.9 * ko(3) + 0.4 * ko(4) + 1.9 * ko(5)
PRINT 0.5 * ko(1) + 7 * ko(2) - 0.5 * ko(3) + 5 * ko(4) - 0.9 * ko(5)
STOP
PROCEDURE elim  //AUSGLEICHSRECHNUNG NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
  FOR j = 1 TO n - 1  //GAUSS ELIMINATION
    nr = j
    no = ABS(p(j,j))
    FOR i = j + 1 TO n    //ZEILENPIVOT
      noo = ABS(p(i,j))
      EXIT IF (noo - no) < 0
      no = noo
      nr = i
    NEXT i
    IF nr = j THEN
      GOTO jum1
    ENDIF
    FOR i = j TO m + 1
      no = p(nr,i)
      p(nr,i) = p(j,i)
      p(j,i) = no
    NEXT i
    jum1:
    FOR i = j + 1 TO m + 1   //ELIMINATION
      p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
    NEXT i
    FOR i = j + 1 TO n
      FOR k = j + 1 TO m + 1
        p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
      NEXT k
    NEXT i
  NEXT j
  ko(n) = p(n,n + 1) / p(n,n )  //RÜCKSUBSTITUTION
  j = n
  REPEAT
    j = j - 1
    ko(j) = p(j,n + 1)
    FOR i = j + 1 TO n
      ko(j) = ko(j) - p(j,i) * ko(i)
    NEXT i
  UNTIL j < 2
RETURN



Langperiodische visuelle Doppelsterne

Die meisten Doppelsterne haben Umlaufzeiten von einigen 100 bis vielen 1000 Jahren, weshalb man bisher nur kurze Bahnstücke solcher Systeme beobachten konnte. Die graphischen und analytischen Bahnberechnungsmethoden versagen dann, so auch die Thiele-Innes Methode, da diese mindestens einen zur Hälfte beobachteten Bahnbogen zur Voraussetzung haben. Jedoch ist das Rabesche dynamische Verfahren auf langperiodischen Systemen anwendbar. Da die Positionswinkel meistens sicherer als kleine Distanzen sind werden oftmals nur die Winkel angepaßt.

Die am Anfang u. Ende des Bahnstücks gelegenen 2-3 Normalorte in die Ausgleichsrechnung nicht mit einbeziehen. Das Zeitmaß »N« (Jahre) liegt stets innerhalb des auszugleichenden Bahnbogens (N=(t 1-t2)/2; t1 u. t2=Anfangs- u. Endjahr des auszugleichenen Bahnstücks, Epoche ep=t1+N). c = (t-to)/N <1; to=gewählte Epoche, t=Beobachtungszeit.

Die gewählte Oskulationsepoche (to) darf nicht mit der Epoche des auf- oder absteigenden Bahnknotens zusammenfallen, da das Verfahren sonst versagt.

Ausgleichsrechnung:

Polynom Positionswinkel (P = Po + S ai ci):

P = Po + a1 c + a2 c2 + a3 c3 + a4 c4 + ...

Polynom Distanzen (d = do  + S b i  c i):

d2 = do2 + d1 c + d2 c2 + d3 c3

Vereinfachungen des Rabeschen dynamischen Verfahrens nach J. Hopmann.

1) Distanz zur Oskulationszeit (to) do = 1 setzen. Die große Halbachse (a) ergibt sich daraus in einem relativen Maßstab, da die Berechnung des wahre Werts erst nach dem definitiven Bahnelementeergebnis erfolgt.

2) Positionswinkel P = 0° zur Oskulationsepoche (to) setzen, wodurch x=do COS(Po) = 1 und y=do SIN(Po) = 0 wird.

Koeffizienten:

p1 = 0.017453293 a1
p2 = 0.03490659
a2
a1 = -2 
a2 / a1
b = -3
a3 / a1
c = -4 
a4 / a1
a2=a12+b
a3=a1(a2+b)+c
x1=g1=a1/2
g2=a2 -g12
g3=3*(a3-g1*g2)
x2=g2-p12
y1=p1
y2=x1 p1+0.5*p 2
x3=g3-y2*p1-1.25 p1 p2
r1/r = (1/3) (x1-x3/x2)

Grenzbedingungen:

V2 = x1 2+y12+z12 = k2(2/r-1/a).

1. Grenzbedingung (Parabelgrenze): k2> (r/2)((g12+p12+z12)
2. Grenzbedingung (Ellipsengrenze): k2< (r V2)/(1+(r1/r)2 (1/-x22)).
Unterer Grenzwert Exentrizität e2> (r1/r)2 (1/-x2 ) = eg (e>=0 Ellipse, e=1 Parabel).
Unterer Grenzwert Umlaufzeit Ug=((2*PI*N)/kg)*ag^(3/2); ag=rg/(1-eg2).

ag, kg und rg ergeben sich durch entsprechende Wahl von »z«, wenn k2 die zweite Grenzbedingung gerade erfüllt.

r = Å(z2 + 1)
z1 = r r1 - g1.
r1=(r1/r) r
k2 = r3 x2. k=
Åk2.
Mit z=0.01 beginnend wird z varriert, bis k2 die 1. und 2. Grenzbedingung erfüllt.

Bahnelemente erster Näherung:

e1 = k Åp cos(i) = p1
e2 = k
Å p sin(i) sin(W) = -z1 p1
e3 = k
Åp sin(i) cos(W) = z1-z g1
pp = k
Åp =Å(e12+e22+e 32)

Inclination: i = ACOS(e1/pp)

y=e2/(pp SIN(i))
x=e3/(pp SIN(i))

Knoten (W )=FN r(/ATN(y/(1+x))*2+Po). Der Knoten bezieht sich auf die gewählte Lage des Positionswinkels (P=0) zur Oskulationsepoche (to). Die wahre Lage des aufsteigenden Knotens ergibt sich somit aus W = W + Po (oben berücksichtigt).

p=((k Å p)/k)2 = p=(pp/k)^2   (^ = Potenzierung)
e4 = e = sin(v) = 1/ k 
Åp r1
e5 = e = cos(v) = p/r-1

Exentrizität: e = Å(e42+e52)
e6 = e4/e
e7 = e5/e =
u wahre Anomalie v=FN r(ATN(e6/(1+e7))*2).
x=r cos(u) = cos(
W)
y=r sin(u) = z/sin(i)
r=
Å(x2+y2 )
x=x/r ‘
y=y/r
u=ATN(y/(1+x))*2

Periastronargument: z = w = u - v.

