DOPPELSTERNE

 

Doppelsterne - mechanisch-optische Anforderungen

 

Justierung der parallaktischen Fernrohrmontierung .

Die Präzision bei Messungen mit einem Positionsfadenmikrometer, ist entscheidend von der Justierung bzw. Nachführgenauigkeit der Objekte (Sterne, Planeten, Monde) abhängig.
Eine einwandfreie Justierung ist nur bei einer fest plazierten (stationären) und exakt waagerechten Fernrohr-Montierung zu realisieren.
Die bei Mikrometermessungen und Langzeit-Astroaufnahmen notwendige sorgfältige Ausrichtung einer temporären Feldsternwarte bzw. transportablen Montierung, beantsprucht nach jedem Transport einen Zeitaufwand von etwa 1-2 Stunden, da die wenigsten Montierungen über einen sog. Polsucher verfügen. Dieser Aufwand lohnt sich nur bei einwandfreier Kollimation. The collimation:
http://astrosurf.com/legault/http://www.gerd.neumann.net/laser.html;
Laserinterferometrische Prüfung der Abbildungsqualität:
http://www.pleiger.de/plo/main.htm (Beschreibung des Prüfverfahrens in Sterne und Weltraum 11/96, 12/96); L. Schmadel, Ein Ronchi-Null-Test für Parabolspiegel. Sterne und Weltraum 12/1974, S. 399. http://www.teleskop-service.de/Leistungspaket/leistungspaket.htm; http://rohr.aiax.de/.
 

 

Scheinersche Methode zur Korrektion der Aufstellungsfehler in Azimut und Polhöhe.
Die Stundenachse ist auf den Polarstern zu richten, der sich in einer nördlichen Höhe befindet, die der geographischen Breite des Standorts entspricht.
 

Azimutale Justierung der Stundenachse (Polachse): Weicht das Nordende der Polachse der Montierung von der genauen Nord-Süd-Richtung nach Westen oder Osten ab, wird im ersten Fall das nachgeführte Fernrohr vor dem Stern die Kulminationshöhe erreichen, im zweiten Fall erst nach der Kulmination des Sterns (Kulmination = max. Höhe über dem Horizont im Ortsmeridian).
Ein zenitnaher Stern nahe dem Ortsmeridian wird so eingestellt, dass er bei abgestelltem Teleskopantrieb exakt auf dem Deklinationsfaden (Ost-West-Richtung) des Fadenkreuzes »läuft«.
In Meridiannähe wird ein nachgeführter, zenitnaher Stern im ersten Fall nach einiger Zeit nördlich des Deklinationsfadens (im umkehrenden Fernrohr nach unten) abweichen. Das Nordende der Polarachse ist daher (in Azimut) geringfügig nach Osten zu drehen.
Im zweiten Fall weicht der Stern nach Süden (oben) ab, so dass das Nordende der Polachse geringfügig nach Westen zu drehen ist. Notfalls den Stern ins Gesichtsfeld und auf den Deklinationsfaden (Fadenkreuzmitte) zurückbringen.
Zeigt der Stern nach einigen Minuten erneut eine Abweichung vom Deklinationsfaden, ist eine erneute geringfügige Drehung der Polachse in Azimut notwendig, die erst einzustellen ist, wenn der Stern ausreichend lange auf dem Faden verbleibt.
 

Justierung der Stundenachse in Polhöhe: Bei zu kleiner Polhöhe ist die Äquatorebene des Teleskops zu steil eingestellt. Ein Stern wird nach Westen vom Deklinationsfaden abweichen.
Ein Zirkumpolarstern (z. B im Sternbild des Cepheus, der Cassiopeia o.a.) am Westhimmel mit Stundenwinkel 6 Uhr, wird so eingestellt, dass es den Deklinationsfaden entlang läuft. Weicht der Stern nach einigen Minuten vom Deklinationsfaden nach (oben) Westen ab, muß das Nordende der Stundenachse gehoben werden.
Zeigt der Stern nach einigen Minuten eine erneute Abweichung vom Deklinationsfaden, ist eine neue Korrektur der Polhöhe vorzunehmen, die erst zu beenden ist, wenn der Stern lange genug im Mittelpunkt des Fadenkreuzes verbleibt, um den gestellten Anforderungen zu genügen.

Die Korrektion in Azimut und Polhöhe ist mehrmals zu wiederholen, da die Polhöheneinstellung  eine neue Azimutausrichtung bedingt vice versa. Dadurch wird eine Ausrichtung auf den scheinbaren mit Refraktion behafteten Himmelsnordpol erreicht. Die differentielle Refraktion ist daher möglichst durch Verwendung zenitnaher Sterne auszuschalten, da ein Stern selbst bei exakt justierter parallakt. Montierung allein nur durch die Refraktionsänderung pro Minute Höhenänderung vom Faden abweichen kann. In unseren Breiten ist die Einstellung auf den mit Refraktion behafteten Nordpol nicht unbedingt nachteilig.

Positionsfadenmikrometer

Mikrometer dienen zur Messung von linearen Winkeldistanzen, wie z. B. Durchmesserbestimmungen von Körpern des Sonnensystems, der Länge und Breite von planetaren u. lunaren Oberflächendetails, Koordinatendifferenzen, Schattenlängen von Mondbergen, planetaren Achsenlagen, Winkeldistanzen u. Positionswinkel von Sternen, Doppelsternen u. Satelliten,  Bewegungsrichtungen, Merkur- u. Venusdichotomie usw.

Da Mikrometer einfachster Bauart ohne bewegliche Teile (Lamellen- und Ringmikrometer auf Stoppuhr-Zeitdifferenzmessungen von Sterndurchgängen beruhen, liegt die erreichbare Genauigkeit dieser simplen Messeinrichtungen bestenfalls bei 0.1-0.08 Zeitsek. = 1.5”-1.2” *COS(dek) Bogensekunden (dek = Deklination des zu vermessenden Objekts). Diese Messgenauigkeit liegt an der Auflösungsgrenze von Objektiven unter 100 mm Öffnung (1.2''). Prof. Anwendung findet daher das eigentliche verstellbare Schrauben- bzw. Positions-Fadenmikrometer.
Mikrometerfäden und Himmelsobjekt sollten gleich scharf fokussiert erscheinen. Die Scharfeinstellung während einer Messreihe konstant beibehalten. Bei Bewegung der Augen dürfen Objekt und Mikrometerfäden keinerlei parallaktische Verschiebung zeigen, und die Messschraube darf keinen merklichen toten Gang aufweisen. Um evtl. vorhandenen toten Gang auszuschließen sollte man den beweglichen Faden stets im gleichen Drehsinne einstellen.

Wie bereits erwähnt, sind Fadenmikrometermessungen nur mit exakt justierter parallaktischer  Montierung u. sehr präziser motorischer Nachführung möglich.
Die Montierung, die äußerst stabil sein muß, ist gemäß den Anforderungen ausgerichtet, wenn ein nahe des zu vermessenden Objekts befindlicher Stern bei abgeschaltetem Triebwerk und größtmöglicher Vergrößerung auf einem Mikrometerfaden (=Deklinationsfaden) solange ohne erkennbare Abweichung entlang läuft, wie eine 10fache Messwiederholung dauert. Die Nachführung ist also ausreichend, wenn ein Stern innerhalb der Messzeitanforderung keine Abweichung vom Schnittpunkt des Fadenkreuzes erkennen läßt. Stern bzw. Objekt nach jedem Messvorgang (bei Zeitdifferenzmessungen) in die Fadenkreuzmitte zurückholen. Vor und nach jeder Messreihe ist zu überprüfen, ob der Stern bzw. das Objekt noch innerhalb der Messzeitanforderung den Faden exakt entlang läuft.



Schraubenwert und Indexkorrektur der Messtrommel. Die Messtrommel des Positionsfadenmikrometers ist in 50 oder 100 Teile geteilt und somit am Index analog auf 1/50 oder 1/100 Umdrehung ablesbar. Unter Ablesung der 1/10 am Nonius ist eine Genauigkeit der Fadeneinstellung von 0.002 - 0.001 Umdrehungen erreichbar. Die Messtrommel besitzt eine Skala für volle Umdrehungen (bessere Mikrometer besitzen eine digitale Direktanzeige der Messwerte).



Indexkorrektur. Festen und beweglichen Mikrometerfaden zur exakten Deckung bringen. Der abgelesene Wert der Messtrommel dieser Fadenposition, der nahe bei Null liegt und auch geringfügig negativ sein kann, trägt die Bezeichnung Idexkorrektur (Ik). Bei Ik ungleich Null, ist die Trommelumdrehungsanzahl (M) einer Einzelmessung um U=M-Ik zu korrigieren. U ist dann die korrekte Distanz in Trommelumdrehungen.



Schraubenwert . Die Winkeldistanz einer Umdrehung der Messtrommel (Schraubenwert) ist äußerst genau zu ermitteln, da die Genauigkeit  sämtlicher Messungen davon abhängen.
Schraubenwert aus bekannter Brennweite des Objektivs und Ganghöhe der Schraube: Schraubenwert in EU° (Grad) = (Ganghöhe der Messschraube in mm / Brennweite des Fernrohrobjektivs in mm) * 57.29577951308.
Bei exakt 0.5 mm Ganghöhe und F=1000 mm Brennweite beträgt der Schraubenwert pro Umdrehung 0.028647889° * 57.2957795*3600'' = EU 103.132'' (Bogensekunden).
Bei einer Trommelumdrehung bewegt sich der Faden somit um 103.132''. 1/100 Teilung der Schraube entspricht somit 103.132''/100 = 1.03132'' (0.103132''= Schätzung auf 1/10).

