Einzeichnung von Positionen und Gradnetzen auf Feldsternaufnahmen

Vorgegeben werden Brennweite der Kameraoptik (F), Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsfaktor (V), Skalierung (ska), Rektaszension, Deklination des Plattenmittelspunktes (A,D) und Intervall des Gradnetzes (inc).

Erarbeitet man sich einen eigenen photographischen Himmelsatlas, geplottetes Gradnetz bestimmter Deklinationzonen auf Zelluloid fotokopieren und als Gradnetzschablonen verwenden (vgl. Gradnetzschablonen des Atlas Stellarum und Falkauer Atlas).

Oberfläche der scheinaren Himmelskugel (4*PI*57.29578^2 =) 41252.961 Quadratgrad. Auf 50 Grad nördlicher geographischer Breite sind sämtliche Sterne der Deklin. <-40 Grad zirkumpolar. Der Kugelabschnitt südlich von 40 Grad Deklination umfaßt 13420 Quadratgrad, so daß auf 50 Grad n. B. etwa 27832 Quadratgrad sichtbar sind.

[r=1 RAD 57.29578, Kugeloberfläche o=PI*4*r^2, Deklination Zirkumpolarkalotte d=RAD(40), h=r-r*SIN(d),rho=SQR(2*r*h-h^2), Oberfläche des Kugelabschnitts ok=PI*(2*rho^2+h^2)].

Eine Kleinbildkamera mit 50 mm Objektiv bildet ein Sternfeld von 27.5x41.3 Grad = 1135.75 Quadratgrad ab [(24 mm/50 mm)*57.29578 = 27.5 Grad, (36/50)*57.29578 = 41.3 Grad]. 27832 / 1135.75 = 24.5. Um den hier sichtbaren Sternhimmel photographisch zu erfassen reichen theoretisch 25 Aufnahmen (mit 200 mm Teleobjektiv und 6.9x10.3 Grad Bildfeld reichen etwa 424 Aufnahmen - geringfügige Überlappungen der Aufnahmeregionen nicht einkalkuliert). Näheres ist der einschlägigen Literatur über Astrophotographie, Reproduktions- bzw. Vergrößerungstechnik zu entnehmen.

Nicht nur Gradnetze, auch die Sternbildergrenzen sind auf eigenen Astro-Aufnahmen einzeichenbar, ebenso der Bahnverlauf von Kometen u. Kleinplaneten. Astrometrische Kometen- oder Planetoidenpositionen dürften genau genommen nur auf Sternfeldaufnahmen des Datums der Objektposition eingezeichnet werden, da Sternpositionen mit Eigenbewegung, jährl. Parallaxe (Lichtablenkung vernachlässigbar) und Refraktion behaftet sind. Hinsichtlich dieser Positionsanteile gilt daher stets der Belichtungszeitpunkt. Bei nicht zu hoher Deklination und kleinem Durchmesser des Sternfeldes, ist der Anteil für Präzession, Nutation und Aberration für alle Objekte nahezu gleich. Bei F=50 mm Kamerabrennweite macht 1'' des Sternhimmels ohnenhin nur 0.0002424 mm auf dem Film aus, so daß daher die Differenz in Eigenbewegung, jährliche Parallaxe, Aberration usw. der Sterne zwischen Positionsdatum des Objekts und Aufnahmedatum des Sternfeldes nicht ins Gewicht fallen (die Eigenbewegung der meisten Sterne liegt unter 0.01'' pro Jahr, jährliche Parallaxe <0.1'').

Da bei effektiven Kamerabrennweiten um F=200000 mm (F=1000 mm * 200fache Vergrößerung) 1'' = 0.9696 mm ausmachen, sind die genauen scheinbaren Örter, Äquinoktium Mitte der Belichtungszeit, zu berechnen.

Beispiel anhand des photographischen Atlas Stellarum. Die Kartenblätter des Atlas Stellarum 1950.0 (Dr. Vehrenberg KG, Schillerstr. 17, Düsseldorf) beruhen auf Kameraaufnahmen (Sonnefeld-Vierlinser der Carl Zeiss-Werke) mit 120 mm Öffnung und 540 mm Brennweite.  F=540 mm entsprechen 1'' am Himmel = 0.0026179938 mm auf dem Originalnegativ.

