Ausgleichung gemessener Distanzen und Positionswinkel von Doppelsternen

Bevor das Beobachtungsmaterial einer Bahnberechnung unterzogen werden kann, ist es nach der Zeit zu ordnen und unter Mittelung und Wichtung der Einzelbeobachtungen auf einen Normalort (z. B. Epoche J2000 = JD 2451545.0) zu reduzieren (geometrische Einflüsse s. Abschnitt Korrektion der Mikrometermessungen für Aberration, Nutation und Präzession sowie Eigenbewegung).
Die Reduktion beinhaltet zudem etwaigige instrumentelle Meßfehler (Exentrizitäts- u. Teilungsfehler des Positionswinkelkreises, Distanzfehler aufgrund eines systematischen Fehlers der Meßschraube usw.), die aus dem Vergleich der mikrometrischen mit anderen Meßmethoden (z. B. photograpischen Messungen, Ephemeridenwerten zuverlässiger Bahnen, berechneten Positionwinkeln u. Distanzen von Eichsternen bzw. genau bekannten Fundamental-Distanzen usw.) gewonnen werden können.
Die persönlichen Meßfehler aufgrund physiologischer Kondition des Beobachters (unbequeme, anstrengende Körper- bzw. Kopfhaltung, Konzentrationsmangel, Ermüdung, Überanstrengung der Augen usw.) sind meist so groß, daß eine einzelne Messung praktisch wertlos ist.
Das Einblicksverhalten in das Okular kann bereits zu bedeutenden Meßungenauigkeiten führen. Während der Messungen sollte daher dieselbe Winkelstellung der Augen parallel oder senkrecht zur Verbindungslinie (niemals schräge) der Komponenten eingenommen u. beibehalten werden. Die Luftunruhe (seeing) beeinflußt ebenfalls die Bildgüte und somit das Gewicht der Messung.

Orientiert man ein rechtwinkliges Koordinatensystem so, daß die Nord-Richtung die +y-Achse und die Ost-Richtung die +x-Achse bildet und der Haupstern im Nullpunkt liegt, punktet man die gesamten reduzierten Messungen mittels der Beziehung x=d*SIN(p), y=d*COS(p) ein (p=Positionswinkel, d=Distanz der Komponente. Positionswinkel p ab Norden [p=0] entgegen dem Uhrzeigersinn 0° bis 360°).

Auf Grund der instrumentellen u. persönlichen Meßfehler, können die von verschiedenen Beobachtern an verschiedenen Instrumenten gewonnenen Meßdaten stark um den wahrscheinlichsten Wert »streuen«.
Die von den einzelnen Messungen gebildete Punktwolke legt den Zug der Ausgleichskurve bzw. scheinbaren Bahnellipse fest. Die scheinbare u. wahre Bahnellipse (Bahnelemente) wird daraus durch Rechnung oder geometrische Konstruktion abgeleitet, wobei numerische und graphische Methoden nahezu gleichwertige Resultate liefern.

Die einzelnen Punktabstände (Wertpaare x,y) der Ausgleichskurve (K) sei »q«. Die Summe der Fehlerquadratabweichungen q²+q²+q²... (Fig. 11) ergibt bei guter Ausgleichung ein Minimum, so da sich die Abstandsdifferenzen der Punkte über bzw. unter der Ausgleichskurve bei idealer Ausgleichung aufheben (S q1 - S q2 = 0; q1, q2=Summe aller Abstände »q« über u. unter der Kurve) bzw. nach der Gauß'schen Vorschrift: S (K - q_i )² ->Minimum.

Bei starker Streuung um die wahren Werte und kurzen Teilbögen, ist die Herleitung der scheinbaren Bahnellipse mit großen Schwierigkeiten verbunden, wie auch das daraus abgeleitete Elementensystem nur ein vorläufiges u. provisorisches sein kann.

Kegelschnittgleichung der Ellipse 2. Grades: x=d*sin(P), y=d*cos(P); x,y rechtwinklige Koordinaten der Polarkoordinaten Distanz u. Positionswinkel (d,P). Siehe Kowalsky-Methode.

Ax²+2Hxy+By² +2Gx+2Fy+1= 0.
Hxy+By²  +2Gx+2Fy+1       = -x².

Die 5 Koeffizienten A,H,B,G,F findet man durch Ausgleichsrechnung oder A=1/(x1*x2), B=1/(y1*y2), G=(x1+x2)/(2*x1*x2), F=-(y1+y2)/(2*y1*y2), H=(/Ax²+B²+2Gx+2Fx+1)/2xy. y1,-y2 = Schnittpunkt der scheinbaren Bahnellipse mit dem Nord-Süd-Kreis in Positionswinkel 0 und 180 Grad (x=0).

x1,-x2=Schnittpunkt der scheinb. Bahnellipse mit dem Ost-West-Kreis in Positionswinkel 90 und 270 Grad (y=0)

Neigungswinkel (w) der Ellipse gegenüber der achsenparallelen Lage:
w=ATN((2H)/(A-B))/2
Oder:
i=2*H
j=A-B
z=SQR(j^2+i^2)
j=j/z
i=i/z
w=FN r(ATN(i/(1+j))-PI/2)
REM Drehung der Ellipse in die achsenparallele Lage
x1=x(i)*COS(w)+y(i)*SIN(w)
y1=-x(i)*SIN(w)+y(i)*COS(w)

Bedingung der Ellipse in achsenparaller Lage: sgn A = sgn B und H=0.
Ellipsengleichung: A*x1²+B*y1²+G*2*x1+F*2*y1-1=0
Die 4 Koeffizienten A,B,G,F bestimmt man durch Ausgleichsrechnung.
Große Halbachse der scheinbaren Bahnellipse: a=SQR((B*G²+A*F²+A*B)/(A²*B))
Kleine Halbachse: b=SQR((B*G²+A*F²+A*B)/(A*B²))
Mittelpunkt: dx=-(G/A), dy=-(F/B).
Exentrizität: se=SQR(a^2-b^2)/a.

Zeichnung der Ellipse mittels Fadenkonstruktion oder Parameterdarstellung: x=a*sin(u), y=b*cos(u); 0£u£2*PI.

Sollte die numerische Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate versagen, besteht schließlich die Möglichkeit die bestmögliche Ausgleichskurve freihändig nach Augenmaß am besten auf Millimeterpapier durch die Punkte zu zeichnen.
Die Abweichungen der durch die Punktwolke gezogenen Kurve sollte möglichst klein und die Summe der positiven und negativen Differenzen gleich Null werden (Fig. 11). Man bildet die Differenz jeden einzelnen Punktes gegen die durchgezogene möglichst glatt anschmiegende Kurve im Sinne Punkt minus Kurve. Man kann davon ausgehen, daß die Kurve richtig gezogen ist und dem Bahnverlauf gut entspricht, wenn die Summe der Quadrate aller notierten Differenzen (q ₁²+q₂²+q₃²...q_n² = [vv]) nahe Null wird. Sollte der Wert nicht nahe Null betragen, zeichnet man eine bessere Ausgleichskurve mit kleinerer Fehlerquadratsumme (<[vv]).

Lt. Keplers 2. Bahngesetz bestreicht der Radiusvektor (Leitstrahl Hauptstern-Komponente) in gleichen Zeiten gleiche Flächen (c), wobei dieser Flächensatz [c=d²(dp/dt), d=Å (c/(dp/dt)); c=Konstante, d=Distanz, p=Positionswinkel] hier bei der Ausgleichung der Beobachtungen eine große Rolle spielt.

Beispiel. Meßreihe (Normalorte, Äquinoktium B1900) des Doppelsterns ADS 15176 = 24 Aquarii. Hier liegt eine enge Bahn im Bereich 0.2'' bis 0.6'' mit hoher Exentrizität vor. Die einzelnen Meßwerte weisen daher eine starke Streuung um den wahren Wert auf.

