BAHNBESTIMMUNG



ASTROGRAPH I - Photographische Ortsbestimmung auf kleinmaßstäbigen Feldsternaufnahmen
(s. ASTROGRAPH II)

GFA-Programme der Thematik Meteore, Ringmikrometer, Veränderliche Sterne, Doppelsterne usw. zum Download:
http://www.spaceglobe.de/Download/GFAPROG.exe.

Direkte mikrometrische Messungen der durch ein Fernrohr vergrößerten Winkel sind zeitlich schnell veränderlich, zudem stark von der Kondition und Konzentrationsfähigkeit des Beobachters abhängig, während Photographien diese für das ganze Bild ein für allemal dokumentieren, wobei es in Ruhe am Schreitisch ausgemessen werden kann. Die durch Ausmessung von Photographien gewonnenen Resultate sind daher meist genauer. Gegenüber der unmittelbaren visuellen Messung besitzt die längere Zeit belichtete Aufnahme jedoch den Nachteil der aufsummierten Luftunruhe (Szintillationseffekte), wodurch z. B. feine planetare Oberflächendetails meist so verwischt werden, daß die Ausmessung am Mikrometerokular eines Mikroskops (oder bit- bzw. pixelrasterweise am Computer)  keinen Gewinn mehr erbringen.

Die durch Luftunruhe verursachten Ortsschwankungen der Sterne erreichen meist 0.1'' bis zu einigen Bogensekunden Bei Sternenfeldaufnahmen liegen die Primärbrennweiten allerdings zwischen 50-1000 mm, so daß die Ortsschwankung hier 120'' und 6'' erreichen müßten, um auf dem Film registriert zu werden.

Für die Bahnbestimmung eines Erdsatelliten, Planeten, Planetoiden oder Kometen sind mindestens 3 genaue Positionen des Objekts in Rektaszension u. Deklination erforderlich. Das Sternenumfeld des Objekts wird durch ein Teleobjektiv (zumeist eine am Okularstutzen des Teleskops angeschraubte Spiegelreflexkamera oder CCD-Astrokamera) aufgenommen und am Schreibtisch bzw. Computer ausgemessen. Eine 24x36 mm2 Kleinbildaufnahme bildet bei F=1000 mm Brennweite eine rechteckige Fläche von 2.1 x 1.4 Grad ab (= 36 mm/1000 mm * 57.29578), wobei ein runder Fernrohrtubus das Bildfeld entsprechend modifizieren kann. Da bei eingeschränktem Bildfeld weniger bekannte Anschlußsterne vorhanden sind, vermeidet man i.a. sehr lange Brennweiten.

Infolge des Himmelumschwungs bewegt sich ein Stern um 15.04107'' * cos d (d Deklination des Sterns) pro Sonnenzeitsekunden. Bei F=1000 mm Brennweite der Optik, entspricht 1'' (Winkelbogensekunde) am Himmel linear 0.00485 mm auf dem Film ([= 1'' * F 1000 mm)/206264.8906''].
Ein Stern mit der Deklination -15.3° (Plattenmitte) bildet demnach auf der Aufnahme [(F=1000 mm) 0.0048 mm * 15.04'' * cos
d -15.3;(248); =] eine Spur von 0.07 mm Länge pro Zeitsekunden.
Das Auflösungsvermögen der Photoemulsion liegt bei 0.025 mm. Ab (0.03 mm/0.07 mm =) 0.4 Sek. Belichtungszeit wird ein Stern somit nicht mehr punktförmig, sondern als Strichspur abgebildet. Um punktförmige Sternabbildungen bei langen Brennweiten zu erhalten, ist das Objekt der täglichen Himmelsumdrehung durch einen elektrischen Fernrohrantrieb oder manueller Feinbewegung an einem Leitstern sorgfältig nachzuführen. Wegen der Eigenbewegung des Objekts (Komet, Kleinplanet) sollte die Belichtungszeit unter 15 Minuten liegen. Datum u. Uhrzeit (Weltzeit UT) der Aufnahme für die Belichtungszeitmitte.

Beispiel: Brennweite des Objektivs F=1000 mm. Tägliche Bewegung »w« eines Kleinplaneten in Deklin. d1-d = 0.1°, in Rektaszension ar1-ar = 0.4°; d,d1, ar,ar1 = Deklination an einem (d=23.123° 0h TDT) und am folgenden Tag (d1=23.223° 0h TDT); Tägl. Bewegung w 0.38108° = SQR(0.1^2+(0.4*COS(0.5*(d1+d)))^2). (0.38108°/(1440 Min. * 57.29577951))*F 1000 = 0.004619 mm/Min. Wird die Kamera den Sternen nachgeführt, zieht der Kleinplanet infolge Eigenbewegung eine Lichtspur von 0.0046 mm Länge pro Minute. Nach 4.6 Min. (0.02 mm Auflösung Emulsion/ 0.0046 mm/Min.) Belichtung wird der Kleinplanet als Strichspur abgebildet.
Die jeweilige Position innerhalb der Belichtungszeit findet man durch Ausgleichsrechnung. Rektaszension: arn = ao+b*tn, Deklination: dn=do+c*tn; t1,t2...,n usw. sind Zeitpunkte der gemessenen Orte ar1,d1,ar2,d2...,n usw. die Koordinaten des Kleinplaneten (n= Anzahl).

[ar]  = S ar1+ar2+ar3...,n
[t]   =
S t1+t2+t3...,n
[tt]  =
S t1*t1+t2*t2+t3*t3..,n
[art] =
S ar1*t1+ar2*t2+ar3*t3...,n

REM NORMALGLEICHUNG FÜR ZWEI UNBEKANNTE (LINEARE REGRESSION)
REM  n  ao + [t]   b = [ar]
REM [t] ao + [tt]  b = [art]
Die Bedingungsgleichung für Eigenbewegung in Deklination d=do+c*t wird analog berechnet.

Die Korngröße der Photoemulsion liegt bei 0.001-0.005 mm. Bei einer Brennweite von 300 mm entspricht 1'' auf dem 32x24 mm Negativfilm 300/206264.806'' = 0.0014544 mm. Die Größe der Körner liegt demnach etwa bei 0.003 mm/0.00145 = 2.1''. Bei einem Objektiv mit 50 mm Brennweite entspricht 1'' auf dem Film linear 0.000242 mm. Die Korngröße liegt dann bei 0.003/0.000242 mm = 12.4''.

Um sich vor Filmemulsionsfehlern zu schützen, sind am besten mehrere Aufnahmen zu belichten. Die genaue Position des Objekts findet man durch Anschluß an die Referenzsterne des vom Himmelsglobus dargestellten Sternfeldes der Aufnahme oder eines extern verwendeten astrometrischen Sernkataloges.
Anhand des Himmelsglobus oder am Gradnetz einer handelsüblichen übersichtlichen Himmelskarte, sind die Anhaltssterne mittels der im Sternkatalog tab. Rektaszension u. Deklin. (siehe photographischer Sternatlas: Atlas Stellarum [Maßstab 0.5 mm = 1 Bogenminute] oder Falkauer Atlas, Dr. Vehrenberg KG, Düsseldorf)  leicht zu identifizieren.
Je nach Höhe der aufgenommenen Sterne, macht sich die Extinktion und differentielle Refraktion der Atmosphäre bemerkbar. Um diese klein zu halten bzw. auszuschließen, das Objekt erst nach erreichen einer möglichst großen Höhe aufnehmen.

Die Ausmessung der Photoplatten erfolgt an einem auf 1 bis 2 tausendstel Millimeter lineargenauen Maßapparat (Kreuztisch) mit Ablesemikroskop, der Winkel- bzw. Positionsgenauigkeiten um 0.01'' ermöglicht.
Um durch Ausmessung von 24x36 mm2 Kleinbildfilm eine Bogensekunde Mindestgenauigkeit zu erzielen, vergrößert man diese mit einem Diaprojektor auf das x-fache (1'' bei F=300 mm Brennweite u. 100facher Vergr. sind dann z. B. 0.14544 mm der Projektionsfläche). Die Auflösung von hochempfindlichem Filmmaterial liegt bei 50 Linien/mm (1/50 = 0.02 mm), von geringer empfindlichem Korn bei 120 Linien/mm (0.0083 mm). Bei 100facher Vergrößerung beträgt die Korngröße also bereits etwa 0.3 mm. Geringer empfindliche bzw. feinkörnigere Materialien liefern daher genauere Positionsergebnisse.