Die Karten des Atlas sind gegenüber dem Originalnegativ um den Faktor V=3.183098861 vergrößert, wenn man den angegebenen Maßstab 1 mm = 120 Bogensekunden zugrunde legt. Die effektive Brennweite (r) beträgt daher F=540*V = r=1718.873385 mm. 1/(r=1718.873385 mm/206264.806'') = Masstab der Karten 1 mm = 120'' (=2').

Blatt Nr. 268 Cet des Atlas wurde am 28.11.1969 in der Zeit von 19h02m - 19h22m UT belichtet (einzelne Karten sind vom Verlag Dr. Vehrenberg KG, Düsseldorf, erhältlich). Mittelpunkt der Aufnahme: D=-20 Grad Deklin., A=0h20m0s AR (= 5 Grad AR), Äquinoktium B1950/FK4.
Aufnahmemitte für J2000/FK5: Deklin. D = -19°43'22.05'', A= 0h22m31.534s AR, Äquinoktium J2000/FK5.

Astrometrische Kometen- oder Planetoidenbahnen (ar=AR, d=Deklin.) können mit folg. Formeln (r=1718.873385 mm) auf Kartenblätter des Atlas Stellarum (oder nach Berücksichtigung der Aufnahmeparameter [F,V,ska,D,A] auf jede Himmelsaufnahme) eingezeichnet werden. Strenge Standardkoordinaten X,Y:
z=ARCTAN(TAN(d)/COS(ar-A))
X=-r*((COS(z)*TAN(ar-A))/COS(z-D))
Y=r*TAN(z-D)
Der Entwurf ist eine rein geometrische Projektion der Sphäre auf die Tangentialebene transversal zur optischen Achse (gnomonische Projektion). Prinzipiell ist damit die Aufgabe gelöst. Diese Standardformeln genügen den meisten Anforderungen; denn bei größerem Bildfeld werden allenfalls randnahe Korrekturen notwendig, da die Maßstabtreue zum Plattenrand hin bei zunehmender Verzeichnung abnimmt.

Um direkte Zeichnungen auf den Karten zu vermeiden,  wird der Bahnverlauf eines Kometen oder Planetoiden auf ein Bogen Papier eingezeichnet, punktet einige Orientierungssterne nahe der Bahn ein und fotokopiert die Zeichnung auf Overheadfolie oder Transparentpapier. Die eingepunkteten Sterne der Bahnschablone mit den entsprechenden Sternen der Karte zur Deckung bringen.

REFERENZSTERNE J2000/FK5 AUF DER KARTE NR. 268 CET DES ATLAS STELLARUM 1950.0 (gemessene x,y=Millimeterwerte der Sterne ab Koordinatenkreuz der Karte 268 Cet):

1) AR    00h07m46.923s   pm  0.0053s ,  x= 102 mm,  Deklin. -22°30'30.96''  pm -0.035'' , y = - 85   mm
2) AR    00h06m24.982s  pm  0.0012s ,  x= 115 mm,  Deklin. -18°02'17.81''  pm -0.035'' , y =  48.6 mm
3) AR    00h17m08.883s  pm  0.0025s ,  x=  39  mm,  Deklin. -15°39'27.94''  pm  0.017”, y = 121.2 mm
4) AR    00h34m45.931s  pm -0.0013s ,  x= -83.5 mm, Deklin. -24°31'40.79'' pm -0.006'', y = -144.2 mm
5) AR    00h30m45.105s  pm  0.0006s ,   x = -58.6 mm, Deklin. -17°42'54.03''  pm  0.004'', y =  59.5 mm
BETA CETI DENEB KAITOS:
6) AR    00h43m35.372s  pm  0.0164s ,  x=-150.2 mm,  Deklin. -17°59'11.82'' pm  0.032'', y=  49.2 mm
7) AR    00h30m22.661s  pm -0.0018s ,  x= -53.9 mm, Deklin. -23°47'15.72'' pm  0.013'', y = -122   mm
8) AR    00h24m49.643s  pm -0.0006s ,  x= -16.2 mm, Deklin. -18°28'18.66''  pm -0.059'', y=  37   mm
9) AR    00h18m16.954s pm -0.0001s ,  x=  29.5 mm, Deklin. -21°08'18.22''  pm -0.001'', y= -42.4 mm
10) AR   00h20m02.973s  pm  0.003s ,  x=  17.8 mm, Deklin. -17°42'01.67'' pm -0.008'', y=  60.2 mm

Das folg. Programm zeichnet ein Standardgradnetz in Sternfeldaufnahmen. Beispiel: Karte 268 CET des Atlas Stellarum für das Äquinoktium J2000/FK5. Die 10 oben angeführten Referenzsterne, Äquinoktium J2000/FK5, werden eingepunktet. Die 10 Sterne für Präzession auf das Äquinoktium B1950/FK4 reduziert, ergibt das Gradnetz des Äquinoktiums B1950.0 der Karte (Aufnahmemitte: Deklin. -20 Grad, AR 0 h20m0s/Äquinoktium B1950, FK4).