Obwohl sich diese scheinbare Bahn aus Messungen sehr unterschiedlicher Beobachter u. Instrumente zusammensetzt, wird hier auf den Meßvergleich zur Ermittlung der persönlichen Gleichung eines jeden Beobachters, um auf die Meßnorm des qualitativ besten Beobachters zu reduzieren, verzichtet. Die Gewichte sind nach keiner einheitlichen Regel festgelegt.  Heintz schlug folg. Gewichtsverteilung vor: 3 Beobachter machten zusammen 12 Beobachtungen. 4 Beobachtungen erhalten das Einheitsgewicht 1, die geglättete Distanz der Beobachter ist d=1.1´´,  dann beträgt das Gewicht: 1.1*Å (3*4) = g  3.8. 

Andere  nehmen als Grundlage der Gewichte p=g die Zahl der Beobachtungsnächte n, wobei die Öffnung des verwendeten Teleskops (Aitken, Kolumne Obs.: 6-36 Zoll) die Gewichte entsprechend modifizieren (z. B. für weniger als 12 Zoll Öffnung Gewicht g=0.2n, für 12-18 Zoll g=0.4n, 18-24 Zoll g=0.6n, 24-30 Zoll g=0.8n und über 30 Zoll g=n). Einfachhaltshalber gilt hier Gewicht gleich Anzahl der Beobachtungsnächte (g=n).

Folg. Progr. gibt die Messungen [d(i),p(i)] Positionswinkel u. Distanz  (DATA-Zeilen) als Punktwolke wieder und zeichnet die scheinbare Bahnellipse aus den Bahnelementen (Fig. 12).

OPENW #1,200,200,640,400,1
REM GFA16 MESSERGEBNISSE DOPPELSTERN 24 AQUARII
DIM p1(100),d(100),t(100),g(100)
anz = 59       //INPUT ANZAHL  MESSUNGEN
RESTORE dat    //MESSEREGBNISSE DOPPELSTERN 24 AQUARII
FOR i = 1 TO anz
  READ pos,dis,zeit,gew
  p1(i) = pos    //POSITIONSWINKEL (GRAD)
  d(i) = dis     //DISTANZ  ('')
  t(i) = zeit       //BEOBACHTUNGSZEIT
  g(i) = gew       //GEWICHT
NEXT i
dat:
DATA 254.5,0.45,1890.75,3,261,0.55,1891.75,4,256.2,0.38,1892.40,2,260.5,0.55,1893.68,3,262.8,0.59,1893.88,1,264. 7,0.52,1894.82,7
DATA 261.5,0.45,1894.86,3,263.5,0.65,1897.81,3,267.4,0.73,1897.89,1,269.0,0.49,1898.78,3,269.0,0.54,1898.84,1,27 1.9,0.55,1900.74,2,269.4,0.49,1901.54,10
DATA 274.0,0.55,1901.79,2,273.0,0.57,1902.00,11,273.8,0.54,1903.86,2,273.0,0.48,1904.54,5,278.6,0.49,1904.67,1,2 82.6,0.52,1908.35,3
DATA 285.5,0.49,1908.47,4,279.6,0.68,1908.72,2,284.8,0.56,1908.72,2,286.4,0.72,1908.73,2,281.1,0.58,1909.85,3
DATA 282.2,0.51,1910.40,3,278.2,0.43,1910.72,5,291.9,0.52,1911.20,3,286.8,0.50,1911.68,3,292.5,0.47,1914.00,8,29 1.3,0.47,1914.63,2
DATA 294.6,0.48,1914.65,2,293.5,0.51,1914.66,1,298.1,0.45,1914.79,3,311.1,0.41,1914.94,5
DATA 296.5,0.53,1916.42,3,293.1,0.46,1916.62,3,301.9,0.41,1916.65,3,305.9,0.40,1917.69,3,294.7,0.42,1917.74,1
DATA 321.1,0.22,1921.66,3,341.8,0.20,1923.62,2,333.5,0.15,1923.88,3,55,0.12,1924.55,1,6.9,0.22,1924.71,1
DATA 350.0,0.16,1924.82,1,190.7,0.20,1926.64,1,204.2,0.19,1926.69,1,211.0,0.21,1927.74,3,218.7,0.23,1927.74,1,22 4.6,0.26,1928.73,1,221.2,0.27,1928.75,4,222.6,0.26,1928.75,4,228.8,0.28,1929.46,4
DATA 230.2,0.27,1929.63,1,227.8,0.26,1929.86,3,234.3,0.29,1930.48,3,236.0,0.37,1931.66,2,236.9,0.35,1932.79,4,23 8.3,0.30,1932.79,1
//-----------------------------------------------------------------------
REM GRAPHIKFLÄCHE xo=640,yo=400; vg=300 VERGRÖSSERUNGSFAKTOR
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
a% = RGB(0,0,0)
b% = RGB(255,255,255)
c% = RGB(255,0,0)
d% = RGB(0,255,0)
RGBCOLOR a%
FILL 320,200
xo = 320
yo = 200
RGBCOLOR c%
LINE 0,yo,640,yo
LINE xo,0,xo,400
TEXT xo,350, "Norden"
TEXT 450,yo,"Osten"
vg = 300
RGBCOLOR b%
FOR i = 1 TO anz
  x = d(i) * SIN(RAD(p1(i)))  //PUNKTWOLKE MESSUNGEN
  y = d(i) * COS(RAD(p1(i)))
  PLOT xo + x * vg,yo + y * vg
NEXT i
REM BAHNELEMENTE 24 AQUARII - SCHEINBARE BAHNELLIPSE AUS DEN BAHNELEMENTEN
to = 1925.68 //PERIASTRONDURCHGANGSZEIT T
e = 0.9102   //EXENTRIZIT¥T
a = 0.525    //HALBE BAHNACHSE
um = 51.33   //UMLAUFZEIT
ix = RAD(56.02) //NEIGUNGSWINKEL DER BAHN
kn = RAD(4.95)  //BAHNKNOTEN
w = RAD(87.35)  //PERIASTRONARGUMENT
i = 0
FOR t = 1890 TO 1943 STEP 0.1 // TIMEINCREMENT
  i = i + 1  //ZÄHLER
  m = ((PI * 2) / um) * (t - to) //MITTL. ANOMALIE
  FOR ii = 1 TO 20
    ex = m + e * SIN(ex)  //EXENTR. ANOMALIE
  NEXT ii
  v = ATN(SQR((1 + e) / (1 - e)) * TAN(ex / 2)) * 2 //WAHRE ANOMALIE
  r = a * (1 - e * COS(ex)) //RADIUSVEKTOR ('')
  x = r * COS(v + w)
  y = r * SIN(v + w) * COS(ix)
  d = SQR(x * x + y * y)
  x = x / d     //POLARKOORDINATEN WINKELDISTANZ d ('')
  y = y / d    //POSITIONSWINKEL >P<, ¥QUINOKTIUM B1900
  p = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + kn)
  x = d * SIN(p)  //KART. KOORDINATEN x,y
  y = d * COS(p)
  PLOT xo + x * vg,yo + y * vg
  RGBCOLOR d%
NEXT t
KEYGET HALT%
CLOSEW #1



Graphische Mittel

Methode I.

Zur graphischen Wiedergabe die gemessenen Positionswinkelwerte und Distanzen auf Millimeterpapier nach der Zeit auftragen (x-Leiter = »t« Zeit, y-Leiter = »p« Positionswinkel u. »d« Distanz). Fig. 13a, 13b, 14. Messungen mit höheren Gewicht nehmen einen größeren Punktdurchmesser innerhalb der Meßwolke ein. Die gewichteten (g=n) Markierungen bestimmen den Zug der Ausgleichskurve.

Die manuelle Auftragung zahlreicher Messpunkte auf Millimeterpapier ist zu mühsam. Die Werte (Positionswinkel, Distanz, Datum u. Gewicht) werden daher in einer Computerdatei oder DATA-Zeilen abgelegt und eingelesen (s. Progr. GFA16 PUNKTWOLKE MESSUNGEN), so daß ein Computerprogramm die graphische Darstellung der Werte übernehmen kann.

Der Meßzeitraum (24 Aquarii) erstreckt sich über 43 Jahre (=x-Leiter), von 1890 bis 1933 (s. Meßwerte - DATA-Zeilen), die Winkeldistanz liegt zwischen 0.1'' und 0.8'' Bogensekunden (y-Leiter) und der Positionswinkel (y-Leiter) reicht von 180 Grad bis 415 Grad (=55 Grad).

