Libration in Länge (l) u. Breite (b)
 
Der Mond durchläuft seine ellipsoide Bahn mit veränderlicher Geschwindigkeit (max. im Perigäum, minimal im Apogäum) rotiert aber in konstanter Zeit um seine Achse. Rotationszeit gleich der Umlaufzeit: 27.321661 Tage (siderischer Monat). Die selenographische Länge der Lichtgrenze hängt nur von der ganz gleichmäßigen Rotation ab und wird nicht durch die unterschiedliche Bahngeschwindigkeit beeinflußt. Die selenograph. Länge der Lichtgrenze ist daher von der Libration völlig unabhängig.

Bei konstanter Rotation bewegt sich der Mond mit ungleichförmiger Bahngeschwindigkeit. Vom Perigäum zum Apogäum wird daher mehr als eine Viertelumdrehung ausgeführt. Vom Apogäum zum Perigäum braucht der Mond für eine Viertelumdrehung weniger als die Hälfte der Bahn (Fig. 26). Infolge dieser Abweichung (Libration - lat. libra = Waage) sieht man ein wenig über den Ost- oder Westrand hinaus. Etwa 60 % der Oberfläche können daher von der Erde aus beobachtet werden.

Optische (geometrische) Libration in Länge aufgrund ellipsoider Mondbahn max. ±8°. Libration in Länge stets 0° mit Mondstand im Perigäum oder Apogäum (Apsidenachse).
Libration in Breite, da Rotationsachse und Bahnachsennormale 6.9 Grad abweichen, max. ± 6.9° (5.3° geozentr. max. ekl. Breite der Mondbahn + 1.6° Neigung des Mondäquators gegen die Erdbahnebene). Libration in Breite stets 0° mit Mondstand im auf- oder absteigenden Bahnknoten (Schnittpunkt Erdbahn-/Mondbahnebene). Wegen der Mondknotennähe wird die Libration in Breite während einer Finsternis daher nie größer als Ë 1°. Scheinbare und wahre Mondmitte stimmen demzufolge überein (Libration in Breite und Lönge 0 Grad), wenn Knoten- u. Apsidenlinie zusammenfallen (Cassini'sche Gesetze).

Perigäumsbewegung 0.1114°/Tag nach Osten - Mondknotenwanderung -0.05295°/Tag rückläufig nach Westen = 0.16435° tägl. Gesamtbewegung durch 180° = 1095.2 Tage. Knoten- und Apsidenachse stimmen demnach alle 1095.2 Tage bzw. 2.9986 Jahre überein. Die perspektivische (parallaktische) Libration beträgt ±1°(Ë Höhenparallaxe). Die optische Libration wird noch von der dynamischen überlagert, die max. 0.04° beträgt (physische bzw. dynamische Libration).

Auf Grund gebundener Rotation sehen wir stets nur das >Mondgesicht<. Die Erde geht dort nicht auf oder unter, sondern verändert ihre Position vom selben Ort gesehen fast nicht, vollführt aber eine spiralfrömige Bewegung innerhalb der Librationsgrenzen. Fig. 27.

Höhe (h) der Erde ber dem Mondhorizont: l, b = Libration, k, b = selenograph. Länge und Breite eines Ortes der Mondoberfläche.
arcsin h = sin b * sin b + cos b * cos b * cos (k - l).
 b = -6.9°, l = -7.9°, b = 45°, k = 90°. Erde unter dem Mondhorizont für diesen Ort (Mondrand): Hhe h = -10.45°.

Bewegung der Erde März/April '72 (Fig. 27) für einen Beobachter auf 0° selenogr. Länge und Breite. Ausnahmen bildet der Mondrand ±45° selenographischer Breite). Das hin u. her wiegen auf seiner Bahn macht sich am Mondrand auffällig bemerkbar, indem die Erde;
bis zu ±10° am Horizont auf und ab schaukelt.  Am Süd- oder Nordpol = Libration in Breite: ±6.9°.

Das Meer der Krisen randfern und randnah.