OPENW #1,200,200,640,400,1
REM GFA42 STANDARDGRADNETZ DER KARTE 268 CET DES ATLAS
REM GFA-BASIC FÜR WINDOWS 3.1/95/98
REM ATLAS STELLARUM, Äquinoktium J2000
xo = 320 //GRAPHIKFLÄCHE 640x400/2
yo = 200 //xo,yo KOODINATENMITTE
LINE xo,0,xo,yo * 2
LINE xo - 20,yo,xo + 20,yo  //AUFNAHMEMITTE
REM LINE 0,200,640,200
r = 1718.8733 //EFFEKTIVE BRENNWEITE MAL VERGRÖSSERUNG F*V (MILLIMETER)
ska = 1  //SKALIERUNG
do = -(19 + 43 / 60 + 22.05 / 3600) //EINTRAG DEKLIN. AUFNAHMEMITTE J2000/FK5
aro = RAD((0 + 22 / 60 + 31.534 / 3600) * 15) //EINTRAG AR AUFNAHMEMITTE J2000/FK5
IF do > 0 THEN
  s = -1
ELSE
  s = 1
ENDIF
inc = RAD(1)  //GRADNETZ-INTERVALL 1 GRAD
net = ABS(do) + 10
IF net >= 70 THEN
  net = 89.999999999
ENDIF
net = RAD(FIX(net))
do = RAD(do)
ne = RAD(10)  //SEKTORGRÖSSE IN AR FESTLEGEN 0-90 GRAD
ne1 = RAD(40) //SEKTORGRÖSSE IN DEKLIN. FESTLEGEN 0-180 GRAD
inc = inc * s   //DAZU r=200 setzen
net = net * s
ne1 = ne1 * s
j = 1
FOR ar = net - ne TO -net - inc + ne STEP -inc
  j = 1
  FOR d = net - ne1 TO -net - inc STEP -inc
    GOSUB netz  //GRADNETZ
  NEXT d
NEXT ar
j = 1
FOR d = net - ne1 TO -net - inc STEP -inc
  j = 1
  FOR ar = net - ne TO -net - inc + ne STEP -inc
    GOSUB netz
  NEXT ar
NEXT d
anz = 11 //ANZAHL 10 EINZUPUNKTENDE STERNE/ NR. 11 = PLANETOID CERES AM 5.9.1988, 1H04M14S UT
flag = 1
FOR i = 1 TO anz
  READ n,d,ar,mag
  d = RAD(d)
  ar = RAD(ar)
  GOSUB netz
  PCIRCLE x,y,12 - mag
  TEXT x - 15,y - 15,n
NEXT i
KEYGET HALT%
END
PROCEDURE netz //STANDARDGRADNETZ
  co = COS(ar - aro)
  IF co = 0 THEN
    co = 1.0E-50
  ENDIF
  z = ATN(TAN(d) / co)
  IF z = 0 THEN
    z = 1.0E-50
  ENDIF
  co = COS(z - do)
  IF co = 0 THEN
    co = 1.0E-40
  ENDIF
  x = xo - r * ska * COS(z) * TAN(ar - aro) / co
  y = yo - r * ska * TAN(z - do - 1.0E-11)
  IF flag = 1 THEN
    GOTO ju
  ENDIF
  IF ABS(y) > 2000 OR ABS(x) > 2000 THEN
    x = 2000
    y = 2000
    PLOT x,y
  ENDIF
  IF j = 1 THEN
    j = 0
    PLOT x,y
  ENDIF
  IF x > -400 AND x < 720 AND y > -300 AND y < 800 THEN
    DRAW  TO x,y
  ELSE
    PLOT x,y
  ENDIF
  ju:
RETURN
REM 10 REFERENZSTERNE J2000/FK5 (Deklin. u. AR in GRAD) FÜR EIGENBEWEGUNG AUF DAS DATUM (28.11.1969, 19H22M UT) DER BELICHTUNGSMITTE DER KARTE 268 CET REDUZIERT, Nr. 11 = PLANETOID CERES
star:
DATA 1,-22.5083074,1.94484799,6.2,2,-18.03828055,1.60394121,7.4,3,-15.6579032,4.286699053,9.1
DATA 4,-24.527947,8.691542159,9.6,5,-17.7150417,7.687862,9.6,6,-17.9868841,10.8953271,2.04
DATA 7,-23.7870866,7.5946465,5.2,8,-18.471356,6.206921,7.1
DATA 9,-21.13838608,4.57065420432,6.8,10,-17.700397,5.01201136,6.7,11,-15.59278,3.971375,8
CLOSEW #1