Folg. Progr. DIAGRAMM gibt die Meßdaten (Punkte) graphisch wieder. Fig. 13a,13,b,14. Durch die Punkte ist mit dem Mauszeiger freihändig die bestmögliche Ausgleichskurve zu ziehen. Durch Anklicken der Positionen des Mauszeigers Punkte setzen, die  durch Betätigen der linken Maustaste u. Leertaste liniar verbunden werden. Das Betätigen der rechten Maustaste erlaubt das Zeichnen einer neuen Kurve.

Die jeweilige Mauszeigerposition - in Positionswinkel u. Distanz umgerechnet - erscheint am oberen Monitorrand. Fig. 13b zeigt den Graphen des Positionswinkels 180 bis 250 Grad (Variable pp des  Progr. DIAGRAMM pp=180 setzen) und Fig. 13a den Positionswinkelgraphen von 250 bis 320 Grad (pp=250 setzen).

Fig. 14 zeigt den Graphen für Distanz im Bereich 0.1'' bis 0.6''. Die Positionswinkel- u. Distanzwerte mit am x-Leiter abgelesenen Zeitpunkt (t)  tabellieren.

Die Leertaste nach jedem Mausklick betätigen. Ausgang: Leertaste und Taste S.

OPENW #1,200,200,660,420,1
REM GFA 17 DIAGRAMM
DIM p1(100),d(100),t(100),g(100),z(100),yy(100),x1(100),y1(100),x2(100),y2(100),x3(100),y3(100),x4(100),y4(100),x 5(100),y5(100)
a% = RGB(0,0,0)
b% = RGB(255,255,255)
RGBCOLOR a%,a%
FILL 320,200
anz=59  //INPUT ANZAHL MESSUNGEN
RESTORE dat  //DATA-ZEILEN
FOR i = 1 TO anz
  READ pos,dis,zeit,gew
  p1(i)=pos  //POSITIONSWINKEL (GRAD)
  d(i)=dis    //DISTANZ  ('')
  t(i)=zeit    //BEOBACHTUNGSZEIT
  g(i)=gew   //GEWICHT
NEXT i
REM ---------------------
DO
  GOSUB dot
LOOP
PROCEDURE dot
  flag = 0   // = fEINTRAG flag=0 SETZEN = DISTANZ, flag=1 = POSITIONSWINKEL
  IF flag = 0 THEN
    GOSUB dis
  ELSE
    GOSUB pwi
  ENDIF
  ii = 0
  ii2 = 0
  i = 0
  DO
    PRINT AT(1,1);"LINKE MAUSTASTE"
    SHOWM
    xx = MOUSEX
    yy = MOUSEY
    zz = MOUSEK
    SHOWM
    IF xx = 0 THEN
      xx = 1.0E-10
    ENDIF
    IF yy = 0 THEN
      yy = 1.0E-10
    ENDIF
    RGBCOLOR b%,a%
    x2 = ep + 1 / (xd / xx)
    IF flag = 0 THEN
      y3=(d-(1/(yd/yy)))/10+0.1                //10+0.1 da d=7 (=7/10=0.7) u. Nullpunkt y-Leiter 0.1
      PRINT AT(55,1);USING  "d: ####.#### ",y3
    ELSE
      y3 = (d - (1 / (yd / yy))) + pp
      PRINT AT(55,1);USING  "PW: ####.#### GRAD ",y3
    ENDIF
    PRINT AT(40,1);USING " t: #####.#### ",x2
    IF zz = 2 THEN
      ii1 = ii1 + 1
      PRINT AT(1,1);SPC(17)
      PRINT AT(1,1);"LEERTASTE"
      REPEAT
      UNTIL UPPER$(INKEY$)=" "
      PRINT AT(1,1);SPC(17)
    ENDIF
    h$ = UPPER$(INKEY$)
    IF h$ = "S" THEN
      STOP
    ENDIF
    IF h$="H" THEN
      PRINT AT(1,1);SPC(17)
      PRINT AT(1,1);" LEERTASTE"
      SHOWM
      REPEAT
      UNTIL INKEY$=" "
    ENDIF
    IF zz = 1 THEN
      IF ii1 = 0 THEN
        FOR i = 1 TO ii
          IF i > 1 AND x1(i - 1) <> 0 AND y1(i - 1) <> 0 THEN
            LINE x1(i - 1),y1(i - 1),x1(i),y1(i)
          ENDIF
        NEXT i
      ENDIF
      IF ii1 = 1 THEN
        FOR i = 1 TO i1
          IF i > 1 AND x2(i - 1) <> 0 AND y2(i - 1) <> 0 THEN
            LINE x2(i - 1),y2(i - 1),x2(i),y2(i)
          ENDIF
        NEXT i
      ENDIF
      IF ii1 = 2 THEN
        FOR i = 1 TO i2
          IF i > 1 AND x3(i - 1) <> 0 AND y3(i - 1) <> 0 THEN
            LINE x3(i - 1),y3(i - 1),x3(i),y3(i)
          ENDIF
        NEXT i
      ENDIF
      IF ii1 = 3 THEN
        FOR i = 1 TO i3
          IF i > 1 AND x4(i - 1) <> 0 AND y4(i - 1) <> 0 THEN
            LINE x4(i - 1),y4(i - 1),x4(i),y4(i)
          ENDIF
        NEXT i
      ENDIF
      IF ii1 = 4 THEN
        FOR i = 1 TO i4
          IF i > 1 AND x5(i - 1) <> 0 AND y5(i - 1) <> 0 THEN
            LINE x5(i - 1),y5(i - 1),x5(i),y5(i)
          ENDIF
        NEXT i
      ENDIF
    ENDIF
    IF zz = 1 THEN
      zz = 0
      IF ii1 = 0 THEN
        ii = ii + 1
        x1(ii) = xx
        y1(ii) = yy
      ENDIF
      IF ii1 = 1 THEN
        i1 = i1 + 1
        PRINT i1
        x2(i1) = xx
        y2(i1) = yy
      ENDIF
      IF ii1 = 2 THEN
        i2 = i2 + 1
        x3(i2) = xx
        y3(i2) = yy
      ENDIF
      IF ii1 = 3 THEN
        i3 = i3 + 1
        x4(i3) = xx
        y4(i3) = yy
      ENDIF
      IF ii1 = 4 THEN
        i4 = i4 + 1
        x5(i4) = xx
        y5(i4) = yy
      ENDIF
      IF ii = 0 THEN
        PLOT xx,yy
      ENDIF
      PLOT xx,yy
      PRINT AT(1,1);SPC(17)
      PRINT AT(1,1);"LEERTASTE"
      REPEAT
      UNTIL UPPER$(INKEY$)=" "
      PRINT AT(1,1);SPC(17)
    ENDIF
    IF h$="R" THEN
      GOTO jump
    ENDIF
  LOOP
  jump:
  CLS
  RGBCOLOR a%
  FILL 320,200
  RGBCOLOR b%
  FOR i = 1 TO ii
    IF i > 1 AND x1(i - 1) <> 0 AND y1(i - 1) <> 0 THEN
      LINE x1(i - 1),y1(i - 1),x1(i),y1(i)
    ENDIF
  NEXT i
  FOR i = 1 TO i1
    IF i > 1 AND x2(i - 1) <> 0 AND y2(i - 1) <> 0 THEN
      LINE x2(i - 1),y2(i - 1),x2(i),y2(i)
    ENDIF
  NEXT i
  FOR i = 1 TO i2
    IF i > 1 AND x3(i - 1) <> 0 AND y3(i - 1) <> 0 THEN
      LINE x3(i - 1),y3(i - 1),x3(i),y3(i)
    ENDIF
  NEXT i
  FOR i = 1 TO i3
    IF i > 1 AND x4(i - 1) <> 0 AND y4(i - 1) <> 0 THEN
      LINE x4(i - 1),y4(i - 1),x4(i),y4(i)
    ENDIF
  NEXT i
  FOR i = 1 TO i4