Das Bild (Negativ oder Dia-Positiv) darf keinesfalls verzerrt (gekippt oder schräg) projiziert werden, da die optische Achse des Diaprojektors genau senkrecht auf der Projektionswand stehen muß (ein an der Projektionswand anliegender ebener Spiegel reflektiert dann den Lichtstrahl der Justierblende [kleine Lochblende] auf sich selbst zurück).

Das Objekt (Punkt auf der Meteorspur, Sternabbilung u.ä.) u. mindestens 5 darum verteilte Bezugssterne (zur Genauigkeitserhöhung soweit vorhanden bis zu 10) auf einem Bogen Millimeterpapier auf 1/10 mm markieren oder an der Projektionswand direkt ausmessen.
Den Vergrößerungsfaktor ermittelt man durch Division des berechneten Gradabstandes (d) zweier Sterne in Millimeter (d') auf dem Film durch den jeweils gemessenen Millimeterabstand auf dem Projektionsbild.

Referenzstern Nr. 2 besitzt die AR1 (Rektaszension) 0h16m53.972s (0+16/60+53.972/3600 =)
0.28165878h * 15° = AR1 4.22881749°, Deklin.
d1 -15°28'26.89'' = d1 -15.47413693°.
Referenzstern Nr. 4 (PPM 208601) AR2 0h17m14.426s = AR2 4.310106818°, Deklin.
d2 -14°59'44.89'' = d2 -14.99580197° (einschließich Eigenbewegung in -11.322528 julian. Jahren).Der Winkelabstand der zwei Sterne an der Sphäre beträgt dann:

ARCCOS d = sin(d1) sin(d2) + cos( d1) cos(d2) cos(AR1 - AR2) = d 0.485351473° * 3600'' = 1747.265'' * 0.004848 mm = Abstand auf dem Kleinbildfilm d' 8.47074 mm.

Gemessener Abstand der zwei Sterne der Diaprojektion: 101.65 mm/8.47074 mm = Vergrößerungsfaktor der Kleinbildaufnahme 11.99979x.
Brennweite der Aufnahmeoptik F=1000 mm. Vergrößerung 11.99979x. Effektive Brennweite 1000 mm * 11.99979 = 11999.79 mm * 1/206264.8 = Maßstab: 1'' : 0.0581766 mm = (1/0.0581766 mm) = 1 mm : 17.189''.

Alternativ läßt sich die gemessene Seitenlänge des Negativs [ca. 23x35 mm2 Maskenausschnitt des Diarahmens] durch die projizierte dividieren. Mathematische Beziehung: Bildseitenlänge = Projektionsabstand (Meter m) * Diaseitenlänge (mm) / Objektivbrennweite.
6.005 m gemessener Projektionsabstand * 35.01 mm Diaseitenlänge / 85 mm Objektivbrennweite des Diaprojektors = projizierte Bildseitenlänge 2.47335 m / 0.03501 mm = 70.64695fache Vergrößerung. Die konstante Brennweite ist exakt zu bestimmen: Brennweite 85.00 mm = 6.0050 m * 35.01 mm / 2.473353 m projizierte Bildseitenlänge.

Einen Blink-Komparator verwendet man um irgendwelche Veränderungen auf zeitlich verschiedenen Aufnahmen des gleichen Himmelsareals festzustellen. Mechanisch wird eine blitzschnelle wechselseitige Abdeckung der Bilder erreicht, wobei auf optischem Wege der Eindruck erweckt wird ein deckungsgleiches Bild zu betrachten. Ein nur auf einer Aufnahme vorhandenes Objekte (Komet, Kleinplanet, Novae usw.), das auf der anderen fehlt, verrät sich aufgrund der hohen Bildwechselfrequenz durch  den Blinkeffekt.
Provisorisch ergeben zwei Diaprojektoren denselben Effekt. Projektionsbilder zweier zeitlich verschiedener Diaaufnahmen gleichen Himmelsareals zur Deckung bringen. Objekte auf einer Aufnahme, die auf der andern fehlen, blinken infolge schneller, wechselseitiger Ein- und Ausschaltung der Projektoren (Stromwechsel ggf. mittels Magnetschalter elektron. regeln). Allerdings hat die Computerbildverarbeitung auch die opt. Apparate längst überholt. Der Graphikspeicher enthält die jeweils mit einem Flachbettscanner digitalisierte Astroaufnahme, wobei der Bildspeicher in eine Stringvariable eingelesen wird. Liegen die Variablen zweier Bildschirmseiten (sreen1$, sreen2$) bzw. mehrerer Graphikspeicher vor, erscheinen diese einfach in schnell wechselnder Folge auf dem Monitor (Pages-Flipping), so daß helligkeitsveränderliche Objekte blinken oder bewegungsveränderliche Objekte hin- und herspringen. Auf diese Weise sind auch Bildanimationen (Filmsequenzen) einfach zu realisieren.

Im einfachsten Falle, wird die frühere und spätere Aufnahme auf dasselbe Fotopapier etwas versetzt reproduziert oder am Monitor durchscheinend wiedergegeben. Alle Sterne erscheinen darauf doppelt mit konstantem Abstand, während bewegte Objekte durch Fehlen eines Doppelbildes herausfallen.

Gemessen werden die rechtwinkligen x-,y-Koordinaten des Objekts und der umliegenden Anhaltsterne (mindestens 3) in Millimetern ab Nullpunkt des Koordinatenkreuzes (Mitte des Aufnahmefeldes x=0, y=0), das ungefhr parallel des Rektaszensionskreises (+y-Achse) nach Norden und +x-Achse nach Westen (im umkehrenden Teleskop unten und links) orientiert wird. Die mehrmals hin- und zurück gemessenen Werte mitteln, Platte oder Negativ evtl. um 180 Grad drehen, Messungen wiederholen und mitteln. Einer der Referenzsterne liegt zur Markierung des Koordinatenkreuzes am besten in der Plattenmitte, um deren Koordinate zu erhalten. Das x-/y-Koordinatenkreuz läßt sich zudem anhand berechneter x-,y-Werte umliegender Bezugsterne (5-10 Sterne) leicht einmessen.

z=ARCTAN(TAN(d)/COS(AR-A))
x = -r*((COS(z)*TAN(AR - A))/COS(z - D))
y = r*TAN(z - D)

A,D = Rektaszension u. Deklination der Plattenmitte sorgfältig anhand eines photographischen Sternatlas bestimmen, da die Präzision des eingemessenen Koodinatenkreuzes davon abhängt; r=effektive Brennweite der Aufnahmeoptik (F=1000 mm x 11.99979fache Vergr. = r=11999.79 mm); d, AR = Deklnination und Rektazension der Anhaltsterne; x,y = ideal berechnete Rechteckkoordinaten der Anhaltsterne.

Die Koordinate des Objekts werden von der Koordinate der optischen Achse (Bildmitte) kaum beeinflußt.

Die Messung der x-,y-Werte der Referenzsterne bzw. des Objekts der Aufnahme (Meteorspur, Planetoid, Komet usw.) erfolgt dann ab dem dadurch eingemessenen Standardkoordinatenkreuz (Fig. 42). Gleichmäßig über die Aufnahme verteilte Referenzsterne auswählen, da die Ausgleichung der Plattenfehler davon abhängt.

Beispiel (Fig. 40). Ausmessung einer Kleinplanetenaufnahme vom 5.9.1988, 1h4m14s UT. Plattenmitte: 0h16m28.8s AR, -15°20'36'' Deklination (AR u. Deklin. der Plattenmitte = x=0,y=0). Beobachtungsort: +49°23'54.6'' n. Br., +8°43'17.9'' östl. Länge,  NN = 570 m.

Bei ziemlich genau ausgerichteter parallaktischer Montierung des Teleskops bzw. der Kamera, kann auch ab der Randbegrenzung des Bildmaterials gemessen werden, sofern dieser scharf genug erscheint, da die Seiten dann eine  äquatoriale Ausrichtung aufweisen, wodurch die Reduktion auf die Bildmitte entfällt, oder anhand eines eingezogenen Strichkreuzes durch Mittelung der Längs- und Breitseite des Negativs.