Um etwaigige optische Verzeichnungen der Aufnahme- und Vergrößerungsoptik, differentielle Refraktion, Fehlorientierung des für die Ausmessung (x,y) der Anhaltpunkte verwendeten Koordinatenkreuzes, unterschiedliche Maßhaltigkeit von Original und Reproduktion usw. zu korrigieren, können die Plattenfehler nach der Methode der kleinsten Quadrate ausgeglichen werden.

Hierzu sind die gemessenen Rastereinheiten x,y lineare Funktionen der strengen Standardkoordinaten X,Y; d,ar, D,A = Deklination u. Rektaszension der Refernzsterne und Plattenmitte. Karte 268 CET.

z=ARCTAN(TAN(d)/COS(ar-A))
X=-((COS(z)*TAN(ar-A))/COS(z-D)) //strenge Standardkoordinaten
Y=TAN(z-D).

Bedingungsgleichung:
X=a*x+b*y+c,
Y=d*x+e*y+f.
z=ARCTAN(Y+D)
X,Y nach Bestimmung der Plattenkonstanten bzw. Koeffizienten a,b,c,d,e,.

Rektaszension Objekt a = A + ARCTAN(X*COS(z-D)/COS(z)); Deklination Objekt d = ARCTAN(TAN(z)*COS(a-A)).

Progr. ASTROGRAPH I oder II Eingabeparameter. Datum: 28.11.1969, Uhrzeit: 19h22m UT, Ephemeridenzeitkorrektion ÕT=39 Sek., Höhe über NN 1030 m, geographische Br. (Falkauer Tal, Schwarzwald) 48°30'00''(?), geograph. Länge 8°30'00''(?), Brennweite der Aufnahmekamera F=540 mm, Anzahl Referenzsterne 10, Aufnahmemitte A = 0h22m31.534s (pm=0), D = -19°43'22.05'' (pm=0).

Eingabe der auf oben aufgeführten 10 Referenzsterne. x1(i),y1(i)=x,y; x(i),y(i)=Standardkoordinaten X,Y. anz=n=Anzahl Bedingungsgleichungen.

REM AUSGLEICHSRECHNUNG NACH DER METHODE DER KL. QUADRATE (ASTROGRAPH I)
REM ------------- NORMALGLEICHUNG ------------
REM   n*c+[x]*a + [y]*b=[X]            n*f+[x]*d+[y]*e=[Y]
REM [x]*c+[xx]*a+[xy]*b=[xX]       [x]*f+[xx]*d+[xy]*e=[xY]
REM [y]*c+[xy]*a+[yy]*b=[yX]       [y]*f+[xy]*d+[yy]*e=[yY]
REM AKKUMULATION
FOR i=1 TO anz
xo=xo+x1(i)          //xo=[x]
yo=yo+y1(i)          //yo=[y]
xx=xx+x1(i)*x1(i)    //xx=[xx]
yy=yy+y1(i)*y1(i)    //yy=[yy]
xy=xy+x1(i)*y1(i)    //xy=[xy]
x1=x1+x(i)           //x1=[X]
y1=y1+y(i)           //y1=[Y]
xx1=xx1+x1(i)*x(i)   //xx1=[xX]
yx1=yx1+y1(i)*x(i)   //yx1=[xY]
xy1=xy1+x1(i)*y(i)   //xy1=[yX]
yy1=yy1+y1(i)*y(i)   //yy1=[yY]
xx2=xx2+x(i)*x(i)    //xx2=[XX]
yy2=yy2+y(i)*y(i)    //yy2=[YY]
NEXT i

Die ausgemessenen (x,y) und 10 Referenzsterne der Karte 268 CET des Atlas Stellarum, ergibt mittels der Least-Square-Fits des Progr. ASTROGRAPH I oder II folg. Plattenkonstanten: 
a=-1714.0543244
b=1.0229918
c=0.0644756
d=1.610003646
e=1708.633657
f=-0.227928308 (Koeffizienten nur für die ausgemessene Aufnahme gültig).