    IF i > 1 AND x5(i - 1) <> 0 AND y5(i - 1) <> 0 THEN
      LINE x5(i - 1),y5(i - 1),x5(i),y5(i)
    ENDIF
  NEXT i
RETURN
PROCEDURE dis
  REM D I S T A N Z --------------------------------------
  v = 2 //EINTRAG DIVISOR FÜR GEWICHTETE DISTANZEN (REGULIERT PUNKTGRÖSSE)
  t=43  //EINTRAG JAHRE 1890 BIS 1932 x-LEITER
  d=7   //EINTRAG DISTANZ 0.1 BIS 0.8 BOGENSEKUNDEN y-LEITER
  ep=1890 //EINTRAG NULLJAHR x-LEITER
  xf=610  //x-LEITER PIX
  yf=380  //y-LEITER PIX
  xd = xf / t
  yd = yf / d
  REM SKALIERUNG ---------------------------
  RGBCOLOR b%
  TEXT 140,10,"TASTE >R<"
  TEXT 140,25,"TASTE >H<"
  TEXT 10,360,"JAHRE"
  TEXT 140,40,"TASTE >S<"
  TEXT 530,5,"DISTANZ"
  LINE 610,1,610,380 //RAHMEN
  LINE 1,380,610,380
  o2 = 0
  o1 = ep
  FOR i=1 TO xf+xd STEP xd  //SKALIERUNG x-LEITER
    o2 = o2 + 1
    LINE i,yf - 5,i,yf + 5
    IF o2 = 5 THEN
      o1 = o1 + o2
      o2 = 0
      LINE i + xd,yf - 15,i + xd,yf
      TEXT i - 3,393,o1
    ENDIF
  NEXT i
  o1 = 0
  FOR i=1 TO yf+yd STEP yd //SKALIERUNG y-LEITER
    LINE xf - 5,i,xf + 5,i
    o1 = o1 + 0.1
    TEXT 615,yf - i,o1
  NEXT i
  REM PUNKTE DISTANZ PLOTTEN --------------------
  FOR i = 1 TO anz
    x1 = xd * (t(i) - ep)
    y1=yf-yd*(d(i)-0.1)*10 //MIT FAKTOR -0.1)*10 DA d=7 statt d=7/10 = 0.7 UND NULLPUNKT y-LEITER 0.1''
    PCIRCLE x1,y1,g(i) / v
  NEXT i
RETURN
PROCEDURE pwi
  REM P O S I T I O N S W I N K E L ---------------
  v=2.5   //EINTRAG DIVISOR GEWICHTE DISTANZEN (REGULIERT PUNKTGRÖSSE)
  t=43     //EINTRAG JAHRE 1890 BIS 1932 x-LEITER
  d=100       //EINTRAG POSITIONSWINKEL 180 BIS 250 UND 250 BIS 350 GRAD=d=100 GRAD y-LEITER
  ep=1890   //EINTRAG NULLJAHR x-LEITER
  pp=250  //EINTRAG NULLPUNKT y-LEITER 180 BIS 250 ODER 250 BIS 350 GRAD
  xf=610  //x-LEITER PIX
  yf=380  //y-LEITER PIX
  xd = xf / t
  yd = yf / d
  REM SKALIERUNG ---------------------------
  RGBCOLOR b%
  TEXT 140,10,"TASTE >R<"
  TEXT 140,25,"TASTE >H<"
  TEXT 10,360,"JAHRE"
  TEXT 140,40,"TASTE >S<"
  TEXT 540,5,"DISTANZ"
  TEXT 475,2,"POSITIONSWINKEL"
  LINE 610,1,610,380 //RAHMEN
  LINE 1,380,610,380
  o2 = 0
  o1 = ep
  FOR i=1 TO xf+xd STEP xd  //SKALIERUNG x-LEITER
    o2 = o2 + 1
    LINE i,yf - 5,i,yf + 5
    IF o2 = 5 THEN
      o1 = o1 + o2
      o2 = 0
      LINE i + xd,yf - 15,i + xd,yf
      TEXT i - 3,393,o1
    ENDIF
  NEXT i
  o1 = -1
  o2 = -1
  FOR i=1 TO yf+yd STEP yd //SKALIERUNG y-LEITER
    LINE xf - 5,i,xf + 5,i
    o2 = o2 + 1
    o1 = o1 + 1
    IF o2 = 10 THEN
      o2 = 0
      LINE xf - 10,i,xf + 10,i
      TEXT 620,yf + 3 - i,o1 + pp
    ENDIF
  NEXT i
  REM PUNKTE POSITIONSWINKEL PLOTTEN --------------------
  FOR i = 1 TO anz
    x1 = xd * (t(i) - ep)
    y1 = yf - yd * (p1(i) - pp)
    PCIRCLE x1,y1,g(i) / v
  NEXT i
RETURN
dat:
DATA 254.5,0.45,1890.75,3,261,0.55,1891.75,4,256.2,0.38,1892.40,2,260.5,0.55,1893.68,3,262.8,0.59
DATA 1893.88,1,264.7,0.52,1894.82,7
DATA 261.5,0.45,1894.86,3,263.5,0.65,1897.81,3,267.4,0.73,1897.89,1,269.0,0.49,1898.78,3,269.0,0.54,1898.84,1,27 1.9,0.55,1900.74,2,269.4,0.49,1901.54,10
DATA 274.0,0.55,1901.79,2,273.0,0.57,1902.00,11,273.8,0.54,1903.86,2,273.0,0.48,1904.54,5,278.6,0.49,1904.67,1,2 82.6,0.52,1908.35,3
DATA 285.5,0.49,1908.47,4,279.6,0.68,1908.72,2,284.8,0.56,1908.72,2,286.4,0.72,1908.73,2,281.1,0.58,1909.85,3
DATA 282.2,0.51,1910.40,3,278.2,0.43,1910.72,5,291.9,0.52,1911.20,3,286.8,0.50,1911.68,3,292.5,0.47,1914.00,8,29 1.3,0.47,1914.63,2
DATA 294.6,0.48,1914.65,2,293.5,0.51,1914.66,1,298.1,0.45,1914.79,3,311.1,0.41,1914.94,5
DATA 296.5,0.53,1916.42,3,293.1,0.46,1916.62,3,301.9,0.41,1916.65,3,305.9,0.40,1917.69,3,294.7,0.42,1917.74,1
DATA 321.1,0.22,1921.66,3,341.8,0.20,1923.62,2,333.5,0.15,1923.88,3,55,0.12,1924.55,1,6.9,0.22,1924.71,1
DATA 350.0,0.16,1924.82,1,190.7,0.20,1926.64,1,204.2,0.19,1926.69,1,211.0,0.21,1927.74,3,218.7,0.23,1927.74,1,22 4.6,0.26,1928.73,1,221.2,0.27,1928.75,4,222.6,0.26,1928.75,4,228.8,0.28,1929.46,4
DATA 230.2,0.27,1929.63,1,227.8,0.26,1929.86,3,234.3,0.29,1930.48,3,236.0,0.37,1931.66,2,236.9,0.35,1932.79,4,23 8.3,0.30,1932.79,1
CLOSEW #1

Die mit der Erfüllung des Flächensatzes [d² (dp/dt) = c konstant] verbundenen graphischen Verfahren gehen auf Sir John Herschel zurück.

1. Methode:

Kolumne (1): Eintrag des an der bestmöglich gezogenen Ausgleichskurve abgelesenen Positionwinkels p im Intervall 5 oder 10 Grad.
Kolumne (2): Eintrag der mit den Positionswinkeln korrespondierenden Zeitpunkte (t).
Kolumne (3): Eintragung der 1. Differenz (t₂-t₁=dt) der Kolumne (2).
Kolumne (4): Eintragung der 2. Differenz (dt₂-dt₁=ddt) der Kolumne (2).

Die 1. Differenz Kolumne (3) macht die Zu- oder Abnahme von (t) deutlich, wobei sprunghafte Werte der 2. Differenz in Kolumne (4) deutlich  werden. Die Differenzen sind zum Glätten und Berichtigen der freihändig gezeichneten Kurve notwendig. Enthält die Kolumne (4) viele solcher »springenden« zu- oder abnehmenden Differenzen, sind die Werte der Kolumne (2) durch eine neue Ablesung nahe der Kurve zu berichtigen, notfalls ist eine neue Kurve zu zeichnen (Fig. 13a,13b).