Alternativ: w=FN r(ATN(-TAN(W)/COS(i))-v) = arctan(v+w) =-tan(W)/cos(i)

Große halbe Bahnachse: a = p/(1-e2).
Umlaufzeit: U =
Å (1/k2 4o 2 N2 a3).
Jährliche Bewegung:
l = my = 2*PI/U (2*PI = 2o)
Exentrische Anomalie (E): tan E/2 =
Å(1-e)/(1+e) tan(v/2)
Mittlere Anomalie: M = E-e SIN(E).
Periastrondurchgangszeit (T): T = to - M/my.

Eine erste Ephemeride (Polarkoordinaten p,d) der Komponente läßt sich nach folg. Formeln berechnen:

M = my (t-to)  //Mittlere Anomalie
Radiusvektor r=(a(1-e2))/(1+e cos(v)))  oder =a(1-e cos(E)).
For i=1 TO 15  //M=m=MITTL. ANOMALIE
ex=m+e sin(ex)  //ex=E=EXENTRISCHE ANOMALIE
NEXT i
v=ATN(
Å(1+e)/(1-e)) TAN(ex/2))*2 //u = v =WAHRE ANOMALIE
y=d sin(P-
W) = r sin(v+w) cos(i)
x=d cos(P-
W ) = r cos(v+w)
Ephemeridenort: Distanz d:
d=SQR(x^2+y^2)
y=y/d
x=x/d
Positionswinkel p=FN r(ATN(y/(1+x))*2+
W).

Hieraus bildet man die Residuen (B-R = Beobachtung minus Rechnung) beobachteter Ort (B) minus Ephemeridenort (R); denn die Bahnelemente erster Näherung zeigen meist noch große Abweichungen von der wahren Bahn, wodurch das Elementesystem durch Ausgleichsrechnung zu korrigieren ist.

Bei n-Beobachtungen liegen n-Bedingungsgleichungen folg. Form vor (i=1,2,3,...,n):

Residuenvektor R(i)=A(i) dW + B(i) di + C(i) dw + D(i) dT´ + E(i) dmy'+F(i) de'.

Die 6 Korrekturgrößen bzw. Unbekannten dW, dw, di, dT´, dmy, de ergeben sich durch Ausgleichsrechnung.

 Normalgleichung:

N   dW   +  [B]    di  +  [C]   dw  +  [D]     dT´ +   [E]    dmy'   +   [F]     de'   =    [R]
[B] d
W  +  [B2 ]  di   +  [BC] dw  +  [BD]  dT´ +  [BE]  dmy'  +   [BF]   de'  =  [BR]
[C] d
W +  [CB] di  +  [C2]   dw  +  [CD]  dT´ +  [CE]  dmy'  +  [CF]   de'  =  [CR]
[D] d
W  +  [DB] di  +  [DC]  dw  +  [D2 ]  dT´ +  [DE]  dmy'  +  [DF]   de'  =  [DR]
[E] d
W   +  [EB] di   +  [EC]  dw   +  [ED] dT´ +  [E2]   dmy'  +  [EF]   de'   =   [ER]
[F] d
W  +  [FB]  di  +   [FC]  dw   +  [FD] dT´ +  [FE]  dmy'  +  [F2 ]    de'   =  [FR]

Anwendung der Koeffizienten A,B,C,D,E,F  nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate:

A(i)=1
B(i)=-cos(P-
W )2 tan(v+w) sin(i)
C(i) = (cos(P-
W)2/cos(v+w)2) cos(i)
m=(1+e cos(v))2/(1+e)2
n=(1/COS(ASIN(e))) sin(v) (2+e cos(v))
D(i)=-n C
E(i) = n C(i) (t-T)
F(i)=m C(i).
o =
Å(1+e)/(1-e) (my/(1-e))
dT´ = o dT
dT = dT´/o
u =
Å(1+e)/(1-e)
dmy' = u (dmy/(1-e))
dmy = (dmy'(1-e))/u
s = (1/cos(asin(e)))
de' = s de
de = de'/s

Praktisches numerisches Beispiel: Doppelstern S1819 (ADS 9182). Bahnelemente des Systems S1819 von Paul Baize 1953 und 1987.

                              Baize 1953           u.    1987            STARFIT       Hopmann 1945               

U  =

200.5

214.24

329.57

358.72

T  =

1980.7

2003.94

1904.26

1899.55

a   =

0.34''

1.08''

1.564

1.688''

e   =

0.3

0.24

0.121

0.175

i    =

135.8°

150.5°

129.15°

127.53°

W  =

151.1°

2.17°

3.31°

3.97°

z  =

226.0°

180.0°

11.55°

2.75°

         

Die geometrischen Elemente von Hopmann 1945 und die von Baize 1987 stimmen ungefähr überein, allerdings haben von Bezold und Hopmann aufgrund des kurzen Bahnbogens den Apastronbogen für den Periastronbogen gehalten, wie man am Perihelargument (z ±180°) erkennt. Die Elemente von P. Baize 1987 stimmen heute nicht mehr, wie neuere Messungen gezeigt haben (McAlister [Speckle]: 1989.24, 221.7°, 0.879'' (1n), Residuum +3.5°, +0.063'', Dr. Alzner: 1995.43, 207.5°, 0.84'' (Gewicht 2n), Residuum +4.6°, +0.02'').

Die Variation der Größe »z« wird abgebrochen, wenn die Differenz beobachteter (p1) minus berechneter Postionswinkel (pw) ein Minimum (B-R) annimmt. Das Optimum der Bahnverbesserung wird meistens bereits mit der ersten Variation (z) erreicht, da oftmals weder die teilweise Kombination, die Einzelermittlung der Unbekannten, noch das Festhalten verschiedener Elemente zu irgendeiner Verbesserung der Elemente führt.

Doppelstern S1819 (ADS 9182). z=-0.11, k2=0.48188.

Polynom 3. Grades: P = Po 8.45189° +  a1 (-26.58639°) c + a2 0.851811° c2 + a3 (-2.3111°) c3

Nach Betätigen der Taste >W< und >G< läuft das Programm mehrmals durch und bricht dann ab.