Das Auflösungsvermögen eines 6-Zöllers (Teleskop mit 150 mm Objektivöffnung) beträgt nach der Dawes-Regel: Auflösungsvermögen in Bogensekunden = 4.56'' / Durchmesser der Objektiv- oder Spiegelöffnung in Zoll (1 Zoll = 25.3998 mm).
4.56 / 5.9056 Zoll Öffnung = theoretisches Auflösungsvermögen der Optik 0.77'' (Bogensekunden). Kleinste Messeinheit des Mikrometers 0.103132''. Jede vom Objektiv gezeigte Einzelheit läßt sich demzufolge ausmessen.

Der Schraubenwert hängt von der exakten Brennweite des Fernrohres ab und ist daher für jedes Instrument an dem Mikrometermessungen vorgenommen werden eine neu zu bestimmende Konstante.
Auf Instrumentenangaben der Hersteller, wie Ganghöhe und Brennweite, sollte man sich nicht unbedingt verlassen, sondern der Schraubenwert ist auf jeden Fall aus gemessenen Winkeldistanzen von Sternpaaren (Doppelsterne genau bekannter Winkeldistanz) empirisch zu bestimmen.
Schraubenwertbestimmungen aus eigener Vermessung von Sternpaaren in Winkeldistanzen von einigen Bogenminuten und Bogensekunden: Geeignet sind Sternpaare der Plejaden (M 45) im Sternbild des Stieres (Taurus), des sog. 'Perseusbogens' im offenen Sternhaufen h Persei (NGC 884) oder M44 (Praesepe) im Sternbild des Krebses o.a. Der Globus berechnet die Winkeldistanzen zahlreicher Doppelsterne und Sternpaare, die für die Eichung eines Mikrometers geeignet sind.
Um die differentielle Refraktion in Winkeldistanz eines Sternpaares zu eliminieren, sollten die Höhen der zu vermessenden Sterne über >50° liegen (Zenitdistanz <40°).
Der Refraktionsunterschied beträgt in 30° Höhe 0.07'', in 40° Höhe 0.04'' und 60° Höhe 0.02'' pro Bogenminute Höhendifferenz.



Exakte Eichung der Messtrommel. Schraubenwertbestimmung EU unter Berücksichtigung der Eigenbewegung, Präzession, Nutation, Lichtablenkung, jährlichen Aberration, täglichen Aberration und Refraktion des zu vermessenden Sternpaares.
Messungen 5-10 mal wiederholen, Mittelwert und mittl. Fehler bilden. Nach jeder Einzelmessung Mikrometer wegdrehen und neu einstellen.

Die folg. Programme können mit dem Cursor invertiert werden (linke Maustaste gedrück halten und über die Zeilen fahren). Mit der rechten Maustaste anschließend anklicken, Kopieren wählen und mit Edit/Paste in den GFA-BASIC Interpreter für Windows 3.1/9x/ME laden. 

REM DATEI GFA1.GFA IM ORDNER GFA AUF CD-ROM
REM GFA-BASIC PROG. FÜR WINDOWS 95 -------------
DIM y(50)
REM SCHRAUBENUMDREHUNGEN U, MITTL. FEHLER M.F, STANDARDABWEICHUNG >SIG<
n = 5                //ANZAHL VORGENOMMENER MESSUNGEN >U<
y(1) = 10.234  //TROMMELUMDREHUNGEN >U<
y(2) = 10.236
y(3) = 10.231
y(4) = 10.232
y(5) = 10.235
GOSUB sig
PRINT mw,mf,sig   // U= 10.2336  ±0.0009 U, STREUUNG  ±0.00207 U
REM SCHRAUBENWERT EU/MITTL. FEHLER M.F./STANDARDABWEICHUNG SIG (BOGENSEKUNDEN)
n = 5              //ANZAHL VORGENOMMENER MESSUNGEN U
s = 123.451    //BERECHNETE WINKELDISTANZ EINES STERNPAARES IN BOGENSEK.
y(1) = s / 10.234    // EU=S / U
y(2) = s / 10.236
y(3) = s / 10.231
y(4) = s / 10.232
y(5) = s / 10.235
GOSUB sig
PRINT mw,mf,sig  //SCHRAUBENWERT EU = 12.06330'' ±0.001093'' EU, STREUUNG  ±0.002444'' EU
KEYGET HALT%
PROCEDURE sig
  k = 0
  vv = 0
  FOR i = 1 TO n
     k = k + y(i)                 //SQR(x)=engl. square root = Quadratwurzel
  NEXT i
  mw = k / n                     //ARITHMETISCHER MITTELWERT
  FOR i = 1 TO n
     vv = vv + (y(i) - mw) ^ 2      //FEHLERQUADRATSUMME
  NEXT i
   sig = SQR(vv / (n - 1))        //STANDARDABWEICHUNG (STREUUNG)
   mf = SQR(vv / (n * (n - 1))) //MITTL. FEHLER DES MITTELSWERTES
RETURN



Temperatureffekt auf den Wert einer Schraubenumdrehung EU.
Die Ausgleichung der Temperaturwerte T und zugehörigen Schraubenwerte EU ergibt die Parameter a und b. Schraubenwert EU in Relation zur jeweiligen Temperatur T dann aus: EU=a+b*T.
Schraubenwert zur Temperatur T -1 °C: EU = 15.537'' = Parameter (a 15.535'' ±0.0002'') + (b -0.001754'' ±0.000018'')*T.
Der momentane Schraubenwert EU läßt sich natürlich auch vor einer Messreihe durch Direktmessung der Winkeldistanzen von Sternpaaren zur Lufttemperatur T exakt bestimmen.

REM DATEI GFA2.GFA IM ORDNER GFA AUF CD-ROM
REM AUSGLEICHUNG VERMITTELNDER BEOBACHTUNGEN NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE (LINEARE REGRESSION)
DIM x(100),y(100)
t = -1            //EINTRAG TEMPERATURWERT
n = 5            //ANZAHL TEMPERATUR T UND SCHRAUBENWERT EU
x(1) = -5       //TEMPERATURWERTE IN GRAD CELSIUS (°C) EINTRAGEN
x(2) = 0
x(3) = 5
x(4) = 9
x(5) = 15
y(1) = 15.544         //SCHRAUBENWERTE Y(N) IN BOGENSEKUNDEN EU ZUR TEMPERATUR X(N)
y(2) = 15.535
y(3) = 15.526
y(4) = 15.519
y(5) = 15.509
xo = 0
yo = 0
xx = 0
xy = 0
yy = 0
FOR i = 1 TO n
  xo = xo + x(i)
  yo = yo + y(i)
  xx = xx + x(i) * x(i)
  yy = yy + y(i) * y(i)
  xy = xy + x(i) * y(i)
NEXT i
REM NORMALGLEICHUNGEN N*A+XO*B=YO; XO*A+XX*B=XY
a = (yo * xx - xo * xy) / (n * xx - xo ^ 2)
b = (n * xy - yo * xo) / (n * xx - xo ^ 2)
REM AUSGLEICHSGERADE (LINEARE REGRESSION)
EU = a + b * t
PRINT EU  //  EU = 15.536774086"
PRINT
PRINT a,b // a  = 15.5350199", b = -0.001754"
REM FEHLERQUADRATSUMME (F.Q.S.)
vv = yy - yo * a - xy * b
s = SQR(vv / (n - 2))
REM MITTLERER FEHLER (M.F.) a
mfa = s * SQR(xx / (n * xx - xo * xo))
PRINT mfa // M.F. a  = 0.0001556" Bogensekunden
REM MITTLERER FEHLER b
mfb = s * SQR(n / (n * xx - xo * xo))
PRINT mfb // M.F. b = 0.00001845" Bogensekunden
KEYGET halt%



Koordinatenbestimmung mit Fadenmikrometer. Koordinaten des Plejadensterns Atlas am 1.11.1996, 23h UT: Scheinbare AR 57.245508°, Scheinbare Deklin. 24.0516735°. Durch Anschlußbeobachtung an die bekannten Koordinaten des Sterns Atlas, sind die des Sterns Pleione mittels Mikrometer zu bestimmen. Die Koordinaten von Kometen, Asteroiden u.a. Objekten ergeben sich analog.

REM DATEI GFA3.GFA IM ORDNER GFA DER CD-ROM
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
dek1 = RAD(24.0516735)  //REKTASZENSION ANSCHLUSSKOORDINATEN VON ATLAS (INCL. //REFRAKTION)
ar1 = RAD(57.245508) //DEKLINATION
um = 20.357  //TROMMELUMDREHUNGEN U
EU = 14.77938  //SCHRAUBENWERT EU
s = EU * um   //GEMESSENE DISTANZ IN BOGENSEKUNDEN (5-10 MAL WIEDEREHOLEN UND                      //ARITHM. MITTELN)
PRINT s // s = 300.8638"
s1 = RAD(s / 3600)   //DISTANZ GRAD IN RAD
p = RAD(3.755)  //MIT DEM MIKROMETER-POSITIONSKREIS 5-10 MAL GEMESSENER POSITIONSWINKEL PLEIONE
REM SEITENCOSINUSSATZ --------
dek2 = ASIN(SIN(dek1) * COS(s1) + COS(dek1) * SIN(s1) * COS(p))
REM SINUSSATZ ----------------
ar2 = FN r(ar1 + ASIN(SIN(s1) * SIN(p) / COS(dek2)))
PRINT DEG(dek2),DEG(ar2)    //SCHEINBARE DEKLIN. 24.135067° UND AR  57.251505° PLEIONE
KEYGET halt%

Der Globus übernimmt alle notwendigen Berechnungen und Reduktionen.