Der Projektionspunkt der Erde auf dem Mond von der Erde aus gesehen, bildet den scheinbaren Mondmittelpunkt. Fig. 28. Im Gradnetz des Mondes besitzt die scheinbare Mondmitte die Länge und Breite der Libration. Die wahre Mondmitte (selenogr. Breite u. Länge 0°), scheint sich geozentrisch (Erdmitte) oder topozentrisch (Beobachtungsort) gesehen, um die scheinbare Mondmitte zu bewegen. Den wahren Mittelpunkt markiert das Gradnetz.

Globusansicht aus 1 m Entfernung: 16fache Vergrößerung bei 1 cm eines Lineals in 57.29578 cm Abstand oder Armlänge gehalten = 1 cm in der Natur (Maßstab 1:1). Anblick aus 2.3 m Entfernung: Ansicht wie im 7x50 Fernglas. In 15 m Abstand ist die Ansicht des Globus gleich der des Mondes mit bloßem Auge.

Lichtgrenze

Die Lichtgrenze teilt den Mond in eine Tag- und Nachtseite. Der Terminator der topozentrisch sichtbaren Hemisphäre, erreicht Werte der; selenograph. Länge zwischen -90°<=0°<=+90°. Zwischen Neu- und Vollmond haben alle Gebiete der Lichtgrenze Sonnenaufgang, zwischen Voll- u. Neumond, Sonnenuntergang. Mittl. Bewegung der Lichtgrenze. pro Std.: 0.51°. Fig. 28, 29. Ostlänge (Richtung Mare Crisium) positiv +0°...180°, Westlänge negativ. -0°...-180°.
Die selenograph. Komplementärlänge (c_sun ) der Lichtgrenze, gezählt ab selenograph. Länge 0°, entgegen der Rotationsrichtung im Uhrzeigersinn (Richt. Krater Kopernikus), markiert die Länge des Morgenterminators: Neumond: c_sun = 270°, E. V.: c_sun = 0°, Vollmond:  c_sun = 90°, L.V. c_sun = 180°.
Selenograph. L. u. Br. des Sub-Solar Ortes (hier im Zählsinne der Kolänge c_sun ): c_sun- 90° = selenographische Länge der Sonne.

Scheinbare Größe
 
Scheinbarer Winkeldurchmesser: Mond  (mittl. Entf.): 0°31'5.28''. Scheinb. Winkeldurchmesser: Sonne (mittl. Entf.): 0°32'2.32''.
Sonnendurchmesser durch Irradiation vergrößert. (ohne 0°31'59.26'').
Ein Zweimarksütck in 3 m Abstand entspricht dem scheinbaren Winkeldurchmesser des Mondes (2.7 cm * 57.29578/0.5181° = 298 cm). Umgekehrt läßt sich aus dem bekannten scheinbaren Durchmesser der wahre bestimmen: 0.5181° * 384400 km/59.29578 = 3476 km.
Sonne, Mond und Sternbilder erscheinen in Horizontnähe beim Auf- u. Untergang größer als in Zenitnähe, da dem Auge physiologisch der Himmel nicht halbkugelförmig, sondern abgeflacht erscheint. Winkel in Horizontnähe werden daher stark überschätzt.

Messungen relativer Mondberghöhen
 
Die detailreiche, zerklüftete Kraterlandschaft machen Höhenbestimmungen immer interessant. Die Formationen werden dadurch in ihrer Dimension richtig erfaßt.
Die irdischen Höhen werden zweckmäig auf Meeresniveau bezogen. Auf dem Mond fehlt diese absolute Bezugsebene, daher ergibt die Messung unmittelbar die relative Höhe zwischen Berg- und Schattenspitze.
Die ersten Methoden ermittelten die Höhe direkt am Mondrand oder aus dem Aufleuchten der Bergspitzen in Terminatornähe, während das am meisten verwendete Verfahren die Berghöhe aus der Länge des Schattenwurfs ermittelt.

