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Horst Schumacher

Navigation - Ortsbestimmung aus Sterndedeckungen durch den Mond und Verfinsterung der Jupitermonde
 
Mitte des 17. Jahrh. unterhielten die Regierungen Sternwarten, die ausschließlich mit der Beobachtung der Jupitermonde beschäftigt waren. Auch der dänische Astronom Olaf Rømer (1644 - 1710) befasste sich mit der Beobachtung der Monderscheinungen. Dabei stellte er fest, daß die nach den Tafeln von Cassini vorausberechneten Zeiten für den Planetenschatteneintritt nur um die Oppositionszeit Jupiters zur Sonne mit seinen Beobachtungsresultaten übereinstimmten. Die Ereignisse traten umso später ein, je weiter Jupiter entfernt war. Er schloß daraus auf eine endliche Lichtlaufzeit. 1676 fand Rømer, aus den Verfinsterungszeiten der Jupitermonde, eine Lichtgeschwindigkeit von 220 000 km pro Sek. Erst als 1725 der Liebhaberastronom Samuel Molyneux mit Unterstützung des Direktors der Sternwarte Greenwich James Bradley, an Sternen in Nähe des Ekliptiknordpols ein Positionsveränderung (jährl. Aberration) um 41'' feststellte, die nur durch die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes erklärt werden konnte, wurden auch Olaf Rømer Resultate ernst genommen.

Die Kenntnis ihrer Örter, d. h. die Vorausberechnung der Phänomene, war unentbehrlich für die Positionsbestimmung auf See. Aus diesem Grunde zählte das Fernrohr zur Schiffsausrüstung des frühen 17. Jahrh. Das damalige nautische Jahrbuch enthielt Tabellen der vorausberechneten Eintrittszeiten der Jupitermonde in den Planetenschatten. Beobachtete der Nautiker den Eintritt in den Planetenschatten, wußte er aus dem Jahrbuch sofort die Greenwichzeit; denn Anfang des 18. Jahrh. hatten die Seefahrer nur sehr unzuverlässige Uhren, die durch astronomische Beobachtungen lfd. kontrolliert werden mußten. Die Borduhr zeigt die mittlere Ortszeit einer bestimmten geograph. Länge (mittl. Greenwichzeit Länge 0 Grad).

Die mittl. Ortszeit am Schiffsort bestimmt der Nautiker aus Messung der Kulminationshöhe der Sonne; denn um 12 Uhr wahre Sonnenzeit erreicht sie stets den höchsten Stand. Räderuhren können nur mittlere Sonnenzeit anzeigen, da - infolge Ekliptikschiefe und Erdbahnexentrizität - die scheinbare jährl. Bewegung der wahren Sonne nicht ganz gleichmäßig erfolgt. An die wahre Sonnenzeit ist daher eine den konstanten Gang mechanischer Uhren berücksichtigende Korrektur anzubringen die >Zeitgleichung< genannt wird, um mittl. Ortszeit zu erhalten. Die Kulminationszeitdifferenz nach Bordzeit (Greenwichzeit der Länge 0 Grad) und beobachteter mittl. Ortszeit ergibt die gesuchte geograph. Länge des Schiffsortes.

Mit dem seit 1830 allgemein eingeführten Spiegelsextanten ergaben sich zudem neue Methoden guter Zeitbestimmungen für die Schiffahrt, z. B. aus den gemessenen Monddistanzen von hellen Sternen. Voraussetzung ist jedoch die sehr genaue Kenntnis des Mondortes.

Im Jahr 1713 bot England 20000 Pfd. Sterling und 1715 Frankreich 100 000 Franken für eine Methode, nach der ein Schiffsort auf mindestens einem halben Grad genau bestimmt werden konnte. 1758 erhielt der Uhrmacher John Harrison, der 1735 den ersten tragbaren Chronometer anfertigte, 5000 Pfd. Sterling für einen Chronometer, der nach 161 Tagen auf See einen Gangfehler von 65s aufwies, und weitere 10000 Pfd. für eine Verbesserung mit nur noch 54s Differenz nach 156 Tagen. (Literaturempfehlung: Dava Sobel, >Längengrad<, Goldmann-Verlag).

1755 sandte Tobias Mayer seine >Novae tabula motuum Solis et Lunae< nach London, die ein halbes Jahrh. lang verwendet wurden. Nachdem Mayer 1762 verstarb, erhielt seine Witwe den Preis von 5000 Pfd. Sterling. Die Tafeln ermöglichten erstmals die geographische Länge aus Beobachtungen von Sternbedeckungen durch den Mond zu bestimmen (s. “Bestimmung der geographischen Länge aus Sternbedeckungen”).

>...The Tables of the Moon had been brought by the late Professor Mayer of Göttingen to a sufficient Exactness to determine the Longitude at Sea, within a Degree, es appeared by the Trials of several Persons who made Use of them. The Difficulty and Length of the necessary Calculation seemed the only Obstacles to hinder them from becoming of general Use: To remove which this Ephemeris was made...< (Aus dem Vorwort der Erstausgabe des Nautical Almanac 1767).
 
Die geographische Breite erhält man aus der Messung der Kulminationshöhe eines Gestirns mit Sextanten, Pendelquadranten, Theodoliten usw. Auf dem Meer ergeben Höhenmessungen mit dem Sextanten die Kimmabstände. Die dann notwendige Beschickung für Kimmtiefe bezieht die gemessenen Höhen auf den scheinbaren Horizont (auf den wahren Horizont nach Korrektion für Parallaxe) Messungen mit Sextanten an Land sind nur am künstlichen Horizont (Schale Syrub oder Quecksilber mit spiegelnder Oberfläche) möglich, da der natürliche Landschaftshorizont direkte Messungen an der Kimm nicht erlaubt. Die Beschickung für Kimmtiefe entfällt dann, da künstlicher und scheinbarer Horizont einander entsprechen. Bei Beobachtungen mit Pendelquadranten oder Theodoliten erübrigt sich die Berücksichtigung der Kimmtiefe bzw. Augeshöhe ebenfalls.

Das Verfahren läßt sich kurz erläutern. Angenommen, unser Schiff befindet sich in der Tasmansee. Datum 3.6.1984. Schiffsort und Uhrstand sind nicht genau bekannt. Aus dem Mittel einiger Zeit- und Höhenmessungen beträgt die Kulminationshöhe des Sonnenunterrandes über der Kimm 28.4281769° um 1.4653222 Uhr UT Bordzeit.
Mit dem Fernglas wurde die Verfinsterung des Jupitermondes Io beobachtet als die Borduhr 10h26m25s UT anzeigte. Das Jahrbuch oder Globus gibt 10h21m UT des Verfinsterungszeitpunktes. Gangfehler der Uhr -0.0902778 Std. Kulminationszeit der Sonne daher 1.4653222 Std. - 0.0902778 Std. = 1.37504 Uhr UT. Deklination (Abweichung vom Äquator) der Sonne für diesen Zeitpunkt nach dem astronom. bzw. nautischen Jahrbuch oder der Tafel des Globus: +22.317333°.

Gemessene Kulminationshöhe 28.428172° + Sonnenhalbmesser 0.2627694° - Kimmtiefe 0.032083° * Å8 m (8 m Augeshöhe ü.d. Meerespiegel) - 0.02801° Refraktion (29 °C und 770 mm Luftdruck) + Höhenparallaxe 0.002444° * cos 28.572187 Sonnenhöhe = 28.574333° geozentrische Höhe über dem wahren Horizont nach obiger Gesamtbeschickung + (auf der Nordhemisphäre subtrahieren) geozentrische Deklination der Sonne (+22.317333°) = Höhe des Himmelsäquators im Meridian: 50.891663°.
Geographische Breite des Schiffsortes: 50.891663° - 90° (Nordhemisphäre: Höhe des Himmelsäquators von 90° subtrahieren) = -39.1083°. Diese Methode der Breitenbestimmung nennt man das Zirkummeridianhöhenverfahren.

Die wahre Sonne kulminiert stets um 12 Uhr wahre Ortszeit im Süden und im Falle der Südhalbkugel im Norden. Die Zeitgleichung beträgt am 3. Juni -0.0324 Std., die Sonne kulminiert demnach um 11.96758 Uhr mittl. Ortszeit. Die Differenz beträgt: 11.96758 Uhr MOZ - 1.37504 UT = 10.592541 Std. Längendifferenz in Zeit * 15° (1 Std. = 15° = +158.88° geographische Länge des Schiffsortes.

Die Differenz der Kulminationszeit der Sonne nach mittl. Ortszeit (MOZ) und Weltzeit (UT) ergibt sofort die gesuchte Länge. Die Zeitdifferenz zwischen Ortssternzeit und Rektaszension zur Kulminationszeit ergibt ebenfalls die geograph. Länge: Rektaszension der Sonne zur Kulminationszeit um 1.37504 Uhr: AR 4.7466889 Std.
Sternzeit in Greenwich um 0 Uhr: 16.775344 Std. + 1.37504 Std. mittl. Sonnenzeit der Kulmination * 1.0027379 (Umwandlung in Sternzeitmaß) = Sternzeit in Greenwich zur Kulminationszeit der Sonne: 18.154149 Std. - Rektaszension der Sonne 4.7466889 = westl. Stundenwinkel 13.40746 Std. * 15° = 201.1119° westl geograhische Länge = 360° - 201.1119° = +158.888° östl. geograph. Länge des Schiffsortes.

Nachts kann der Ort aus der Höhe von Mond, Planeten oder Sternen ermittelt werden. Mit dem Sextanten bestimmte man nach korrigierter Bordzeit um 9 Uhr UT (Borduhr zeigte 9h5m25s UT an) die Marshöhe zu 52.640589° über der Kimm - 0.032083° *
Å8 m Kimmtiefe - 0.011706° Refraktion = 52.538139° + 0.00444° * cos 52.538139° Höhenparallaxe = geozentrische wahre Höhe h 52.54084°. Deklination des Mars d -17.018333°.
Bekannte geograph. Breite 
w -39.1083°. Arccos t (t negativ, 180 Grad addieren) = (sin h - sin d * sin w)/(cos d * cos w) ergibt den beobachteten östlichen Stundenwinkel des Mars t = -34.814108°/15° = -2.3209405 Std. (t am Osthimmel negativ nehmen). Rektaszension des Mars 14.713472 Std. + t (-2.3209405) Std. = Ortssternzeit 12.392532 Uhr.
Sternzeit in Greenwich um 9 Uhr UT: Sternzeit um 0 Uhr 16.775344 + 9 Uhr UT * 1.0027379 = 25.7999855 Std. - 12.392532 Std. = 13.407454 Std. westl. Stundenwinkel * 15° = 201.1118° westl. geograph. Länge. 360° - 201.1118° = +158.888° östl. geograph. Länge des Schiffsortes, als Differenz der am Schiffsort beobachteten Ortssternzeit und der für Greenwich berechneten Sternzeit.

Alternative Methode: Sternzeit um 9 Uhr UT in Greenwich: 25.79998 Std. - Rektaszension (AR) Mars 14.713472 Std. = Greenwich-Studenwinkel t 11.086508 Std. * 15° (Zeitwinkel in Gradmaß) = 166.29762°. Westl. Ortsstundenwinkel des Mars am Schiffsort (-34.814108° + 360° =) 325.1859° - westl. Stundenwinkel in Geenwich 166.29762° = +158.888° geograph. Länge aus der Stundenwinkeldifferenz. Diese aus der Praxis verschwundene Art der Längenbestimmung wird als Chronometerlängenverfahren bezeichnet; denn Greenwich-Stundenwinkel und -Sternzeit werden nach genauem Chronometerstand berechnet.