REM GFA23  STARFIT ----
REM -- DYNAMISCHE METHODE RABE-HOPMANN ---
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * 2 * PI
DIM t(100),p1(100),d(100),g(100),p(30,30),ko(20)
anz = 17  //ANZAHL VERWENDETER BEOBACHTUNGEN
RESTORE winkel //BEOBACHTUNGEN t 1860-1920
FOR i = 1 TO anz
  READ t(i),p1(i),d(i)  //Beobachtungszeit, Positionswinkel, Distanz
  IF p1(i) > 0 AND p1(i) < 65 THEN       //REDUKTION WINKEL 0 BIS 65 AUF INTERVALL 0=<p1<=360
    p1(i) = p1(i) + 360
  ENDIF
  g(i) = 1 //GEWICHT = 1
NEXT i
ep = 1890  //EINTRAG OSKULATIONSEPOCHE 1860+N 30
nn = 30   //EINTRAG ZEITMASS N 30=(1920-1860)/2
flag = 1
GOSUB fit  //DISTANZ d
dis = ko(1) //KOEFFIZIENT do
rd = SQR((ko(1) * y + ko(2) * xy + ko(3) * xxy + ko(4) * xxxy - (1 / p) * y ^ 2) / (yy - (1 / p) * y ^ 2))
PRINT "KORRELATIONSKOEFFIZIENT DISTANZ: ";rd   //rd=1 perfekte Korrelation
y = 0    //PARAMETER POLYNOM = NULL SETZEN
yy = 0
xy = 0
xxy = 0
xxxy = 0
x = 0
xx = 0
xxx = 0
xxxx = 0
xxxxx = 0
xxxxxx = 0
p = 0
flag = 0
GOSUB fit  //POSITIONSWINKEL p1
REM NORMALGLEICHUNG POLYNOMAUSGLEICHUNG MIT 4 UNBEKANNTEN -
rp = SQR((ko(1) * y + ko(2) * xy + ko(3) * xxy + ko(4) * xxxy - (1 / p) * y ^ 2) / (yy - (1 / p) * y ^ 2))
PRINT  "KORRELATIONSKOEFFIZIENT POSITIONSWINKEL: ";rp
PRINT "NORMALGLEICHUNG:"
PRINT p * ko(1) + x * ko(2) + xx * ko(3) + xxx * ko(4),y
PRINT x * ko(1) + xx * ko(2) + xxx * ko(3) + xxxx * ko(4),xy
PRINT xx * ko(1) + xxx * ko(2) + xxxx * ko(3) + xxxxx * ko(4),xxy
PRINT xxx * ko(1) + xxxx * ko(2) + xxxxx * ko(3) + xxxxxx * ko(4),xxxy
p = ko(1) - 360 //falls k1>360 Grad auf Intervall 0<=k1<=360 reduzieren
al1 = ko(2)
al2 = ko(3) //KOEFFIZIENTEN
al3 = ko(4)
PRINT "KOEFF.: Po ";p;"/ ";al1;"/ ";al2;"/ ";al3
REM -- DYNAMISCHE BAHNBESTIMMUNG NACH W. RABE, MODIFIZIERT VON J. HOPMANN --
REM PARAMETER ----------------
p1 = 0.017453 * al1
p2 = 0.034906 * al2
a1 = -(2 * al2) / al1
b = -(3 * al3) / al1
a2 = a1 * a1 + b
a3 = a1 * (a2 + b)
x1 = a1 / 2
g1 = x1
g2 = a2 - g1 ^ 2
g3 = 3 * (a3 - g1 * g2)
x2 = g2 - p1 ^ 2          // x
y2 = x1 * p1 + 0.5 * p2
x3 = g3 - y2 * p1 - 1.25 * p1 * p2      //x
r1 = (1 / 3) * (x1 - x3 / x2)         //  r/r
REM SCHRITTWEISE VARIATION z ---------------------
INPUT "z-VARIATION: ";z
r = SQR(z ^ 2 + 1)   // r
ro = r1 * r        // r
z1 = (r * r1 - g1) / z  // z
k1 = (r / 2) * ((g1 ^ 2 + p1 ^ 2) + z1 ^ 2)  // 1. GRENZBEDINGUNG
y1 = p1
v = x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2
k2 = (r * v) / (1 + r1 ^ 2 * (1 / -x2^2))  // 2. GRENZBEDINGUNG
k = ABS(r ^ 3 * x2)  // k^2
ko = SQR(k)      // k
eg = SQR(r1 ^ 2 * (1 / -x2))
ag = r * (1 - eg ^ 2)
ug = (2 * PI * nn) / SQR(k)
PRINT "GRENZBEDINGUNG >z<: ";k1;" < k ";k;" < ";k2
IF k < k1 OR k > k2 THEN
  PRINT "GRENZBEDINGUNG NICHT ERFÜLLT"
ENDIF
REM ERSTE BAHNELEMENTE ----------------
e1 = p1
e2 = (-z * p1)
e3 = (z1 - z * g1)
pp = SQR(e1 ^ 2 + e2 ^ 2 + e3 ^ 2)
ix = ACOS(e1 / pp)    //INCLINATION i
y = e2 / (pp * SIN(ix))
x = e3 / (pp * SIN(ix))
knot = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)  //KNOTEN
po = (pp / ko) ^ 2
e4 = (1 / pp) * ro
e5 = po / r - 1
e = SQR(e4 ^ 2 + e5 ^ 2) //EXENTRIZITÄT
e6 = e4 / e
e7 = e5 / e
van = FN r(ATN(e6 / (1 + e7)) * 2)  //WAHRE ANOMALIE
x = COS(knot)
y = z / SIN(ix)
rs = SQR(x ^ 2 + y ^ 2)
x = x / rs
y = y / rs
u = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
w = u - van       //PERIASTRONARGUMENT
a = po / (1 - e ^ 2)  //GROSSE HALBE BAHNACHSE (RELATIV)
um = SQR(ABS(1 / k * 4 * PI ^ 2 * nn ^ 2 * a ^ 3))         //UMLAUFZEIT
my = (2 * PI) / um             //MITTL. JÄHRL. BEWEGUNG
ex = ATN(SQR((1 - e) / (1 + e)) * TAN(van / 2)) * 2 //EXENTRISCHE ANOMALIE
FOR i = 1 TO 20
  m = ex - e * SIN(m) //MITTLERE ANOMALIE
NEXT i
to = ep - m / my  //PERIASTRONDURCHGANGSZEIT T
PRINT "ERSTE BAHNELEMENTE"
PRINT "i.....: ";DEG(ix);" GRAD"
PRINT "KNOTEN: ";DEG(FN r(knot + RAD(p)));" GRAD"
PRINT "OMEGA.: ";DEG(w);" GRAD"
PRINT "e.....: ";e
PRINT "T.....: ";to
PRINT "U.....: ";um;" Jahre"
PRINT "my....: ";DEG(my);" Grad/Jahr"
PRINT "a.....: ";a * dis;" ´´ "  //wahres a = a relativ * dis (do)"
PRINT "k^2...: ";k
PRINT
PRINT "BEOBACHTUNGSREIHE"
PRINT "t               b - p1       d´´     p1 - POLY    p - r       b - r        -- TASTE >G<"
RESTORE win
anz1 = 24                  //ANZAHL BEOBACHTUNGEN
FOR i = 1 TO anz1
  READ t(i),p1(i),d(i)    //BEOBACHTUNGSREIHE
  t = (t(i) - ep) / nn
  POLY = p + al1 * t + al2 * t * t + al3 * t * t * t  //POLYNOMREIHE POSITIONSWINKEL
  IF POLY < 0 THEN
    POLY = POLY + 360
  ENDIF
  REM EPHEMERIDE --------------------
  m = my * (t(i) - to)
  ex = m
  FOR n = 1 TO 20
    ex = m + e * SIN(ex)
  NEXT n
  v = FN r(ATN(SQR((1 + e) / (1 - e)) * TAN(ex / 2)) * 2)
  r = a * (1 - e * COS(ex))
  y = r * SIN(v + w) * COS(ix)
  x = r * COS(v + w)