Vorgang wiederholen bis die Kurve erfahrungsgemäß befriedigend geglättet und berichtigt ist. Die konstante Differenz der Kolumne (1) (p₂-p₁ = Inkrement dp 5° oder 10°) durch den geglätteten Wert der Kolume (3) [(dt ₂+dt₁)/2=dt] dividieren und den aus der Quadratwurzel gezogenen Wert (Å dt/dp) in Kolumne (5) tabellieren. Kolumne (5) enthält somit die vom Positionswinkel (p₂-p₁) eingeschlossenen Ellipsensektoren.

(1) (2) (3)  (4)     (5)   (6) (7)

 p    t    dt  ddt  Ådt/dp  d   d'

Auf Millimeterpapier oder mit dem Computer zeichnet man ein Koordinatenkreuz (Anblick im umkehrenden Teleskop: Norden unten, Osten rechts, Hauptstern im Nullpunkt). Die Distanzen im relativen Maßstab der Kolumne (5) verhalten sich zu den wahren Distanzen proportional. Die Polarkoordinaten Positionswinkel (Kolumne 1) und Distanzen (Kolumne 5) in das Koordinatenkreuz in möglichst großem Maßstab einpunkten, die große (a) u. kleine Halbachse (b) der Ellipsenbahn bestimmen, und durch die Punkte die bestmögliche Ellipse in Parameterdarstellung [x=a*sin(w), y=b*cos(w); w=0<w<2*PI] oder Fadenkonstruktion zeichnen.

Maßstab in Bogensekunden. Den Graphen für Distanz (d) zeigt das Diagramm Fig. 14. Ablesung der Distanz ab der Kurve zu jedem korrespondierenden Wert der Kolumne (1) u. (2). Tabellierung der abgelesenen Distanzen (in Bogensek. '') in Kol. (6). In Kol. (7) den Wert aus Kol. (5) im Maßstab der gezeichneten scheinbaren Bahnellipse tabellieren. Die Division der Summe der Kol. (6) durch die Summe der Kol. (7), ergibt den Skalenfaktor für die Conversion der relativen Distanzen der Kol. (5) in Bogensekunden.

Methode II:

Die am Diagramm (Fig. 13a, 13b u. 14) abgelesenen Zeitpunkte (Kol. 1), Positionswinkel (Kol. 2) u. Distanzen (Kol. 3) tabellieren. In ein Koordinatenkreuz (Hauptstern im Null- bzw. Schnittpunkt) werden die Polarkoordinaten Positionswinkel (Kol. 2) und Distanzen (Kol. 3) in möglichst großem Maßstab eingepunktet.

Durch diese Punkte zeichnet man die bestmögliche Ellipsenkurve freihändig oder mittels Fadenkonstruktion bzw. Parameterdarstellung. Der gemessene relative Durchmesser der großen (a) und kleinen (b) Achse der scheinbaren Bahnellipse, convertiert in Bogensekunden, ergibt den Maßstab.

Eintragung der Differenz der Kolumne (1) (t₂-t₁=dt) und dKol. 2 (p₂-p₁=dp) in Kol. (4) und (5). Die Differenz der Kol. (4) teilt man durch den Wert der Kol. (5) (dt/dp) und die daraus gezogene Quadratwurzel (Å dt/dp) in Kol. 6, multipliziert mit der Konstante »c«, tabellieren. Anhand des Diagramms (Fig. 14), oder an der zuvor gezeichneten Ellipse, schätzt man die (Ta) Apastron- und (Tp) Periastronzeit (größte und kleinste Winkeldistanz der Komponente vom Hauptstern) und bestimmt die genäherte Umlaufzeit (U): U=(Ta-Tp)*2.

Konstante c=Å(360/U). Die Polarkoordinaten Positionswinkel (Kol. 2) und Distanzen (Kol. 6) in ein Koordinatenkreuz einzeichnen, um den Zug der durch die Punkte zu ziehenden Ellipse befriedigend zu glätten.

(1) (2) (3) (4) (5)       (6)

  t    p   d    dt  dp  Å(dt/dp)*c

Bei hoher Exentrizität kann die Winkelgeschwindigkeit besonders nahe des Periastrons stark ansteigen. In diesem Fall den Positionswinkel und die Distanz am Diagramm für ein konstantes Zeitmaß ablesen (Zeitpunkte t im Intervall 1,2 oder 4 Jahren).

P. Couteau  benutzte eine graphische Methode, um mittels Flächenkonstante »c« und Positionswinkel »p« die scheinbare Bahnellipse zu zeichnen, wozu ein Planimeter benötigt wird, oder man zeichnet die scheinbare Bahn auf Millimeterpapier und erhält durch Abzählen der Quadrate die vom Radiusvektor in der Zeit t₂-t₁ überstrichene Fläche f: Umlaufzeit U=(F/f) (t₂-t₁); F=Gesamtfläche der scheinbaren Bahnellipse.

OPENW #1,200,200,640,400,1
REM GFA18 GESAMTFLÄCHE  DER SCHEINBAREN BAHNELLIPSE DURCH INTEGRATION
REM GFA-BASIC WINDOWS 3.1/95
DIM x(5000),y(5000),f(5000)
a% = RGB(0,0,0)
RGBCOLOR a%
LINE 320,0,320,400
LINE 0,200,640,200
i1 = -1
FOR i = 0 TO PI / 2 STEP 0.05 //ELLIPSE
  i1 = i1 + 1 //AKKUMULATION
  x(i1) = 100 * SIN(i)  //FLÄCHE DER ELLIPSE PI*100*50=15707 PIXEL
  y(i1) = 50 * COS(i)   //1/4 FLÄCHE 3927 PIXEL
  PLOT 320 + x(i1),200 - y(i1)
NEXT i
n = i1 //n=ANZAHL STÜTZSTELLEN STETS UNGERADE
REM SUBROUTINE FLÄCHENINTERGRATION -------------
q = 0
f(0) = 0
FOR k = 2 TO n STEP 2
  d = y(k - 1)
  e = x(k - 1) - x(k - 2)
  IF ABS(e - (x(k) - x(k - 1))) > 0.0001 THEN
    GOTO ju1
  ENDIF
  ju:
  f(k) = f(k - 2) + ((y(k - 2) + 4 * d + y(k)) * e) / 3
  GOTO jum
  ju1:
  x = (x(k - 2) + x(k)) / 2
  e = x(k) - x
  a = y(k - 2) / (x - x(k - 2)) * (1 / ((x(k - 2) - x(k - 1)) * (x(k - 2) - x(k))))
  b = (y(k - 1) / (x - x(k - 1))) * (1 / ((x(k - 1) - x(k - 2)) * (x(k - 1) - x(k))))
  c = (y(k) / (x - x(k))) * (1 / ((x(k) - x(k - 2)) * (x(k) - x(k - 1))))
  d = (x - x(k - 2)) * (x - x(k - 1)) * (x - x(k))
  d = d * (a + b + c)
  IF d > 0 THEN
    GOTO jump
  ENDIF
  d = 0
  jump:
  GOTO ju
  jum:
NEXT k
q = f(n - 1)
PRINT "1/4 FLÄCHE: ";q
KEYGET HALT%
OPENW #1
 

Die Thiele Innes Elemente A,B,F,G werden an der gezeichneten scheinbaren Bahn abgeleitet

Numerische Ableitung der Bahnelemente visueller Doppelsterne.

Die geometrisch-analytischen Verfahren (Zwiers, Klinkerfues, Thiele-Innes, Thiele-van den Bos usw.) setzen mindestens einen zur Hälfte vermessenen Bahnbogen voraus, während die bei langperiodischen Systemen Anwendung findenden dynamischen Verfahren (Rabe, Schwarzschild, Zagar usw.) die beobachteten kleinen Bahnbögen in Form von Potenzreihen (Least Square Polynomial Fits) nach der Zeit darstellen.