Die Kontrolle des Chronometers aus Jupitermondbeobachtungen ist nur noch von historischem Interesse, da heutzutage Zeitzeichensignale überall auf der Welt empfangen werden können. Im anderen Falle läßt sich der Chronometerstand - neben Zeitbestimmungen aus Jupitermonderscheinungen - auch aus Höhenbeobachtungen bei bekannter geograph. Länge bestimmen. Nach Bordzeit (der genaue Chronometerstand ist unbekannt) wurde Mars in 52.5408° Höhe um 9h5m25s UT mit dem Sextanten beobachtet. Daraus berechnete Ortssternzeit in Gradmaß 12.39253°.
Ortssternzeit nach Bordzeit: Sternzeit um 0 Uhr UT: 16.775344 Uhr + 9.0902778 Uhr UT * 1.0027379 (Sternzeitmaß) = 1.89051 Uhr Sternzeit in Greenwich + geograph Länge 158.888°/ 15° in Zeit = 12.483043 Uhr Ortssternzeit am Schiffsort. Beobachtete minus berechnete Zeit: 12.39253 - 12.483043 = -0.0905133 Std. / (1/1.0027379 Sonnenzeitmaß) = -0.090266 Std. (mittl. Sonnenzeit) = Uhrstand -5m25s. Voraussetzung ist jedoch die genau bekannte geograph. Länge.

Die gemessene Höhe eines Sterns am Osthimmel zur Zeit t1 und in gleicher Höhe am Westhimmel zur Zeit t2, ergibt die Kulminationszeit t = 0.5*(t1+t2). Diese Art der Zeit- bzw. Längenbestimmung nennt man das Verfahren der Korrospondierenden Höhen. Die beobachtete Ortssternzeit eines kulminierenden Sterns im Ortsmeridian des Schiffsortes ist gleich seiner Rektaszension, die von der Sternzeit in Greenwich zur Zeit t subtrahierd wird. Die Zeitdifferenz ergibt die gesuchte geograph. Länge. Geogr. Breite aus der Kulminations- bzw. Zirkummeridianhöhe des Sterns. Die genaue Rektaszension und Deklinination enthält das naut. Jahrbuch. Die in Sternkatalogen enthaltenen mittl. Sternörter sind auf eine bestimmte Epoche (Äquinoktium 1950.0 oder 2000.0) bezogen und müssen durch Berücksichtigung der Präzession auf das mittlere Äquinoktium des Jahres bezogen werden.

Die geograph. Breite eines Sterns ist gleich seiner Deklination, die geograph. Länge gleich seiner Rektaszension um Null Uhr Sternzeit in Greenwich, dabei ist die Sternzeit gleich dem Stundenwinkel zwischen Nullstundenkreis der scheinbaren Himmelskugel (Aries-Punkt) und dem geograph. Nullmeridian von Greenwich. Demzufolge läßt sich jedes Gestirn einem geograpichen Ort zuordnen, dessen Zenit es augenblicklich durchläuft. Dieser Bildpunkt des Sterns wandert in einem Sterntag auf dem Deklinations- bzw. geograph. Breitenkreis von Ost nach West um die Erde.

Ein Stern der Deklination bzw. geograph. Breite -40° erscheint daher nie über dem Horizont eines Ortes auf +50° nördl. Breite, andererseits durchläuft ein Stern der Deklination +50° täglich dessen Zenit. Auf +40° n. Br. erreicht dieser Stern 80° Höhe bzw. 10° Zenitdistanz. Beide Zenitbildpunkte bzw. Orte sind demnach 10° * 60' = 600 Seemeilen entfernt. Die geograph. Koordinaten ergeben sich demzufolge aus der astronom. Navigation nach den Gestirnen.

Ist der Schiffsort der Besteck- bzw. Koppelrechnung (Loggeort) nach Kurs, Geschwindigkeit und Versetzung durch Wind und Strömung nur ungefähr bekannt, nennt man ihn den gegißten (geschätzten) Ort (Markierung g der Fig. 46). Durch Einzeichnung der Standlinien (Azimute) von mindestens 3 Sternen in das Gradnetz der Seekarte oder auf einem Bogen Papier, wird der Ort verbessert. Gegißter Ort: -39°15.6' südl. Br., +158°41.4' östl. Länge (= +158.69°). Die Horizontalkoordinaten eines Sterns bzw. des augenblicklichen geograph. Bild- oder Zenitpunktes wird für diese Breite und Länge berechnet.
h = Höhe. a = Azimut.;
d = scheinb. Deklin. des Sterns. w = geogr. Br. des gegißten Ortes (-39.26°).
AR = scheinbare Rektaszension. OSZ = Ortssternzeit des gegißten Ortes. Stundenwinkel t = OSZ - AR.

Höhe arcsin h = sin
w * sin d + cos w * cos d * cos t
sin a1 = (cos
d * sin t)/cos h
cos a2 = (sin
w * cos d * cos t - cos w * sin d/cos h
Azimut a = ARCTAN(a1/(1+a2))*2 (a negativ, 360 Grad addieren)
Mittl. Sternort 1984.5 (0.3' Nutation u. 0.34' Aberration [max. 0.64'] für Reduktion auf den scheinbaren Ort vernachlässigt):
Arcturus: AR 213.7383°, 
d+19.2628°, t = 32.1158°.
Atair.....: AR 297.5067°,
d + 8.8267°, t = 308.3474°.
Toliman: AR 219.6354°,
d -60.7722°, t = 26.2187°.

Ortssternzeit am gegißten Ort für den Beobachtungszeitpunkt 13 Uhr UT. Sternzeit am 3.6.1984 um 0 Uhr UT für Greenwich: 16.775344 Uhr + 13 Uhr UT * 1.0027379 = 5.8109367 Uhr Sternzeit in Greenwich + geogr. Länge 158.69°/15° = 16.39027 Std. Ortssternzeit * 15° = OSZ 245.85405°. Daraus berechnete h und a für den 3.6.1984 13 Uhr UT (siehe obige Formel):
Arcturus (Alpha Bootis)...: h 24.2242°, a 146.6105°.
Atair      (Alpha Aquilae).: h 22.1845°, a 236.8174°.
Toliman  (Alpha Centauri): h 63.0550°, a 28.4288°.

Am wahren Schiffsort um 13 Uhr UT beobachtete Höhe h (angebrachte Sternbeschickung: Refraktion u. Kimmtiefe. Indexfehler des Sextanten 0.0'):
Arcturus (Alpha Bootis)..: h 24.26603°, 13 Uhr UT.
Atair      (Alpha Aquilae).: h 22.39602°, 13 Uhr UT.
Toliman  (Alpha Centauri): h 62.84850°, 13 Uhr UT.
Weichen die Zeitpunkte der drei Höhenbeobachtungen nur um ein paar Minuten voneinander ab, spricht man vom >Ort aus drei Höhen ohne Versegelung<.
Man bildet nun die Differenz beobachtete minus berechnete Höhe:
Arcturus: h 24.2660° - 24.2242° = 0.0418° * 60' = +2.51'.
Atair.....: h 22.3960° - 22.1845° = 0.2115° * 60' = +12.69'.
Toliman: h 62.8485° - 63.0550° = -0.207° * 60' = -12.42'.

Bei positiver Differenz, also beobachtete größer als berechnete Höhe, liegt der wahre Schiffsort um den Bogenminutenbetrag (1' = 1 Seemeile = 1.852 km) der Höhendifferenz näher am Zenitpunkt des Sterns. Mit geeignetem Maßstab (1' = 0.5 cm) trägt man die Standlinie vom gegißten Ort (g) in Richtung des Azimutes ab (Fig. 42). Azimut von Toliman 28.4°. Die beobachtete Höhe dieses Sterns ist kleiner als die berechnete. Die Standlinie liegt somit -12.42' in entgegengesetzter Richtung des Zenitpunktes. An entsprechender Stelle (-12.42' = 6.21 cm von g zu b auf der Linie g-b) zeichnet man die Standlinie rechtwinklig zur Richtungslinie g-b.



Diese Standlinie b-w ist kreisförmig, nämlich der am Schiffsort beobachtete Höhenkreis; h 62.8485° des Bildpunktes, dessen Entfernung 90° - h 62.8485° = (Zenitdistanz) z 27.1515° * 60' = 1629 Seemeilen beträgt, in Richtung (Azimut) 28.4° des Sterns Toliman. Auf die Erdoberfläche projiziert wird dieser Kreis, auf dem alle Beobachter das Gestirn in gleicher Höhe beobachten, zur Höhengleiche. Sein Radius ist die Zenitdistanz, sein Mittelpunkt der Bildpunkt (Zenitort) des Sterns. Wegen der großen Radien und kleinen Winkeln können Standlinien praktisch als Tangente der Höhengleiche gezeichnet werden. Sterne über 85° dürfen hingegen nicht verwendet werden; denn die Entfernung ihres Bild- bzw. Zenitpunktes fällt sonst unter 5° * 60' = 300 Seemeilen, so daß sich die Krümmung der Höhengleiche nicht mehr vernachlässigen läßt.

Bei fehlerfreier Beobachtung erscheint der wahre Schiffsort w als Schnittpunkt der drei Standlinien b-w, c-w und a-w, anderenfalls bilden sie ein kleines Fehlerdreieck. Der wahre Schiffsort liegt dann in der nach Augenmaß abzuschätzenden Mitte des Dreiecks.

Die Strecke y-w bildet die geograph. Breitendifferenz g-w im Maßstab der Zeichnung. Der Abstand x-w in Seemeilen (sm) heißt Abweitung, die durch Division des Cosinus der geograph. Breite in den jeweiligen Längenunterschied (d) umzuwandeln ist (d in Bogenminuten = Abweitung in sm/cos geogr. Br.), aufgrund der in Richtung Pole zusammenlaufenden Meridiane. Der Äquator ist ein Großkreis auf dem 1' (Bogenminute) in Ost-West Richtung 1 Seemeile entspricht. Alle anderen Breitenkreise sind Kleinkreise, deren Radien mit Zunahme geogr. Breite abnehmen. Auf Kleinkreisen erhält man Bogenminuten erst nach Division der Seemeilen mit dem Cosinus des Breitenkreises und umgekehrt Seemeilen nach Multiplikation der Bogenminuten mit dem Cosinus des geograph. Breitenkreises. Die Differenz gegiter (g) u. wahrer Ort (w) heit Besteckversetzung die nach Größe u. Richtung angegeben wird. Die geograph. Koordinaten des wahren Schiffsorts betragen nach dem Standlinienverfahren: -39°6.6' südl. Breite und +158°53.5' östl. Länge.

Bestimmung der geographischen Länge aus Sternbedeckungen
 
Geograph. Breite und Uhrzeit (Greenwich Weltzeit UT=unversal time) müssen genau bekannt sein. Input: Datum, geograph. Breite und Uhrzeit der beobachteten Sternbedeckung. Output: Geographische Länge.