  d = SQR(x ^ 2 + y ^ 2)           //DISTANZ (RELATIV)
  x1 = x / d
  y1 = y / d
  pw = DEG(FN r(ATN(y1 / (1 + x1)) * 2 + knot + RAD(p)))    //POSITIONSWINKEL EPHEMERIDE
  REM  Beobachtungszeit t / Positonswinkel p1, Distanz d, p1-Polynom, Positionswinkel berechnet pw, Postionwinkel Beobachtung p1 minus Rechnung pw
  PRINT t(i);TAB(9);p1(i);"o";TAB(17);d(i);"´´";TAB(33);ROUND(p1(i)-POLY,2);TAB(44);ROUND(pw,2);TAB(54); ROUND(p1(i)-pw,2)
  REPEAT
  UNTIL UPPER$(INKEY$) = "G"
NEXT i
REM BAHNVERBESSERUNG DURCH AUSGLEICHSRECHNUNG ------------------
CLS
FOR ii = 1 TO 10    //  ITERATION
  REM NULLSETZUNG PARAMETER [B]=b1,[CB]=cb usw.
  g = 0
  ar = 0
  br = 0
  cr = 0
  dr = 0
  er = 0
  fr = 0
  b1 = 0
  c1 = 0
  d1 = 0
  e1 = 0
  f1 = 0
  bb = 0
  cb = 0
  db = 0
  eb = 0
  fb = 0
  bc = 0
  cc = 0
  dc = 0
  ec = 0
  fc = 0
  bd = 0
  cd = 0
  dd = 0
  ed = 0
  fd = 0
  be = 0
  ce = 0
  de = 0
  ee = 0
  fe = 0
  bf = 0
  cf = 0
  df = 0
  ef = 0
  ff = 0
  PRINT " t           b - p1       d´´  p1 - POLY   p - r     b - r  - TASTE >G<"
  RESTORE win
  FOR i = 1 TO anz1
    READ t(i),p1(i),d(i)
    g(i) = 1        //GEWICHT = 1
    g = g + g(i)
    m = my * (t(i) - to)
    ex = m
    FOR n = 1 TO 20
      ex = m + e * SIN(ex)
    NEXT n
    v = FN r(ATN(SQR((1 + e) / (1 - e)) * TAN(ex / 2)) * 2)
    r = a * (1 - e * COS(ex))
    y = r * SIN(v + w) * COS(ix)
    x = r * COS(v + w)
    d = SQR(x ^ 2 + y ^ 2)            //EPHEMERIDENWERT
    x1 = x / d
    y1 = y / d
    pw = DEG(FN r(ATN(y1 / (1 + x1)) * 2 + knot + RAD(p)))  //EPHEMERIDENWERT
    PRINT t(i);TAB(9);p1(i);"o";TAB(17);d(i);"´´";TAB(26);ROUND(pw,2);TAB(36);ROUND(p1(i) - pw,2)
    REPEAT
    UNTIL UPPER$(INKEY$) = "G"
    REM ---------------
    bet = (1 + e * COS(v)) ^ 2 / COS(ASIN(e))
    al = (SIN(v) * (2 + e * COS(v))) / COS(ASIN(e))
    bo = (-COS(RAD(pw) - knot)^2 * TAN(v + w) * SIN(ix))
    co = (COS(RAD(pw) - knot) ^ 2 / COS(v + w) ^ 2) * COS(ix)
    do = (-bet * co)
    e2 = bet * co * ((t(i) - to) / nn)
    fo = al * co
    REM AUFSUMMIERUNG DER PARAMETER [B]=b1,[CB]=cb usw.
    b1 = b1 + bo
    c1 = c1 + co
    d1 = d1 + do
    e1 = e1 + e2
    f1 = f1 + fo
    bb = bb + bo * bo
    cb = cb + co * bo
    db = db + do * bo
    b = eb + e2 * bo
    fb = fb + fo * bo
    bc = bc + bo * co
    cc = cc + co * co
    dc = dc + do * co
    ec = ec + e2 * co
    fc = fc + fo * co
    bd = bd + bo * do
    cd = cd + co * do
    dd = dd + do * do
    ed = ed + e2 * do
    fd = fd + fo * do
    be = be + bo * e2
    ce = ce + co * e2
    de = de + do * e2
    ee = ee + e2 * e2
    fe = fe + fo * e2
    bf = bf + bo * fo
    cf = cf + co * fo
    df = df + do * fo
    ef = ef + e2 * fo
    ff = ff + fo * fo
    IF p1(i) >= 0 AND p1(i) < 90 AND pw > 270 AND pw <= 360 THEN
      p1(i) = p1(i) + 360
    ENDIF
    IF pw >= 0 AND pw < 90 AND p1(i) > 270 AND p1(i) <= 360 THEN
      pw = pw + 360
    ENDIF
    rv = p1(i) - pw //RESIDUENVEKTOR R = BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG B-R
    ar = ar + rv
    br = br + bo * rv
    cr = cr + co * rv
    dr = dr + do * rv
    er = er + e2 * rv
    fr = fr + fo * rv
  NEXT i
  REM AUSGLEICHSRECHNUNG
  m = 6 //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN MIT 6 UNBEKANNTEN
  n = 6 //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
  p(1,1) = g  //NORMALGLEICHUNG MATRIX 6 X 6
  p(1,2) = b1
  p(1,3) = c1
  p(1,4) = d1
  p(1,5) = e1
  p(1,6) = f1
  p(1,7) = ar
  REM --------
  p(2,1) = b1
  p(2,2) = bb
  p(2,3) = cb
  p(2,4) = db
  p(2,5) = eb
  p(2,6) = fb
  p(2,7) = br
  REM ----------
  p(3,1) = c1
  p(3,2) = bc
  p(3,3) = cc
  p(3,4) = dc
  p(3,5) = ec
  p(3,6) = fc
  p(3,7) = cr
  REM ----------------
  p(4,1) = d1
  p(4,2) = bd
  p(4,3) = cd
  p(4,4) = dd
  p(4,5) = ed
  p(4,6) = fd
  p(4,7) = dr
  REM ----------
  p(5,1) = e1
  p(5,2) = be
  p(5,3) = ce
  p(5,4) = de
  p(5,5) = ee
  p(5,6) = fe
  p(5,7) = er
  REM ----------------
  p(6,1) = f1
  p(6,2) = bf
  p(6,3) = cf
  p(6,4) = df
  p(6,5) = ef
  p(6,6) = ff
  p(6,7) = fr
  GOSUB elim //SUBROUTINE AUSGLEICHUNG NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
  PRINT "NORMALGLEICHUNG:"
  PRINT TAB(2);g * ko(1) + b1 * ko(2) + c1 * ko(3) + d1 * ko(4) + e1 * ko(5) + f1 * ko(6);TAB(25);ar
  PRINT TAB(2);b1 * ko(1) + bb * ko(2) + bc * ko(3) + bd * ko(4) + be * ko(5) + bf * ko(6);TAB(25);br
  PRINT TAB(2);c1 * ko(1) + cb * ko(2) + cc * ko(3) + cd * ko(4) + ce * ko(5) + cf * ko(6);TAB(25);cr;
  PRINT TAB(2);d1 * ko(1) + db * ko(2) + dc * ko(3) + dd * ko(4) + de * ko(5) + df * ko(6);TAB(25);dr
  PRINT TAB(2);e1 * ko(1) + eb * ko(2) + ec * ko(3) + ed * ko(4) + ee * ko(5) + ef * ko(6);TAB(25);er
  PRINT TAB(2);f1 * ko(1) + fb * ko(2) + fc * ko(3) + fd * ko(4) + fe * ko(5) + ff * ko(6);TAB(25);fr