Das folg. Progr. zeichnet daraus ein ausgeglichenes Gradnetz in Sternfeldaufnahmen. Beispiel. Karte 268 CET des Atlas Stellarum für das Äquinoktium J2000/FK5. Die 10 angeführten Referenzsterne, Äquinoktium J2000/FK5, werden eingepunktet. Die 10 Sterne für Präzession auf das Äquinoktium B1950/FK4 entsprechend reduziert und ausgeglichen, ergibt das Gradnetz des Äquinoktiums B1950.0 der Karte (Aufnahmemitte: Deklin. -20 Grad, AR 0h20m0s).

OPENW #1,200,200,640,400,1
REM GFA43 GRADNETZ DER KARTE 268 CET DES ATLAS STELLARUM
xo = 320 //GRAPHIKFLÄCHE 640x400/2
yo = 200 //KOODINATENNULL
LINE 320,0,320,400
LINE 300,200,340,200  //AUFNAHMEMITTE
REM LINE 0,200,640,200
ska = 1 //SKALIERUNG 1 mm = 3.2 pixel / Monitor-Bildformat 200x125 mm = 640x400 pix = 640/200 = 1 mm = 3.2 pix
REM SKALIERUNG EVTL. IN C/C++ Win32 API, GDI Metrik, MM_LOMETRIC
REM AUSSCHNITT DER ORIGINALGRÖSSE DER KARTE ska=3.2
REM ska=1 //=3.2fache VERGRÖSSERUNG = MILLIMETERMASS
REM EINTRAG PLATTENKONSTANTEN:
ao = -1714.0543244
bo = 1.0229918
co = 0.0644756  //KOEFFIZIENTEN (GÜLTIG FÜR DIE AUSGEMMESSE PLATTE)
do1 = 1.610003646
eo = 1708.633657
fo = -0.227928308
REM -------------------
do = -(19 + 43 / 60 + 22.05 / 3600) //EINTRAG DEKLIN. AUFNAHMEMITTE J2000/FK5
aro = RAD((0 + 22 / 60 + 31.534 / 3600) * 15) //EINTRAG AR AUFNAHMEMITTE J2000/FK5
IF do > 0 THEN
  s = -1
ELSE
  s = 1
ENDIF
inc = RAD(1)  //GRADNETZ-INTERVALL 1 GRAD
net = ABS(do) + 10
IF net >= 70 THEN
  net = 89.999999999
ENDIF
net = RAD(FIX(net))
do = RAD(do)
ne = RAD(10)  //SEKTORGRÖSSE IN AR FESTLEGEN 0-90 GRAD
ne1 = RAD(40) //SEKTORGRÖSSE IN DEKLIN. FESTLEGEN 0-180 GRAD
inc = inc * s   //DAZU ska=0.5 setzen
net = net * s
ne1 = ne1 * s
j = 1
FOR ar = net - ne TO -net - inc + ne STEP -inc
  j = 1
  FOR d = net - ne1 TO -net - inc STEP -inc
    GOSUB netz1  //GRADNETZ
  NEXT d
NEXT ar
j = 1
FOR d = net - ne1 TO -net - inc STEP -inc
  j = 1
  FOR ar = net - ne TO -net - inc + ne STEP -inc
    GOSUB netz1
  NEXT ar
NEXT d
anz = 11 //ANZAHL EINZUPUNKTENDER STERNE
flag = 1
FOR i = 1 TO anz
  READ n,d,ar,mag
  d = RAD(d)
  ar = RAD(ar)
  GOSUB netz1
  PCIRCLE x,y,12 - mag
  TEXT x - 15,y - 15,n
NEXT i
KEYGET HALT%
END
PROCEDURE netz1  //AUSGEGLICHENES GRADNETZ
  z = ATN(TAN(d) / COS(ar - aro))
  x1 = (COS(z) * TAN(ar - aro)) / COS(z - do)
  y1 = TAN(z - do)
  x = xo + ska * (ao * x1 + bo * y1 + co) //WARSCHEINLICHSTE
  y = yo - ska * (do1 * x1 + eo * y1 + fo) //GRADNETZ-KOORDINATEN
  IF flag = 1 THEN
    GOTO ju1
  ENDIF
  IF ABS(y) > 1000 OR ABS(x) > 1000 THEN
    x = 1000
    y = 1000
    PLOT x,y
  ENDIF
  IF j = 1 THEN
    j = 0
    PLOT x,y
  ENDIF
  IF x > -300 AND x < 720 AND y > -300 AND y < 800 THEN
    DRAW  TO x,y
  ELSE
    PLOT x,y
  ENDIF
  ju1:
RETURN
REM 10 REFERENZSTERNE J2000/FK5 FÜR EIGENBEWEGUNG AUF DAS DATUM (28.11.1969, 19H22M UT) DER BELICHTUNGSMITTE DER KARTE 268 CET REDUZIERT
star:
DATA 1,-22.5083074,1.94484799,6.2,2,-18.03828055,1.60394121,7.4,3,-15.6579032,4.286699053,9.1
DATA 4,-24.527947,8.691542159,9.6,5,-17.7150417,7.687862,9.6,6,-17.9868841,10.8953271,2.04
DATA 7,-23.7870866,7.5946465,5.2,8,-18.471356,6.206921,7.1
DATA 9,-21.13838608,4.57065420432,6.8,10,-17.700397,5.01201136,6.7,11,-15.59278,3.971375,8
CLOSEW #1