Skizzen des Mondrandprofils aus Beobachtungen streifender Sternbedeckungen
 
Das aus der Photogrammetrie bekannte Verfahren Shape-from-Shading („Gestalt-aus-Schatten"), das aus den beobachteten Schatteneffekten auf die Gestalt oder Silhouette des beleuchteten Objektes schließt (die an verschiedenen Orten beobachteten Durchgangszeiten bei Sternbedeckungen eines Asteroiden ergeben z. B. dessen Schattenumriß), fand bereits unterstützende Anwendung bei der Auswertung der Oberfläche von Mond und Planeten, wo die Albedobedingungen einem Labertschen Strahler nahe kommen, und bildet hier eine Variante bei der Erstellung einer topographischen Profilkarte des Mondrandterrains.
Die am Schatten- oder Mondrand von verschieden Orten beobachten Durchgansgzeiten einer streifenen Sternbedeckung bezeichnet somit das Mondrandprofil in Positionswinkel der Bedeckung.

Wer die Ausdehnung und Erscheinung von Formationen am Monrand näher erforschen möchte, sollte zusammen mit anderen Interessenten eine streifende Sternbedeckung beobachten. 

4.4.1995. Bedeckungszone der am nördl. Schattenrand streifenden Sternbeckung.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vom bedeckten Stern aus gesehen, erscheint der Mond auf die Erdoberfläche projiziert, und zwar wegen der goßen Entfernung des Sterns in sog. Parallelprojektion. Der zylinderförmige Schatten im Durchmesser des Mondes ( = 1738.092 km angenommener mittlerer Mondradius) ist wegen geringer Helligkeit des Sterns nicht sichtbar. Lediglich bei einer Sonnenfinsternis erscheint der Mondschatten direkt auf der Erdoberfläche beobachtbar (“fliegende Schatten”). Der von Westen kommende Rand des Schattenzylinders passiert stets den Beobachtungsort, wenn dort ein Stern am Mondrand ein- bzw. austritt.

Der berechnete Rand des Schattenzylinders (einschließl. Finsternisgebiet) ist am Erdglobus ersichtlich (Fig. 44). Der ansonsten kreisrunde Schattenzylinder wird wegen der Kugelkrümmung nahe des Erdrandes länglich verzerrt.
Fig. 44 zeigt die Schattenzone für das eingegebene Datum 4.4.1995, 19h20m16.4s UT, so daß für alle Orte der östl. Schattenrandlinie die Sternbedeckung um 19h20m16.4s UT beginnt bzw. für alle Orte der westl. Schattenrandlinie um 19h20m16.4s UT endet. Beobachter auf der Zentrallinie der Schattenbahn registrieren einen zentralen Durchgang durch den scheinbaren Mondmittelpunkt. Für Beobachter der geograph. Breite und Länge der nördl. und südl. Grenzlinie (mittl. Schattenrand) tangiert der Stern den nördl. bzw. südl. Mondrand (streifende Sternbedeckung).

Fig. 43 zeigt die Lage des Mondschattens auf der Fundamentalebene. Die plane Ebene verläuft durch den Erdmittelpunkt und senkrecht zur Schattenachse. Die rechtwinligen Koordinaten der Schattenmitte: x=0.45997, y=0.41473 (mit Erdabplattung y1=0.41599) Erdradien; l1=Radius des Mondschattens auf der Fundamentalebene 0.2725076 Erdradien); my=55.06641° = Stundenwinkel der Schattenachse bzw. der Mondrichtung mit dem Nullmeridian der Erde (Greenwich); gam=Differenz Schattenachse-Erdzentrum 0.61934 Erdradien; d=Deklin. Stern 18.40453°.
Die Zeitpunkte der Ein- und Austritte des streifenden Sterns an den Bergketten und Tälern des Mondrandes ist zu registrieren (s. “Beobachtung von Sternbedeckungen”).

Lunarer Kernschatten am 4.4.1995, 19h11m UT.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

An einer Station läßt sich nur eine einzelne Sehne bzw. Tangente des Mondrandprofils bestimmen. Um eine vollständige topograph. Profilkarte des Mondrandterrains zu erhalten, sind daher zahlreiche Beobachtungsposten notwendig, die durch mobile, tempräre Feldsternwarten innerhalb einer mehreren Kilometer breiten Beobachtungszone (nahe am Rand, jedoch noch innerhalb des Schattenbereichs) entlang der mittl. [berechneten] nördl. oder südl. Grenzlinie der Schattenspur für die Ereignisdauer im Gelände aufgebaut werden.

Numerisches Beispiel. Beobachtungsdaten der Kontaktzeiten (Verschwinden und Auftauchen des Sterns an den Bergen und Tälern des Mondrandes) und geograph. Koordinaten der Stationen nach I. Reimann: >Ein Stück Mondhorizont auf der Erde<..

Auf den mittl. (CIO) Rotationspol bezogene geograph. Koordinaten. Bessel'scher Erdellipsoid.
 
Station / geograph. L. / geograph. Br. / Höhe ber N.N.
 1   10°47'20'' . L. / 53°56'36.0'' n. Br. / 18 m
 2   10°47'25'' . L. / 53°56'50.1'' n. Br. / 18 m
 3   10°47'29'' . L. / 53°56'59.6'' n. Br. / 15 m
 4   10°47'53'' . L. / 53°57'00.6'' n. Br. / 29 m
 5   10°47'30'' . L. / 53°57'19.0'' n. Br. / 13 m
 6   10°47'26'' . L. / 53°57'27.6'' n. Br. / 8 m
 7   10°47'29'' . L. / 53°57'34.1'' n. Br. / 7 m
 8   10°47'40'' . L. / 53°57'38.6'' n. Br. / 8 m
 9   10°48'14'' . L. / 53°57'37.7'' n. Br. / 23 m
 10  10°48'55'' . L. / 53°57'42.3'' n. Br. / 23 m
 11  10°49'02'' . L. / 53°56'50.7'' n. Br. / 31 m
 12  10°49'02'' . L. / 53°57'32.2'' n. Br. / 20 m
 13  10°47'25'' . L. / 53°56'44.6'' n. Br. / 20 m

Bedeckung am 4.4.1995. Sternbild Stier (Hyaden). Katalog-Nr. ZC 643, SAO 93883, HD 27534. Visuelle Helligkeit V=6.80 mag, Spektrum F5. RV +37 km/s. Koordinaten J2000: PPM-Katalog Nr. 119815, AR 4h21m32.255s, Deklin. +18°25'03.51'', jährl. Eigenbewegung in AR 0.0078s, in Deklin. -0.024''.

Nach Anklicken des Sterns PPM 119815 erscheint die Tafel mit der Meldung einer streifenden Bedeckung. Die geozentr. Konjunktion Mond-Stern war am 4.4.1995, um 18h20.4m UT, die geozentr. Minimaldistenz (gam c) betrug am 4.4.1995, um 18h16.7m UT (Weltzeit) 0.3726 Erdradien (=Distanz Mondzentrum/Erdzentrum in Erdradien, gesehen vom Stern). Liegt dieser Wert (gam) zwischen
±0.725 existiert eine nördl. und südl. Grenzlinie. Liegt gam zwischen +0.73 u. +1.27 existiert nur die südl. Grenzlinie. Falls c zwischen -1.27 and -0.73 liegt existiert nur die nördl. Grenzlinie des Finsternisgebiets (Fig. 44).

Die geographische Breite, Länge und Höhe über N.N. der einzelnen Stationen ist einer topographischen Karte 1:5000 (Deutsche Grundkarte DGK 5), 1:25000 (Meßtischblatt) oder der Kreiskarte 1:50 000 zu entnehmen (evtl. nach GPS Empfänger). Die tabellarisch ausgegebene Länge und Breite der Grenzlinie (mittl. Schattenrand) der streifenden Sternbedeckung wird in eine Karte eingezeichnet und die Koordinaten der gewählten Beobachtungsorte mit Bleistift eingetragen.

Mittl. Verlauf (Tab. Globusglobus) der nördl. Schattengrenze am 4.4.1995 (Hemmelsdorfer See):
19h20m46.7s UT / 10°40'48'' . L. / 54°00'13'' n. Br.
19h20m52.5s UT / 10°48'00'' . L. / 53°58'20'' n. Br.
19h20m58.6s UT / 10°55'12'' . L. / 53°56'27'' n. Br.

Registrierte Kontaktzeiten (beobachteter E=Eintritt, A=Austritt des Sterns an den Bergen und Tälern des Mondrandes) um 19h... UTC (UT=UTC+DUT1 vernachlässigt).
 Station:
 1 E=19m11.7s, A=19m13.1s / E=19m19.8s, A=19m23.9s / E=19m26.2s, A=19m30.0s / E=19m30.7s, A=22m54.2s.
 2 E=19m36.1s, A=22m46.0s / -
 3 E=19m40.4s, A=19m42.8s / E=19m44.9s, A=19m48.2s / E=19m49.0s, A=22m40.3s / -
 4 E=19m51.3s, A=22m34.6s / -
 5 E=19m58.7s, A=22m30.5s / -
 6 E=20m01.5s, A=22m26.4s / -
 7 E=20m05.0s, A=22m03.9s / E=22m12.4s, A=22m16.5s / E=22m20.8s, A=22m24.5s / -
 8 E=20m08.7s, A=20m43.4s / E=20m46.3s, A=22m00.2s / E=22m11.8s, A=22m15.3s / E=22m21.1s, A=22m21.9s.
 9 E=20m10.8s, A=20m32.5s / E=20m36.6s, A=20m37.9s / E=20m38.1s, A=20m39.1s / E=20m58.7s, A=21m59.4s.
 10 E=20m16.4s, A=20m18.3s / E=20m20.0s, A=20m20.5s / E=21m04.5s, A=21m49.6s / -
 11 E=19m56.6s, A=22m32.2s / -
 12 E=20m15.0s, A=20m30.2s / E=21m01.8s, A=21m52.3s / E=21m53.5s, A=21m54.6s / -
 13 E=19m21.1s, A=19m21.9s / E=19m26.5s, A=19m28.4s / E=19m34.0s

Auswertung. Reduktion der einzelnen Stationshöhen über N.N. auf Meerespiegelniveau (N.N.=0 Meter).
Topozentr. Horizontkoordinaten des scheinbaren Mondmittelpunktes für Station 10, um 19h20m16.4s UT: Höhe hm=27.3548°, Azimut (ab Süden über Westen gemessen) azm=83.4125° (ohne Refraktion).
(hm, azm der Station 10 kann hier für alle anderen übernommen werden, da Zeit und Ort der Stationen nur unwesentlich differieren, andernfalls ist das für jede geograph. Station gültige hm, azm zu verwenden.)

dm=NN*TAN(PI/2-hm); NN=Höhe der Station in Metern, hm=Mondhöhe; PI=3.14159265. Fig. 45.

Beispiel. Station 11: NN=31 Meter. Gradmaß hm 27.3548° * PI/180 = hm 0.4774313 in RAD: dm 59 .9 Meter = 31*tan(Pi/2-hm).
Verschiebung der Station 11 auf der Karte um dm Meter in die entgegengesetzte Richtung des Mond-Azimutes, ergibt die reduzierte Station 11 für NN=0.
Auf der Karte 1:5000 oder 1:25000 entspricht 50 m oder 250 m in der Natur 1 cm auf der Karte. Betrag der Verschiebung 59.9/50 m bzw. 59.9/250 = 1.198 cm bzw. 0.2396 cm, in Gegenrichtung des Mondes: azm=83.4125°+180° = in Azimut 263.4125°(ab Süden über Westen).





Nach der Reduktion der Beobachtungsstationen auf Meeresspiegelhöhe (NN=0 meter) sind die einzelnen Kontaktzeiten der Stationen auf eine gemeinsame Station (z. B. Nr. 10) zu beziehen. Auf der Karte mißt man den senkrechten Abstand (y km) der einzelnen auf NN=0 m reduzierten Stationen von der eingezeichneten nördl. Grenzlinie (Fig. 46).