  dt = ko(4) / (57.29578 * my * (1 / COS(ASIN(e))) ^ 2)
  dmy = ko(5) / (nn * (1 / COS(ASIN(e))) ^ 2)
  de = ko(6) / (57.29578 * (1 / COS(ASIN(e))))
  PRINT "ARGUMENTE DER BAHNVERBESSERUNG:"
  PRINT "dknot: ";ko(1)
  PRINT "di   : ";ko(2)
  PRINT "dw:  : ";ko(3)
  PRINT "dt   : ";dt
  PRINT  "my   : ";dmy
  PRINT "de   : ";de
  knot = knot + RAD(ko(1)) //KNOTEN
  ix = ix + RAD(ko(2))     // i
  w = w + RAD(ko(3))       //Periastronargument w
  to = to + dt             // Periastrondurchgang
  my = my + RAD(dmy)       // Jährliche Bewegung
  um = 2 * PI / my
  e = e + de               //Exentrizität
  PRINT "VERBESSERTE BAHNELEMENTE"
  PRINT "i.....: ";DEG(ix);" GRAD"
  PRINT "KNOTEN: ";DEG(FN r(knot + RAD(p)));" GRAD"
  PRINT "OMEGA.: ";DEG(w);" GRAD"
  PRINT "e.....: ";e
  PRINT "T.....: ";to
  PRINT "U.....: ";um;" Jahre"
  PRINT "my....: ";DEG(my);" Grad/Jahr"
  PRINT "a.....: ";a * dis;"´´"         //wahres a = a relativ * dis (do)
  PRINT
  PRINT "TASTE >W<"
  REPEAT
  UNTIL UPPER$(INKEY$) = "W" // WARTEN AUF TATSTENDRUCK >W<
NEXT ii
END
PROCEDURE fit
  FOR i = 1 TO anz   //AUFSUMMIERUNG POLYNOM DISTANZ/POSITIONSWINKEL
    IF flag = 0 THEN
      y = y + p1(i)                             //[y]
      yy = yy + p1(i) * p1(i)                     //[y*y]
      xy = xy + ((t(i) - ep) / nn) * p1(i) * g(i)       //[xy]
      xxy = xxy + ((t(i) - ep) / nn) ^ 2 * p1(i) * g(i)   // [x*x*y]
      xxxy = xxxy + ((t(i) - ep) / nn) ^ 3 * p1(i) * g(i)           //[x*x*x*y]
    ELSE
      y = y + d(i)                             // [y]
      yy = yy + d(i) * d(i)                      //[y*y]
      xy = xy + ((t(i) - ep) / nn) * d(i) * g(i)       // [xy]
      xxy = xxy + ((t(i) - ep) / nn) ^ 2 * d(i) * g(i)        // [x*x*y]
      xxxy = xxxy + ((t(i) - ep) / nn) ^ 3 * d(i) * g(i)            // [x*x*x*y]
    ENDIF
    x = x + ((t(i) - ep) / nn) * g(i)               // [x]
    xx = xx + ((t(i) - ep) / nn) ^ 2 * g(1)           // [x*x]
    xxx = xxx + ((t(i) - ep) / nn) ^ 3 * g(i)         // [x*x*x]
    xxxx = xxxx + ((t(i) - ep) / nn) ^ 4 * g(i)       // [x*x*x*x]
    xxxxx = xxxxx + ((t(i) - ep) / nn) ^ 5 * g(i)     // [x*x*x*x*x]
    xxxxxx = xxxxxx + ((t(i) - ep) / nn) ^ 6 * g(i)   // [x*x*x*x*x*x]
    p = p + g(i)  // WICHTUNG=1                  [p]
  NEXT i
  m = 4   //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
  n = 4     // EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
  p(1,1) = p
  p(1,2) = x
  p(1,3) = xx
  p(1,4) = xxx
  p(1,5) = y
  REM --------
  p(2,1) = x
  p(2,2) = xx
  p(2,3) = xxx
  p(2,4) = xxxx
  p(2,5) = xy
  REM ----------
  p(3,1) = xx
  p(3,2) = xxx
  p(3,3) = xxxx
  p(3,4) = xxxxx
  p(3,5) = xxy
  REM ----------------
  p(4,1) = xxx
  p(4,2) = xxxx
  p(4,3) = xxxxx
  p(4,4) = xxxxxx
  p(4,5) = xxxy
  GOSUB elim
RETURN
PROCEDURE elim  //AUSGLEICHSRECHNUNG NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
  FOR j = 1 TO n - 1  //GAUSS ELIMINATION
    nr = j
    no = ABS(p(j,j))
    FOR i = j + 1 TO n    //ZEILENPIVOT
      noo = ABS(p(i,j))
      EXIT IF (noo - no) < 0
      no = noo
      nr = i
    NEXT i
    IF nr = j THEN
      GOTO jum1
    ENDIF
    FOR i = j TO m + 1
      no = p(nr,i)
      p(nr,i) = p(j,i)
      p(j,i) = no
    NEXT i
    jum1:
    FOR i = j + 1 TO m + 1   //ELIMINATION
      p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
    NEXT i
    FOR i = j + 1 TO n
      FOR k = j + 1 TO m + 1
        p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
      NEXT k
    NEXT i
  NEXT j
  ko(n) = p(n,n + 1) / p(n,n )  //RÜCKSUBSTITUTION
  j = n
  REPEAT
    j = j - 1
    ko(j) = p(j,n + 1)
    FOR i = j + 1 TO n
      ko(j) = ko(j) - p(j,i) * ko(i)
    NEXT i
  UNTIL j < 2
RETURN
winkel: // DATEI 17 MESSUNGEN t,p1,d FÜR POLYNOM 1860-1920
DATA 1860.77,37.77,1.096,1869.70,27.08,1.352,1875.99,20.08,1.385
DATA 1880.45,16.74,1.342,1884.30,14.47,1.387,1885.94,12.84,1.363,1889.08,9.94,1.324
DATA 1893.16,5.60,1.327,1897.01,1.90,1.379,1900.46,359.51,1.370,1903.51,356.35,1.321
DATA 1907.10,352.41,1.308,1910.62,349.57,1.304,1913.08,347.01,1.257,1914.73,346.13,1.256
DATA 1917.20,343.68,1.268,1920.17,340.36,1.260
win: // DATEI 24 MESSUNGEN t,p1,d 1842-1934
DATA 1842.85,62.89,1.067,1851.58,49.61,1.036,1860.77,37.77,1.096,1869.70,27.08,1.352,1875.99,20.08,1.385
DATA 1880.45,16.74,1.342,1884.30,14.47,1.387,1885.94,12.84,1.363,1889.08,9.94,1.324
DATA 1893.16,5.60,1.327,1897.01,1.90,1.379,1900.46,359.51,1.370,1903.51,356.35,1.321
DATA 1907.10,352.41,1.308,1910.62,349.57,1.304,1913.08,347.01,1.257,1914.73,346.13,1.256
DATA 1917.20,343.68,1.268,1920.17,340.36,1.260,1922.37,338.65,1.254,1924.48,336.04,1.223
DATA 1926.93,332.50,1.287,1930.10,329.07,1.243,1934.02,323.85,1.159