Eingabe folg. Werte:
Referenzsterne (mittl. Sternort bzw. Äquinoktium J2000, FK5):
1) AR 0h 15m26.500s , p.m. -0.0008s x =  52.33 mm
d -15°37'32.42'' p.m. -0.023'' y = -59.17 mm
2) AR 0h16m53.992s, p.m. +0.0018s x = -21.25 mm
d -15°28'27.21'' p.m. -0.028'' y = -27.41 mm
3) AR 0h17m08.833s, p.m. +0.0025s x = -33.72 mm
d -15°39'27.94'' p.m.  0.017'' y = -65.89 mm
4) AR 0h17m14.463s, p.m. +0.0033s x = -38.60 mm
d -14°59'45.34'' p.m. -0.040'' y = +72.78 mm
Objekt Kleinplanet: x =  29.95 mm   y = -39.80 mm
 (p. m. = proper motion: Eigenbewegung  in AR u. Deklin. pro Jahr)

Topozentrische astrometrische Koordinaten t1,t2,t3 (3 Ortsbestimmungen für die Bahnberechnung) des Planetoiden Ceres (= mittl. Ort J2000/FK5 der Bezugssterne) durch photographische Ortsbestimmung (Ausgabe: Rektaszension u. Deklination):

t1 5.09.88,  1h04m14s UT a 1  00h15m53.13s, d1 -15°31'59.7''
t2 9.10.88, 22h09m34s UT
a2  23h48m03.20s, d2 -17°54'12.0''
t3 6.11.88, 20h59m04s UT
a3  23h35m44.30s, d 3 -17°04'41.0''

Bei Aufnahmen mit nur wenigen Grad Durchmesser und Bezugssterne in nicht allzu hoher Deklination, können mittlere Sternörter der Standardepoche J2000 verwendet werden. Daran angeschlossen ergibt sich direkt der mittlere Ort des Objekts zur Standardepoche der Anhaltsterne.

Für polnahe Sterne oder Sternfeldaufnahmen größeren Durchmessers gilt der genaue scheinbare Sternort sämtlicher Bezugsterne, berechnet für Datum und Zeitpunkt der Aufnahmemitte. Daran angeschlossen erhält man den scheinbaren Ort des Objekts, wahres Äquinoktium des Aufnahmezeitpunktes (UT Mitte der Belichtungszeit).

Der Himmelsglobus liefert den astrometrischen geozentrischen u. topozentrischen Ortes der Standardepoche B1950.0/FK4 (mit E-Terme der Aberration) und J2000/FK5 (ohne E-Terme) und des scheinbaren geozentrischen u. topozentrischen. Ortes, Äqunioktium des Datums.

Himmelsglobus: Auf der Platte betimmter scheinbarer Ort des Planetoiden Ceres am 5.9.1988, 1h04m14s UT: AR 0h15 m20.288s, Deklin. d -15°35'34.01''.

Astrometrischer Ort J2000/FK5: AR 0 h15m53.13s, Deklin. d -15°31'59.7'', astrometrischer Ort B1950/FK4: AR 0h13m20.557s, Deklin. d-15°48'39.89''.

Der geometrische Ort, korrigiert für Lichtzeit (Planetenaberration) + E-Terme der jährlichen Aberration eines Körpers des Sonnensystems, bezogen auf eine Standardepoche der Präzession (Normalort B1950, J2000), nennt man den astrometrischen Ort (ab 1984 ohne E-Terme) des Objekts (bei Sternen = mittlerer Ort, Äquinoktium der Epoche).

Die Reduktion mittlerer Katalogörter der Epoche B1950 oder J2000 für Eigenbewegung und jährlichen Parallaxe der Sterne auf den photographischen Aufnahemzeitpunkt des Objekts, ergibt vergleichbare Katalogörter. Die graphische Wiedergabe kann somit ohne weiteres auf eine entsprechend (für Eigenbewegung und Parallaxe der Sterne) reduzierte Sternkarte der fixen Präzessionsepoche B1950.0 oder J2000 erfolgen. Sternpositionen photographischer Atlanten sind mit der Eigenbewegung u. jährlichen Parallaxe der Sterne behaftet und daher nur für den Aufnahmezeitpunkt streng gültig, wobei sich die Präzession der Äquinoktium (langsame westliche Wanderung des Aries-Punktes = Null-Länge der Koordinatenzählung) meist auf die Standardepoche Epoche B1950 oder J2000 bezieht.

Als Astrograph wird die speziell für Sternfeldaufnahmen verwendete Kamera bezeichnet. Die astrometrischen (=astrographischen) Örter der Aufnahme werden mit dem Koordinatenmessapparat ausgemessen und mit Hilfe eines Computers berechnet. Digitale CCD-Kameraaufnahmen werden entsprechend vermessen.

Die auf Schmidtspiegel-Platten der Sternwarte Hamburg-Bergedorf ausgemessenen Positionen von Kometen und Planetoiden haben durchschnittlich 0.1 bis 0.2 Bogensekunden Genauigkeit. Der 1930 in Betrieb genommene Schmidt-Spiegel besitzt 120 cm Durchmess, 240 cm Brennweite, 1:3 Öffnungsverhältnis und 16 Grad Bildfelddurchmesser.
Der 1897 aufgestellte Yerkes-Refraktor (Yerkes Obs., University of Chicago) ist mit 40 Zoll Öffnung (102 cm) und 19.97 m Brennweite (=8.3x länger als die des Hamburger Schmidt-Spiegel) noch heute das größte Linsenfernrohr der Welt. Sternpositionen werden damit auf 0.01 Winkelsekunden (=0.001 Zeitsekunden) ermittelt.

Die Programme für ATARI ST Computer laufen mit dem ATARI STEmulator  (mit ARARI  TOS ROM 2.06) unter Windows 9x/ME (s. Abschnitt Kompatibilität). Kopieren Sie den GFA-BASIC 3.5 Interpreter und die ATARI ST Progr. aus dem Ordner GFA/GFA_PROG. auf das  Festplatten-Laufwerk >C<.