Station: 1 y=3.26 km  7 y=1.57 km
           2      2.83      8      1.37
           3      2.53      9      1.14
           4      2.31      10      0.7
           5      1.99      11      2.09
           6      1.76      12      0.94
                               13     2.99

Durch die gewählte Bezugsstation (hier Station 10) wird rechtwinklig zur eingezeichneten nördl. Grenzlinie des Schattens eine Gerade gezogen (Fig. 46). Parallel zur Grenzlinie bestimmt man den Abstand (d km) der einzelnen Stationen von der Bezugsgraden der Station 10. Negat. Vorzeichen für die östlich der gemeinsamen Senkrechten befindlichen Stationen 11 und 12.

Station: 1 d=0.76 km  7 d=1.35 km
           2      0.86      8      1.23
           3      0.93      9      0.63
           4      0.50    10     0.00
           5      1.14    11     -0.78
           6      1.32    12     -0.24
                               13      0.78

Lt. Globus-Tabelle bewegte sich der nördl. Rand des Mondschattens um 19h20m16.4s UT (Weltzeit) mit einer Geschwindigkeit von 1.424 km pro Sek. (der Schattenmittelpunkt mit 0.877 km/s [Fig. 43]).
Abstand der Station 1 von der Senkrechten z. B. d=0.76 km / 1.424 km/s östl. Schattenbewegung = Zeitunterschied gegen Station 10 = zd 0.5 Sek. Da Station 1 westlicher liegt, sind zd 0.5s zu den beobachteten Zeiten (E=19h19m11.7s + zd 0.5s = E=19h19m12.2s) der Station 1 zu addieren.

Auf die Senkrechte der Bezugsstation 10 reduzierte Kontaktzeiten:

 1 E=19m12.2s, A=19m13.6s / E=19m20.3s, A=19m24.4s / E=19m26.7s, A=19m30.5s / E=19m31.2s, A=22m54.7s.
 2 E=19m36.7s, A=22m46.6s / -
 3 E=19m41.1s, A=19m43.5s / E=19m45.6s, A=19m48.9s / E=19m49.7s, A=22m41.0s / -
 4 E=19m51.7s, A=22m35.0s / -
 5 E=19m59.5s, A=22m31.3s / -
 6 E=20m02.4s, A=22m27.3s / -
 7 E=20m06.0s, A=22m04.9s / E=22m13.4s, A=22m17.5s / E=22m21.8s, A=22m25.5s / -
 8 E=20m09.6s, A=20m44.3s / E=20m47.2s, A=22m01.1s / E=22m12.7s, A=22m16.2s / E=22m22.0s, A=22m22.8s.
 9 E=20m11.2s, A=20m32.9s / E=20m37.0s, A=20m38.3s / E=20m38.5s, A=20m39.5s / E=20m59.1s, A=21m59.8s.
 10 E=20m16.4s, A=20m18.3s / E=20m20.0s, A=20m20.5s / E=21m04.5s, A=21m49.6s / -
 11 E=19m56.1s, A=22m31.7s / -
 12 E=20m14.8s, A=20m30.0s / E=21m01.6s, A=21m52.1s / E=21m53.3s, A=21m54.4s / -
 13 E=19m21.7s, A=19m22.5s / E=19m27.1s, A=19m29.0s / E=19m34.6s

Der vorausberechnete Bedeckungszeitpunkt (Globus) war für die Bezugsstation 10 um to=19h20m53s UT. Auf die Senkrechte der Station 10 reduzierter Bedeckungszeitpunkt war z. B. für die Station 1 um t=19h19m12.2s UT. Differenz der Station 1 gegenüber to-t = 100.8s / 1.424 km/s Schattenbewegung = Strecke x=E +143.5 km.
Da x=100.8s bzw. x=E 143.5 km vor dem vorausberechneten Zeitpunkt to liegt, ist die Strecke auf dem Diagramm (Fig. 45) nach rechts (to-t negat. nach links) abzutragen; denn die Bahnspur der Sterns erfolgt nach Westen (auf dem Diagramm links), die Schattenbewegung stets nach Osten.

Differenzen to-t (Länge x entlang der Schattengrenze) in Kilometer:
 1 E=143.5 km, A=141.6 km / E=132.0 km, A=126.2 km / E=122.9 km, A=117.5 km / E=116.5 km, A=-173.3 km.
 2 E=108.7 km, A=-161.8 km / -
 3 E=102.4 km, A=99.0 km / E=96.0 km, A=91.3 km / E=90.1 km, A=-153.8 km / -
 4 E=87.3 km, A=-145.3 km / -
 5 E=76.2 km, A=-140.0 km / -
 6 E=72.1 km, A=-134.3 km / -
 7 E=66.9 km, A=-102.4 km / E=-114.5 km A=-120.3 km / E=-126.5 km, A=-131.7 km / -
 8 E=61.8 km, A=12.4 km / E=8.3 km, A=-97.0 km / E=-113.5 km, A=-118.5 km / E=-126.7 km, A=-127.9 km.
 9 E=59.5 km, A=28.6 km / E=22.8 km, A=20.9 km / E=20.7, A=19.2 km / E=-8.7 km, A=-95.1 km.
 10 E=52.1 km, A=49.4 km / E=47.0 km, A=46.3 km / E=-16.4 km, A=-80.6 km / -
 11 E=81.0 km, A=-140.6 km / -
 12 E=54.4 km, A=32.8 km / E=-12.3 km, A=-84.2 km/ E=-85.9 km, A=-87.4 km / -
 13 E=130.0 km, A=128.9 km / E=122.3 km, A=119.6 km / E=111.6 km

Die y-Werte der Abstände der Station vom mittl. Schattenrand (Grenzlinie) und die x-Werten der in Kilometer umgerechten Zeitdifferenzen (to-t) der Schattenbewegung gegenüber der Bezugsstation, ermöglichen die Wiedergabe des Schattenprofils.

Schattenprofil-Diagramm. Beispiel. Skalierung: xk=400 km, u=500 pixel, yk=4 km, v=130 pixel. Der Maßstab in y-Richtung ist stark zu überhöhen (u/xk = 1.25 pixel pro km, v/yk = 32.5 pixel pro km; 32.5/1.25 = 26fache Überhöhung der y-Werte), um eine ausreichende Abhebung vom Schattenrand zu erreichen.
Die x-,y-Werte können auf Millimeterpapier (senkrechte y-Ordinate, waagerechte x-Abszisse) abgetragen werden, oder man erstellt eine Grafik (Hardcopy, Plotter, Monitor) mit dem Computer. Siehe Computergrafik (Fig. 47,48) und zugehöriges GFA-BASIC Progr.

Teile der Schattenlänge auf der Erdoberfläche entsprechen jedoch nicht gleichen Teilen am Mondrand, da das schräg einfallende Licht (Mondhöhe 27.35°) den Schatten auf dem Erdboden im Richtung Mond ausdehnt. Die Geschwindigkeit des Schattens am Beobachtungsort beträgt 1.424 km/s, die der Schattenmitte 0.877 km/s. Die Schattenmitte ist um den Faktor 0.877 /1.424 = 0.61587 langsamer. Die km-Abstände multipliziert man mit diesem Faktor. Station 1 z. B. E=143.5 km * 0.61587 = Länge x=88.4 km entlang des Mondrandes.

Positionswinkel (ab Norden über Osten 0 bis 360 Grad) der eingezeichneten Grenzliniene mit der Nordrichtung (hier w=114 Grad) nach Kartenmessung. Azimut des Mondes ab Norden 83.4+180 = az=263.4 Grad.

Beispiel Station 1:
Rechteckkoordinate der Station 1 in bezug auf die Grenzlinie (Fig. 46):
xp=0
yp=-3.26 km (y-Werte)
x1=yp*COS(w) //w,az in RAD
y1=yp*SIN(w)
x2=x1*SIN(az)-y1*COS(az)
y2=x1*COS(az)+y1*SIN(az)
x3=y2*COS(az)
y3=y2*SIN(az)
x4=x3*SIN(w)-y3*COS(w)
y4=x3*COS(w)+y3*SIN(w)
y=y4 = auf die Mondrichtung (Azimut) bezogener Stationsabstand vom Schatten- bzw. Mondrand.

Diagramm des Mondrandprofils: y-Werte der Mondrichtung an der senkrechten Ordinate, x-Werte an der waagerechten Abszisse abtragen. Siehe Fig. 48 zeigt die Mondformation aus der Richtung des Sterns. Der Anblick von der Erdbasisstation ergibt sich durch eine spiegelverkehrte Abbildung.

Der angegebene Positionswinkel (Globus-Tab.) der Bedeckung bezeichnet die Lage der Formation am Mondrand. Mondradius 1738.09 km. 1 Grad auf einem lunaren Großkreisbogen entspricht 1*PI*1738.09/180 = 30.3354 km. Die Formation (Fig. 48) besitzt etwa eine Länge am Mondrand von 200 km / 30.3354 km = 6.6 Grad. Die mit dieser Methode erreichbare Höhenauflösung liegt bei etwa y=0.1 km. In mittlerer Mondentfernung (384400 km) entsprechen 0.1 km einer Auflösung von (0.1/38440)*57.29578*3600 = 0.054''. Nach der Regel von Dawes erreicht ein Teleskop mit 2.145 Meter Öffnung theoretisch diese Auflösungsgrenze (115.82/2145 mm = 0.054''). Wegen Luftunruhe und Irradiation bringen selbst die größten Teleskope keinen Gewinn mehr. Mit Großfernrohren sind daher nur Oberflächenformen bis zu Fuballfeldgröße auszumachen.