Graphische Bestimmung der geometrischen Bahnelemente visueller Doppelsterne

Ableitung nach der am meisten angewandten geometrischen Methode nach Zwiers. Fig. 16,17. Fadenkonstruktion der Ellipse.

Folg. feststehende Zusammenhänge bestehen zwischen scheinbarer und wahrer Bahnellipse (Fig. 17).
Der Mittelpunkt (M) der scheinbaren Bahnelleipse ist stets zugleich der der wahren Bahn. Der Hauptstern (S) liegt selten im Brennpunkt der scheinbaren, aber immer in einem Brennpunkt der wahren Bahnellipse, womit der durch S u. M gelegte Durchmesser (A=Apastron, P=Periastron = Apsidenlinie) die Projektion der großen Bahnachse (a) der wahren Ellipse vorstellt.
Die Gerade S-M schneidet die scheinbare Ellipse in P, dem Projektionspunkt des Periastrons der wahren Bahnellipse. Apastron (A), Mittelpunkt (M), Hauptstern (S) und Periastron (P) der Bahn liegen somit stets auf einer Geraden.

Die Exentrizität (e) der wahren Bahn folgt daher aus dem Streckenverhältnis (S-M)/(M-A) = 1-(S-P)/(M-P) = e. Strecke M-A = P-M = 59 mm; S-M = 35 mm; S-P = 24 mm, M-P = 59 mm, e 0.593 = 1-24/59 = 35/59. b2 47.507 mm =Å(a2(1-e2)); S-M 34.987 mm =Å(a2 -b2). Fig. 16,17. Der projizierte Durchmesser der kleinen Achse (b) ist der konjugierte Durchmesser der projizierten großen Halbachse (2a=A-P Apsidenlinie) der wahren Bahnellipse.