Die Genauigkeit der Messungen ist abhängig von der Schattenlänge bzw. Sonnenhöhe. Die Sonnenhöhe am Berg sollte zwischen 5 und 15 Grad liegen (= Differenz in selenozentrischer Länge zwischen Formation und Lichtgrenze). Über 15 Grad liegen die Schatten zu kurz und die Messungen werden ungenau. Bei Sonnenhöhen unter 5 Grad besteht die Gefahr, daß die langen Schatten im Dunkel der Lichtgrenze und anderer Formationen auslaufen, oder bei Kratern auf die Gegenböschung fallen, wodurch zu niedrige Höhen gemessen werden.
Man erhält jedoch nur die Höhendifferenz zwischen Berg- und Schattenspitze (relative Höhe). Je nach der Sonnenhöhe können sich daher etwas abweichende Berghöhen ergeben, wenn die Schattenspitze in Gelände mit unterschiedlichem Bondeniveau fällt.

Der deut. Arzt und Astronomen W. Olbers (1758-1840) entwickelte erstmals ein Verfahren Mondformationshöhen aus dem Schattenwurf zu ermitteln.
Stoppuhr-Methode. aste (1) interne, Taste (2) externe Stoppuhr. Start durch Return- oder Entertaste, Stopp - Taste >H<. Messungen am Fernrohr bei mindestens 150facher Vergrößerung mit handelüsblichem Fadenkreuz- bzw. Mikrometerokular. Positionswinkel ab Himmelsrichtung Nord +ber Osten, entgegen dem Uhrzeigersinn 0° bis 360°. Gemessen wird stets die Strecke zwischen Schatten- und Bergspitze.

Infolge des tägl. Himmelsumschwungs braucht der Schatten eines Berges oder Kraterwalles (bei abgeschaltetem Fernrohrtriebwerk) eine gewisse Zeitspanne den senkrechten Faden zu überqueren. Vor der Messung ist ein Faden äquatorial auszurichten. Das ist der Fall, wenn bei ruhender Nachführung das Fadenkreuz so gedreht wird, da ein Stern in Mondnähe eine Zeit lang auf den Faden ohne Abweichung entlang läuft. Der senkrechte Faden bildet dann die genaue Nord-Süd-, der waagerechte die Ost-West-Richtung der Sphäre.

Kleinquarz-Stoppuhren sind mechanischen Stoppuhren weit überlegen (keine Ölverharzung der Zahnräder usw.) und daher vorzuziehen. Eine Quarz-Stoppuhr wird von einem auerordentlich frequenzbeständig schwingenden Quarzkristall gesteuert. Genauigkeit 0.001 Sek. pro Tag. Dennoch sollte es bei verschiedenen Temperaturen am Zeitzeichensignal auf Genauigkeit überprüft werden.
Das Verfahren wandte der Mondforscher J. Schmidt vor 100 Jahren an, der Schattendurchgangszeiten an den Füntelsekundenschlägen einer Taschenuhr bestimmte.

Die Dauer der Reizleitung Auge-Hand (Stoppuhr) oder Auge-Ohr (Zeitzeichensignal) verursacht einen durchschnittlichen Zeitmessungsfehler von 0.2 bis 0.5 Sek. Da man in der Regel verzögert reagiert, ist die p. Gl. (persönlich Gleichung) vom Meergebnis zu subtrahieren. Die p. Gl. ist immer mit derselben Stoppuhr und Methode zu bestimmen.

Hierbei nutzt man den scheinbaren Himmelsumschwung von Osten nach Westen. Zwischen zwei Ortsmeridiandurchgängen eines Sterns vergeht 1 Sterntag (= 23h56m04.09054s mittl. Sonnenzeit). Stoppuhren zeigen mittlere Sonnenzeitsekunden an, die mit Faktor 1 .0027379093 multipliziert mittl. Sternzeitsek. ergeben (23h56m04.09054s mittl. Sonnenzeit * 1.0027379093 = 24h Sternzeit; 24 Std. mittl. Sonnenzeit * 1.00273790903 = 24h03m56.5554s Sternzeit).