Brechungsgitter-Mikrometer

Optische Parameter, wie Fernrohröffnung, Brennweite und Vergrößerung spielen bei dieser Messvorrichtung keine Rolle. Das Mikrometer ist sehr leicht zu basteln und kostet fast nichts. Mit diesen Vorteilen ist das Brechungsgitter-Mikrometer sicher die beste Alternative zu dem sehr teuren Positionsfadenmikrometer.
Anfänglich wird die Fehlertoleranz etwa 5-15 % betragen. Nach einiger Übung erreichen versierte Beobachter eine Messgenauigkeit von etwa 0.3 %.


Aufbau. Zur Feststellung der Nord-Süd- bzw. Ost-West-Richtung benötigt es jedoch ein beleuchtetes Fadenkreuzokular (s. Mikrometer-Hersteller, evtl. Beleuchtung vor dem Gitter anbringen).
Die Selbstherstellung ist sehr einfach. Benötigte Teile: Glühbirne mit Fassung (3 V), Potentiometer mit Drehknopf (500 Ohm, 1W), Draht, 4.5 Volt Batterie mit Anschlußklemmen, Ausschalter. Evtl. genügt ein hauchdünn auf das Fadenkreuz aufgetragener Belag aktiver Leuchtfarbe.

Um einen weiten Bereich zu vermessen sind verschieden dicke Gitter anzufertigen. Bei Doppelsternen ist die Gitterbreite so zu wählen, dass das Beugungs- bzw. Seitenbild 1. Ordnung vom Zentralbild (Hauptstern A) etwa die gleiche Distanz wie die Komponente B des Doppelsterns einnimmt.

A,B) Einige Pappringe aus Fotokarton (Innendurchmesser = Objektivdurchmesser Außendurchmesser = Taukappenöffnung) zuschneiden.
B) genau parallel geschnittene 0.5 bis 4 cm dicke Fotokartonstreifen.
C) Pappring aus hartem Papier (Innendurchmesser = Objektivöffnung, Außendurchmesser etwa 1 cm größer als Taukappenöffnung).
D) 2 cm breiter Streifen aus Hartpappe (Umfang Länge = Taukappendurchmesser mal PI 3.14159265).
E) Schneidermaßband bzw. fotokopierte Teilung (Lineal, Messschieber bzw. Schublehre). Sterne und Weltraum , Heft 2/1988, S. 106 und Heft 4/1988, S. 238, enthält ein Computerprogramm zum Drucken von Teilungen in Omikron-BASIC (ATARI ST) und GW-BASIC (MS-DOS, IBM PC).
F) Ring aus Hartpappe mit Nullpunktmarkierung (Innendurchmesser = Taukappendurchmesser, Außendurchmesser 1-2 cm größer).



Herstellung:
1) Die Streifen (B) wird so auf den Fotokarton-Pappringe A,B aufgeklebt, dass der Zwischenraum der Streifen exakt gleich der Breite der Streifen ist.
2) Rand des Papprings (C) im Abstand von 5 mm bis zum Radius der Taukappenöffnung einschneiden, jedes zweite Stück entfernen (C) und die Zacken umklappen.
3) 2 cm breiter Streifen aus Hartpappe (D) um den perforierten Gitterhalter (C) kleben.
4) Die stabile Gitterfassung (C,D) muß genau in die Taukappenöffnung passen und dabei gut drehbar sein. Teilung (E) auf den Gitterhalter (C,D) aufkleben. Ring (F) mit der Nullmarke und der Ring mit der Teilung sollten den gleichen Radius besitzen. Die Anfertigung der Gitterfassung (C,D,E) mit wesentlich größerem Radius, erlaubt eine präzisere Ablesung der Teilung.
Statt die Winkelteilung abzulesen, läßt sich  die Strecke [Sehne] Nullmarke-Ringdrehung mit einer digitalen Schublehre von Conrad-Eletronic auf 0.01 mm genau ausmessen und in Winkelmaß umrechnen [Positionswinkel gegenüber der Nullmarke P=Arcsinus(s/d)*2; d=Ringdurchmmesser, s=Länge der Sehne].
5) Markierung auf den Ring aus Hartpappe (F) anbringen und über die Taukappe schieben (Nullmarke am Fernrohr).
6) Austauschbare Gitter (B) am Gitterhalter (C,D) mit Teilung so anbringen, dass Gitterstreifenrichtung und Nullpunkt der Teilung exakt zusammenfallen.



Messvorgang. Das Gitter spaltet das von einem Doppelsternsystem einfallende Licht in mehrere Beugungsbilder auf. Von den Beugungsbildern interessiert nur das hellste und dem helleren Stern (Zentralbild=Hauptstern A) nächstgelegene (Seitenbild 1. Ordnung). Der Messvorgang erfolgt durch Drehung des Gitters und entsprechender Bewegung der Beugungsbilder.

Die Distanz (in Bogensekunden) zwischen dem Zentral- und Beugungsbild ist die für jedes Gitter zu bestimmende Auflösungskonstante (k).
b kennzeichnet die Dicke der Gitterstäbe und s die Breite der Zwischenräume. i=b+s. Auflösungskonstante k=206264.8062471'' * W / i; W=Wellenlänge der größten spektralen Empfindlichkeit des Beobachters (5192-5550 Ångström = 0.00005192 cm bis 0.00005550 cm).

Beispiel: b=1.5 cm, s=1.5 cm; i=3 cm; w=0.00005192 cm. Auflösungskonstante k=3.57''. Die Nebenbilder werden bei Gitterstäben von 1.5 cm breite in k=3.57'' Bogensekunden Abstand vom Zentralbild erzeugt. Der Abstand wird bei engmaschigen Gitterstäben größer. Bei s=b=0.1 cm erscheinen die Nebenbilder in k=53.546'' Abstand vom Zentralbild.
Da die wenigsten Beobachter den Betrag der größten spektralen Empfindlichkeit ihrer Augen genau kennen, dürfte die berechnete Auflösungskonstante k nur ein Richtwert darstellen.
Die exakte Auflösungskonstante k ist daher empirisch durch Vermessung bekannter Sterndistanzen zu bestimmen (arithmet. Mittelwert k aus einer Anzahl Messungen - evtl. k in Temperaturabhängigkeit durch Lineare Regression bestimmen - s. Progr. GFA2).

Die Helligkeit des Zentralbildes wird verglichen mit dem Bild ohne Gitter um 1.50 mag (=5*LOG10((b+s)/s)) geschwächt. Die Beugungsbilder 1. Ordnung sind zudem 0.98 mag lichtschwächer als das Zentralbild. Bei einem Gitter s=b gilt: Intensität Zentralbild Io=1/4, Intensität In Nebenbilder n-ter Ordnung: In=(1/(n*PI)^2)*SIN((n*PI)/2)^2 (n=ungerade Zahlen n=1,n=3 usw.). Helligkeit Zentralbild 1/4 so hell = 75 % geschwächt gegenüber dem Bild ohne Gitter. 75 % in Größenklassen: -2.5*LOG10(1-0.75) = 1.505 mag lichtschwächer.

Beugungsbild 1. Ordnung: In = Intensität 0.1013211 = -2.5*LOG10(0.1013211) = 2.4857 mag lichtschwächer gegenüber dem Bild ohne Gitter (minus 1.505 mag = 0.9807 lichtschwächer gegenüber dem Zentralbild).
Da die Intensitäts- bzw. Größenklassenverhältnisse zwischen Zentral- u. Seitenbilder bekannt sind, dienen die durch ein Objektivgitter photographisch abgebildeten Zentral- u. Beugungsbilder auch zur Ableitung einer photograph. Schwärzungskurve.

1) Ausrichten des Fadenkreuzes in die Nord-Süd- und Ost-West-Richtung,  in dem ein Stern auf einen Faden exakt entlang »läuft«.
2) Gitter (C,D) so drehen, dass die Beugungsbilder exakt parallel des senkrechten Fadens angeordnet sind (Gitterstäbe Ost-West, Beugungsbilder exakt Nord-Süd). Diese Einstellung markiert die Position 0 Grad, die mit der Teilung 0 Grad exakt zusammenfallen sollte. Nullunkt-Einstellring (F) auf 0 Grad einstellen.
3) Gitter so drehen, dass die Beugungsbilder parallel zum waagerechten Faden angeordnet sind (Gitterstäbe Nord-Süd, Beugungsbild exakt Ost-West). Diese Einstellung markiert die Position 90 Grad. Bei Verwendung eines Schneidermaßbandes als Messskala Umfang durch 4 dividieren, um Markierung 90 Grad zu erhalten. 0 und 90 Grad Einstellung am besten am Einstellring (F) markieren.
Okular mit Fadenkreuz so drehen, dass ein Faden exakt durch Haupstern A und  Komponente B verläuft. Gitter so drehen, dass das an Hauptstern A nächstliegenste Beugungsbild (Ab) mit dem Hauptstern (A) und Begleitstern (B) verbindenden Faden einen exakten rechten Winkel bildet (Fig. 1a), wobei das Beugungsbild (Ab) unter dem Faden liegt. Diese Einstellung an der Teilung ablesen und notieren (w1).

Fadenkreuz so drehen, dass ein Faden exakt durch Haupstern A und Komponente B verläuft. Gitter so drehen, dass das an Hauptstern A nächstliegenste Beugungsbild (Ab) mit dem Hauptstern (A) und Begleitstern (B) verbindenden Faden einen exakten rechten Winkel bildet (Fig. 1b), wobei das Beugungsbild (Ab) über dem Faden liegt.
Diese Einstellung an der Teilung ablesen und notieren (w2). Die zwei Ablesungen w1 und w2 mit 360/Maßbandlänge multiplizieren.
Ergebnis: Positionswinkel: P=(w1+w2)/2 (evtl. zu P 180 Grad addieren, um den richtigen Quadranten zu erhalten). Winkel P im I. Quadranten 0°
<Pœ90°, II. Quadranten 90°<Pœ180°, III. Quadanten 180°<Pœ270° und IV. Quadranten 270<Pœ360°. Distanz: d = k*cos((w2-w1)/2).