Die Kowalsky-Methode bezeichnet Heintz als nicht brauchbar. Aitken gibt ein durchgerechnetes Beispiel der Kowalsky-Methode, wie sie verwendent werden sollte. Koeffizienten A,B, H, B, G, F nach Ax²+2Hxy+By² +2Gx+2Fy+1= 0. Die beiden Punkte x1,0 und -x2,0 wurden graphisch bestimmt, so daß die zwei Unbekannten A u. G der beiden Gleichunngen Ax₁² +2Gx₁ +1 0; Ax₂² - Gx₂ = 0, berechnet werden können.

Die Thiele-Innes bzw. Thiele-van den Bos Methode beruht auf drei sehr sogfältig zu bestimmenden Normalorten.

Methode Thiele-Innes-van den Bos

Liegen wenige grob gemessene Positionswinkel (P) u. Distanzen (d) vor, die einer Ausgleichsrechnung nicht genügen, liest man Positionswinkel u. Distanzen für jedes 2 Jahr an der freihändig nach Augenmaß gezeichneten Kurve ab (Diagramm Fig. 13a, 13b u. 14), oder man verwendet eine der zuvor beschriebenen graphischen Methoden.

Tabelle der für jedes 2 Jahr graphisch bestimmten und geglätteten Werte:
      t             p             Õ p           d''       d₁d₂Õp        p              Õp          d''        d₁ d₂Õp

1890	255,5		0,49		255,4		0,53
		3,1		0,77		3,2		0,92
1892	258,6		0,51		258,6		0,54
		2,9		0,78		3		0,89
1894	261,5		0,53		261,6		0,55
		2,6		0,74		2,9		0,89
1896	264,1		0,54		264,5		0,56
		1,9		0,56		2,8		0,89
1898	266		0,55		267,3		0,57
		3,1		0,95		2,8		0,91
1900	269,1		0,56		270,1		0,57
		3,1		0,97		2,8		0,91
1902	272,2		0,56		272,9		0,57
		3,4		1,07		2,8		0,89
1904	275,6		0,56		275,7		0,56
		2,7		0,86		3		0,92
1906	278,3		0,57		278,7		0,55
		3,5		1,12		3,2		0,93
1908	281,8		0,56		281,9		0,53
		3,6		1,09		3,5		0,95
1910	285,4		0,54		285,4		0,51
		3,6		1,01		3,6		0,9
1912	289		0,52		289		0,49
		4,1		1,04		3,9		0,88
1914	293,1		0,49		292,9		0,46
		4,3		0,95		4,7		0,93
1916	297,4		0,45		297,6		0,43
		5,7		1,03		5,6		0,94
1918	303,1		0,4		303,2		0,39
1928	216,9		0,24		217,1		0,24
		11,1		0,83		11,3		0,84
1930	228		0,31		228,4		0,31
		8		0,87		8		0,89
1932	236		0,35		236,4		0,36

                                                                           c=+0.924                                           c=+0.9107

Die Kolumne 1,2 und 4 enthält die graphisch abgeleiteten Größen t,p,d (Fig. 13a,13b, 14). Kol. 3 enthält die Differenz der Kol. 2: (p 258.6°- p 255.5°)/ t 2 Jahre = +3.1° Õ p. Kol. 5 berechnet sich aus Kol. 3 und 4: 3.1° Õp * d 0.52” * d 0.53” = Konstante c 0.85 (Summe c=0.924, t bis 1918).

Der Flächensatz lautet hier d₁*d₂*Õp (=d²*Õ p). dt=2 Jahre (= Tabellenintervall Kol. t), Õp = Positionswinkelincrement der einschließenden Sektorfläche (c). Mittelwert der Kolumne d1d2Õ p = +0.91.  c +0.0079 = 0.906/(dt 2*57.29578) Sektorfläche in RAD. Aitken findet +0.007914, Finsen c=+0.00781.

Die evtl. von einer bestmöglich nach Augenmaß gezogenen Ausgleichskurve abgeleiteten groben Distanzen (linke Seite der Tab.) lassen sich oft mit Hilfe des Flächensatzes [d² (dp/dt) = c] glätten (z. B. 0.54'' =Å[c 0.91/Õp 3.1°]), obgleich  die Werte  der Tabelle  graphisch nach Augenmaß ermittelt wurden.
Aikten hat daher, um den Flächensatz zu erfüllen, die Distanzen der Tab. nach 1902 systematisch angehoben, davor systematisch reduziert. Die von Finsen gefundenen und von Aitken nachvollzogenen Elemente stimmen daher nicht, zudem liegt z. B. die Messung t=1923.62 van Biesbroeck  in Wirklichkeit im 2. Quadranten (s. DATA-Zeilen der GFA-Progr.).

Wegen der relativ starken Streuung der Winkel im Zeitraum 1890-1918, ist eine nach Augenmaß vorgenommene Verbesserung hier sehr unsicher, die eine deutlich zu große Flächenkonstante (c) ergibt. Danjon hat 1942 und Heintz neuerdings eine bessere Bahn gerechnet. Das hier angeführte Beispiel 24 Aquarii dient lediglich dazu den exakten Rechenweg aufzuzeigen.

Der Rechnung liegen drei mit graphischen (Couteau) oder numerischen Methoden bestimmte Normalorte zugrunde (Thiele verwendete für diesen Zweck die numerische Integration):

Normalorte:
1892.00: p=258.6°, d=0.54''
1910.00: p=285.4°, d=0.51'' (s. Tab.).
1928.00: p=217.1°, d=0.24''

x_n=d cos(P), y_n=d sin(P), n=1...3.
t₁ = 1892, x₁ = -0.1067, y₁ = -0.5294, Õ_1,2 = +0.1242 = x₁*y₂-x₂*y₁.
t₂ = 1910, x₂ = +0.1354, y₂ = -0.4917, Õ_2,3  = -0.1137 = x₂ *y₃-x₃*y₂.
t₃ = 1928, x₃ = -0.1914, y₃ = -0.1448, Õ_1,3  = -0.0859 = x₁*y₃-x₃*y₁.

Õ_1,2  0.1242/c +0.0079 = 15.69.
t₂-t₁ - Õ_1,2 = 1/l (u-sin(u))
1910-1892-15.69 = u-sin(u) = 2.3l.

Õ_2,3 -0.1137/c +0.00791 = -14.38.
t₃-t₂ -Õ_2,3 = 1/l(u-sin(u ))
1928-1910-(-14.38) =u-sin(u) = 32.38l.

Õ_1,3 -0.0859/c +0.00791 = -10.86.
t₃-t₁ -Õ _1,3 = 1/l [(u+u)-sin(u+u)]
1928-1892-(-10.86) = (u+u)-sin(u+ u) = 46.86l.

l = n = jährliche Eigenbewegung der Komponente.

Die größte (Apastrondurchgang) u. kleinste gaphisch abgeleitete (Fig. 14) Winkeldistanz (Periastrondurchgang) war um 1900 u. 1924.5. Genäherte jährliche Eigenbewegung der Komponente: (2*PI)/((1924.5-1900)*2)=0.128 rad. Die jährliche Eigenbewegung my=l liegt somit im Intervall 0.12 bis 0.13 rad.