Ein Äquatorstern (Deklination des Sterns = 0 Grad) bewegt sich daher pro Sternzeitsek. um 15'' weiter (15''=360 Grad mal 3600''/86400 Sek.). Da die Sterne konzentrisch um den Pol kreisen, verlangsamt sich die Bewegung mit zunehmender Deklination. Ein Stern mit 50 Grad Deklin. bewegt sich pro Sternzeitsek. um den Winkelbetrag: 15'' * cos(RAD(50)) = 9.6418''/Sek. An den Polen des Himmelsäquators ist die Winkelgeschwindigkeit = 0 Grad (cos 90 Grad =0).
Bei stillstehendem Fernrohr beträgt die Durchgangszeit in Sternzeitsekunden (ds) demzufolge: ds=S*1.0027379093 (S=gestoppte Zeitsek. mittl. Sonnenzeit).
Durchgangszeit in Bogensekunden: d''=ds*15'', oder genauer: d''=DEG(ASIN(SIN(RAD(ds*15/3600))*COS(d)))*3600; d = Deklination. GFA-BASIC: DEG(x)=Rad in Gradmaß [GRAD x = x RAD * (180/PI)], RAD(x)=Gradmaß in Rad [RAD x = Grad x * (PI/180)].

Auf dieselbe Weise kann der Fadenabstand bzw. Schraubenwert eines Positionsfadenmikrometers oder der Skalenwert eine Mikrometerplättchens bestimmt werden. Deklinationsfaden des Fadenkreuzes oder Skala so ausrichten, daß sich ein Stern ohne erkennbare Abweichung auf dem Faden oder Markierung entlang bewegt. Sternübergang von einem festen Faden zum anderen oder Skaleninkrement 5-15 mal stoppen, Abstände arithm. mitteln (die addierten Messungen durch die Anzahl teilen) und den mittl. Fehler des Mittelwertes bestimmen. Der wahre Gesichtsfelddurchmesser des Okulars ergibt sich analog aus dem gestoppten Sterndurchlauf.

Finden Teilungen (z. B. 1 cm oder 0.2 cm in 100 Teile) Verwendung, ist die Länge der Skala (s) in Winkelmaß (w) ausgedrückt: w=(180/PI)*3600*(s/F); F=Brennweite des Fernrohrobjektivs.
Bei s=10 mm und F=2000 mm, wird w=1031.32403''=206264.806247*(10/2000). Teilung 100 = 1 Teilstrich = d'' 10.31324''.
Der formelmäßig bestimmte Winkel (w) kann von Okularbauart und Brennweitenangaben abhängen, so daß man den genauen Skalenwert besser durch zahlreiche Messungen empirisch bestimmt (Vergleichmessungen mit Stoppuhr-Methode oder Objektivgittermikrometer, Eichungen an genau berechneten Stern- bzw. Doppelsterndistanzen usw. - s. “Sternbeobachtung”).

Barlowlinse, Zenitprisma o.a. können die Primärbrennweite ändern; die genaue Brennweite eines opt. Systems (primäre oder effektive Brennweite) ergibt sich bei bekannter Distanz d'' aus: 206264.806247''/1 Teilstrich d'' 10.31324'' (oder d'' mittels Mikrometer oder Stoppuhr-Methode bestimmen) = Brennweite 2000.00 mm.

Um die Durchgangszeit des Schattens einer Mondformation mit Stoppuhr zu messen, das Fadenkreuz so drehen, daß der Mondberg oder ein Stern in Mondnähe bei stillstehendem Fernrohr ohne Abweichung exakt auf den Deklinationsfaden verbleibt. Objekt (Bergschatten, Formation) dann mit der Feinbewegung in Rektaszension und Deklination einstellen.
Durchgangszeit des Schattens (mal Faktor 1.0027379093=Sternzeitsek. im Progr. berücksichtigt) über den senkrechten Faden wird 5-10 mal gestoppt.