REM ATARI ST GFA-BASIC47  ASTROGRAPH  I  FÜR KLEINMASSTÄBIGE FELDSETRNAUFNAHMEN
DEFFN gzb(x) = ATN(1 / (1 + 0.006739501819 * (6378140 / (6378140 + eh))) * TAN(x))
DEFFN ro(x) = 6356755.288157 / SQR(1 - 0.006694384999591 * COS(ATN(0.993305615 * TAN(x))) ^ 2) + eh
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
DIM ar(20),dek(20),ar1(20),dek1(20),x(20),y(20),x1(20),y1(20),ko(10),ko1(10),koo(10),p1(5,5),p(5,5),xo(20),yo(20),n(20),aa(20),dd(20),w1(20),w2(20),w3(20)
GOSUB astrogra
PROCEDURE astrogra
  REM -- ASTROGRAPH I  - PHOTOGRAPHISCHE ORTSBESTIMMUNG --
  k1 = RAD(20.49552 / 3600)
  neu:
  CLS
  PRINT AT(1,1);"- ASTRONOMISCHE ORTSBESTIMMUNG -"
  PRINT AT(1,3);"DATUM (TT.MM.JJJJ)...........................: ";
  REM  INPUT "",a$
  a$="17.8.1988" !-------------------
  a1 = ABS(LEN(a$) - 2)
  a2 = VAL(LEFT$(a$,2))
  a3 = VAL(MID$(a$,4 + (a2 < 10),2))
  a4 = VAL(RIGHT$(a$,a1 + (a2 < 10) + (a3 < 10) + (a2 > 9) * 2 + (a3 > 9) * 2))
  IF a2 = 0 OR a1 > 10 OR ABS(a2) > 31 OR ABS(a3) > 12 THEN
    GOTO neu
  ENDIF
  GOSUB jd
  PRINT AT(1,4);"UHRZEIT (UT AUFNAHMEMITTE h,m,s).............: ";
  REM  INPUT "",h,m,s
  h = 3
  m=26 !-------------------------
  s = 30
  ut = h + m / 60 + s / 3600
  PRINT AT(1,5);"KORREKTIONSWERT FšR EPHEMERIDENZEIT (SEK)....: ";
  REM  INPUT "",ddt  !ddt=TDT-UT
  ddt=56 !---------------
  ddt = ddt / 3600
  PRINT AT(1,6);"H™HE šBER N.N. (METER).......................: ";
  REM   INPUT "",eh
  eh = 200
  PRINT AT(1,7);"GEOGRAPHISCHE BREITE (o,','')................: ";
  REM   INPUT "",h$,m,s
  h$ = "50"
  m=0 !----------------------
  s = 0
  GOSUB grad        !KOORDINATEN BEOBACHTRUNGSSTATION
  br=FN gzb(g)      !FšR T¥GL. ABERRATION
  p1 = FN ro(g) / 6378140
  PRINT AT(1,8);"GEOGRAPHISCHE L¥NGE (o,','').................: ";
  REM   INPUT "",h$,m,s
  h$ = "6"
  m=0 !---------------------
  s = 0
  GOSUB grad
  lgeo = DEG(g)
  jdbeo=jd+(ut+ddt)/24 !JULIAN. DATUM DER AUFNAHMEMITTE
  PRINT AT(1,9);"KATALOGEPOCHE REFERENZSTERNE (1950.0, 2000.0): ";
  REM  INPUT "",ep
  ep=1950 !-----------------
  PRINT AT(1,10);"BESSEL/FK4 ODER JULIAN./FK5  B,J.............: ";
  REM   INPUT "",ep$
  ep$="B" !------------------------
  ep$=UPPER$(ep$) !BEFEHL GROSSBUCHSTABE
  IF ep$ = "B" THEN
    jdep = 2415020.31352 + 365.242198781 * (ep - 1900)
  ENDIF
  IF ep$ = "J" THEN
    jdep = 2451545 + 365.25 * (ep - 2000)
  ENDIF
  t1 = (jd - 2451545) / 36525
  t = (jdbeo - 2451545) / 36525
  GOSUB nut
  GOSUB osz
  jdd=(jdbeo-jdep)/365.25 !DIFFERENZ AUFNAHMENITTE-EPOCHE IN JULIAN. JAHREN
  PRINT AT(1,11);"PRIM¥RBRENNWEITE DER AUFNAHMEOBTIK (mm)......: ";  !IN;MILIIMETER
  REM  INPUT "",f
  fo=20 !------------------
  PRINT AT(1,12);"ANZAHL REFERENZSTERNE........................: ";
  REM  INPUT "",anz
  anz=5 !---------------
  CLS
  i = 1
  PRINT AT(1,2);"KATALOG-REKTASZENSION STERN AUFNAHMEMITTE (h,m,s): ";  !AR;DER;OPTISCHEN;ACHSE
  REM  INPUT "",h$,m,s
  h$ = "20"
  m=2 !----------------------
  s = 0
  GOSUB grad
  ar(i) = g * 15
  REM EIGENBEWEGUNG BEZOGEN AUF DIESELBE EPOCHE WIE AR UND DEKLIN.
  PRINT AT(1,3);"EIGENBEWEGUNG STERN AR AUFNAHMEMITTE (ZEITSEK.)..: "; !FALLS STERN INMIITEN DER     AUFNAHME SONST pm = 0
  REM   INPUT "",pm
  pm=0 !--------------------
  ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)
  PRINT AT(1,4);"KATALOG-DEKLINATION STERN AUFNAHMEMITTE (o,','').: ";  !DEKLIN. OPTISCHE ACHSE
  REM   INPUT "",h$,m,s
  h$ = "13"
  m=50 !-----------------
  s = 0
  GOSUB grad
  dek(i) = g
  PRINT AT(1,5);"EIGENBEWEGUNG STERN DEKLIN. AUFNAHMEMITTE ('')...: ";
  REM   INPUT "",pm
  pm=0 !------------------
  dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd
  PRINT AT(1,6);"JÄHRL. PARALLAXE ('')............................: ";  !FALLS STERN INMITTEN DER AUFNAHME, SONST p = 0
  REM   INPUT "",p
  p=0 !---------------------
  GOSUB appapos
  do = dek(i)
  aro = ar(i)
  CLS
  GOTO jump !----------------
  FOR i=1 TO anz  !EINGABE REFERENZSTERNE
  PRINT AT(1,2);i;") KATALOG-REKTASZENSION REFERENZSTERN (h,m,s): ";
  INPUT "",h$,m,s
  GOSUB grad
  ar(i) = g * 15
  REM EIGENBEWEGUNG BEZOGEN AUF DIESELBE EPOCHE WIE AR UND DEKLIN.
  PRINT AT(1,3);i;") EIGENBEWEGUNG AR REFERENZSTERN (ZEITSEK.)..: ";
  INPUT "",pm
  ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)
  PRINT AT(1,4);i;") KATALOG-DEKLINATION REFERENZSTERN (o,','').: ";
  INPUT "",h$,m,s
  GOSUB grad
  dek(i) = g
  PRINT AT(1,5);i;") EIGENBEWEGUNG DEKLIN. REFERENZSTERN ('')...: ";
  INPUT "",pm
  dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd
  PRINT AT(1,6);i;") J¥HRL. PARALLAXE ('')......................: ";
  INPUT "",p
  GOSUB appapos
  PRINT AT(1,7);i;") x-,y-MESSUNG REFERENZSTERN (mm)............: "; !IN MILLIMETER
  INPUT "",x(i),y(i)
  REM STRENGE STANDARDKOORDINATEN X,Y
  j = SIN(dek(i)) * SIN(do) + COS(dek(i)) * SIN(do) * COS(ar(i) - aro)
  x1(i) = (COS(dek(i)) * SIN(ar(i) - AR)) / j
  y1(i) = (SIN(dek(i)) * COS(do) - COS(dek(i)) * SIN(do) * COS(ar(i) - aro)) / j
  CLS
NEXT i
jump: !------------------
REM EINGABE REFERENZSTERNE
REM (BEI VERWENDUNG DER OBIGER EINGABESCHLEIF DIESEN TESTTEIL LÖSCHEN)--
i=1 !NR. 1
h$ = "20"
m = 2
s = 49.691
GOSUB grad
ar(i) = g * 15
pm = 0.0009
ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)
h$ = "14"
m = 9
s = 38.11
GOSUB grad
dek(i) = g
pm = -0.015
dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd
p = 0
GOSUB appapos
x(i) = 0.9139
y(i) = 1.12604
REM ----------------------------------------------
i=2 !NR. 2
h$ = "20"
m = 3
s = 58.936
GOSUB grad
ar(i) = g * 15
pm = -0.0001
ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)
h$ = "13"
m = 39
s = 13.67
GOSUB grad
dek(i) = g
pm = -0.001
dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd
p = 0
GOSUB appapos
x(i) = 0.82013
y(i) = 0.94729
REM ----------------------------------------------
i=3 !NR. 3
h$ = "20"
m = 0
s = 44.093
GOSUB grad
ar(i) = g * 15
pm = -0.0006
ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)
h$ = "13"
m = 32
s = 0.31
GOSUB grad
dek(i) = g
pm = -0.037
dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd
p = 0
GOSUB appapos
x(i) = 1.09641
y(i) = 0.91136
REM ----------------------------------------------