REM GFA-BASIC WINDOWS
OPENW #1,10,10,1000,600,-1
REM SCHATTEN- UND MONDRAND-DIAGRAMM
DIM ekm(20,20),akm(20,20),ykm(20)
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180) //GRADMASS IN RAD
//SETCOLOR 0,7 //HINTERGRUNDFARBE WEISS
xo = 320 //MITTE GRAFIKFLÄCHE PIXEL
yo = 50
nr = 13  //EINTRAG ANZAHL STATIONEN
REM SKALIERUNG-----------------
u = 500  //EINTRAG X-STRECKE PIXEL
v = 130  //EINTRAG Y-STRECKE PIXEL
xk = 400 //EINTRAG X-STRECKE KILOMETER
yk = 4   //EINTRAG Y-STRECKE KILOMETER
skax = u / xk  //SKALIERUNG X 600 PIXEL / KM
skay = v / yk  //SKALIERUNG Y 150 PIXEL / KM
GOSUB ska
COLOR 2,15
TEXT 50,25,"SCHATTENRANDPROFIL AM BEDECKUNGSORT  MITTL. SCHATTENRAND (GRENZLINIE)"
RESTORE km
COLOR 9,15
FOR k = 1 TO nr
  READ st,ykm
  FOR i = xk / 2 TO -xk / 2 STEP -0.2
   x = xo + skax * i
   y = yo + skay * ykm
   PLOT x,y
  NEXT i
  TEXT x,y,st
NEXT k
RESTORE xkm
FOR k = 1 TO nr
  READ nr1
  FOR s = 1 TO nr1
   READ ekm,akm
   ekm(s,k) = ekm
   akm(s,k) = akm
  NEXT s
NEXT k
REM SCHATTENRANDPROFIL ----------------------
RESTORE km
COLOR 0,15
FOR k = 1 TO nr
  READ st,ykm
  FOR s = 1 TO nr
   FOR i = ekm(s,k) TO akm(s,k) STEP -0.2
     x = xo + skax * i
     y = yo + skay * ykm
     PLOT x,y
   NEXT i
  NEXT s
NEXT k
REM MONDRANDPROFIL ----------------------------
yo = 230
v = 130  //EINTRAG Y-STRECKE PIXEL
yk = 3   //EINTRAG Y-STRECKE KILOMETER
skay = v / yk  //SKALIERUNG Y 150 PIXEL / KM
COLOR 9,15
GOSUB ska
REM TEXT 130,225,"MONDRANDPROFIL AM BEDECKUNGSORT    MITTL. MONDRAND"
REM -------------------------------------
w = FN rad(114) //EINTRAG POSITIONSWINKEL (AB NORDEN šBER OSTEN) GRENZLINIE
az = FN rad(263.41) //EINTRAG POSITIONSWINKEL MOND (AB NORDEN šBER OSTEN)
vr = 1.424 //EINTRAG GESCHWINDIGKEIT SCHATTENRAND
vz = 0.877 //EINTRAG GESCHWINDIGKEIT SCHATTENMITTE
RESTORE km
FOR s = 1 TO nr
  READ st,yp
  yp = -yp
  x1 = yp * COS(w)
  y1 = yp * SIN(w)
  x2 = x1 * SIN(az) - y1 * COS(az)
  y2 = x1 * COS(az) + y1 * SIN(az)
  x3 = y2 * COS(az)
  y3 = y2 * SIN(az)
  y4 = x3 * COS(w) + y3 * SIN(w)
  ykm(s) = ABS(y4)
  FOR i = xk / 2 TO -xk / 2 STEP -0.2
   x = xo + skax * i
   y = yo + skay * ykm(s)
   PLOT x,y
  NEXT i
  TEXT x,y,st
NEXT s
REM MONDRANDPROFIL ----------------------
RESTORE km
COLOR 0,15
FOR k = 1 TO nr
  READ st,ykm
  FOR s = 1 TO nr
   FOR i = ekm(s,k) TO akm(s,k) STEP -0.2
     x = xo + skax * i * (vz / vr)
     y = yo + skay * ykm(k)
     PLOT x,y
   NEXT i
  NEXT s
NEXT k
KEYGET a%
END
REM STATIONSNUMMER, SENKRECHTER ABSTAND DER STATION VON DER GRENZLINIE
km:
DATA 1,3.26,2,2.83,3,2.53,4,2.31,5,1.99,6,1.76,7,1.57,8,1.37,9,1.14,10,0.7,11,2.09,12,0.94,13,2.99
REM ANZAHL DER EIN- U. AUSTRITTE STATION 1-13
xkm:
DATA 4,143.5,141.6,132.0,126.2,122.9,117.5,116.5,-173.3
DATA 1,108.7,-161.8
DATA 3,102.4,99.0,96.0,91.3,90.1,-153.8
DATA 1,87.3,-145.3
DATA 1,76.2,-140.0
DATA 1,72.1,-134.3
DATA 3,66.9,-102.4,-114.5,-120.3,-126.5,-131.7
DATA 4,61.8,12.4,8.3,-97.0,-113.5,-118.5,-126.7,-127.9
DATA 4,59.5,28.6,22.8,20.9,20.7,19.2,-8.7,-95.1
DATA 3,52.1,49.4,47.0,46.3,-16.4,-80.6
DATA 1,81.0,-140.6
DATA 3,54.4,32.8,-12.3,-84.2,-85.9,-87.4
DATA 3,130.0,128.9,122.3,119.6,111.6,-165
PROCEDURE ska
  LINE xo - (xk + 10) / 2 * skax,yo + skay * yk,xo + (xk + 10) / 2 * skax,yo + skay * yk
  LINE xo - (xk + 10) / 2 * skax,yo + skay * yk - v,xo + (xk + 10) / 2 * skax,yo + skay * yk - v
  LINE xo - (xk + 10) / 2 * skax,yo + skay * yk,xo - (xk + 10) / 2 * skax,yo + skya * yk
  LINE xo + (xk + 10) / 2 * skax,yo + skay * yk,xo + (xk + 10) / 2 * skax,yo + skya * yk
  FOR i = xk / 2 TO -xk / 2 STEP -25
   x = xo + skax * i
   y = yo + skay * yk + 10
   LINE x,y,x,y - 10
   TEXT x,y,i
  NEXT i
  TEXT x - 30,y,"(km)"
  FOR i = 0 TO yk STEP 1
   x = xo - (xk + 30) / 2 * skax
   y = yo + skay * i
   LINE x + 10,y,x,y
   TEXT x,y,i
  NEXT i
RETURN
CLOSEW #1

I. Reimann, >Ein Stück Mondhorizont auf der Erde<. >Sterne und Weltraum<, Heft 10/1996, S. 780-785.
D. Böttner,  R. Bchner, >Neue Mondrandkorrekturen aus Sternbedeckungen<. >Sterne und Weltraum<, Heft 4/1998, S. 368.
D. Böttner, >Sternbedeckungen durch den Mond<. >Sterne und Weltraum<, Heft 7/1998, S. 638-640.
    
Astronomische Standortbestimmung durch Beobachtung von Zenitsternen (Talcott's Methode)
 
Ein Stern nahe dem Deklinationskreis der genähert bekannten geograph. Breite kann den Zenit des Standorts direkt passieren. Die simpelste Methode, die Talcott's Methode nur prinzipiell entspricht, ist daher den Zenit unter Anwendung eines verzeichnungsfreien orthoskop. Fadenkreuzokulars (Fadenmitte exakt in der opt. Achse) und unter hoher Vergrößerung auf direkte Sterndurchg„nge hin zu beobachten. Passiert ein Stern die Fadenkreuzmitte, ist seine Deklination gleich der geographisch-astronom. Breite und seine Rektaszension gleich der astronomisch-geograph. Länge minus Sternzeit in Greenwich zum gestoppten Zeitpunkt der Passage.

Jedoch braucht ein Stern nicht unbedingt genau den Zenit bzw. die Fadenkreuzmitte zu passieren, da der Winkelabstand des Sterns und der Zeitpunkt des kleinsten (exakt südl. oder nördl.) Winkelabstands vom Zenit mit einem einfachen Mikrometerplättchen messbar ist (s. “Sternbeobachtung” >Mikrometer-Hersteller<), wodurch sich die Zahl der für die Ortsbestimmung erreichbaren Sterne wesentl. erhöht.

Passieren zwei Sterne nahezu gleichzeitig in nördlicher und südl. Distanz den Zenit, ergibt sich die geograph. Br. aus:
 br=0.5*(d_n+d_s)+0.5*(z_s-z_n)+0.5*(Rs-Rn); d_n,d_s=Deklination des nördl. und südl. Sterns, z_s,z_n=gemessene südl. und nördl. Zenitdistanz; Rs,Rn=Refraktionsbetrag; br=astronom.-geograph. Breite.

Ein Anhaltstern sollte weniger als 30' vom Zenit abstehen, um die Refraktion unter 0.5'' zu senken. Capt. Andrew Talcott, ein Vermessungsingenieur des U.S. Corps, verwendete 1834 ein Zenitteleskop mit Mikrometerokular und Kreisteilungen.
Das heute gebräuchliche photographische Zenitfernrohr (PZT = photographic zenith tube) zählt zu den genauesten Instrumenten der astronom. Standortbestimmung.

Die in Bogensekunden geeichte Meskala des Mikrometerokulars wird exakt nord-südl. orientiert, indem man einen Stern über den Querfaden bewegt. Passiert ein Stern die nord-südl. orientierte Meßskala wird dieser Meridiandurchgangszeitpunkt exakt gestoppt und die Poldistanz an der Teilstrichmarkierung abgelesen.
Bei F=1000 (F=2000 mm) und 100facher Vergrerung, entspricht ein Teilungsintervall von z. B. 0.025 mm * 100x = 2.5 mm, gesehen aus F=1000 mm (oder F=2000 mm). 0.025 mm / F=1000 * 206264.806 = 1 Teilungsintervall 5.157'' (2.58'').
Ein Okular mit z. B. 20° scheinbarem Gesichtsfeldradius besitzt bei 100facher Vergrößerung einen wahren Gesichtsfeldradius von etwa 20/100x = 0.2° = 720''. Ein Stern, der pro Zeitsek. 15.04''*cos(dek=Sterndeklination in rad) Winkelsekunden zurcklegt, braucht somit am Äquator (dek=0°) 47.87 Sek. und bei dek=50° 74.48 Zeitsek. für die Strecke Gesichtsfeldmitte bis zum Verschwinden am Rand der Okularblende.

Der Anhaltstern ist anhand des photographischen Atlas Stellarum (Grenzgre 14-15 mag) und eines Sternkatalogs (Hipparcos) oder des Mondglobus identifizierbar. Die opt. Achse der Kamera sollte mit der Lotrichtung der Niveaufläche übereinstimmen, wenn die Luftblase (bubble) der Libellen, der auf die Objektivfassung gelegten Wasserwaage, die waagerechte Ausrichtung exakt anzeigen. Die Lotrichtung läßt sich zudem mit einer Schale Quecksilber (Achtung! Dämpfe nicht einatmen) oder Sirup und dem Lichtstrahl eines Laserpointers (Reflexionsbeobachtungen), der als Lichtzeiger bei Vorträgen verwendet wird, herstellen.
Die Lotrichtung ist realisiert, wenn das am Quecksilberhorizont reflektierte Licht exakt auf sich selbst zurckgeworfen wird.; Da das Quecksilber den Strahlengang umkehrt, liegt bei Verwendung einer 2x verlängernden Barlowlinse der Brennpunkt nahe dem Objektiv.
Evtl. Fassung mit Objektiv abschrauben und am Anfang und Ende des Tubus zwei im Tubusinnendurchmesser ausgeschnittene Holz- oder Pappscheiben fixieren, in deren Mittelpunkt eine haarfeine Öffnung gestochen wird. Montierung bzw. senkrechter Fernrohrtubus festklemmen, wenn der durch die obere und untere Öffnung; verlaufende und am Quecksilberhorizont reflektierte Laserstrahl exakt auf sich selbst zurckgeworfen wird.

Die Verfahren (Horrebow-Talcott, Sterneck u.a.) der astronom. Ortsbestimmung setzen spezielle Präzisionswinkelmeßinstrumente voraus (Theodolit, Universal, Astrolabium usw.). Das lediglich beobachtungstechnisch optisch optimierte Amateurteleskop ist an sich für präzise Kreisteilungsmessungen ungeeignet.

Eingabedaten in der Reihenfolge: Datum, gestoppte Uhrzeit (Weltzeit UT; Uhrzeit UTC korrigieren: UT=UTC+DUT1, gemessene Zenitdistanz (Bogensekunden), Temperatur °C), Luftdruck (in Millibar); Deklination, Rektaszension, Jährl. Eigenbewegung in Deklin, in Rektaszension, Radialgeschwindigkeit (km/s), Parallaxe (Bogensek.) des Sterns, mittl. Äquinoktium J2000/FK5-System (fehlende Koordinaten können dem FK5-Fundamentalkatalog,  PPM-Katalog entnommen werden, oder man verwendet präzisen Koordinatenmessungen des Astrometrie-Satelliten Hipparcos).
 