Korrektion der Mikrometermessungen für Refraktion.

REM DATEI GFA4.GFA IM ORDNER GFA AUF CD-ROM
DEFFN r(x)=x-INT(x/(PI*2) )*(PI*2) //Reduktion auf Intervall 0<=x<360 GRAD bzw. 0<=x<PI*2
rad=1/57.2957795131
//----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
tem=20   //EINTRAG LUFTTEMPERATUR IN GRAD CELSIUS IN HÖHE ÜBER NN
mb=1030  //EINTRAG LUFTDRUCK IN HÖHE eh METER über NN IN MILLIBAR (mb)    //k=BRECHUNGSSINDEX DER LUFT IN RAD (Vakuum k=1).
k=0.0002927305*(mb/1013.33)*(273.15/(273.15+tem))
k1 = k*206264.806247 // k1=Refraktionsindex in Bogensekunden.
//-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nach Tabellen bzw. Formeln berechnete und unmittelbar beobachtete Refraktion differieren bei einer Zeitdistanz <40 Grad im Mittel um (Beobachtung - Rechnung =) 0.3'' (Bogensekunden), bei 85 Grad Zenitdistanz um 0.1' (Bogenminuten), 89 Grad um 0.8' und zwischen 89.7-90 Grad Zenitdistanz ca. 2' bis max. 7'. Der genaue Refraktionsbetrag ist gleich der Differenz der mit Sekunden-Theodoliten gemessenen (scheinbaren) und berechneten (wahren) Höhe eines Sterns (O-C = Observation minus Calculation).
Korrektion für Refraktion der gemessenen rechtwinkligen Koordinatendifferenz in Rektaszension (
a ) und Deklination (d) (x-,y-Messung mit Fadenmikrometer; y = Õd = de1-de2, x = Õa/COS(d ) = (ar1-ar2)/COS(d)

Der Begriff scheinbar (scheinbare Winkeldistanz, scheinbare Rektaszension, Deklination usw.) bezeichnet astronomisch direkt beobachtbare bzw. Messbare Größen, wie sie dem Auge unmittelbar erscheinen bzw. an Teilkreisen abgelesen werden können. Berechnete Größen bezeichnet man dagegen als wahr.
// INPUT -------------------------------------------------------------------------------------
d1=251.317   //Eintrag gemessene Distanz  (Bogensekunden)
p1=rad*170.24195    // Eintrag gemessener Positionswinkel (p1 in Rad)
de1=rad*-1.9684001  //Eintrag Deklination Komponente
de2=rad*-1.8995998  //Eintrag Deklination Hauptstern (de2 in rad)
ar1=rad*100.24005   //Eintrag Rektaszension Komponete   (ar1 in rad)
ar2=rad*100.228218 //Eintrag Rektaszension Hauptstern (ar2 in rad)
//-------------------------------------------------------------------------------------------------------
IF ar2 >= 0 AND ar2 < PI AND ar1 > PI * 1.5 AND ar1 <= PI * 2 THEN
  ar2 = ar2 + PI * 2
ENDIF
IF ar1 >= 0 AND ar1 < PI AND ar2 > PI * 1.5 AND ar2 <= PI * 2 THEN
  ar1 = ar1 + PI * 2
ENDIF              //geob = GEOGRAPHISCHE BREITE BEOBACHTUNGSORT
geob=rad*51.234
osz=rad*95.2345
aro =FN r(0.5 * (ar2 + ar1)) //MITTE AR (AR=Rektaszension) ZWEIER ORTE ar2, ar1
do = 0.5 * (de2 + de1)  //MITTE DEKLIN. ZWEIER ORTE de2,de1
to =FN r(osz - aro) //MITTE STUNDENWINKEL, osz = ORTSSTERNZEIT
z = ACOS(SIN(geob) * SIN(do) + COS(geob) * COS(do) * COS(to)) //ZENITDISTANZ
x = (SIN(geob) * COS(do) - COS(geob) * SIN(do) * COS(to)) / SIN(z)
y = COS(geob) * SIN(to) / SIN(z)
et = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)    //et = g PARALLAKTISCHER WINKEL
o = ATN(TAN(z) * SIN(et) * TAN(do))  //ATN() = arcus tangens
//--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
//IN KARTESISCHEN x-,y-KOORDINATEN
dx = d1 * k * ((COS(p1 - et) * SIN(et) * TAN(z) ^ 2 + SIN(p1 - o) / COS(o)) / COS(do))  //DIFFERENTIELLE //REFRAKTION IN AR xd: x = x + xd.
dy = d1 * k * (COS(p1 - et) * COS(et) * TAN(z) ^ 2 + COS(p1 - o) / COS(o))
//DIFFERENTIELLE REFRAKTION IN DEKLIN yd: y = y + xd.
//Korrektion für Refraktion des mit Mikrometer gemessenen Positionswinkels (p1) und der Winkeldistanz (d1)  //[d1=SQR(x^2+y^2), x=x/d1, y=y/d1, p1=ARCTAN(x/(1+y))*2].
// POLARKOORDINATEN
s=d1+d1*k*(1+COS(p1-et)^2*TAN(z)^2)    //s=VON REFRAKTION BEFREITE DISTANZ (")
p=57.2957795131*p1-k*57.2957795*(TAN(z)*SIN(et)*TAN(do)+COS(p1-et)*SIN(p1-et)*TAN(z)^2)
//p=VON REFRAKTION BEFREITER POSITIONSWINKEL (Grad)
? "Output: s ";s, "p ";p
? "Output: dx ";dx, "dy ";dy
? "--------------------------------------------------------------------------------------------------------------"
x=(s*SIN(rad*p))/COS(do)  //wahre (von Refraktion befreite) Differenz in AR  ar1-ar2
y=s*COS(rad*p)                //wahre Differenz in Deklin de1-de2
? "x ";x, "y  ";y
? "-----------------------------------------------------------------------------------------"
y=DEG(de1-de2)*3600+dy   //wahre  (von Refraktion befreite) Differnz  in AR ar1-ar2 (")
x=(DEG(ar1-ar2)/COS(do))*3600+dx   //wahre Differenz in Deklin. de1-de2  (")
? "x " ;x, "y ";y
? "----------------------------------------------------------------------------------------"
d11=SQR(x^2+y^2)  //wahre Winkeldistanz
x=x/d11
y=y/d11
p11=FN r(ARCTAN(x/(1+y))*2) //wahrer Positionswinkel
? d11
? DEG(p11)
? "-------------------------------------------------------------------------------"
ss=RAD(s/3600)
pp=rad*p
ar11=ar2+ (ss*SIN(pp))/COS(do)-rad*(dx/3600) //Scheinbare  AR Komponente
de11= de2+ss*COS(pp)-rad*(dy/3600)             //Scheinbare Deklin. Komponete
? DEG(ar11),DEG(de11)
? DEG(ar1),DEG(de1)
? "------------------------------------------------"

Korrektion für Refraktion des mit Mikrometer gemessenen Positionswinkels (p1) und der Winkeldistanz (d1) //[d1=SQR(x^2+y^2), x=x/d1, y=y/d1, p1=ARCTAN(x/(1+y))*2].
//IN POLARKOORDINATEN
s=d1+d1*k*(1+COS(p1-et)^2*TAN(z)^2) //s=VON REFRAKTION BEFREITE DISTANZ
p=57.2957795*p1-k*57.2957795*(TAN(z)*SIN(et)*TAN(do)+COS(p1-et)*SIN(p1-et)*TAN(z)^2)
//p=VON REFRAKTION BEFREITER POSITIONSWINKEL



Korrektion der Mikrometermessungen für Aberration, Nutation und Präzession.

Zur Erklärung der astronomischen Terminologie, siehe die im Himmelsglobus integrierte Online-Hilfe

Distanz d und Positionswinkel p sind von Refraktion befreite wahre Werte.

Korrektion der Winkeldistanz »s« für Aberration.
c1=-d*(TAN(ec)*SIN(do)+sin(aro)*COS(do))/206264.8063
d1=d*COS(aro)*COS(do)/206264.8063
a=(c1*C+d1*D)
//s1 = WAHRE (BERECHNETE) DISTANZ, d=MIT ABERRATION BEHAFTETE DISTANZ

REM s1=d-a; d=s1+a; d1=d+REFRAKTION = (d1=MESS- BZW. BEOBACHTBARE) SCHEINBARE DISTANZ). ec=EKLIPTIKSCHIEFE. a=ABERRATION IN WINKELDISTANZ (BOGENSEKUNDEN)

s1=wahre von Aberration befreite Winkeldistanz; aro,do = Mitte Rektaszension, Deklin. beider Orte (bei engen Doppelsternen genügt die Koordinate der Komponente); C,D = Besselsche Tageszahlen.

Die Winkeldistanz »d« zweier eng benachbarter und nicht sehr polnaher Sterne wird von der Präzession und Nutation nicht berührt. Die genannten Effekte verursachen jedoch eine Drehung des Koordinatensystem in Positionswinkel »p«.



Korrektion des Positionswinkels p für Präzession, Nutation und Aberration.
a=sin(aro)*tan(do)
b=cos(aro)*tan(do)
c=cos(aro)/cos(do)
d=sin(aro)/cos(do)
n=20.04              //PRÄZESSION ('') IN DEKLINANTION PRO JAHR
pd1=d*n*t //PRÄZESSION IN t JAHREN IN POSITIONSWINKEL FÜR JAHRESMITTE Jxxxx.5
pd2=pd1+A*d+B*c+C*b+D*a-n*d*to //Aberration+Präzession+Nutation für den Jahresbruchteil to.