i=4 ! NR. 4
h$ = "20"
m = 2
s = 45.502
GOSUB grad
ar(i) = g * 15
pm = 0.0047
ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)
h$ = "13"
m = 37
s = 15.97
GOSUB grad
dek(i) = g
pm = -0.011
dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd
p = 0
GOSUB appapos
x(i) = 0.92378
y(i) = 0.93787
REM ----------------------------------------------
i=5 ! NR. 5
h$ = "20"
m = 2
s = 27.265
GOSUB grad
ar(i) = g * 15
pm = 0.0008
ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)
h$ = "13"
m = 55
s = 47
GOSUB grad
dek(i) = g
pm = -0.011
dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd
p = 0
GOSUB appapos
x(i) = 0.94719
y(i) = 1.04618
REM ----------------------------------------------
REM STRENGE STANDARDKOORDINATEN X,Y BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG
FOR i = 1 TO anz
  j = SIN(dek(i)) * SIN(do) + COS(dek(i)) * COS(do) * COS(ar(i) - aro)
  x1(i) = (COS(dek(i)) * SIN(ar(i) - aro)) / j
  y1(i) = (SIN(dek(i)) * COS(do) - COS(dek(i)) * SIN(do) * COS(ar(i) - aro)) / j
NEXT i
REM ---------------------
GOSUB ausgleich
CLS
PRINT AT(1,1);"BESTIMMUNG DER PROJIZIERTEN/KOPIERTEN NEGATIVVERGR™SSERUNG"
PRINT AT(1,2);"NR. ZWEIER REFERENZSTERNE GEMESS. WINKELDISTANZ A,B: ";
REM  INPUT "",nr1,nr2
nr1 = 2
nr2=4 !---------------
PRINT AT(1,3);"GEMESSENE WINKELDISTANZ STERN NR. ";nr1;" ZU ";nr2;" (mm)......: "; !MILLIMETER
REM  INPUT "",dis
dis=101.65 !--------------
d = ACOS(SIN(dek(nr1)) * SIN(dek(nr2)) + COS(dek(nr1)) * COS(dek(nr2)) * COS(ar(nr2) - ar(nr1)))
d=DEG(d)*3600 !DISTANZ DER ZWEI STERNE IN BOGENSEKUNDEN
f1=fo/206264.8062471 !1'' (BOGENSEK.) AM HIMMEL = F1 MILLIMETER AUF DEM NEGATIV
v=dis/(d*f1) !VERGR™SSERUNG DER DIAPROJEKTION/KOPIE GEGENšBER DEM NEGATIV
r=fo*v !EFFEKTIVE BRENNWEITE IN MILLIMETER
f2=r/206264.8062471 !MASSTAB 1'' AUF DER DIAPROJEKTION/KOPIE = F2 MILLIMETER
f3=1/f2 !1 mm DER DIAPROJEKTION/KOPIE = f3 BOGENSEKUNDEN
CLS
PRINT AT(1,1);"ANZAHL MESSUNGEN OBJEKT: ";  !GERADE MEHRFACH HIN UND ZURšCK MESSEN
REM  INPUT "",ns
ns=1 !------------------
PRINT AT(1,2);SPC(50)
j = 0
GOTO ik !----------------
FOR i = 1 TO ns
  j = j + 1
  PRINT AT(1,j);j;") MESSUNG OBJEKT x,y (mm): ";  !EINGABE;MILLIMETER
  INPUT "",x(i),y(i)
NEXT i
ik: !-------
x(1) = 0.95046
y(1) = 0.99977
FOR i = 1 TO ns
  xo(i)=koo(2)*x(i)+koo(3)*y(i)+koo(1)  !AUSGEGLICHENDE STANDARDKOORDINATEN
  yo(i)=ko1(2)*x(i)+ko1(3)*y(i)+ko1(1)  !DES GEMESSENEN OBJEKTS
  j = COS(do) - yo(i) * SIN(do)
  ar1(i)=FN r(aro+ATN(xo(i)/j))  !REKTASZENSION OBJEKT
  dek1(i)=ATN((SIN(do)+yo(i)*COS(do))/SQR(xo(i)^2+j^2)) !DEKLINATION OBJEKT
NEXT i
FOR i = 1 TO ns
  n(i) = xo(i)
NEXT i
GOSUB sig
PRINT AT(1,1);"AUSGEGLICHENE STANDARDKOORDINATEN DES OBJEKT:"
PRINT AT(1,2);USING "X: ##.######### ",mw;
PRINT "/ m.F. ";mf;"/ Streuung ";sig
FOR i = 1 TO ns
  n(i) = yo(i)
NEXT i
GOSUB sig
PRINT AT(1,3);USING "Y: ##.######### ",mw;
PRINT "/ m.F. ";mf;"/ Streuung ";sig
FOR i = 1 TO ns
  n(i) = DEG(ar1(i)) / 15
NEXT i
GOSUB sig
arap = RAD(mw) * 15
GOSUB sexa
IF ep$ = "J" THEN
  PRINT AT(1,4);"SCHEINBARER ORT OBJEKT, WAHRES ÄQUINOKTIUM DES DATUM/FK5:"
ELSE
  PRINT AT(1,4);"SCHEINBARER ORT OBJEKT, WAHRES ÄQUINOKTIUM DES DATUM/FK4:"
ENDIF
PRINT AT(1,5);USING "AR.....: ## h ## m ##.### s",h,m,s;
PRINT "/ m.F. ";mf;"/ Streuung ";sig
FOR i = 1 TO ns
  n(i) = DEG(dek1(i))
NEXT i
GOSUB sig
dekap = RAD(mw)
GOSUB sexa
PRINT AT(1,6);"DEKLIN.: ";z$;USING "## o ## ' ##.## ''",h,m,s;
PRINT "/ m.F. ";mf;"/ Streuung ";sig
GOSUB app  !SUBROUTINE MITTL. ORT
arj=ar !MITTL. AR
dj=d   !MITTL. DEKLIN.
mw = DEG(AR) / 15
GOSUB sexa
IF ep$ = "J" THEN
  PRINT AT(1,7);"ASTROMETR. ORT OBJEKT, MITTL. ÄQUINOKTIUM J2000/FK5"
ELSE
  PRINT AT(1,7);"ASTROMETR. ORT OBJEKT, MITTL. ÄQUINOKTIUM B1950/FK4"
ENDIF
PRINT AT(1,8);USING "AR.....:  ## h ## m ##.### s",h,m,s
mw = DEG(d)
GOSUB sexa
PRINT AT(1,9);"DEKLIN.: ";z$;USING "## o ## ' ##.## ''",h,m,s
IF ep$ = "J" THEN
  GOSUB conv1
ELSE
  GOSUB conv
ENDIF
mw = DEG(AR) / 15
GOSUB sexa
IF ep$ = "J" THEN
  PRINT AT(1,10);"ASTROMETR. ORT OBJEKT, MITTL. ÄQUINOKTIUM B1950/FK4"
ELSE
  PRINT AT(1,10);"ASTROMETR. ORT OBJEKT, MITTL. ÄQUINOKTIUM J2000/FK5"
ENDIF
PRINT AT(1,11);USING "AR.....: ## h ## m ##.### s",h,m,s
mw = DEG(d)
GOSUB sexa
PRINT AT(1,12);"DEKLIN.: ";z$;USING "## o ## ' ##.## ''",h,m,s
PRINT AT(1,16);"PRIMÄRBRENNWEITE DER AUFNAHMEOPTIK: ";fo;" mm"
PRINT AT(1,17);"EFFEKTIVE BRENNWEITE: ";r;" mm"
PRINT AT(1,18);"VERGRÖSSERUNGSFAKTOR: ";v;"x"
PRINT AT(1,19);"MASSTAB: 1''  = ";f1;" mm AUF DEM NEGATIV"
PRINT AT(1,20);"MASSTAB: 1''  = ";f2;" mm AUF DER KOPIE/DIAPROJEKTION"
PRINT AT(1,21);"MASSTAB: 1 mm = ";f3;" '' AUF DER KOPIE/DIAPROJEKTION"
PRINT AT(1,23);"TASTE >1<"
PRINT AT(1,24);"TASTE >2<"
PRINT AT(1,25);"TASTE >S<"
DO
  w$ = UPPER$(INKEY$)
  IF w$ = "1" THEN
    GOSUB tafel
    IF w$ = "1" THEN
      GOSUB tafel
    ENDIF
  ENDIF
  IF w$ = "2" THEN
    GOSUB astrogra
  ENDIF
  EXIT IF w$ = "S"
LOOP
RETURN
PROCEDURE grad
  j = 1
  IF LEFT$(h$,1) = "-" THEN
    j = -1
  ENDIF
  g = RAD(ABS(VAL(h$)) + m / 60 + s / 3600) * j
RETURN
PROCEDURE sexa
  IF mw < 0 THEN
    z$ = "-"
  ELSE
    z$ = "+"
  ENDIF
  g = ABS(mw)
  h = FIX(g)
  m = FIX((g - h) * 60)
  s = ((g - h) * 60 - m) * 60
RETURN
PROCEDURE tafel
  CLS
  PRINT AT(15,1);"       EINMESSUNG EINES KOORDINATENKREUZES    "
  PRINT AT(15,2);"STRENGE STANDARDKOORDINATEN X,Y DER REFERENZSTERNE"
  PRINT AT(15,3);"           WAHRS ÄQUINOKTIUM DES DATUMS       "
  u = 4
  FOR i = 1 TO anz
    u = u + 1
    PRINT AT(1,u);i;") X: ";-r * x1(i);" mm, Y: ";r * y1(i);" mm"
  NEXT i
  PRINT AT(1,24);"TASTE >W<"
  REPEAT
  UNTIL UPPER$(INKEY$) = "W"
  CLS
  PRINT AT(15,1);"SCHEINBARE REKTASZENSION UND DEKLINATION"
  PRINT AT(15,2);"     WAHRES ÄQUINOKTIUM DES DATUMS"
  u = 3
  FOR i = 1 TO anz
    u = u + 1
    mw = DEG(ar(i)) / 15
    GOSUB sexa
    PRINT AT(1,u);i;USING ") AR:  ## h ## m ##.### s",h,m,s;
    mw = DEG(dek(i))
    GOSUB sexa
    PRINT ",  DEKLIN.: ";z$;USING "## o ## ' ##.## ''",h,m,s
  NEXT i
  PRINT AT(1,23);"TASTE >1<"
  PRINT AT(1,24);"TASTE >2<"
  REPEAT
  UNTIL UPPER$(INKEY$) = "1" OR UPPER$(INKEY$) = "2"
  DO
    w$ = UPPER$(INKEY$)
    IF w$ = "1" OR w$ = "2" THEN
      GOTO j
    ENDIF
  LOOP
  j:
RETURN