Um die mittl. Durchgangszeit (ds) in Bogensekunden (sl) umzuwandeln gilt: Schattenlänge sl=n*((ds*cos(dek))/COS(P)); dek=topozentr. Deklination der Formation; P = Positionswinkel des nördl. Beleuchtungspols. Durchschnittlich bewegt sich der Mond tägl. mit 13.176358 Grad nach Osten (=360 Grad/27.32166 Tage siderischer Mondumlauf). Das macht pro Zeitsek.: 13.176358*3600''/86400 Sek. eines Tages = 0.549''/Sek.
Pro Zeitsek. bewegen sich Mond+scheinbare Himmelsumdrehung daher nicht um n=15'', sondern um die Eigenbewegung verkürzt: 15-0 .549'' = durchschnittlich n=14.45'' =((24-13.176358/15)/24)*15 (n=14.30'' bis max. 14.56''). n=((24h-(ar2-ar1))/24)*15''. ar1=geozentr. Rektaszension des Mondes in Stunden des Beobachtungstages, ar2=AR des Mondes für 24 Stunden später folgenden Tages. In die Formel setzt man die gemessene Schattenlänge sl und der topozentrische Mondradius in Bogensekunden ein.

Die Formeln legen die Methode dar und sind natürlich nicht durchzurechnen, da die Eingabe der Parameter, Ort, Datum, Uhrzeitmitte der Messungen und die gestoppten Zeitsekunden (1 bis 15 Messungen) geüngen. Der Globus führt alle Reduktionen aus.

Mikrometer-Messung der Schattenlänge

Bergschatten verlaufen stets rechtwinklig zur Linie, die beide Hörner der Mondphase verbindet. Die Richtung des Schattenwurfs eines Berges hängt daher vom Positionswinkel der Mondphase ab, was die Stoppuhrmethode ebenfalls berücksichtigt.
Gemessen wird stets vom Gipfelpunkt zum Schattenendpunkt, vorausgesetzt der Schatten geht vom höchsten Punkt des Berges aus. Schatten stets parallel zum Beleuchtungsäquator senkrecht auf die Hörnerlinie (=Beleuchtungspole) messen.

Berechnung des Positionswinkels (pha) des nördl. Beleuchtungspols, der vom Positionswinkel der lunaren Achse etwas abweicht (=Positionswinkel der beleuchteten Phasenmitte ±90 Grad = Beleuchtungspole).
Projizierte Schattenlänge >sl< (senkrechter Faden parallel zu den Beleuchtungspolen ausrichten, waagerechter Faden verläuft somit parallel zum Beleuchtungsäquator) etwa 5-15 mal messen, mittelt das Ergebnis arithmetisch und bestimmt den mittl. Fehler (m.F.) des Mittelwertes (siehe “Sternbeobachtung”).

Die gemessene projizierte Schattenlänge sl und der topozentrische Mondradius in Bogensekunden in die Formel einsetzten. Da der Globus alle notwendigen Berechnungen vorrnimmt, geüngt die Eingabe der Parameter, Ort, Datum, Uhrzeitmitte der Messungen und die 1 bis 10 Messungen der Schattenlänge in Bogensekunden.

Schattenlänge nach Ausmessung einer Mondphotographie

Die digitale Photographie mit einer am Fernrohrtubus anschraubaren Astro-CCD-Kamera, erlaubt hochpräzise Ausmessungen (Astrometrie, Photometrie u. Spektroskopie) aufgenommener Objekte am Computer.

Eingabe der Schattenlängen in Bruchteilen des Mondradius. Mit Projektor auf eine Dialeinwand projizierter Mondradius z. B. 1000 mm, gemessene Schattenlänge zwischen Berg- u. Schattenspitze eines Mondberges 5 mm: 5/1000 = 0.005 Mondradien. Der Positionswinkel des lunaren Nord- u. Sdpols und der Positionswinkel der Mondphase (±90° Beleuchtungspole), weichen voneinander ab. Bergschatten verlaufen stets rechtwinklig zur Linie die beiden Hörner der beleuchteten Mondphase verbindet, was beim Anlegen des Mastabs (Lineals oder Digitalmeßschieber) zu beachten ist. Die mit Lineal in Millimeter gemessene Schattenlänge (slm) und Mondradius (rm) in die Formel einsetzen.
Da der Globus alle notwendigen Reduktionen übernimmt, genügt die Eingabe der Uhrzeit der 1-15 Messungen der Schattenlänge in Millimeter und des gemessenen Mondradius in Millimeter (Mittelwert von 1-10 Messungen).