A,B,C,D = Besselsche Tageszahlen; a,b,c,d = Besselsche Sternkonstanten; p=mittl. Positionswinkel, Äquinoktium der Epoche Jxxx (meist B1950, J2000); p=Positionswinkel, Äquinoktium des Datums; to=(JD-J1)/365.25 (s. Begleittext Himmelsglobus); to=Jahresbruchteil ab Jahresmitte (z. B. J1985.5).

Das Korrektionsglied pd2 reduziert den wahren (berechneten) Positionswinkel (pw), Äquinoktium der Epoche (B1950.0, J2000), auf das scheinbare Äquinoktium des Datums p: p=pw+pd2 (umgekehrt: pw=p-pd2).

n*SIN(aro)/COS(do)  //jährliche Präzession in Positionswinkel. pw = mittl. Positionswinkel (z. B. eines Doppelsterns) des Datums Eo (Epoche), p mittl. Positionswinkel des Datums E: p=pw+(E-Eo)*n*SIN(aro)/cos(do); p nur für Präzession korrigiert.

Beispiel. 1.1.1988, 0h TDT: Besselsche Tageszahlen: A=-9.596'', B=-8.490'', C=-3.277'', D=20.522''. pk1=C*b+D*a. pk2=A*d+B*c.

Katalogwert wahrer Positionswinkel und Distanz eines Doppelsterns der Epoche B1950: pw=21.23039°, Winkeldistanz s1=6.2004''.
Mitte der scheinbaren Sternörter aro=219.69476362, do=-60.7863078. Aberration in Winkeldistanz a=-0.0002996''.
Aberration in Positionswinkel pk1=18.931'', Präzession+Nutation pk2=25.9423''. Jahresbruchteil to=-0.5013689 (= J1988.5 bis 1.1.988); 13.15102'' = n*d*to. Präzession Epoche 1950.0 bis 1.1988, 0h TDT: pd1=-996.712''. pk 44.8737''=pk1+pk2. pd2 -964.99'' = -0.2680527° = pd1+pk-n*d*to.
Wahrer Positionswinkel 1.1.1988, 0h TDT: pw=21.23039°-0.26805° = p  20.9623°.

Scheinbarer Positionswinkel u. scheinbare Distanz: p1=p+Refraktion, d1=s1+a+Refraktion.

Der Globus übernimmt alle notwendigen Berechnungen (inkl. Besselsche Tageszahlen) und Reduktionen, um Distanz und Positionswinkel auf das scheinbare Äquinoktium des Datums (Beobachtungszeitpunkt) oder mittlere Äquinoktium einer Epoche (B1950, Jxxx.5, J2000 usw.) zu beziehen. Es sind lediglich die notwendigen Parameter einzugeben (s,p, Epoche, Datum, Ort usw.).

Das folg. Programm reduziert die gemessenen Werte (scheinbare Winkeldistanz s und Positionwinkel p) auf das mittl. Äquinoktium J2000.

REM GFA5
REM GFA-BASIC PROGR. FÜR WINDOWS 3.1/95/98/ME -----------------
REM KORREKTUR DER GEMESSENEN DISTANZ d UND POSITIONSWINKEL ps
REM FÜR REFRAKTION, ABERRATION IN WINKELDISTANZ UND
REM PRÄZESSION, NUTATION U. ABERRATION IN POSITIONSWINKEL
REM REDUKTION MESSUNG AUF DAS MITTL. ÄQUINOKTIUM J2000
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI) //Reduktion auf Intervall  0<x<=PI*2
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180)  //Gradmaß in rad
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI)  //rad in Gradmaß
REM INPUT ------------------------------------------------
REM KORREKTION FÜR REFRAKTION
tem = 5     //EINTRAG LUFTTEMPERATUR IN GRAD CELSIUS IN HÖHE ÜBER NN
mb = 1027  //EINTRAG LUFTDRUCK IN HÖHE eh METER ÜBER NN IN MILLIBAR (mb) k=REFRAKTIONSINDEX DER LUFT IN RAD
REM -----------------------------------
ep = 2000      //EINTRAG EPOCHE JAHR J2000
ddt = 0 / 3600   //TDT=UT+ddt EINTRAG KORREKTIONSWERT FÜR EPHEMERIDENZEIT (SEK.)
ar = FN rad(300) //EINTRAG SCHEINBARE REKTASZENSION GESTIRN
dm = FN rad(-23)  //EINTRAG SCHEINBARE DEKLINATION GESTIRN
geob = FN rad(50) //EINTRAG GEOGRAPH. BREITE DER BEOBACHTUNGSSATION
geol = 10      //EINTRAG GEOGRAPH. LÄNGE (östl. plus, westl. negativ) DER BEOBACHTUNGSSTATION (GRAD)
REM EINTRÄGE BEI RECHTECKMESSUNG x,y -------
// xo=3"
// yo=3"
// do=SQR(xo*xo+yo*yo) //DISTANZ
//x1=xo/do
// y1=yo/do
po = FN r(ATN(x1 / (1 + y1)) * 2)  //POSITIONSWINKEL
REM ---------
do = 10.1 //EINTRAG SCHEINBARER (GEMESSENE MIT FREFARKTION BEHAFTETE) WINKELDISTANZ (BOGENSEKUNDEN)
po=FN rad(20.9623) //EINTRAG (GRAD) SCHEINBARER (GEMESSENER MIT REFRAKTION BEHAFTETER) POSITIONSWINKEL, ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
REM DATUM -----------------------
a2 = 1      //EINTRAG TAG
a3 = 1      //EINTRAG MONAT
a4 = 1971   //EINTRAG JAHR
ut = 1      //EINTRAG UHRZEIT UT (Std. dezimal)
GOSUB jd
REM FORMATION ------------------------------------------
REM SCHEINBARE POSITION DES DATUMS ------
jdbe = jd + (ut + ddt) / 24  //JULIAN. DATUM TDT BEOBACHTUNGSZEIT
jdut = jd + ut / 24        //JULIAN. DATUM UT BEOBACHTUNGSZEIT
jdep = 2451545 + 365.25 * (ep - 2000)  //JULIAN. DATUM ÄQUINOKTIAL-EPOCHE
REM OPERATION ------------------
tt = jdbe - 2451545
t2 = tt / 36525
t3 = tt / 365.25
t4 = (jdbe - jdep) / 365.25
t = t2
ts = (jd - 2451545) / 36525
GOSUB nut
f7 = 0.40909263 - 0.00022711096 * t - 0.00000002862 * t * t    //Mittl. Ekliptikschiefe
ec = f7 + FN rad(nu1 / 3600)            //WAHRE EKLIPTIKSCHIEFE
GOSUB osz
GOSUB refrak  //    REM GOSUB refrak SETZEN, WENN OHNE REFRAKTION
flag = 0        //flag=1 SETZEN, WENN OHNE REFRAKTION
IF flag = 1 THEN
  d1 = do
  p1 = po
ENDIF
ro = d1
p = FN deg(p1)
GOSUB bes
CLS
REM OUTPUT -------------------------------------
PRINT "BESSELSCHE TAGESZAHLEN:"
PRINT "A: ";aa;"´´"
PRINT "B: ";bb;"´´"
PRINT "C: ";cc;"´´"
PRINT "D: ";dd;"´´"
PRINT "JAHRESBRUCHTEIL: ";to
PRINT "WINKELDISTANZ  ZUM DATUM (MIT REFRAKTION) :";do;"´´"
PRINT "POSITIONSWINKEL ZUM DATUM (MIT REFRAKTION) : ";FN deg(po);" GRAD"
PRINT "WINKELDISTANZ  ZUM DATUM (OHNE REFRAKTION): ";ro;"´´"
PRINT "POSITIONSWINKEL ZUM DATUM (OHNE REFRAKTION): ";p;" GRAD"
PRINT "ABBERATION IN WINKELDISTANZ:  ";da;"´´"
PRINT "PRÄZESSION+NUTATION+ABERRATION IN POSITIONSWINKEL:  ";FN deg(pd2);" GRAD"
PRINT "MITTL. ÄQUINOKTIUM J2000:"
PRINT "WAHRE WINKELDISTANZ   J2000: ";ro - da;"´´"
PRINT "MITTL. POSITIONSWINKEL J2000: ";FN deg(FN r(FN rad(p) - pd2));" GRAD"
KEYGET HALT%
END
PROCEDURE jd         //JULIAN. DATUM
  jd = 1720996.5 + a2 + FIX(30.6001 * ((a3 - 12 * (a3 < 3)) + 1)) + FIX(365.2425 * (a4 + (a3 < 3)))
RETURN
PROCEDURE osz           //ORTSSTERNZEIT
  f8 = 6.697375 + 2400 * ts + 0.0513369072222 * ts + 0.00002586222 * ts * ts
  f8 = f8 - INT(f8 / 24) * 24
  f9 = f8 + ut * 1.002737909 + geol / 15 + (nu / (15 * 3600)) * COS(ec)
  sz = f9 - INT(f9 / 24) * 24
  osz = FN rad(sz * 15)
RETURN
PROCEDURE nut         //NUTATION
  REM DELAUNAY-ELEMENTE
  d = FN r(5.1984675 + 7771.3771465197 * t - 0.0000289734 * t * t + 0.000000003491 * t * t) //Elongation Mond-Sonne
  ll = FN r(6.24004 + 628.3019553 * t - 0.0000027053 * t * t - 0.0000000582 * t * t * t)  //Mittl. Anomalie Sonne (Erde)
  l = FN r(2.3555487 + 8328.69142466 * t + 0.00015708 * t * t + 0.000000244346 * t * t * t ) //Mittl. Anomalie Mond
  f = FN r(1.627903 + 8433.46615812 * t - 0.00006109 * t * t - 0.000000005236 * t * t * t) //Mittl. Distanz Mond aufst. Mondknoten
  af = FN r(2.182429 - 33.757044872 * t + 0.000036303 * t * t + 0.00000003491 * t * t * t) // Mittl. Länge aufsteigender Mondknoten
  REM NUTATION IN LÄNGE
  nu = (-172000 - 174 * t) * SIN(af) + 2070 * SIN(2 * af) + (-13000 - 2 * t) * SIN(2 * f - 2 * d + 2 * af) + (1400 - 3 * t) * SIN(ll)
  nu = nu + (-520 + 1 * t) * SIN(ll + 2 * f - 2 * d + 2 * af) + (220 - 1 * t) * SIN(-ll + 2 * f - 2 * d + 2 * af) + 130 * SIN(2 * f - 2 * d + af)
  nu = nu - 2274 * SIN(2 * f + 2 * af) + 710 * SIN(l) - 390 * SIN(2 * f + af) - 300 * SIN(l + 2 * f + 2 * af) - 160 * SIN(l - 2 * d) + 120 * SIN(-l + 2 * f + 2 * af)
  nu = nu / 10000
 REM NUTATION IN SCHIEFE
nu1=(92000+9*t)*COS(af)-895*COS(2*af)+5700*COS(2*f-2*d+2*af)+220*COS(ll+2*f-2*d+2*af)+980*C OS(2*f+2*af)
  nu1=nu1/10000
RETURN
PROCEDURE bes
  jdn = 2451545 + 365.25 * ((a4 + 0.5) - 2000)              //JULIAN. DATUM DER JAHRESMITTE
  pd = (0.00009717121 * SIN(ar) / COS(dm)) * t4  //PRÄZESSIONRATE IN t4 JAHREN AB EPOCHE jdep
  REM lms,ms,ls = geometr. mittl. Länge der Sonne, mittl. Anomalie der Sonne, geometr. wahre Länge der Sonne
  lms = FN r(4.895063 + 628.33196666 * t + 0.00000528835 * t * t)
  ms = FN r(6.24006 + 628.3019553 * t - 0.000002618 * t * t )
  c = (0.03342 - 0.00008378 * t) * SIN(ms) + 0.00035 * SIN(2 * ms) //Mittelpunktsgleichung
  ls = FN r(lms + c)
  e = 0.016709 - 0.000042 * t - 0.00000012 * t * t //Exentrizität Erdbahn
  pe = FN r(FN rad(102.94 + 1.7195269 * t + 0.000007902 * t * t + 0.0000000582 * t * t * t)) //Perihelion Erde
  v = FN r(ms + c) //wahre Anomalie
  rs = 10 ^ (((3040 - 15 * t) + (-727600 + 1810 * t) * COS(ms) + (-9090 + 50 * t) * COS(2 * ms)) / 100000000)
 //Radiusvektor Erde-Sonne in AE
  REM BESSELSCHE TAGESZAHLEN A,B,C,D ------
  ju = FN rad(34.3515 + 3036.3027889 * t + 0.000005236 * t * t)
  sa = FN rad(50.077 + 1223.5110141 * t + 0.0000056636 * t * t)
  to = (jdbe - jdn) / 365.25              //JAHRESBRUCHTEIL
  REM BESSELSCHE TAGESZAHLEN A,B,C,D (=aa,bb,cc,dd) IN BOGENSEKUNDEN
  aa = 20.043 * to + SIN(ec) * nu  //A
  bb = -nu1  //B
  cc = -20.4955 * COS(ls) * COS(ec) - 0.008 * COS(f + af) - 0.0086 * COS(ju) - 0.002 * COS(sa) + 20.4955 * e * COS(ec) * COS(pe) //C
  dd = -20.4955 * SIN(ls) - 0.008 * SIN(f + af) - 0.0086 * SIN(ju) - 0.002 * SIN(sa) + 20.4955 * e * SIN(pe) //D
  REM KORREKTION DES POSITIONSWINKELS FÜR PRÄZESSION, NUTATION UND ABERRATION
  a = SIN(ar) * TAN(dm)  //BESSELSCHE STERNKONSTANTEN
  b = COS(ar) * TAN(dm)
  c = COS(ar) / COS(dm)
  d = SIN(ar) / COS(dm)
  pk1 = cc * b + dd * a  //ABERRATION
  pk2 = aa * d + bb * c //PRÄZESSION + NUTATION
  pk = pk1 + pk2
  pd1 = 0.000097171206 * d * t4  //PRÄZESSIONSRATE IN t4 JAHREN AB EPOCHE jdep
  pd2 = pd1 + FN rad(pk / 3600) - 0.000097171206 * d * to //KORREKTION DES POSITIONSWINKELS (p+pd2) FÜR PRÄZESSION + NUTATION
  c1 = -(ro * (TAN(ec) * SIN(dm) + SIN(ar) * COS(dm))) / 206264.806
  d1 = (ro * COS(ar) * COS(dm)) / 206264.806
  da = (c1 * cc + d1 * dd)          //ABERRATION IN WINKELDISTANZ
RETURN
PROCEDURE refrak
  k = 0.0002927305 * (mb / 1013.33) * (273.15 / (273.15 + tem))
  tw = FN r(osz - ar)   //tw=STUNDENWINKEL, osz = ORTSSTERNZEIT"
  z = ACOS(SIN(geob) * SIN(dm) + COS(geob) * COS(dm) * COS(tw))         //ZENITDISTANZ
  x = (SIN(geob) * COS(dm) - COS(geob) * SIN(dm) * COS(tw)) / SIN(z)
  y = COS(geob) * SIN(tw) / SIN(z)
  et = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)             //PARALLAKTISCHER WINKEL
  o = ATN(TAN(z) * SIN(et) * TAN(dm))
  REM KORREKTION FÜR POLARKOORDINATEN -----------------------
  d1 = do + do * k * (1 + COS(ps - et) ^ 2 * TAN(z) ^ 2)          //d1=VON REFRAKTION BEFREITE DISTANZ
  p1=FN r(po-k*(TAN(z)*SIN(et)*TAN(dm)+COS(ps-et)*SIN(ps-et)*TAN(z)^2))           //p1=VON REFRAKTION BEFREITER POSITIONSWINKEL
  REM KORREKTION FÜR KARTESISCHE KOORDINATEN x,y-----------
  REM  do=SQR(xo*xo+yo*yo)
  REM  dx=do*k*((COS(ps-et)*SIN(et)*TAN(z)^2+SIN(ps-o)/COS(o))/COS(dm)) !dx=DIFFERENTIELLE REFRAKTION IN AR
  REM  dy=do*k*(COS(ps-et)*COS(et)*TAN(z)^2+COS(ps-o)/COS(o)) !dy=DIFFERENTIELLE REFRAKTION IN DEKLIN:
  REM  x=xo+dx
  REM  y=yo+dy
  REM  d1=SQR(x2*x2+y2*y2) !DISTANZ ('')
  REM  x1=x/d1
  REM  y1=y/d1
  REM  p1=FN r(ATN(x1/(1+y1))*2) //POSITIONSWINKEL (rad)
RETURN