PROCEDURE jd
  jd = 1720994.5 + a2 + FIX(30.6001 * ((a3 - 12 * (a3 < 3)) + 1)) + FIX(f * 365.2425 * (a4 + (a3 < 3)))
RETURN
PROCEDURE ausgleich
  REM AUSGLEICHSRECHNUNG NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
  REM ------------- NORMALGLEICHUNG ------------
  REM   n*c+[x]*a+[y]*b=[X]            n*f+[x]*d+[y]*e=[Y]
  REM [x]*c+[xx]*a+[xy]*b=[xX]       [x]*f+[xx]*d+[xy]*e=[xY]
  REM [y]*c+[xy]*a+[yy]*b=[yX]       [y]*f+[xy]*d+[yy]*e=[yY]
  xo = 0
  yo = 0
  xx = 0
  yy = 0
  xy = 0
  x1 = 0
  y1 = 0
  xx1 = 0
  yx1 = 0
  xy1 = 0
  yy1 = 0
  xx2 = 0
  yy2 = 0
  FOR i = 1 TO anz
    xo=xo+x(i)          !xo=[x]
    yo=yo+y(i)          !yo=[y]
    xx=xx+x(i)*x(i)     !xx=[xx]
    yy=yy+y(i)*y(i)     !yy=[yy]
    xy=xy+x(i)*y(i)     !xy=[xy]
    x1=x1+x1(i)         !x1=[X]
    y1=y1+y1(i)         !y1=[Y]
    xx1=xx1+x(i)*x1(i)  !xx1=[xX]
    yx1=yx1+y(i)*x1(i)  !yx1=[yX]
    xy1=xy1+x(i)*y1(i)  !xy1=[xY]
    yy1=yy1+y(i)*y1(i)  !yy1=[yY]
    xx2=xx2+x1(i)*x1(i) !xx2=[XX]
    yy2=yy2+y1(i)*y1(i) !yy2=[YY]
  NEXT i
  m=3  !EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
  n=3  !EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
  p1(1,1)=anz  !anz=ANZAHL DER MESSUNGEN BZW. REFERENZPUNKTE
  p1(1,2)=xo   !p(m,n)=m=ZEILEN,n+1=SPALTEN; n+1=UNBEKANNTE+SUMME
  p1(1,3) = yo
  p1(1,4) = x1
  REM ------------------------
  p1(2,1) = xo
  p1(2,2) = xx
  p1(2,3) = xy
  p1(2,4) = xx1
  REM ------------------------
  p1(3,1) = yo
  p1(3,2) = xy
  p1(3,3) = yy
  p1(3,4) = yx1
  FOR i = 1 TO m
    FOR k = 1 TO n + 1
      p(i,k) = p1(i,k)
    NEXT k
  NEXT i
  REM KOEFIZIENT ------------------
  GOSUB elim
  koo(1)=ko(1) !c
  koo(2)=ko(2) !a
  koo(3)=ko(3) !b
  REM Mittlerer Fehler der Koeffizienten a,b,c:
  FOR i = 1 TO m
    FOR k = 1 TO n + 1
      p(i,k) = p1(i,k)
    NEXT k
  NEXT i
  p(1,4) = 1
  p(2,4) = 0
  p(3,4) = 0
  vvx = xx2 - x1 * koo(1) - xx1 * koo(2) - yx1 * koo(3)
  an = anz - n
  IF an = 0 THEN
    an = 1
  ENDIF
  mfx = SQR(ABS(vvx) / an) * SGN(vvx)
  GOSUB elim
  mfc=mfx*SQR(ABS(ko(1)))*SGN(ko(1)) !MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT c
  FOR i = 1 TO m
    FOR k = 1 TO n + 1
      p(i,k) = p1(i,k)
    NEXT k
  NEXT i
  p(1,4) = 0
  p(2,4) = 1
  p(3,4) = 0
  GOSUB elim
  mfa=mfx*SQR(ABS(ko(2)))*SGN(ko(2)) !MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT a
  FOR i = 1 TO m
    FOR k = 1 TO n + 1
      p(i,k) = p1(i,k)
    NEXT k
  NEXT i
  p(1,4) = 0
  p(2,4) = 0
  p(3,4) = 1
  GOSUB elim
  mfb=mfx*SQR(ABS(ko(3)))*SGN(ko(3)) !MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT b
  CLS
  PRINT AT(1,1);"PLATTENKONSTANTEN:"
  PRINT AT(1,2);"a:  ";koo(2);"; b:  ";koo(3);"; c:  ";koo(1)
  PRINT AT(1,3);"mfa: ";mfa;"; mfb: ";mfb;"; mfc: ";mfc
  PRINT AT(1,6);"NORMALGLEICHUNG x:"
  PRINT "LINKE SEITE ";anz * koo(1) + xo * koo(2) + yo * koo(3);" = RECHTE SEITE ";x1
  PRINT "LINKE SEITE ";xo * koo(1) + xx * koo(2) + xy * koo(3);" = RECHTE SEITE ";xx1
  PRINT "LINKE SEITE ";yo * koo(1) + xy * koo(2) + yy * koo(3);" = RECHTE SEITE ";yx1
  p1(1,1) = anz
  p1(1,2) = xo
  p1(1,3) = yo
  p1(1,4) = y1
  REM ------------------------
  p1(2,1) = xo
  p1(2,2) = xx
  p1(2,3) = xy
  p1(2,4) = xy1
  REM -------------------------
  p1(3,1) = yo
  p1(3,2) = xy
  p1(3,3) = yy
  p1(3,4) = yy1
  FOR i = 1 TO m
    FOR k = 1 TO n + 1
      p(i,k) = p1(i,k)
    NEXT k
  NEXT i
  REM KOEFIZIENT --------------
  GOSUB elim
  ko1(1)=ko(1) !f
  ko1(2)=ko(2) !d
  ko1(3)=ko(3) !e
  REM Mittlerer Fehler der Koeffizienten d,e,f:
  FOR i = 1 TO m
    FOR k = 1 TO n + 1
      p(i,k) = p1(i,k)
    NEXT k
  NEXT i
  p(1,4) = 1
  p(2,4) = 0
  p(3,4) = 0
  vvy = yy2 - y1 * ko1(1) - xy1 * ko1(2) - yy1 * ko1(3)
  an = anz - n
  IF an = 0 THEN
    an = 1
  ENDIF
  mfy = SQR(ABS(vvy) / an) * SGN(vvy)
  GOSUB elim
  mff=mfy*SQR(ABS(ko(1)))*SGN(ko(1)) !MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT f
  FOR i = 1 TO m
    FOR k = 1 TO n + 1
      p(i,k) = p1(i,k)
    NEXT k
  NEXT i
  p(1,4) = 0
  p(2,4) = 1
  p(3,4) = 0
  GOSUB elim
  mfd=mfy*SQR(ABS(ko(2)))*SGN(ko(2)) !MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT d
  FOR i = 1 TO m
    FOR k = 1 TO n + 1
      p(i,k) = p1(i,k)
    NEXT k
  NEXT i
  p(1,4) = 0
  p(2,4) = 0
  p(3,4) = 1
  GOSUB elim
  mfe=mfy*SQR(ABS(ko(3)))*SGN(ko(3)) !MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT e
  GOSUB elim
  PRINT AT(1,4);"d:   ";ko1(2);"; e:  ";ko1(3);"; f:  ";ko1(1)
  PRINT AT(1,5);"mfd: ";mfd;"; mfe: ";mfe;"; mff: ";mff
  PRINT AT(1,10);"NORMALGLEICHUNG y:"
  PRINT "LINKE SEITE ";anz * ko1(1) + xo * ko1(2) + yo * ko1(3);" = RECHTE SEITE ";y1
  PRINT "LINKE SEITE ";xo * ko1(1) + xx * ko1(2) + xy * ko1(3);" = RECHTE SEITE ";xy1
  PRINT "LINKE SEITE ";yo * ko1(1) + xy * ko1(2) + yy * ko1(3);" = RECHTE SEITE ";yy1
  AR = 0
  de = 0
  FOR i = 1 TO anz
    AR = AR + ((x(i) - (x1(i) - (koo(2) * x(i) + koo(3) * y(i) + koo(1)))) / COS(do)) ^ 2
    de = de + (y(i) - (y1(i) - (ko1(2) * x(i) + ko1(3) * y(i) + ko1(1)))) ^ 2
  NEXT i
  an = anz - 3
  IF an = 0 THEN
    an = 1
  ENDIF
  s1 = SQR(AR / an) / fo
  s2 = SQR(de / an) * 15 / fo
  PRINT AT(1,15);"MITTL. FEHLER PLATTENKONSTANTEN:"
  PRINT AT(1,16);"MITTLERER FEHLER OBJEKT IN REKTASZENSION: ";s1;" ZEITSEK."
  PRINT AT(1,17);"MITTLERER FEHLER OBJEKT IN DEKLINATION..: ";s2;" BOGENSEK."
  PRINT AT(1,24);"TASTE >W<"
  REPEAT
  UNTIL UPPER$(INKEY$) = "W"
RETURN
PROCEDURE elim
  FOR j=1 TO n-1     !GAUSS ELIMINATION
  nr = j
  no = ABS(p(j,j))
  FOR i = j + 1 TO n    STEP !ZEILENPIVOT
    noo = ABS(p(i,j))
    EXIT IF (noo - no) < 0
    no = noo
    nr = i
  NEXT i
  IF nr = j THEN
    GOTO jum1
  ENDIF
  FOR i = j TO m + 1
    no = p(nr,i)
    p(nr,i) = p(j,i)
    p(j,i) = no
  NEXT i
  jum1:
  FOR i = j + 1 TO m + 1   STEP !ELIMINATION
    p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
  NEXT i
  FOR i = j + 1 TO n
    FOR k = j + 1 TO m + 1
      p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
    NEXT k
  NEXT i
NEXT j
ko(n)=p(n,n+1)/p(n,n)  !RšCKSUBSTITUTION
FOR j = n - 1 TO 1 STEP -1
  ko(j) = p(j,n + 1)
  FOR i = j + 1 TO n
    ko(j) = ko(j) - p(j,i) * ko(i)
  NEXT i
NEXT j
RETURN
PROCEDURE nut
 