Konstruktion der konjugierten halben Bahnachse (b) gemäß Fig. 16. Man schlägt einen Außen- und Innenkreis mit Radius der halben Achse (as) und der kleinen Achse der scheinbaren Bahnellipse (bs) um den Mittelpunkt M. Die Schnittpunkte des Außen- u. Innenkreises mit der Ellipse bilden die große (as) u. kleine Halbachse (bs) der scheinbaren Bahnellipse. Das ab der Strecke »as« durch »A« gefällte Lot schneidet den Außenkreis bei A1. Ab M-A1 wird am Außenkreis einen 90 Gradwinkel zu M-A2 abgetragen, da in der unverzerrten Bahn kleine (b) u. große Achse (a) transversal verlaufen. Das ab der Strecke as gefällte Lot zu A2 schneidet die scheinbare Bahnellipse bei b1. Die Strecke M-b1 bildet somit den konjugierten Durchmesser (b) der projizierten wahren Bahnachse (a).

Die Ellipse erscheint als affines Bild des Kreises X2+Y2=as2 , indem sich z. B. die Ordinaten im Verhältnis y:Y=bs:as verkürzen. Die Gleichung Y=(y*as)/bs, X=x [Punkt A1(X,Y)] transformiert die Ellipse (x,y) demzufolge in einen Kreis (X,Y). X1=X/as, Y1=Y/as, ws=ARCTAN(Y1/(1+X1))*2; [Punkt A(x,y)] x=as*cos(ws), y=bs*sin(ws). Winkel s zwischen der projizierten Halbachse a und der konjugierten kleinen Halbachse b: arctan s = ((1/TAN(w))+TAN(w)) cos(i)/sin(i)2.

Für zwei konjugierte Halbmesser a,b gilt: a2 +b2 = as2+bs2; b =((as2+bs2)/a2); s=ASIN((as*as)/(a*b)). as=61 mm, bs=39 mm, a=59 mm (Fig. 16). b=SQR(as^2+bs^2-a^2). Länge des konjugierten Durchmessers der kleinen Halbachse b, s=Winkel der Achsen a mit b. s=DEG(ASIN((as*bs)/(a*b))) //s=73.92°.

Mit der Exentrizität e ist das Verhältnis der großen zur kleinen Achse der wahren Ellipse gegeben: a:b = (I-T)/(I-K) = k 1.2419 = 1/Å(1-e2).

Die große und kleine Achse der exentrichen Hilfsellipse findet man, indem durch das Apastron der Bahn A eine Tangente G-H parallel zur kleinen Achse M-b'' an die Ellipse angelegt wird (Fig. 17).

Ab der Tangente G-H wird das Lot zu den Punkten E-R, in der Länge E-A bzw. A-R der um den Faktor k verlängerten kleinen Achse M-b'', gefällt. Der durch E und R konstruierte Kreis schneidet die Tangente in G und H. Die mit dem Mittelpunkt M verbundenen Schnittpunkte G und H bezeichnen somit die große (a´´-M) und kleine Achse (M-b2) der exentrischen Hilfsellipse. Die große Achse liegt im spitzen, die kleine Achse im stumpfen Winkel der Achsen a und b

Die Hilfsellipse wird konstruiert durch Verlängerung der parallel zur kleinen Achse (b) verlaufenden Sehnen I-K im Verhältnis k [Strecke I-K mal k], die man allerdings nur zur Bestimmung der Punkt a'' und b2 braucht. Die unverkürzte große Achse der Hilfsellipse a' ist gleich der großen Achse der wahren Bahn. Damit ist die Richtung der Knotenlinie gegeben, die dem einzigen nicht durch die Projektion verkürzten Durchmesser parallel sein muß.

Wird eine Linie durch den Hauptstern S parallel zur großen Achse a' gezogen, ist der Winkel den die Linie mit der Nordrichtung einschließt, gleich dem Positionswinkel des Knotens (Fig. 17, aufsteigende Knoten W 44.6°). Bilden M-a'' (64.8 mm) = a die große Achse und M-b2 (47 mm) = b die kleine Achse der Hilfsellipse, so ist i 43.5° arccos = b/a der Neigungswinkel der wahren mit der scheinbaren Bahnebene. Die geometrische Konstruktion kann somit in eine analytische Form übertragen werden.

Wird ein Kreis um den Mittelpunkt M mit Radius a´´ geschlagen, schneidet das ab M-b2 gefällte Lot den Kreis bei i  (Bahnelement Inclination i=43.5°). Das von a' durch A gefällte Lot schneidet den Kreis a'' bei z dem Argument des Pariastrons z =32.7°. Die Verbindung von M mit i und z bilden entsprechende Winkelbeträge.

Der Winkel z´´ der projizierten großen Bahnachse a mit der unverkürzten Bahnachse a'', entspricht dem innerhalb der scheinbaren Bahnebene gelgenen Winkel z, wobei das Periastronargument z jedoch innerhalb der wahren Bahnebene zu zählen ist. z´´=25° ist daher mit dem Conis der Inclination i zu multiplizieren: z 32.7° = arctan z = (a´´=a 64.8 mm/b2=b 47 mm) mal tan(z´´); arctan z´´ = tan(z)*cos(i).

Dividiert man die aus der Zeichnung in Richtung der korrespondierenden Positionwinkeln gemessenen Distanzen (d´ cm) durch die wahren Distanzen (d), ist der daraus gebildete arithmetische Mittelwert der Maßstabfaktor (Beispiel 1.18: 1 cm der Zeichnung = 1.18'').  Die große Halbachse in Bogensekunden: a = 6.48 cm * 1.18 = 7.65''.

Mit der geometrischen Methode nach Zwiers ermittelte Bahnelemente des Doppelsternsystems Sirius (Alpha Canis Maioris), ADS 5423,  und die Elemente von van den Bos.

Zwiers  /   van den Bos, 1960 Geometrische Elemente (Äquinoktium B1950)

i   =   136.5°     136.53°
W =     44.6°     44.57°
z =  147.3°      147.27°
a  =    7.650''       7.500''
e  =     0.593        0.592

Die dynamischen Elemente Periastrondurchgangszeit T und Umlaufzeit U ergeben sich durch least square fits.