Folg. Progr. erleichtert die Identifizierung der Sterne auf den Karten des Atlas Stellarum (oder eigenen Aufnahmen): Deklin. u. Rektaszension in x-,y-Werte. Karte 268 CET.

r=540*3.183098861 //EFFEKTIVE KAMERABRENNWEITE (MILLIMETER)
do=-RAD(19+43/60+22.05/3600)    //DEKLIN. AUFNAHMEMITTE J2000/FK5
aro=RAD(0+22/60+31.524/3600)*15 //AR AUFNAHMEMITTE J2000/FK5
d=RAD(-22.508307)  //DEKLIN. J2000/FK5 REFERENZSTERN NR. 1
ar=RAD(1.94484799) //AR
z=ATN(TAN(d)*COS(ar-aro))
x=-r*COS(z)*TAN(ar-aro)/COS(z-do) //x-WERT AUF DER KARTE (Westen +, Osten -)
y=r*TAN(z-do) //y-WERT (Norden +, Süden -) Millimeter
PRINT x,y



Vergrößerung der Reproduktion gegenüber dem Originalnegativ

Distanzmessung der Referenzsterne auf der Karte (268 Cet): Stern Nr. 1 zu Nr. 4 = 194.9 mm, 3,4 = 292.8 mm, 8,9 = 92.2 mm, 1,2 = 134.4 mm.
Umrechnung in Gradabständen (Nr. 1 u. 4):
d1=RAD(-22.50830745) //s. DATA-ZEILE PROGR. GFA42
a1=RAD(1.944847993)
d2=RAD(-24.52794707)
a2=RAD(8.6915421589)
d=ACOS(SIN(d1)*SIN(d2)+COS(d1)*COS(d2)*COS(a2-a1)) //DISTANZ IN RAD
d1=DEG(d)*3600 //DISTANZ IN BOGENSEKUNDEN
f1=540/206264.806 //1 mm AUF DEM ORIGIALNEGATIV = f1 MILLIMETER
d2=d1*f1 //DISTANZ IN MILLIMETER AUF DEM ORIGINALNEGATIV
v=194.9 mm /d2 //v=3.1782468 VERGRÖSSERUNGSFAKTOR DER REPRODUKTION
PRINT v
STERN NR. 1,4 = v=n(1)=3.1782468; 3, 4 = v=n(2)=3.17504567; 8,9 = v=n(3)=3.176871; 1,2 = v=n(4)=3.1820739.

Aufruf der Routine GOSUB sig  (s. Progr. >Lineare Regression<) ergibt den Mittelwert mw=v=3.1780593 ± 0.000149 mittl. Fehler (mf) der Karte 268 Cet.

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