Astronomische Standortbestimmung durch Beobachtung gleicher Zenitdistanzen

Gleichwohl beschränken sich einige Methoden (der Zeitdurchgänge, gleichen Höhen und Azimute usw.) auf bloße Sterndurchgangsregistrierungen. Wegen Wegfall der Kreisteilungsablesung sind diese Methoden mit einem gut azimutal montierten Amateurteleskop nachvollziehbar.

Meßinstrument: Wir setzen den Fall, da die Plattform des Stativs (oder Grundpfeilerplatte) exakt waagerecht bzw. die Drehachse des Teleskops lotrecht ist (Levelfehler gleich Null), da die Kippachse (Fernrohrwiege) auf der Drehachse senkrecht steht, und da die Zielachse (opt. Achse) exakt senkrecht auf der Kippachse steht (Collimatorfehler gleich Null).

Da die Berücksichtigung der verschiedenen Beobachtungs- u. Instrumentalfehler (Fadenschiefe, Libellen-, Biegungs- u. Achsenfehler) wohl nur für Pr„zisionsmeinstrumente relevant ist, sei auf die Fachliteratur der Vermessungskunde (Geodätische Astronomie) verwiesen.

Die Montierung ist von der Stativplattform (oder Grundpfeilerplatte) zu trennen und die Platte mit den Libellen einer Wasserwaage so gut wie möglich waagerecht auszurichten. Die Genauigkeit der Drehachsenausrichtung bzw. Messung, kann man bei genau bekannter geograph. Breite und Länge an vorausberechneten Höhen und Azimute beliebiger Sterne testen. Ein Stern, deren Höhe man für eine bestimmte Uhrzeit vorausberecht (Fixhöhe), wird auf die Fadenkreuzmitte des Okulars eingestellt. Die exakte Höhenausrichtung des Teleskops ist somit bekannt. Diesen Höhenwert sollte das in alle Himmelsrichtungen (Azimute) horizontal gedrehte Teleskop einhalten.
Mit dem Himmelsglobus ist feststellbar, wann ein beliebiger Stern die vorgegebene Fixhöhe (Fadenkreuzmitte) passiert, auf die das Teleskop eingestellt wurde. Die durch bloße Drehung des Teleskops (ohne die Höheneinstellung zu verändern) im Gesichtsfeld erscheinenden Kontrollsterne zeigen mehr oder weniger große Abweichungen von der Fadenkreuzmitte (Sollwert), die selbst bei Präzisionswinkelmeßintrumenten mehrere Bogensekunden erreichen können. In der Regel treten gemeinsame Fehler der Dreh- u. Kippachse (Taumelfehler) auf, die gewöhnlich von einer deformierten Plattform, Drehachsen, Lagerbuchsen, Achsenzapfen, Kugellager, Achsenspiel usw. herrühren. Dagegen die die Methode der gleichen Zenitdistanzen frei von Kreisteilungsfehlern und Kreisablesefehlern.

Bei exakter äquatorialer Montierung zeigt die Drehachse des Fernrohrs auf den Nordpol der Sphäre, die bei azimutaler Montierung auf den Zenit einzustellen ist. Die gleit- oder kugelgelagerte Deklinationsebene fällt bei lotrechter Orientiertung mit der Horizontebene zusammen (lotrechte Einspielung des auf den Zenit ausgerichteten Tubus mit den Libellen einer Wasserwaage oder Laserpointer).

Fadendurchgangsbeobachtung des Sterns. Für die Vermessung verwendet man am besten 2 Sterne die ungefähr diametral gegenüberliegen (Differenz in Azimut ungefähr 180 Grad). Die Sternpaare sollten gleichmäßig über den Horizont verteilt sein.

Das Fernrohr wird auf eine feste Zenitdistanz (zo) bzw. Höhe eingestellt, die meist bei etwa 30 Grad oder 60 Grad liegt. Wegen der Refraktion sollte die Höhe nicht kleiner als 30-40 Grad (Zenitdistanz 50-60 Grad z=90 Grad-Höhe h) sein. Wichtig ist nur, daß die einmal voreingestellte Zenitdistanz der Zielachse (zo) unverändert beibehalten wird, wobei der unbekannte Betrag der Zenitdistaz (zo) des beliebig gewählten Höhenkreises sich erst nach den ausgewerteten Durchgangsbeobachtungen ergibt. Das Fadenkreuz ist so zu drehen, da ein Querfaden mäglichst parallel zur Horizontebene verläuft.

Das Fernrohr ist dem Stern unbedingt in azimutaler Richtung nachzuführen, um einen exakten Durchgang durch die Fadenkreuzmitte zu erreichen, wodurch ein möglicher Zeitmefehler wegen Schiefe des Fadenkreuzes gegen den Höhenkreis bzw. der Horizontebene vermieden wird. Durch die horizontparallele (azimutale) Nachführung um die Drehachse (ohne die Höhe des Fernrohrtubus zu verändern) entfällt auch die Korrektion der Zenitdistanz wegen Krümmung des Höhenkreises. Die Korrektion wegen Krümmung der Sternbahn entfällt, wenn nur eine Passage durch einen Horizontalfaden beobachtet wird.

Genäherte Höhenänderung pro Zeitsekunde (Bogensekunden): dh = 15''*sin(Az)*cos(br). Azimutänderung pro Zeitsekunde: daz = 15''*(sin(br)+cos(br)*tan(h)*cos(az)); h = Höhe, az = Azimut; br = geograph. Breite (RAD).
Bei br=50.2° und az=284°, h=31.119°, ändert sich die Höhe eines Sterns um dh=9.3'' und das Azimut um daz=12.9'' pro Zeitsekunde.
Der Zeitpunkt, in welchem der Stern durch den Horizontalfaden des Fadenkreuzes geht, ist exakt fetzustellen. Das Zeitzeichensignal UTC ist für DUT1 zu korrigieren, um die UT zu erhalten. Mit den einfachen Durchgangsmemethoden;
(Zeitnahme durch Auge-Ohr, Zeitzeichen und Stoppuhr, Tonband (Signal per Morsetaste oder Zuruf “fix” bei Durchgang usw.) ist die Zeitnahme mit 0.1 Zeitsek. Genauigkeit zu registrieren. Die Korrektur für persönl. Gleichung ist anzubringen.
Da die persönl. Gleichung auch von äßueren Bedingungen abhängt (klamme Finger, Aufregung usw.), bestimmt man die persnöl. Gleichung unmittelbar vor der Zeitmessung des Durchgangs. Die eigentliche Zeitbestimmung sollte mit einer elektronisch-digitalen Stoppuhr erfolgen, mit der auch die p. Gl. bestimmt wird. Der gestoppte Zeitpunkt eines am Gesichtsfeldrand pltzlich erscheinenden Sterns kann ein Maß für die p. Gl. sein (den Vorgang 3 mal wiederholen und den Mittelwert bilden).

J. Repsold, >Neuer Vorschlag zur Vermeidung des persönlichen Zeitfehlers bei Durchgangsbeobachtungen<. Astr. Nachrichten 123, 1889, Sp. 176-182.
M. Löw, >Der persnliche Fehler bei Messung von Zenitdistanzen und Azimuten.< A.N. 121, 1889, Sp. 307-316.
G. Lewitzky, >über den persönl. Fehler bei Durchgangsbeobachtungen<. A.N. 124, 1890, Sp. 105-108.

Methode der gleichen Zenitdistanzen (Spezialfall der Höhenstandlinienmethode - Standlinien). Beobachtet man den Durchgang der Sterne am gleichen Höhenkreis, schneiden die Standlinien den Mittel- bzw. Zenitpunkt des Höhenkreises. Da nur die genäherte Zenitdistanz (zn) bekannt ist, erhält man nicht die wahren, sondern die um den konstanten Fehlbetrag (dz) verschobenen Standlinien. Der wahre Zenit bildet dann der Mittelpunkt eines Kreises, der sich den Standlinien am besten anpasst. Der Kreisradius entspricht dem Wert des Zenitfehlbetrags dz (Fig. 49)

.
Das erstmals von Gauß angegebene Verfahren, liegt der Durchgangsbeobachtung von mindestens 3 Sternen durch den gleichen Höhenkreis (Almukanterat) zugrunde. Für die konstante Zenitdistanz (zo) des Instruments wird ein Näherungswert (zn) eingesetzt. Wahre Zenitdistanz (zo) der Fadenkreuzmitte bei einer bestimmten Lage der Libellen:
zo=zn+dz+R; zn=von Refraktion befreite genäherte Zenitdistanzkonstante des Instruments, dz=Zenitdistanzkorrekturwert (dz=zn+R-zo), R=Refraktionskorrektur, zo=wahre Zenitdistanz des Instruments (zo mit Refraktion behaftet).

br,lr=ungefähre geograph. Breite und Länge; tw=Stundenwinkel eines Sterns, osz=Ortssternzeit für die ungefähr bekannte Länge lr und den registrierten Durchgangszeitpunkt eines Sterns; dek,ar=scheinbare Deklin. und Rektaszension eines Sterns, Äquinoktium des Datums (Durchgangszeitpunkt). tw=osz-ar. Berechnete Zenitdistanz (zr) und Azimut (azr) eines Sterns.

zr=arccos(sin(br)*sin(dek)+cos(br)*cos(dek)*cos(tw))
y=(cos(dek)*sin(tw))/sin(zr)
x=(sin(br)*cos(dek)*cos(tw)-cos(br)*sin(dek))/sin(zr)
azr=ARCTAN(y/(1+x))*2 (a negativ, 360 Grad addieren)

zg=zn+R; zg=Zenitdistanzkonstante zn von Refraktion (R) befreit.

Durch die für die beobachtete Durchgangszeit berechneten Sternpositionen (dek,ar,zr,azr) wird der bestangeglichene Höhenkreis gelegt, dessen Mittel- bzw. Zenitpunkt der geograph. Breite (br) und änge (lr) entspricht (Fig. 49).

Fehler- bzw. Bedingungsgleichung eines Sterns (1,2,3,...,n Sterne). Beobachtete minus berechnete Zenitdistanz:
zg-zr(n))=sin(azr(n))*dlr*cos(br)+cos(azr(n))*dbr-dz

dbr,dlr*cos(br) und dz=Korrekturgren in geograph. Breite (br=br+dbr), Länge (lr=lr+dlr/cos(br)) und Zenitdistanzkorrekturwert zo=zn+dz+R.
Korrektion dlr für tägl. Aberration: dlr+1.527163E-06*cos(zo)  =dlr+0.021 Zeitsek.; 1 Zeitsek. = 15 ''; zo=Zenitdistanz.