Alternativ: Periastrondurchgangszeit T. Man berechnet den Positionswinkel (Pp), welche die Komponente besitzt, wenn sie sich im Periastron befindet:

ARCTAN(Per) = FN r(TAN(z )*COS(i)+W ); gilt für u = wahre Anomalie = 0 Grad.

Durch Vergleich oder Interpolation des Periastron-Positionswinkels (Per) mit den darum beobachteten Positionswinkeln, ist die Periastronzeit T festzustellen. U=Umlaufzeit.

Zu zwei Beobachtungszeitpunkten (t1,t2) möglichst großer Zwischenzeit (t2-t1) gehörenden Positionswinkeln (P1,P2) berechnet man die wahre Anomalie v=u, z=w, W=knoten.
TAN(v1+w)=TAN(P1-
W)/COS(i)
TAN(v2+w)=TAN(P2-
W)/COS(i)

Exentrische Anomalie:
TAN(E1/2)=
Å((1-e)/(1+e)) TAN(v1/2)
TAN(E2/2)=
Å((1-e)/(1+e)) TAN(v2/2)

Umlaufzeit U:

U=(2*PI)/(((E2-E1)-e (SIN(E2)-SIN(E1))))/(t2-t1)
DEFFN r(x)=x-INT(x/(2*PI))*(2*PI)
y=TAN(p1-knoten)
x=COS(i)
z=SQR(x^2+y^2)
x=x/z
y=y/z
v1=FN r(ATN(y/(1+x))*2+PI-w)
E1=FN r(ATN(SQR((1-e)/(1+e))*TAN((v1)/2))*2) (v2,E2 nach Einsetzen von p2,v2 ).

Zu jedem beobachteten Positionswinkel (P) und Distanz (d) ist das Argument der Breite (u=w+v) zu berechnen: TAN(w+v)=TAN(P-W)/COS(i), und daraus der wahre Radiusvektor: r=d (COS(P-W )/COS(w+v)).

Ferner: m=(PI*2/U)*(t-T); m = mittl. Anomalie
ex=m
FOR i=1 TO 10
ex=m+ex*SIN(ex) //ex=exentrische Anomalie
NEXT i
v=FN r(ATN(SQR((1+e)/(1-e))*TAN(ex/2))*2) //wahre Anomalie

Die große Halbachse a findet man schließliche aus:  a=(r (1+e*cos(v))/(1-e2).
Mit  r=a (1-e2)/(1+e cos(v)) für jede Beobachtung, ergibt sich zudem die große Halbachse der Bahn a durch Ausgleichsrechnung (Lineare Regression: r = a + b*t), wobei r durch r=d (COS(P-
W)/COS(w+v)) gegeben ist (d = beobachtete Distanz in Bogensekunden).

Entnimmt man der gezeichneten scheinbaren Bahn den Positionswinkel (Pa) der projizierten großen wahren Bahnachse a=59.5 mm und den der konjugierten kleine Achse b=42 mm (Pb), läßt sich die Konstruktion durch Rechnung ersetzen.

Pa=249° Positionswinkel von P, Pb=175.5° Positionswinkel von C (Fig. 17). Bedingung: Der Winkel Pa bezeichnet die Richtung in der vom Mittelpunkt aus gesehen, der Hauptstern liegt, und Pb jene die mit Pa einen spitzen Winkel bildet. Der Positionswinkel von a (Pa) und b (Pb) wird somit am Mittelpunkt der Ellipse M parallel zu der durch S verlaufenden Nord-Süd-Linie gemessen (Pa-Pp = spitzer Winkel).

Man berechne die Exentrizität e=0.593 wie zuvor und den Faktor k 1.24192 =Å(1/(1-e2)).

a=M-a'', b=M-b2; a=M-P = M-A, b=M-C (Fig. 17).
(
a +b)2=a2 +2*k*a*b*sin(Pa-Pb)+k2*b2 h a12.
(
a-b)2=a2-2*k*a*b*sin(Pa-Pb)+k2*b2 h b12.
a= 0.5*(a1+b1), b = 0.5*(a1-b1); sin(Pa-Pp)>0 (stets positiv).
arccos i =
b/a; Große halbe Bahnchse a = a' = a.
tan
z´´ = ±(b/a) Å(( a2 - a2)/(a2 -b 2)).
Vorzeichen
z´´ entspricht dem von SIN(Pa-Pp).
tan
z = (a /b) tan(z´´).
W=pa-z ´´ (0<=W<=180 Grad).

pa=RAD(249)  //Beispiel Fig. 17
pb=RAD(175.5)
a=59.5
b=42
e=0.593
k=1/SQR(1-e^2)
a1=SQR(a^2+2*k*a*b*SIN(pa-pb)+k^2*b^2)
b1=SQR(a^2-2*k*a*b*SIN(pa-pb)+k^2*b^2)
a2=0.5*(a1+b1)
b2=0.5*(a1-b1)
i=ACOS(b2/a2)       //Inclination (motion retrograd) i=180-43.5 = 136.5 GRAD
w1=ATN((b2/a2)*SQR((a2^2-a^2)/(a^2-b2^2)))
w2=ATN(SQR((a2^2-a^2)/(a^2-b2^2)))
w=ATN((a2/b2)*TAN(w1)) //Periastronargument w=180-32.5 = 147.5 GRAD
kn=pa-w1 //Aufsteigenden Knoten 224.2 - 180 = 44.2 Grad
PRINT DEG(i),DEG(w),DEG(kn)



Fadenkonstruktion der Ellipse

Die große Halbachse der Ellipse ist »a«, die kleine »b«, die beiden Brennpunkte F1 und F2. Der Abstand (mf) eines Brennpunktes vom Mittelpunkt (M) bezeichnet die lineare Exentrizität: mf = Å(a2-b2).

Eine Nadel in Brennpunkt F1, F2 in Abstand mf von M und eine dritte in M1 oder M2 in Abstand b stecken, mit einem Faden Zwirn fest umbinden, verknoten, und schließlich den mittels einer Zeichenmine gespannten Faden um die Brennpunkte F1 und F2 herumführen (Fig. 18).

Numerische Exentrizität: e=Å((a2 - b2)/a2). Weitere Beziehungen: b2=a2 (1-e2); e=mf/a; b 2=a2-mf2; mf=a*e.



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