Selbstanfertigung eines Fadenkreuzes zum Aufkleben auf  die Okularblende. 2 feine Kupferdrähte einer kleinen Relaisspule, 0.02 mm Widerstandsdraht, Spinnen-, Quarzfäden oder aus flüssigem Klebstoff (no Gel) gezogene Fäden, sind ebenfalls für die Herstellung eines Fadenkreuzes geeignet. Ring eines 10-20 mm Huygens-Okulars abschrauben, untere Linse (man merke sich unbedingt die plane bzw. konvexe Linsenlage in der Fassung) mit Abstandsring herausnehmen, Fadenkreuz auf die als Blende dienende Unterlegscheibe befestigen.
Konstruktion: Unterlegscheibe auf einen Bogen DIN A 3 Papier legen. Inneren und äußeren Ring der Unterlegscheibe mit Kugelschreibermine umfahren und auf dem Papier abbilden. Durch die genaue Mitte der Ringabbildung ein exakt rechtwinkliges Kreuz mit etwa 10-20 cm Achsenlänge zeichnen. Unterlegscheibe und Abbildung exakt zur Deckung bringen und arretieren. 4 Stecknadeln in 10-20 cm Abstand am Ende der 4 Achsen befestigen. Faden an den gegenüberliegenden Nadeln befestigen und entlang des eingezeichneten Kreuzes spannen. Faden auf der Unterlegscheibe mit etwas Klebstoff befestigen.
Auf die Fäden evtl. einen hauchdünnen Belag aktiver Leuchtfarbe auftragen. Fäden am Unterlegscheibenrand abschneiden und Okular zusammenbauen.
Fertige Mikrometerplättchen sind zudem von der Mikroskop-Abt. der Optischen Werke Carl Zeiss o.a. erhältlich.
Ringmikrometer werden heute nicht mehr hergestellt (evtl. Unterlegscheibe einer kleinen Schraube auf Glas kleben).

Niemals direkte Sonnenbeobachtungen mit Folien anstellen, auch nicht mit Glasfiltern, die im Strahlengang liegen und unter der Hitzeentwicklung des Brennpunktes sehr leicht zerspringen, auch Objektivfolienfilter sind abzulehnen - das Auge erblindet sonst für immer.
Statt dessen projiziert man sicherheitshalber das Sonnenbild auf einen Projektionsschirm oder eine Dialeinwand (auch hier Vorsorge treffen, dass der brennendheiße Strahlengang keinen Feuerschaden anrichten kann).

Farbgläser u. Objektivfilter für die Sonnenbeobachtung: M. Schwab, Neues Objektiv-Sonnenfilter aus Glas, Sterne und Weltraum, Heft 1/1990, S. 51 und 2/1995, S. 111], z. B. der Jena'er Glaswerkes Schott & Gen., Mainz).
Die folg. beschriebenen einfachen Messeinrichtungen basieren auf Differenzmessungen mit Zeitnehmern am ruhenden, vibrationsfrei aufgestellten Fernrohr.