Akkumulation (Koeffizient -1 für dz. Anzahl Sterne n=1,2,3,...,n
xx=xx+sin(azr(n))
xy=xy+cos(azr(n))*sin(azr(n))
x=x-sin(azr(n)
xr=xr+sin(azr(n))*(zg-zr(n))
yy=yy+cos(azr(n))*cos(azr(nn))
y=y-cos(azr(n))
yr=yr+cos(azr(n))*(zg-zr(n))
n1=n1-1
r(i)=r(i)-(zg-zr(n)) //RESIDUENVEKTOR

Normalgleichung für 3 Unbekannte:
[xx] dbr+[xy] dlr*cos(br)+[x] dz = [xr],1,0,0
[xy] dbr+[yy] dlr*cos(br)+[y] dz = [yr],0,1,0
[x] dbr+ [y] dlr*cos(br)+ n1 dz =  [r],0,0,1

Numerisches Beispiel.
Beobachtung am 15. Juni 1980.;
Ungefähre Breite u. L„nge br=50.1256°, lr=8.345°.
Vorgegebene Zenitdistanz zn=60°, zg=60.027047° (zn) von Refraktion befreit.
Zeitregistrierung (UT) von 9 Sternen durch gleichen Höhenkreis des Instruments:
1. Omikron Leonis Minoris: 22h05m30.43s UT
2. Omikron Ursae Maioris.: 22h16m06.12s UT
3. Epsilon Virginis......: 22h26m49.84s UT
4. Zeta Deplhini.........: 22h29m47.95s UT
5. Delta Cassiopeiae.....: 23h22m20.51s UT
6. Eta Pegasi............: 23h26m28.64s UT
7. Theta Aquilae.........: 23h42m25.03s UT
8. Epsilon Ophiuchi......: 23h46m10.32s UT
9. Alpha Bootis..........: 24h20m50.54s UT

Resultat:
Astronomische Breite: 50.19138° mittl. Fehler  ±0.000139°
Astronomische  Länge:  8.23357° mittl. Fehler ±0.00010°
Wahre Zenitdistanz: 58.88109° mittl. Fehler ±0.00008°.
Fehlerquadratsumme: 6.3795E-09°.

Die nach erstem Programmdurchlauf ausgegebene Breite und Länge kann schrittweise (iterativ) verbessert werden, wenn diese erneut eingegeben wird.

Zenitdistanz der vorgegebenen Instrumenteinstellung: zo=58.881°.
Auf 50.19143° astronom. Breite und 8.23373° Länge passierten die 9 Sterne zu den beobachteten Uhrzeiten den Höhenkreis 90° - zo 58.881° = 31.119°.

Die sich aus der unmittelbaren Beobachtung ergebenden geograph.-astronom. Koordinaten, die für den aktuellen Nordpol (CEP) der Beobachtungsepoche gelten, sind auf den mittl. Erdpol (CIO) zu reduzieren.
Korrektur vom aktuellen (CEP) auf den mittl. Pol (CIO):
Mittl. azm = Azimut az - (x sin(lr) + y cos(lr))/cos(br) (Azimute terrestr. Ziele mit Theodoliten o. ä.).
Mittl. astr. Br. brm = br + (y sin(lr) - x cos(lr))
Mittl. astr. L.  lrm = lr - (x sin(lr) + y cos(lr))*tan(br)