REM GFA19 ITERATIVE LÖSUNG DER GLEICHUNG DES TYPS t2-t1-Õ1,2/c = 1/l(u-sin(u))
FOR my = 0.1238763 TO 0.13 STEP 1.0E-08  //my = l = EIGENBEWEGUNG DER KOMPONENTE IM INTERVALL 0.1233 bis 0.13
  y = 2.3 * my
  u = 1
  x = 0
  GOSUB iter
  u1 = u              //   t2-t1-Õ1,2/c = 1/l(u-sin(u))
  y = 32.38 * my
  u = 1
  x = 0
  GOSUB iter
  v = u                    // // t3-t2 -Õ2,3 = 1/l(u-sin(u))
  y = 46.86 * my
  u = 1
  x = 0
  GOSUB iter
  w = u                // t3-t1 -Õ1,3 = 1/l[(u+u)-sin(u+u)]
  a = (u1 + v) - w
  PRINT my,DEG(a) //jährliche Eigenbewegungsbetrag >my< bei Vorzeichenwechsel der Differenz a=0
  IF a < 0 THEN
    PRINT "u: ";DEG(u1)
    PRINT "v: ";DEG(v)
    STOP
  ENDIF
NEXT my
PROCEDURE iter
  REPEAT
    x = u
    u = u + (y - (u - SIN(u)))
    s = ABS(x - u)
  UNTIL s < 1.0E-10
RETURN

Resultat: l = my = 0.123876 rad = 7.09759° jährliche Eigenbewegung. u=70.25°, v=u=205.318°. Umlaufzeit: U=360/my; my=360/U (360=in GRAD = 2PI=in RAD). U=50.72 siderische Erdjahre.

y = e sin (E2) = (Õ_2,3 sin(u)-Õ_1,2 sin(v)) / ( Õ_1,2+Õ_2,3-Õ_1,3)
x = e cos(E2) = (Õ_2,3 cos(u)+Õ _1,2 cos(v)-Õ _1,3) / (Õ_1,2+Õ_2,3-Õ_1,3)
e=SQR(x*x+y*y) //BAHNEXENTRIZITÄT
y = y/e = sin(E2)
x = x/e = cos(E2)

DEFFN r(x)=x-INT(x/(2*PI))*(2*PI);
d12=0.1242        //= Õ_1,2 = +0.1242
d23=-11.37       // = Õ_2,3 = -0.1137
d13=-0.0859     // = Õ_1,3  = -0.0859
u=RAD(70.25)
v=RAD(205.318)

REM ----------
dd=d12+d23-d13
y=(d23*SIN(u)-d12*SIN(v))/dd
x=(d23*COS(u)+d12*COS(v)-d13)/dd
e=SQR(x*x+y*y)
PRINT e //BAHNEXENTRIZITT e=0.8743
xx=x/e
yy=y/e
E2=FN r(ATN(yy/(1+xx))*2)
PRINT DEG(E2)

E2 219.756° //E2 EXENTRISCHE ANOMALIE (GRAD) DER BAHN ZUR BEOBACHTUNGSZEIT t₂
E1 149.506° = E2-u  70.25°         //E1 EXENTR. ANOMALIE t₁
E3  65.074° = E2+v 205.318°      //E3 EXENTR. ANOMALIE t₃

Keplergleichung M=E-e sin(E):

M1 124.086° =E1 RAD(149.506)-e 0.8743*SIN(E1)  //M1 MITTLERE ANOMALIE t₁
M2 251.792° =E2 RAD(219.756)-e 0.8743*SIN(E2) //M2 MITTL. ANOMALIE t₂
M3  19.646° = E3  RAD(65.074)-e 0.8743*SIN(E3)  //M3 MITTL. ANOMALIE t₃

Periastrondurchgangszeit T=t-(U-M/my):

T 1925.23 = t₁ 1892 + (50.72 - M1 124.086°/my 7.09459°)
T 1925.23 = t ₁ 1910 + (50.72 - M2  251.792°/my 7.09459°)
T 1925.23 = t₁ 1928 + (50.72 - M3 19.646°/my 7.09459°) = 1975.95-U 50.72 = T 1925.23 //PERIASTRONZEIT

X1=cos(E1)-e; Y1=sin(E1) cos(v); v = ARCSIN(e).
X1 -1.7360, Y1= 0.2463.
X2 -1.6431, Y2=-0.3104.
X3 -0.4529, Y3= 0.4402.

Gesuchte Koeffizienten A,B,F,G aus x1=AX1+FY1, y1=BX1+GY1.

Koeffizient A:

x1 -0.1067 = X1 -1.7360  A + Y1 0.2463 F
x3 -0.1914 = X3 -0.4529  A + Y3 0.4402 F
F eliminieren:
j -0.5595184 = -(Y1 0.2463/Y3 0.4402)
a  0.10709 = x3 -0.1914 * j
b  0.25341 = X3 -0.4529 * j
c -0.2463  = Y3  0.4402 * j
a 0.10709 =   b 0.25341 A + c(-0.2463) F
x1 -0.1067  = X1 -1.7360  A + Y1 0.2463  F
0.00039  = a 0.10709 + x1 (-0.1067)-1.48259 = b 0.25341 + X1 (-1.7360)
Koeffizient: A -0.000263'' = 0.00039/(-1.48259)

Koeffizient B:
y1 -0.5294 = X1 -1.7360 B + Y1 0.2463 G
y3 -0.1448 = X3 -0.4529 B + Y3 0.4402 G
G eliminieren:
j -0.5595184 = -(Y1 +0.2463/Y3 0.4402)
a  0.08102 = y3 -0.1448 * j
b  0.25341 = X3 -0.4529 * j
c -0.2463  = Y3  0.4402 * j
a 0.08102 =   b 0.25341 B + c (-0.2463) G
y1 -0.5294  = X1 -1.7360  B +  Y1 0.2463  G
-0.44838 = a 0.08102 + y1 (-0.5294)
-1.48259 = b 0.25341 + X1 (-1.7360)
Koeffizient: B 0.3024'' = -0.44838/(-1.48259)

Koeffizient F:
x1 -0.1067 = X1 -1.7360  A + Y1 0.2463 F
x3 -0.1914 = X3 -0.4529  A + Y3 0.4402 F
A eliminieren:
j -3.83308 = -(X1 -1.7360/X3 -0.4529)
a  0.73365 = x3 -0.1914 * j
b  1.73600 = X3 -0.4529 * j
c -1.6873  = Y3  0.4402 * j
a 0.73365 =   b 1.7360  A + c (-1.6873) F
x1 -0.1067   = X1 -1.7360  A + Y1  0.2463  F
0.62695 = a   0.73365 + x1 (-0.1067)
-1.4410 = c (-1.6873) + Y1   0.2463
Koeffizient: F -0.4351'' = 0.62695/(-1.441)

Koeffizient G:
y1 -0.5294 = X1 -1.7360 B + Y1 0.2463 G
y3 -0.1448 = X3 -0.4529 B + Y3 0.4402 G
B eliminieren:
j -3.83308 = -(X1 -1.7360/X3 -0.4529)
a  0.55503 = y3 -0.1448 * j
b  1.73600 = X3 -0.4529 * j
c -1.68732 = Y3  0.4402 * j
a 0.55503 = b   1.7360  B + c (-1.6873) G
y1 -0.5294  = X1 -1.7360  B + Y1  0.2463  G
0.025632 =  a   0.55503 + y1 (-0.5294)
-1.44102 =  c (-1.6873) + Y1   0.2463
Koeffizient: G -0.0178'' = 0.02563/(-1.44102)

Koeffizienten: A=-0.000263'', B=0.3024'', F=-0.4351'', G=-0.0178'', A+G=-0.0181'', A-G=0.01750'', B-F=0.7375'', -B-F=0.1327''.

Check: x1 -0.1067=X1A+Y1F, y1 -0.5294=X1B+Y1G.

Thiele-Innes Konstanten:

A+G=2a cos(z+W) cos(i/2)²
A-G=2a cos(z-W) sin(i/2)²
B-F=2a sin(z+W) cos(i/2)²
-B-F=2a sin(z+W) sin(i/2)²

Bahnelemente: a, i, z ,W

Inverse Transformation:
TAN(z+W) = ( B - F)/(A+G)
TAN(z-W) = (-B - F)/(A-G)

Quadrant von  W ± z gemäß Vorzeichen der linken Seite der Thiele-Innes Konstanten.

DEFFN r(x)=x-INT(x/(2*PI))*(2*PI)
y=0.7375   //B-F
x=-0.0181  //A+G
r=SQR(x*x+y*y)
x=x/r
y=y/r
z1=FN r(ATN(y/(1+x))*2)
PRINT DEG(z1) //91.41° = (z+W)
REM ----------------
y=0.1327  //-B-F
x=0.0175  //A-G
r=SQR(x*x+y*y)
x=x/r
y=y/r
z=FN r(ATN(y/(1+x))*2)
PRINT DEG(z)     //82.49° = (z- W)
(z+W) = 91.41° + (z-W) 82.49° = 2z 173.9° / 2 = z 86.95°.
(z+W) = 91.41° - (z-W) 82.49° = 2W 8.92° / 2 = W 4.46°.
Perihelargument z = 86.95 °, Knoten 4.46° W   (Äquinoktium B1900).
Liegt W im dritten oder vierten Quadranten, ± 180 Grad zu z und  W  addieren.