REM DELAUNAY-ELEMENTE
 
d = FN r(5.198468 + 7771.37714 * t)
  ll = FN r(6.24006 + 628.3019555 * t)
  l = FN r(2.3555482 + 8328.691422 * t)
  f = FN r(1.627903 + 8433.46615813 * t)
  af = FN r(2.182438 - 33.757045 * t)
  REM NUTATION IN LÄNGE
  nu = -172000 * SIN(af) + 2060 * SIN(2 * af)  - 1320 * SIN(2 * f - 2 * d + 2 * af) + 1430 * SIN(ll)
  nu = nu / 10000
  REM NUTATION IN SCHIEFE
  nu1 = 92025 * COS(af) - 895 * COS(2 * af) + 5740 * COS(2 * f - 2 * d + 2 * af) + 220 * COS(ll + 2 * f - 2 * d + 2 * af)
  nu1 = nu1 / 10000
  f7=0.409092804-0.00022696552*t !MITTLERE EKLIPTIKSCHIEFE
  ec=f7+RAD(nu1/3600) !WAHRE EKLIPTIKSCHIEFE
  REM lms,ms,ls = geometr. mittl. Länge der Sonne. mittl. Anomalie der Sonne, geometr. wahre L„nge der Sonne
  lms = FN r(4.8951+ 628.33198 * t)
  ms = FN r(6.24006 + 628.3019553261 * t)
  c = 0.03342 * SIN(ms) + 0.00035 * SIN(2 * ms)
  l = FN r(lms + c)
  v = FN r(ms + c)
  REM ds, ars = Deklin. und Rektaszension der Sonne ¥quinoktium des Datums JD
  ds=ASIN(SIN(ec)*SIN(l))  !Deklin. Sonne
  ys = SIN(l) * COS(ec)
  xs = COS(l)
  r1 = SQR(xs ^ 2 + ys ^ 2)
  x1 = xs / r1
  y1 = ys / r1
  ars=FN r(ATN(y1/(1+x1))*2) !Rektaszension Sonne
  e=0.01670862-0.000042037*t  !Exentrizität
  pe = RAD(102.937 + 0.71953 * t)
 