Messungen mit der Stoppuhr-Methode. Kleinquarz-Stoppuhren sind mechanischen Stoppuhren weit überlegen (keine Ölverharzung der Zahnräder usw.) und daher vorzuziehen. Digitale Anzeige auf 0.01 Sek., obwohl man mit der Stoppuhr-Methode so genau nicht messen kann.
Eine Quarz-Stoppuhr wird von einem außerordentlich frequenzbeständig schwingenden Quarzkristall gesteuert. Genauigkeit 0.001 Sek. pro Tag. Dennoch sollte der Gang bei unterschiedlichen Temperaturen am Zeitzeichensignal auf Genauigkeit überprüft werden (evtl. Temperatureinwirkung auf den Messwert durch Ausgleichsrechnung bestimmen - siehe Lineare Regression).
Das Prinzip wandte der Mondforscher J. Schmidt bereits vor 100 Jahren an, der Schattendurchgangszeiten von Mondbergen an den Füntelsekundenschlägen einer Taschenuhr bestimmte.

Die Dauer der Reizleitung Auge-Hand (Stoppuhr) oder Auge-Ohr (Zeitzeichensignal) verursacht einen durchschnittlichen ZeitMessfehler von 0.08 (=Auge-Ohr-Methode) bis 0.3 Sek. (Stoppuhr-Methode). Die Reaktionszeit bezeichnet die persönliche Gleichung (p.Gl.), die sich zusammensetzt aus Reaktionszeit + Verzögerung der Stoppuhrmechanik. Da man in der Regel verzögert reagiert, ist die p. Gl. vom Messergebnis zu subtrahieren. Die p. Gl. ist immer mit derselben Stoppuhr und Methode zu bestimmen.

Die Stoppuhr-Methode nutzt den scheinbaren Himmelsumschwung von Osten nach Westen. Zwischen zwei Ortsmeridiandurchgängen eines Sterns vergeht 1 Sterntag (= 23h56m04.09054s mittl. Sonnenzeit). Stoppuhren zeigen mittlere Sonnenzeitsekunden an, die mit dem Faktor 1.0027379093 multipliziert mittlere Sternzeitsekunden ergeben (23h56m04.09054s mittl. Sonnenzeit * 1.0027379093 = 24h Sternzeit).
Ein Äquatorstern (Deklination des Sterns = 0 Grad) bewegt sich daher pro Sternzeitsekunde um 15'' weiter (15''=360 Grad mal 3600''/86400 Sek.). Da die Sterne konzentrisch um den Pol kreisen, verlangsamt sich die Bewegung mit zunehmender Deklination.
Ein Stern mit 50 Grad Deklin. bewegt sich pro Sternzeitsekunde um den Winkelbetrag: 15'' * cos(50/57.2957795) = 9.6418''/Sek. (50 Grad in RAD = 50/57.29577951308 = 0.872664626 rad).
An den Polen des Himmelsäquators ist die Winkelgeschwindigkeit = null (cos 90 Grad = 0). Bei still stehendem Fernrohr beträgt die Durchgangszeit in Sternzeitsekunden (ds) demzufolge: ds=S*1.0027379093 (S=gestoppte Zeitsek. mittl. Sonnenzeit).
Durchgangszeit in Bogensekunden: d''=ds*15'', oder genauer: d''=DEG(ASIN(SIN(RAD(ds*15/3600))* COS(dek)) *3600; dek = jeweilige Deklination.

Auf dieselbe Weise kann der Fadenabstand bzw. Schraubenwert eines Mikrometers oder der Skalenwert eines Mikrometerplättchens bestimmt werden. Deklinationsfaden des Fadenkreuzes oder Skala so ausrichten, dass ein Stern ohne erkennbare Abweichung auf dem Faden oder Markierung entlang läuft.

Sternübergang von einem festen Faden zum anderen oder Skalenincrement 5-15 mal stoppen, Abstände arithmetisch mitteln (die addierten Messungen durch die Anzahl teilen) und den mittl. Fehler des Mittelwertes bestimmen (s. Lineare Regression). Entsprechend ergibt sich der wahre Gesichtsfelddurchmesser eines Teleskops bei Verwendung verschiedener Okulare.
Finden Teilungen (z. B. 1 cm oder 0.2 cm in 100 Teile) Verwendung, ist die Länge der Skala (s) in Winkelmaß (w) ausgedrückt: w=(180/PI)*3600*(s/F). F=Brennweite des Fernrohrobjektivs. Bei s=10 mm und F=2000 mm, wird w=1031.32403''=206264.806247*(10/2000). Teilung 100 = 1 Teilstrich = d'' 10.31324''.

Der formelmäßig bestimmte Winkel (w) kann von Okularbauart und Brennweitenangabe abhängen, so dass man den genauen Skalenwert besser durch zahlreiche Messungen empirisch bestimmt (Vergleichsmessungen mit Stoppuhr-Methode oder Objektivgittermikrometer, Eichungen an genau berechneten Stern- bzw. Doppelsterndistanzen usw.).
Barlowlinse, Zenitprisma o.a. können die Primärbrennweite verändern; die genaue Brennweite eines optischen Systems (primäre oder effektive Brennweite) ergibt sich bei bekannter Distanz d'' aus: 206264.806247''/ 1 Teilstrich d'' 10.31324'' (oder d'' mittels Mikrometer oder Stoppuhr-Methode bestimmen) = Brennweite 2000.00 mm

Zeitdifferenz-Mikrometer - Fadenkreuzmessungen. Mit einem Fadenkreuz sind Positionswinkel und Distanzen bereits zu messen (Fig. 4a). Gezeichnete Positionswinkelscheibe großen Radius (Teilung 0.5 mm = 0.1 Grad bei Radius 286.47889 mm = 0.5*180/PI*0.1) am Okularauszug befestigen. Da die Positionswinkelanzeige dem Winkel der Okulardrehung entspricht, sollten zwei am Okular ansteckbare Zeiger exakt 0 (=Norden) und 180 (=Süden) anzeigen, wenn sich ein Stern auf einem der Fäden scheinbar entlang bewegt. Um Exentrizitätsfehler auszuschließen, muß der Mittelpunkt der Positionswinkelteilung und der des Okularstutzens exakt zusammenfallen.

Der fortgeschrittene Amateurastronom wird auch Messungen anstellen wollen, die vielleicht weniger wissenschaftlichen jedoch sicher beachtlichen didaktischen Wert haben, zudem wächst auch mit reifendem Wissen u. Können die Freude u. Befriedigung an einer ernsthaften wissenschaftlich-produktiven Tätigkeit.

Der Positionswinkel (P), den z. B. die Rotationsachse (Sonne, Mars, Saturn) oder eine Doppelstern- Komponente mit der irdischen Nord-Süd-Richtung bildet, ist einfach zu messen, da man lediglich ein Fadenkreuzokular und Positionswinkelkreis benötigt.
Der Positionswinkelkreis ist einfach herzustellen. Man wähle ein gegen Witterungseinflüsse (Temperatur, Feuchtigkeit usw.) möglicht unempfindliches Material.                                                                                                  
Eine Scheibe mit etwa 400 mm Durchmesser besitzt einen Umfang von 400*PI = 1256.637 mm /360 Grad = 3.4906 mm pro Grad / 2 = 1.7453 mm pro 0.5 Grad. Auf die Scheibe wird lediglich das rechtwinklige Achsenkreuz gezeichnet. Die Achsen müssen exakt rechtwinklig und die Kreuzmitte genau durch den Mittelpunkt der Scheibe verlaufen, um grobe Mess- bzw. Exentrizitätsfehler auszuschließen. Schließlich ist der mit einem Zirkel um den Mittelpunkt der Scheibe im Durchmesser des Okularauszuges (Querschnitt) gezogene Kreis auszusägen, um die Messscheibe am Okularauszug befestigen zu können.
Am Okular befestigt man Zeiger (evtl. Draht), die exakt in der Nord-Süd-Richtung auszurichten sind. Der senkrechte Stundenfaden des Fadenkreuzokulars liegt exakt in der Nord-Süd-Richtung, wenn ein Stern längere Zeit ohne kleinste Abweichung auf dem Querfaden entlang »läuft«.
Der am Okular angebrachte Zeiger (oder zwei gegenüberliegende Zeiger) muß mit dem Achsenkreuz des Fadenkreuzokulares möglichst präzise übereinstimmen, da die exakte Nord-Süd-Ausrichtung der großen Messscheibe von der präzisen Nordlage der Zeiger abhängt. Die Eichung der Messvorrichtung wird am besten durch Probemessungen an Sternen mit genau berechnetem Postionswinkel vorgenommen.                                                                      Den genauen Sternort (scheinbare Rektaszension
a und Deklination d, wahres Äquinoktium des Datums) liefert der Globus. Nachfolg. Progr. liefert Distanz D zweier Sterne (A,B) u. ihre Positionswinkel pwA u. pwB. Der Positionswinkel mißt stets ab Norden entgegen dem Uhrzeigersinn 0° bis 360°. Die Eichsterne sollten in nicht in allzugroßer Distanz D liegen und sich hoch über dem Horizont befinden, um den Einfluß der Refraktion zu reduzieren.