TAN(i/2)² = ((-B-F)/(B-F))*(sin(z+W)/(sin(z-W)).
i=DEG(ATN(SQR((0.1327/0.7375)*(SIN(RAD(86.95+4.46))/SIN(RAD(86.95-4.46))))))*2.
PRINT i
Inclination (Bahnneigung): i = ±  46.14°.

a=(B-F)/(2 sin(z+W) cos(i/2)²).
a=0.7375/(2*SIN(RAD(86.95+4.46))*COS(RAD(46.14/2))^2).
Halbe Bahnachse: a=0.436''.

Check: A=a*[cos(z) cos(W)-sin(z) sin(W) cos(i)]

Elementensystem des Doppelsterns 24 Aquarii (ADS 15176).

                         Voherige Calculation   W.F. Finsen          Danjon              Heintz                

U  =	50,72	51,33	48,7	48,65
T =	1925.23	1925.68	1,923.01	1922.9
a =	0.436''	0.525''	0.420''	0.448''
e =	0,87	0,91	0,86	0,87
i =	± 46.14°	56.02°	55.2°	58.0°
W  =	4.46°	4.95°	139.8°	140.2°
z  =	86.95°	87.35°	295.0°	293.0°

A=-0.000263''
B= 0.3024''
F=-0.4351”
G=-0.0178''

Die Thiele-van den Bos ist mit der Thiele-Innes Methode identisch.

REM GFA20  PROGRAMM   DUPLEX
REM THIELE-INNES METHODE -------------
REM FLÄCHENSATZKONSTANTE (C)
DIM a(10)
c = 0.00791 //EINTRAG KONSTANTE
REM NORMALORTE DREI
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * 2 * PI
t1 = 1892  //EINTRAG ZEITPUNKT DER MESSUNG t1,t2,t3
t2 = 1910
t3 = 1928
REM POSITIONSWINKEL
p1 = RAD(258.6) //EINTRAG POSITIONSWINKEL p1,p2,p3
p2 = RAD(285.4)
p3 = RAD(217.1)
REM DISTANZ
d1 = 0.54 //EINTRAG DISTANZ  d1,d2,d3 ('')
d2 = 0.51
d3 = 0.24
REM RECHTECKKOORDINATEN --------------
x1 = d1 * COS(p1)
y1 = d1 * SIN(p1)
x2 = d2 * COS(p2)
y2 = d2 * SIN(p2)
x3 = d3 * COS(p3)
y3 = d3 * SIN(p3)
REM --------
f12 = x1 * y2 - x2 * y1
f23 = x2 * y3 - x3 * y2
f13 = x1 * y3 - x3 * y1
REM ----------
my1 = t2 - t1 - f12 / c
my2 = t3 - t2 - f23 / c
my3 = t3 - t1 - f13 / c
REM GENÄHERTE JÄHRL. EIGENBEWEGUNG DER KOMPONENTE
apas = 1900     //EINTRAG APASTRONDURCHGANGSZEIT
peria = 1925.4  //EINTRAG PERIASTRONDURCHGANGSZEIT
my = (2 * PI) / ((peria - apas) * 2) //ERSTE NÄHERUNG
my = 0.1238975 //MY SOLANGE VARRIEREN BIS A<0.00001 WIRD UND VORZEICHENWECHSEL EINTRITT
GOSUB mot
u = (2 * PI) / my //ERMITTELTE UMLAUFZEIT
dd = f12 + f23 - f13
y = (f23 * SIN(u1) - f12 * SIN(v)) / dd
x = (f23 * COS(u1) + f12 * COS(v) - f13) / dd
e = SQR(x * x + y * y)  //EXENTRIZITÄT
xx = x / e
yy = y / e
e2 = FN r(ATN(yy / (1 + xx)) * 2) //EXENTRISCHE ANOMALIE t1,t2,t3
e1 = FN r(e2 - u1)
e3 = FN r(e2 + v)
m1 = e1 - e * SIN(e1) //MITTL. ANOMALIE t1,t2,t3
m2 = e2 - e * SIN(e2)
m3 = e3 - e * SIN(e3)
't1=t1+(u-m1/my)            //PERIASTRONDURCHGANGSZEIT >T<
tt2 = t2 + (u - m2 / my)
tt3 = t3 + (u - m3 / my)
REM -------------
xx1 = COS(e1) - e
yy1 = SIN(e1) * COS(ASIN(e))
xx2 = COS(e2) - e
yy2 = SIN(e2) * COS(ASIN(e))
xx3 = COS(e3) - e
yy3 = SIN(e3) * COS(ASIN(e))
REM KOEFFIZIENTEN A=aa,B=bb,G=gg,F=ff -------------
j = -(yy1 / yy3)
a = x3 * j
b = xx3 * j
c = yy3 * j
aa = (a + x1) / (b + xx1)
a = y3 * j
bb = (a + y1) / (b + xx1)
j = -(xx1 / xx3)
a = x3 * j
b = xx3 * j
c = yy3 * j
ff = (a + x1) / (c + yy1)
a = y3 * j
gg = (a + y1) / (c + yy1)
PRINT "KOEFIZIENTEN:"
PRINT "A   : ";aa;" ´´"
PRINT "B   : ";bb;"´´ "
PRINT "F   : ";ff;"´´"
PRINT "G   : ";gg;"´´"
PRINT "A+G : ";(aa + gg);"´´"
PRINT "A-G : ";(aa - gg);"´´"
PRINT "B-F : ";(bb - ff);"´´"
PRINT "-B-F: ";(-bb - ff);"´´"
cx1 = xx1 * aa + yy1 * ff
cy1 = xx1 * bb + yy1 * gg
PRINT
PRINT "CHECK: ";cx1;" ";x1;" ";cy1;" ";y1
y = bb - ff
x = aa + gg
r = SQR(x * x + y * y)
xx = x / r
yy = y / r
z1 = FN r(ATN(yy / (1 + xx)) * 2)
y = -bb - ff
x = aa - gg
r = SQR(x * x + y * y)
xx = x / r
yy = y / r
z2 = FN r(ATN(yy / (1 + xx)) * 2)
w = (z1 + z2) / 2
k = (z1 - z2) / 2
i = ATN(SQR(((-bb - ff) / (bb - ff)) * (SIN(w + k) / SIN(w - k)))) * 2
a = (bb - ff) / (2 * SIN(w + k) * COS(i / 2) ^ 2)
kof = a * (COS(w) * COS(k) - SIN(w) * SIN(k) * COS(i))
PRINT "CHECK: ";aa;" ";kof
PRINT
PRINT "GEOMETRISCHE BAHNELEMENTE"
PRINT "i.....: ";DEG(i);" GRAD"
PRINT "Omega.: ";DEG(w);" GRAD"
PRINT "Knoten: ";DEG(k);" GRAD"
PRINT "DYNAMISCHE BAHNELEMENTE"
PRINT "U.....: ";u;" JAHRE"
PRINT "T.....: ";tt2
PRINT "e.....: ";e
PRINT "a.....: ";a;"´´"
KEYGET HALT%
PROCEDURE mot
  y = my1 * my
  u = 1
  x = 0
  GOSUB iter
  u1 = u
  y = my2 * my
  u = 1
  x = 0
  GOSUB iter
  v = u
  y = my3 * my
  u = 1
  x = 0
  GOSUB iter
  w = u
  a = (u1 + v) - w
  PRINT "a: ";a
  PRINT "u: ";DEG(u)
  PRINT "v: ";DEG(v)
  PRINT "w: ";DEG(w)
  PRINT
  PRINT "NEUSTART MIT VERBESSERTER ANPASSUNG  my'"
  IF ABS(a) < 0.00001 THEN
    PRINT ''my;OK''
    FOR i = 1 TO 30000000
    NEXT i     //PAUSE
    CLS
  ENDIF
RETURN
PROCEDURE iter
  REPEAT
    x = u
    u = u + (y - (u - SIN(u)))
    s = ABS(x - u)
  UNTIL s < 1.0E-10
RETURN

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