rs = 10 ^ (((3040 - 15 * t) + (-727600 + 1810 * t) * COS(ms) + (-9090 + 50 * t) * COS(2 * ms)) / 100000000)
RETURN
PROCEDURE appapos
  d1 = dek(i)
  a1 = ar(i)
  t2 = (jdbeo - jdep) / 36525
  IF ep$ = "J" THEN
    GOSUB praez
  ELSE
    t2 = (jdbeo - jdep) / 36524.2198782
    GOSUB praez1
  ENDIF
  GOSUB reduk
  dek(i) = d + ded + dpa + dnu + dab + di
  ar(i) = FN r(AR + ard + apa + anu + aab + ai)
RETURN
PROCEDURE app
  d = dekap
  AR = arap
  p = 0
  GOSUB reduk
  dekm = dekap - (dpa + ded + dnu + dab + di)
  arm = FN r(arap - (apa + ard + anu + aab + ai))
  REM ----- PRÄZESSION ----------
  t2 = (jdep - jdbeo) / 36525
  d1 = dekm
  a1 = arm
  IF ep$ = "J" THEN
    GOSUB praez
  ELSE
    t2 = (jdep - jdbeo) / 36524.2198782
    GOSUB praez1
  ENDIF
RETURN
PROCEDURE praez
  REM ----- PRÄZESSION FK5 ----------
  to = (jdep - 2451545) / 36525
  w1 = RAD((2306.22 * t2) / 3600)
  w2 = RAD((2306.22 * t2) / 3600)
  w3 = RAD((2004.31* t2) / 3600)
  d = ASIN(SIN(w3) * COS(d1) * COS(a1 + w1) + COS(w3) * SIN(d1))
  x = (COS(w3) * COS(d1) * COS(a1 + w1) - SIN(w3) * SIN(d1)) / COS(d)
  y = (COS(d1) * SIN(a1 + w1)) / COS(d)
  AR = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + w2)
RETURN
PROCEDURE praez1
  REM ----- PRÄZESSION FK4----------
  to = (jdep - 2433282.423459) / 36524.2198781
  w1 = RAD((2304.95 * t2) / 3600)
  w2 = RAD((2304.95 * t2) / 3600)
  w3 = RAD((2004.26 * t2 ) / 3600)
  d = ASIN(SIN(w3) * COS(d1) * COS(a1 + w1) + COS(w3) * SIN(d1))
  x = (COS(w3) * COS(d1) * COS(a1 + w1) - SIN(w3) * SIN(d1)) / COS(d)
  y = (COS(d1) * SIN(a1 + w1)) / COS(d)
  AR = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + w2)
RETURN
PROCEDURE reduk
  REM -------- LICHTABLENKUNG ----------------
  REM elo = Elongationswinkel bzw. Winkeldistanz Stern-Sonne.
  abl = RAD(0.00407 / 3600)
  elo = ACOS(SIN(ds) * SIN(d) + COS(ds) * COS(d) * COS(AR - ars))
  ard = abl * COS(ds) * SIN(AR - ars) / (1 - COS(elo) * COS(d))
  ded = abl * (SIN(d) * COS(ds) * COS(AR - ars) - COS(d) * SIN(ds)) / (1 - COS(elo))
  REM ---------- JÄHRLICHE PARALLAXE  ----------
  apa = RAD((rs * p * (COS(AR) * COS(ec) * SIN(l) - SIN(AR) * COS(l)) * (1 / COS(d))) / 3600)
  dpa = RAD((rs * p * (COS(d) * SIN(ec) * SIN(l) - COS(AR) * SIN(d) * COS(l) - SIN(AR) * SIN(d) * COS(ec) * SIN(l))) / 3600)
  REM ---------- NUTATION --------------------
  anu = (COS(ec) + SIN(ec) * SIN(AR) * TAN(d)) * RAD(nu / 3600) - COS(AR) * TAN(d) * RAD(nu1 / 3600)
  dnu = (SIN(ec) * COS(AR) * RAD(nu / 3600) + SIN(AR) * RAD(nu1 / 3600))
  REM --------- JÄHRL. ABERRATION (FIXSTERNABERRATION) ------
  aab = -k1 * ((COS(AR) * COS(l) * COS(ec) + SIN(AR) * SIN(l)) / COS(d)) + e * k1 * ((COS(AR) * COS(pe) * COS(ec) + SIN(AR) * SIN(pe)) / COS(d))
  dab=-k1*(COS(l)*COS(ec)*(TAN(ec)*COS(d)-SIN(AR)*SIN(d))+COS(AR)*SIN(d)*SIN(l))+e*k1*(COS(pe)*COS(ec )*(TAN(ec)*COS(d)-SIN(AR)*SIN(d))+COS(AR)*SIN(d)*SIN(pe))
  REM ------- TÄGL. ABERRATION -----
  di = RAD(-0.319 / 3600) * p1 * COS(br) * SIN(osz - AR) * SIN(d)
  ai = RAD(-0.319 / 3600) * ((p1 * COS(br) * COS(osz - AR)) / COS(d))
 RETURN
PROCEDURE sig
  k = 0
  vv = 0
  FOR i = 1 TO ns
    k = k + n(i)
  NEXT i
  mw=k/ns  !ARITHMERTISCHER MITTELWERT
  FOR i = 1 TO ns
    vv=vv+(n(i)-mw)^2 !FEHLERQUADRATSUMME
  NEXT i
  IF ns > 1 THEN
    sig=SQR(vv/(ns-1)) !STANDARDABWEICHUNG
    mf=SQR(vv/(ns*(ns-1))) !MITTL. FEHLER DES MITTELSWERTES
  ENDIF
RETURN
PROCEDURE osz
  REM ORTSSTERNZEIT
  sz = 6.697374558333 + 0.05133690722222 * t1
  sz1 = 2400 * t1
  sz1 = sz1 - INT(sz1 / 24) * 24
  sz = sz + sz1
  sz = sz - INT(sz / 24) * 24
  sz = sz + ut * 1.002737909 + lgeo / 15 + ((nu * COS(ec)) / 15) / 3600
  sz = sz - INT(sz / 24) * 24
  osz = RAD(sz * 15)
RETURN
PROCEDURE conv
  REM astrometrisch B1950/FK4 zu astrometrisch J2000/FK5
  x = COS(dj) * COS(arj)
  y = COS(dj) * SIN(arj)
  z = SIN(dj)
  REM Subktraktion der E-Terme
  x1 = x - (-1.6E-06) + (x * (-1.6E-06)) * x
  y1 = y - (-3.2E-07) + (y * (-3.2E-07)) * y
  z1 = z - (-1.4E-07) + (z * (-1.4E-07)) * z
  xo = 0.99993 * x1 - 0.011181 * y1 - 0.00486 * z1
  yo = 0.01118 * x1 + 0.99994 * y1 - 0.00003 * z1
  zo = 0.00486 * x1 - 0.00003 * y1 + 0.99999 * z1
  t = (jdbeo - 2433282.423459) / 36525
  x = xo + ((-0.00265 * x1 - 1.154 * y1 + 2.1111 * z1) / 1000000) * t
  y = yo + ((1.1541 * x1 - 0.0129 * y1 + 0.0236 * z1) / 1000000) * t
  z = zo + ((-2.1113 * x1 - 0.0056 * y1 + 0.01026 * z1) / 1000000) * t
  ro = SQR(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)
  d = ASIN(z / ro)
  x = x / (ro * COS(d))
  y = y / (ro * COS(d))
  AR = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
RETURN
PROCEDURE conv1
  REM astrometrisch J2000/FK5 zu astrometrisch B1950/FK4
  x = COS(dj) * COS(arj)
  y = COS(dj) * SIN(arj)
  z = SIN(dj)
  xo = 0.99993 * x + 0.01118 * y + 0.00486 * z
  yo = -0.01118 * x + 0.99994 * y - 0.00003 * z
  zo = -0.00486 * x - 0.00003 * y + 0.99999 * z
  t = (jdbeo - 2451545) / 36525
  x = xo + ((-0.00265 * x - 1.154 * y + 2.1111 * z) / 1000000) * t
  y = yo + ((1.1541 * x - 0.0129 * y + 0.0236 * z) / 1000000) * t
  z = zo + ((-2.1113 * x - 0.0056 * y + 0.01026 * z) / 1000000) * t
  REM Addition der E-Terme
  x1 = x + (-1.63E-06) - (x * (-1.63E-06)) * x
  y1 = y + (-3.2E-07) - (y * (-3.2E-07)) * y
  z1 = z + (-1.4E-07) - (z * (-1.4E-07)) * z
  ro = SQR(x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2)
  d = ASIN(z1 / ro)
  x1 = x1 / (ro * COS(d))
  y1 = y1 / (ro * COS(d))
  AR = FN r(ATN(y1 / (1 + x1)) * 2)
RETURN

Bahnbestimmung der Planeten, Asteroiden, Kometen und Erdsatelliten

Die Bahnberechnung eines Kometen oder Planetoiden (bei Ersatelliten sind Beobachtungen von 2-3 Stationen notwendig) erfolgt nach Eingabe der 3 Positionsbestimmungen (t1,t2,t3). Bei Kleinplaneten sollte der Beobachtungszeitraum insgesamt 3 bis 7 Wochen betragen, bei Kometen  - falls nahe der Sonne - auch kürzer. Die Ortsbestimmung t2 sollte möglichst nahe der Zeitraummitte liegen. Die Beobachtung der Kometen und Planetoiden um die Oppositionszeit ist günstiger, da das Gestirn um Mitternacht den höchsten Stand über dem Horizont einnimmt.
Klassische Bahnelemente (Äquinoktium J2000) aus 3 Ortsbestimmungen: Große Bahnhalbache a = 2.765713 AE, Exentrizität e = 0.0784195, Perihelargument 
z = 72.0568°, aufsteigender Bahnknoten W = 80.69281°, Bahnneigung gegen die Ekliptik i = 10.60626°, mittlere Anomalie M = 202.76364°, tägl. Begwegung n = 0.21428582°, E (Epoche) = 1988,9,5.045255 TDT, Periheldurchgang T = 1986,2,1.803826 TDT, Umlaufzeit U = 4.5994 Jahre. Wie diese Bahnelemente zeigen, handelt es sich um den von Mönch Giuseppe Piazzi in der Neujahresnacht am 1.1.1801 in Palermo erstentdeckten Kleinplaneten, dem er den Namen Ceres verlieh.

Die genaue Bahnlage (Äquinoktium des Datums) im Sonnensystem (mit Positionsmarkierung auf der Bahn) wird danach wiedergegeben - mit heliozentrischer u. geozentrischer (auf Sonne u. Erde bezogenen) tab. Positionswerten. Nach obigen Bahnelementen berechnete Position am 5.9.88, 1h4m14s UT: b = -10.6014°, l = 351.4994°, r = 2.96799 AE (= auf die Sonne bezogene, geometrische heliozentrische ekl. Br., Länge u. Entfernung, mittleres Äquinoktium des Datums); b = -15.789°, k = 357.3014° , Ê = 2.0059 AE (= auf die Erde bezogene, astrometrische topozentrische ekliptikale Breite, Länge u. Entfernung, Äquinoktium J2000); a = 0h15m52.11s, d = -15°31'59.7'', Ê = 2.0059 AE (auf die Erde bezogene  topozentrische astrometrische Koordinaten, Rektaszension, Deklination u. Entfernung, Äquinoktium J2000).

Die Objekte können nach astrometrischen Koordinaten (= mittlerer Ort zur Epoche mit Lichtzeitkorrektur) in Sternatlanten (z. B. Atlas  Stellarum oder Falkauer Atlas u.a.) derselben Epoche (mittleres Äquinoktium B1950 oder J2000) eingezeichnet werden.

Daneben werden sog. scheinbare Koordinaten angegeben, die den Gestirnsort bezeichnen wie er am Himmel erscheint (ohne Refraktion), also den unmittelbaren mit Meßinstrumenten (Theodoliten u.a.) oder Fernrohrteilkreisen einstellbaren genauen Ort.

Sämtliche auf dem Himmelsglobus wiedergegebene Positionen stets in scheinbaren Koordinaten, Äquinoktium des Datums. Die heliozentrische ekliptikale Länge u. Breite (l, b) ist der auf die Sonnenmitte bezogene geometrische Gestirnsort (= mittleres Äquinoktium des Datums ohne Lichtzeitberücksichtigung). Die Orts- u. Bahnbestimmung von Planeten und Kommeten ist analog durchzuführen.

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