REM GFA-PROGR. Positionswinkel (pwA, pwB) u. Distanz (D) zweier Sterne
DEFFN vollkreis(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * 2 * PI
rad = 1 / 57.2957795
REM Eintrag Grad, Bogenminuten, Bogensekunden ----
ar1 = rad * (170 + 31 / 60 + 12.22 / 3600)  // Rektaszension Stern A
dek1 = rad * (10 + 15 / 60 + 21.23 / 3600)  // bei nördl. (+) Deklination Stern A
dek1 = rad * (-3 - 15 / 60 - 10.23 / 3600)  // bei südl. (-) Deklination Stern A
ar2 = rad * (170 + 37 / 60 + 1.22 / 3600)   // Rektaszension Stern B
dek2 = rad * (10 + 21 / 60 + 11.23 / 3600)  // bei nördl. (+) Deklination Stern B
REM dek2 = rad * (-3 + 27 / 60 + 15.23 / 3600)  // bei südl. Deklination (-) Stern B
REM -----------------------------
D1 = ACOS(SIN(dek1) * SIN(dek2) + COS(dek1) * COS(dek2) * COS(ar2 - ar1))
x = (COS(dek2) * SIN(ar2 - ar1)) / SIN(D1)
y = (SIN(dek1) * COS(dek2) * COS(ar2 - ar1) - COS(dek1) * SIN(dek2)) / SIN(D1)
IF y =< -1 THEN
  pwA = 180
ELSE
  pwA = (FN vollkreis(ATN(x / (1 + y)) * 2)) / rad
ENDIF
D = D1 / rad
pwB = 360 - pwA
PRINT D,pwA,pwB  //Gradmaß
KEYGET STOP%
END

Nach Eichung und Arretierung der Positionswinkelscheibe in die äquatoriale Nord-Süd-Richtung, dreht man das Fadenkreuzokular mit den Zeigern so, dass der senkrechte Faden (Stundenfaden) in die Ebene des Zentralmeridians des Gestirns liegt und der waagerechte Faden (Deklinationsfaden) somit parallel zur Äquatorebene verläuft. Da Oberflächendetails sich etwa parallel zur Äquatorebene bewegen, kann man diese zur richtigen Orientierung des Fadenkreuzes heranziehen (Deklinationsfaden durch zwei Punkte gleicher Breite am West- u. Ostrand).

Mit dem Lineal, Maßband oder digitalem Messschieber wird der lineare Abstand (Sehne) “s” (Fig. 2) der Zeigermarkierung ab dem Nord-Süd orientierten Achsenkreuz am Scheibenrand(!) gemessen. d400 mm Scheibendurchmesser (Mittelwert einiger Durchmesserbestimmungen) s=30.23 mm linearer Abstand (Sehne) der Randmarkierungen: Positionswinkel P 8.67° =ARCSIN(s/d)*2.              

Nach jeder einzelnen Messung läßt man das Objekt wieder auf dem Querfaden entlang laufen und überprüft auch die exakte Übereinstimmung der Zeiger mit dem Achsenkreuz der Scheibe, da Dezentrierungen leicht vorkommen (helle Sterne, Venus oder Merkur sind auch bei Beobachtungen am Tageshimmel leicht einzustellen). Das Resultat P ist der Mittelwert aus 5 oder 10 Messungen. Mit größerem Scheibendurchmesser wird das Messergebnis genauer. Bei einer Scheibe mit 40 cm Radius macht ein Messfehler von 3 Millimeter theoretisch etwa ±0.5° aus.                                                       
Die Photographie liefert allerdings genauere Ergebnisse, da die umständliche Eichung der Messscheibe entfällt und das  Bild am Schreibtisch in Ruhe auszumessen ist. Durch Okularprojektion wird das äquatorial ausgerichtete Fandenkreuz mit dem Objekt auf Filmmaterial oder digitalem CCD-Chip abgebildet. Gemessen wird in Bezug auf den scheinbaren Mittelpunkt (z. B. scheinbarer Planetenmittelpunkt oder Hauptstern bei Doppelsternen), so dass die Fadenkreuzmitte (oder die parallel dazu liegenden Achsen) damit übereinstimmen müssen. Bei abgeschaltetem Fernrohrantrieb, entstehen zudem Sternspuren auf Aufnahmen, die die transversale Nordrichtung markieren.  

Das folg. Progr. liefert den Positionwinkel (pw) der solaren Rotationsache aus Punkten auf der an Sonnenflecken eingemessenen Zentrallinie (Fig. 3). Die kartesische Rechteckkoordinate x ist nach Westen positiv, nach Osten negativ, y nach Norden positiv, nach Süden negativ.

REM KARTESISCHE RECHTWINKLIGE 2-D (x,y) KOORDINATEN IN
REM POLARKOORDINATEN (DISTANZ d, POSITIONWINKEL pw)
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI) //RAD in Gradmaß
INPUT x,y
d = SQR(x * x + y * y)
x1 = x / d
y1 = y / d
pw = ATN(x1 / (1 + y1)) * 2
PRINT d,FN deg(pw)
KEYGET STOP%
END

Bei sehr kleinen Winkeldistanzen kann das sphärische Dreieck (Fig. 4a, 4b) gehnähert als ebenes rechtwinkliges Dreieck behandelt werden. Die folg. Methode setzt allerdings die Kenntnis des Positionswinkels (p) voraus. Winkeldistanz- und Positionswinkelmessungen zweier Punkte (A,B) an der scheinbaren Himmelskugel (z. B. Doppelstern, Satellit): Okular in der Steckhülse so drehen, dass ein Faden durch Hauptstern (A) und Komponente (B) verläuft, dann den Positionswinkel (p) der Komponente ablesen (Fig. 4b).

Daraufhin dreht man das Okular so, dass der Hauptstern (A) ohne abzuweichen auf dem Faden entlang läuft (Fig. 4a). Dabei passieren A und B im zeitlichen Abstand (t) den senkrechten Nord-Süd orientierten Faden. Die mittels Stoppuhr bestimmte Zeitdifferenz (t=Sek.) ergibt die Winkeldistanz (d): d1=(15.041068''*t*COS(dek); d=d1/SIN(p); SIN(p)=d1/d; dek=0.5*(dekA+dekB) oder bei kleiner Distanz dek=dekA; dekA,dekB=scheinbare Deklination der Mitte der Orte A,B; p=Positionswinkel der Komponente.

Methode II: Positionswinkel und Distanz ergeben sich hier unmittelbar aus einer zweiten Messung. Ebene Trigonometrie. Satz des Pythagoras: d2=tc2-b'2; Kathetensatz: d=Å (tc*t); b'=Å (tc*t1). B-b'=tc=Hypotenuse, b'-A=Gegenkathete, B-A=d=Ankathete. Okular in der Steckhülse so drehen, dass ein Faden durch Punkt (A) und (B) verläuft (Fig. 4b). Punkt (B) durchläuft nun die Strecke der Hypotenuse B-b' in der Zeit tc. d2=(15.041068''*tc*COS(dek). Die zwei Messungen d1=t (Fig. 4a) und d2=tc (Fig. 4b) ergeben die Länge der Ankathete d und somit die gesuchte Winkeldistanz: d=SQR(d1*d2).
Der Positionswinkel ergibt sich aus arcsin(p)=d/d2; arcsin(p)=d1/d. Unbedingt den richtigen Quadranten der Messung beachten (Fig. 2): Positionswinkel (p) im Intervall 0<p<=360° ab Norden (p=0°) entgegen dem Uhrzeigersinn. Die Messung 5-10 mal wiederholen, mitteln u. den mittl. Fehler bestimmen.

REM GRFA6  PROGR. STOPPUHR
GOSUB stop1
PROCEDURE stop1
  fa = 0
  fb = 0
  PRINT AT(2,14); "STOPPUHR:"
  PRINT AT(30,14); "STOPP - TASTE >H< - ENDE TASTE >E<"
  REPEAT
  UNTIL INKEY$ <> ""
  fa = TIMER / 200
  WHILE fb < 100000
    fb = TIMER / 200 - fa
    PRINT AT(2,14);USING "STOPPUHR: #####.## SEK.",fb
    w3$ = UPPER$(INKEY$)
    IF w3$ = "H" THEN
      GOSUB stop1
    ENDIF
    IF w3$ = "E" THEN
      END
    ENDIF
  WEND
  fb = 0
RETURN

Das Fadenkreuz kann die Anfertigung von Oberflächenzeichnungen des Mondes oder eines Planeten sehr unterstützen; denn statt freihändiger ist eine auf Distanz- u. Dreiecksmessungen beruhende Zeichnung wesentlich exakter und naturgetreuer anzufertigen. Fig. 5.

Zur Triangulation (P1,P2,P3) Fadenkreuzokular und Fernrohr so drehen, dass ein Faden exakt durch P1 und P2 verläuft, wodurch sich der Positionswinkel von P1 zu P2 bzw. P2 zu P1 ab Norden ergibt (bei parallakt. montiertem Fernrohr). Positionswinkel aller Punkte auf dieselbe Weise bestimmen. Die Positionswinkeldifferenzen ergeben die Winkel bei P1 zu P2 und P3, bei P2 zu P1 und P3, sowie bei P3 zu P1 und P2, die die gegenseitige Lage u. Entfernung der Punkte eindeutig festlegen.
Die genaue Entfernung zweier Punkte der Mondoberfläche, ergibt sich durch die Bestimmung ihrer selenographischen Breite und Länge.  Auf einem selenographichen Großkreisbogen entspricht 1°: Mondradius (1738 km *PI)/180° = 30.33338 km.
Mißt man mit der Fadenkreuzteilung z. B. eine Strecke von 10.2 mm, wobei 1 mm der Teilung 10.234´´ entspricht, und der Globus gibt eine topozentrische Entfernung des Mondareals (selenograph- Breite/Länge des Terrain) von 379567 km, beträgt die gemessene lineare Entfernung der zwei Punkte: ((10.234``*10.2 mm)/206264.806)*379567 km = 104.3868´´ entsprechen linear 192.09 km der Mondoberfläche.  Im Bogenmaß 1°  30.33338 km * 6.33576° = ARCSIN(192.09/3476 Monddurchm.)*2 = 192.185 km.

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