OPENW #1,200,200,640,400,-1
REM GFA44 ZENITPOS
REM GFA-BASIC WINDOWS 3.1/95 PROGR. ZENITPOS
DEFFN gzb(x) = FN deg(ATN(1 / (1 + 0.006739501819 * (6378140 / (6378140 + eh))) * TAN(x))) //Grad
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI) //RAD IN GRADMASS
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180) //GRADMASS IN RAD
DEFFN r(x) = x - INT(x / (PI * 2)) * (PI * 2)
DIM ko(10,10),p(10,10),pp(10,10),kof(10,10),a(11),b(11),c(11),d(11)
REM ------------------------------
k = 20.49552 //ABERRATIONSKONSTANTE
k1 = FN rad(k / 3600)
REM ----- INPUT - PARAMETER ------------
n1 = 9 //EINTRAG ANZAHL VERMESSENER ANHALTSTERNE
REM ----------- KORREKTION FšR REFRAKTION -------------
rh = 0.6 //EINTRAG RELATIVE LUFTFEUCHTIGKEIT (HYGROMETERSTAND 0...1 = 0...100 %)
tem = 20 //EINTRAG LUFTTEMPERATUR IN GRAD CELSIUS IN HÖHE ÜBER NN
mb = 1013 //EINTRAG LUFTDRUCK IN HÖHE eh METER ÜBER NN IN MILLIBAR (mb); k=REFRAKTIONSINDEX DER LUFT IN RAD
k = 0.000292731 * (mb / 1013.33) * (273.15 / (273.15 + tem)) - 5.333E-08 * ABS(-4.067 + 0.008207 * mb) * rh * (273.15 / (273.15 + tem))
REM -------------------------------------------
z = 60 //EINTRAG UNGEFŽHRE ZENITDISTANZ IN GRAD (VORGEGEBENER FESTER HÖHENKREIS h=30 GRAD)
r = k * TAN(FN rad(z)) //REFRAKTION IN ZENITDISTANZ z
zg = FN rad(z) + r
REM --------------------
a2 = 15  //EINGABE TAG
a3 = 6   //EINGABE MONAT
a4 = 1980 //EINGABE JAHR
ddt = 51 / 3600 //EINGABE EPHEMERIDENZEITKORREKTUR 51 SEKUNDEN FšR 1980
GOSUB jd1 //JULIANISCHES DATUM JD
REM ------------------------------------------------
br = FN rad(50.1256) //EINGABE UNGEFÄHRE GEOGRAPH. BREITE
lr = 8.345         //EINGABE UNGEFÄHRE GEOGRAPH. LÄNGE IN GRAD
REM ------------------------------------------
RESTORE star
FOR i = 1 TO n1
  REM nr=KATALOGNUMMER,UT=WELTZEIT STERNDURCHGANG,do=DEKLINATION (GRAD),aro=REKTASZENSION (GRAD),dar=JŽHRL. EIGENBEWEGUNG IN REKTASZENSION (ZEITSEK.),dd=JŽHRL. EIGENBEWEGUNG IN DEKLINATION (BOGENSEK.)
  REM rv=RADIALGESCHWINDIGKEIT (km pro Sek.),
  REM p=JŽHRL. PARALLAXE STERN (BOGENSEK.), MAG=VISUELLE HELLIGKEIT AM ZENIT.
  READ nr,ut,do,aro,dar,dd,rv,p,mag //EINLESEN DER KATALOGÖRTER ÄQUINOKTIUM J2000
  REM FORMATION -------------------------
  jd1 = jd + (ut + ddt) / 24
  t = (jd1 - 2451545) / 36525
  GOSUB nut1
  REM lms,ms,ls = geometr. mittl. L„nge der Sonne. mittl. Anomalie der Sonne, geometr. wahre Länge der Sonne
  lms = FN r(4.895063 + 628.3319667861 * t + 5.291838292E-06 * t * t)
  ms = FN r(6.24006 + 628.3019553261 * t - 2.7209683038E-06 * t * t - 8.37758041E-09 * t * t * t)
  ls = FN r(lms + (0.03341607386 - 0.00008407251 * t - 2.44346E-07 * t * t) * SIN(ms) + (0.0003489436 - 1 .76278E-06 * t) * SIN(2 * ms))
  REM ds, ars = Deklin. und Rektaszension der Sonne Äquinoktium des Datums JD
  ds = ASIN(SIN(ec) * SIN(ls))
  y = COS(ec) * SIN(ls)
  x = COS(ls)
  z = SQR(x ^ 2 + y ^ 2)
  x = x / z
  y = y / z
  ars = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
  REM e,rs,pe = Erdbahnexentrizität, Entf. Erde-Sonne, mittl. ekl. Länge des Perigäumes
  e = 0.01670862 - 0.000042037 * t - 1.236E-07 * t * t
  rs = (1 - e ^ 2) / (1 + e * COS(ms))
  pe = FN rad(102.937348 + 0.7195269 * t + 0.00045962 * t * t + 4.99E-07 * t * t * t)
  REM -------------------------------
  t = (jd - 2451545) / 36525
  GOSUB osz1 //osz ORTSSTERNZEIT LÄNGE lr
  REM -----------------------
  rvo = rv / 977792.2218
  r = 1 / p //ENTFERNUNG DES STERNS IN PARSEC
  naro = dar / (((180 / PI) * 3600) / 15)
  ndo = dd / ((180 / PI) * 3600)
  do1 = FN rad(do)
  aro1 = FN rad(aro)
  REM -------- KART. 3D STERNKOORDINATEN -------
  x = r * COS(do1) * COS(aro1)
  y = r * COS(do1) * SIN(aro1)
  z = r * SIN(do1)
  REM --------- EIGENBEWEGUNG ---------
  t = (jd1 - 2451545) / 365.25
  xo = x + ((x / r) * rvo - z * ndo * COS(aro1) - y * naro) * t
  yo = y + ((y / r) * rvo - z * ndo * SIN(aro1) + x * naro) * t
  zo = z + ((z / r) * rvo + r * ndo * COS(do1)) * t
  REM ---- POLARKOORDINATEN DES STERNS ---------
  ro = SQR(xo ^ 2 + yo ^ 2 + zo ^ 2)
  do = ASIN(zo / ro)
  xx = xo / (ro * COS(do))
  yy = yo / (ro * COS(do))
  aro = FN r(ATN(yy / (1 + xx)) * 2)
  REM ----- PRÄZESSION AUF ÄQUINOKTIUM DES DATUMS ----------
  t = (jd1 - 2451545) / 36525
  w1 = FN rad((2306.218 * t + 0.3019 * t * t + 0.018 * t * t * t) / 3600)
  w2 = FN rad((2306.218 * t + 1.0947 * t * t + 0.0182 * t * t * t) / 3600)
  w3 = FN rad((2004.311 * t - 0.4267 * t * t - 0.0418 * t * t * t) / 3600)
  d = ASIN(SIN(w3) * COS(do) * COS(aro + w1) + COS(w3) * SIN(do))
  x = (COS(w3) * COS(do) * COS(aro + w1) - SIN(w3) * SIN(do)) / COS(d)
  y = (COS(do) * SIN(aro + w1)) / COS(d)
  ar = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + w2)
  do = d
  aro = ar
  REM REDUKTION AUF DEN SCHEINBAREN ORT
  REM -------- LICHTABLENKUNG ----------------
  REM elo = Elongationswinkel bzw. Winkeldistanz Stern-Sonne.
  abl = FN rad(0.00407 / 3600)
  elo = ACOS(SIN(ds) * SIN(do) + COS(ds) * COS(do) * COS(aro - ars))
  ard = abl * COS(ds) * SIN(aro - ars) / (1 - COS(elo) * COS(do))
  ded = abl * (SIN(do) * COS(ds) * COS(aro - ars) - COS(do) * SIN(ds)) / (1 - COS(elo))
  REM ---------- JŽHRLICHE PARALLAXE ----------
  apa = FN rad((rs * p * (COS(aro) * COS(ec) * SIN(ls) - SIN(aro) * COS(ls)) * (1 / COS(do))) / 3600)
  dpa = FN rad((rs * p * (COS(do) * SIN(ec) * SIN(ls) - COS(aro) * SIN(do) * COS(ls) - SIN(aro) * SIN(do) * COS(ec) * SIN(ls))) / 3600)
  REM ---------- NUTATION --------------------
  anu = (COS(ec) + SIN(ec) * SIN(aro) * TAN(do)) * FN rad(nu / 3600) - COS(aro) * TAN(do) * FN rad(nu1 / 3600)
  dnu = (SIN(ec) * COS(aro) * FN rad(nu / 3600) + SIN(aro) * FN rad(nu1 / 3600))
  REM --------- JÄHRL. ABERRATION (FIXSTERNABERRATION) ------
  aab = -k1 * ((COS(aro) * COS(ls) * COS(ec) + SIN(aro) * SIN(ls)) / COS(do)) + e * k1 * ((COS(aro) * COS(pe) * COS(ec) + SIN(aro) * SIN(pe)) / COS(do))
  dab=-k1*(COS(ls)*COS(ec)*(TAN(ec)*COS(do)-SIN(aro)*SIN(do))+COS(aro)*SIN(do)*SIN(ls))+e*k1*(COS(pe)*COS(ec)*(TAN(ec)*COS(do)-SIN(aro)*SIN(do))+COS(aro)*SIN(do)*SIN(pe))
  REM --------------- TÄGL. ABERRATION ------
  ata = FN rad(0.32 / 3600) * (COS(FN gzb(br)) * COS(osz - aro) * (1 / COS(do)))
  dta = FN rad(0.32 / 3600) * SIN(FN gzb(br)) * SIN(osz - aro) * SIN(do)
  REM -------------- SCHEINBARER STERNORT --------------------
  dek = do + ded + dpa + dnu + dab + dta       //SCHEINBARE DEKLINATION STERN
  ar = FN r(aro + ard + apa + anu + aab + ata) //SCHEINBARE REKTASZENSION STERN
  REM ---------- ZENITDISTANZ UND AZIMUT (zr,azr) ---------
  zr = ACOS(SIN(br) * SIN(dek) + COS(br) * COS(dek) * COS(osz - ar))
  y = (COS(dek) * SIN(osz - ar)) / SIN(zr)
  x = (SIN(br) * COS(dek) * COS(osz - ar) - COS(br) * SIN(dek)) / SIN(zr)
  azr = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
  REM AKKUMULATION BEDINGUNGSGLEICHUNG-------
  kof(i,1) = SIN(azr)
  kof(i,2) = COS(azr)
  kof(i,3) = -1
  kof(i,4) = zg - zr //RESIDUEN
  REM ------ GRAFIK ----------------
  xo = 320
  yo = 200
  LINE xo,0,xo,400
  LINE 0,yo,640,yo
  x = -300 * SIN(azr)
  y = 300 * COS(azr)
  LINE xo,yo,xo + x,yo + y
  s = -FN deg(zg - zr) * 60
  x = -s * SIN(azr)
  y = s * COS(azr)
  // DEFFILL 1
  PCIRCLE xo - x,yo - y,2
  LINE xo,yo,xo - x,yo - y
  w = azr + PI / 2
  x1 = s * COS(w) - s * SIN(w)
  y1 = s * SIN(w) + s * COS(w)
  LINE xo - x,yo - y,xo - x1,yo - y1
  w = azr - PI * 2
  x1 = s * COS(w) - s * SIN(w)
  y1 = s * SIN(w) + s * COS(w)
  LINE xo - x,yo - y,xo - x1,yo - y1
NEXT i
REM AUSGLEICHSRECHNUNG (LEAST-SQUERE-FITS)
n = 3    //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE EINER BEDINGUNGSGLEICHUNG
m = 9    //EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN
REM NORMALGLEICHUNG p(i,j) ------------
FOR i = 1 TO n
  FOR j = 1 TO n + 1
   p(i,j) = 0
   FOR k = 1 TO m
     p(i,j) = p(i,j) + kof(k,i) * kof(k,j) //AKKUMULATION
     pp(i,j) = p(i,j)
   NEXT k
  NEXT j
NEXT i
FOR i = 1 TO n
  p(i,n + 1 + i) = 1 //RESIDUUM = 1
NEXT i
resi = 4 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN DER NORMALGLEICHUNG
n = 3      //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
m = 3    //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN (m=n)
m = m + resi
GOSUB elim
dlr = ko(1,1)
dbr = ko(2,1)
dz = ko(3,1)
REM ------ FEHLERQUADRATSUMME -----------
x = 0
FOR i = 1 TO n1
  x = x + (kof(i,4)) ^ 2
NEXT i
vv1 = x - pp(1,4) * ko(1,1) - pp(2,4) * ko(2,1) - pp(3,4) * ko(3,1)
vv = 0
FOR i = 1 TO n1
  vv = vv + (kof(i,4) - (kof(i,1) * ko(1,1) + kof(i,2) * ko(2,1) + kof(i,3) * ko(3,1))) ^ 2
NEXT i
s = vv / (n1 - 3)
a = FN deg(SQR(s * ko(1,2)))
b = FN deg(SQR(s * ko(2,3)))
c = FN deg(SQR(s * ko(3,4)))
REM ---------------- OUTPUT ---------
ab = FN rad(0.021 * 15 / 3600) //KONSTANTE TÄGL. ABERRATION
PRINT "ASTRONOM. BREITE..: ";FN deg(br + dbr);" +/- ";b;"GRAD"
PRINT "ASTRONOM. LÄNGE..: ";lr + FN deg(dlr / COS(br) + ab * COS(zg + dz));" +/- ";a;" GRAD"
PRINT "WAHRE ZENITDISTANZ: ";FN deg(zg + dz);" +/- ";c;" GRAD"
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME: ";FN deg(vv);" GRAD"
KEYGET HALT%
END
REM DATEI VERMESSENE STERNE
star:
DATA 138649,22.496652777,14.6741972,308.8272958,0.0036,0.009,-25,0.0263,4.68
DATA 75534,22.091786111,34.2148722,163.3279167,0.007,-0.278,-16,0.043,3.83
DATA 0,23.706952777,-0.8213888,302.82541667,0.002,0.01,-27,0.016,3.23
DATA 16654,22.2683667,60.7181777,127.566125,0.0182,-0.107,20,0.014,3.36
DATA 129529,22.4471777,10.9591333,195.544175,0.0185,0.02,-14,0.031,2.83
DATA 88121,23.44128889,30.2212555,340.7505958,0.0011,-0.025,4,0.018,2.94
DATA 199508,23.76953333,-4.6924972,244.580375,0.0057,0.041,-10,0.031,3.24
DATA 12969,23.37236389,60.2352667,21.4539958,0.04,-0.051,7,0.0526,2.68
DATA 130442,24.347372222,19.1824194,213.9153208,0.0771,-1.998,-5,0.091,-0.2
REM -------------------------------------------------------------
PROCEDURE jd1 //JULIAN. DATUM
  jd = 1720996.5 + a2 + FIX(30.6001 * ((a3 - 12 * (a3 < 3)) + 1)) + FIX(365.2425 * (a4 + (a3 < 3)))
RETURN
PROCEDURE osz1 //ORTSSTERNZEIT
  f8 = 6.697374558333 + 2400 * t + 0.05133690722222 * t
  f8 = f8 - INT(f8 / 24) * 24
  f9 = f8 + ut * 1.002737909 + lr / 15 + (nu / (15 * 3600)) * COS(ec)
  sz = f9 - INT(f9 / 24) * 24
  osz = FN rad(sz * 15)
RETURN
PROCEDURE nut1 //NUTATION
  REM DELAUNAY-ELEMENTE:
  d = FN r(5.19846674103 + 7771.377146812 * t - 0.00002844935162119 * t * t)
  ll = FN r(6.24006012668 + 628.301955168 * t - 2.680534842855E-06 * t * t)
  l = FN r(2.3555558983 + 8328.691426955 * t + 0.0001570277576156 * t * t)
  f = FN r(1.627905245249 + 8433.466158131 * t - 0.00005939210000432 * t * t)
  af = FN r(2.182439206137 - 33.75704460827 * t + 0.00003623594415349 * t * t + 3.7340349719E-08 * t * t * t)
  REM NUTATION IN LÄNGE IAU 1980 (ANZAHL TERME GEKÜRZT)
  nu=(-171996-174.2*t)*SIN(af)+(2062+0.2*t)*SIN(2*af)+46*SIN(-2*l+2*f+af)+11*SIN(2*l-2*f)-3*SIN( -2*l+2*f+2*af)-3*SIN(l-ll-d)-2*SIN(-2*ll+2*f-2*d+af)+1*SIN(2*l-2*f+af)+(-13187-1.6*t)*SIN(2*f-2*d+2*af)+(1426-3.4*t)*SIN(ll)
  nu=nu+(-517+1.2*t)*SIN(ll+2*f-2*d+2*af)+(217-0.5*t)*SIN(-ll+2*f-2*d+2*af)+(129+0.1*t)*SIN(2*f -2*d+af)+48*SIN(2*l-2*d)-22*SIN(2*f-2*d)+(17-0.1*t)*SIN(2*ll)-15*SIN(ll+af)+(-16+0.1*t)*SIN(2*ll+2*f-2*d+2*af)-12*SIN(-ll+af)
  nu=nu-6*SIN(-2*l+2*d+af)-5*SIN(-ll+2*f-2*d+af)+4*SIN(2*l-2*d+af)+4*SIN(ll+2*f-2*d+af)-4*SIN(l-d )+1*SIN(2*l+ll-2*d)+1*SIN(-2*f+2*d+af)-1*SIN(ll-2*f+2*d)+1*SIN(ll+2*af)+1*SIN(-l+d+af)-1*SIN(ll+2*f-2*d)
  nu=nu+(-2274-0.2*t)*SIN(2*f+2*af)+(712+0.1*t)*SIN(l)+(-386-0.4*t)*SIN(2*f+af)-301*SIN(l+2*f+2*af) -158*SIN(l-2*d)+123*SIN(-l+2*f+2*af)+63*SIN(2*d)+(63+0.1*t)*SIN(l+af)+(-58-0.1*t)*SIN(-l+af)-59*SIN(-l+2*f+2*d+2*af)-51*SIN(l+2*f+af)
  nu = nu / 10000
  REM NUTATION IN SCHIEFE
  nu1=(92025+8.9*t)*COS(af)+(-895+0.5*t)*COS(2*af)-24*COS(-2*l+2*f+af)+1*COS(-2*l+2*f+2*af)+1*COS(-2*ll+2*f-2*d+af)+(5736-3.1*t)*COS(2*f-2*d+2*af)+(54-0.1*t)*COS(ll)+(224-0.6*t)*COS(ll+2*f-2*d+2*af)
  nu1=nu1+(-95+0.3*t)*COS(-ll+2*f-2*d+2*af)-70*COS(2*f-2*d+af)+1*COS(2*l-2*d)+9*COS(ll+af)+7*COS(2*ll+2*f-2*d+2*af)+6*COS(-ll+af)+3*COS(-2*l+2*d+af)+3*COS(-ll+2*f-2*d+af)-2*COS(2*l-2*d+af)
  nu1 = nu1 / 10000
  ec = FN rad(23.43929111111 - 0.0130041666667 * t - 1.638888888E-07 * t * t + 5.036111111111E-07 * t * t * t)
  ec = ec + FN rad(nu1 / 3600)
RETURN
PROCEDURE elim
  FOR j = 1 TO n - 1         //GAUSS ELIMINATION
   nr = j
   no = ABS(p(j,j))
   FOR i = j + 1 TO n   //ZEILENPIVOT
     noo = ABS(p(i,j))
     EXIT IF (noo - no) < 0
     no = noo
     nr = i
   NEXT i
   IF nr = j THEN
     GOTO jum1
   ENDIF
   FOR i = j TO m + 1
     no = p(nr,i)
     p(nr,i) = p(j,i)
     p(j,i) = no
   NEXT i
   jum1:
   FOR i = j + 1 TO m + 1   //ELIMINATION
     p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
   NEXT i
   FOR i = j + 1 TO n
     FOR k = j + 1 TO m + 1
       p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
     NEXT k
   NEXT i
  NEXT j
  FOR i = 1 TO (m + 1) - n
   ko(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n)  //RÜCKSUBSTITUTION
   FOR k = 1 TO n - 1
     l = n - k
     ko(l,i) = p(l,n + i)
     FOR s = l + 1 TO n
       ko(l,i) = ko(l,i) - p(l,s) * ko(s,i)
     NEXT s
   NEXT k
  NEXT i
RETURN
CLOSEW #1

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