Methode. Die von W. Olbers, H. Mädler und J. Schmidt angewandten Messungen enthalten einige Unsicherheiten, da sie außer der Schattenlänge zur Bestimmung der Sonnenhöhe den Abstand der Formation von der Lichtgrenze und vom Beleuchtungsäquator maßen. Die exakte Lage der diffusen Lichtgrenze ist visuell jedoch nur sehr schwer auszumachen. Genauer ist es Sonnenhöhe und Lichtgrenze aus den exakten Größen zu berechnen.
Das 11400 m hohe Leibniz-Gebirge nahe dem Sdpol gilt als die höchste Formation auf dem Mond, gefolgt vom Dörfel-Gebirge mit 10 000 m Höhe. Die Wallhöhe des Kraters Letronne liegt ebenfalls bei 10000 m.

Wie die Erde, ist auch der Erdtrabant ein zweiachsiges Rotationsellipsoid. Die lunare Abplattung ist jedoch vernachlässigbar klein (Abplattung des Polarradius lt. CSSR Academy of Siences: 1:2600 = Polarradius 0.668 km kleiner als der Äquatorradius mit 1737.4 km. Äquatoriale Abplattung 1:7000). Lt. IAU (Intern. Astronom. Union) Report 1988 beträgt der mittl. Mondradius 1737.4 km ± 1 km.

Die selenograph. Länge und Breite eines Objektes der Mondoberfläche wird dem Mondgradnetz entsprechend (Fig. 29) positiv oder negativ eingegeben. Kopernikus: selenograph. Länge -20° u. +9° Breite. Berg Piton: Länge -0°45'27'', Breite 40°50'38''.

Die selenographische Breite wird im Intervall -90°<=mbw<=+90° ab Mondäquator (mbw=0) von Pol zu Pol gemessen.
Kartesische (x,y,z rechtwinklige ) lunare Koordinaten: +zeta-Achse im Nullmeridian innerhalb der lunaren Äquatorbene in Richtung Erde, +xi-Achse rechtwinklig zur +zeta-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn, Rotationsachse = +eta-Achse, positiv nach Norden.;
zeta=cos(mbw)*cos(mlw)
xi=cos(mb)*sin(mlw)
eta=SIN(mb)

Wahre selenozentrische (mbw) Breite und (mlw) Länge (Selene = griech. Mondgöttin). Der auf irgendeinem Orte der Erde sichtbare scheinbare Mittelpunkt des Mondumrisses ist gleich der selenozentrischen Länge und Breite der Erde (Sub-Lunar Ort). Die selenozentr. Länge (=lunarer Zentralmeridian) und Breite der Erde ist gleich der topozentrischen (=für die Beobachtungsstation gültigen) Libration.;
Die Libration erreicht Werte von ±6.9° in selenozentr. Br. und ±7.9° in Länge.
Der Nullmeridian des Mondes verläuft genau durch den erdperspektivisch sichtbaren scheinbaren Mondmittelpunkt bei Null Grad Libration in selenozentr. Länge und Breite.
Polarkoordinaten: Die selenozentrische Länge wird ab dem lunaren Nullmeridian entgegen dem Uhrzeigersinn (von Norden gesehen) nach Westen (Richtung Mars Crisium) 0° bis 360° gemessen, oder 0°...+180 nach Westen (Richt. Mare Crisium) bzw. 0°...-180 (Richt. Oceanus Procellarum) nach Osten (an örtlicher irdischer oder lunarer Himmelsrichtung orientiert, ist bei südl. Blickrichtung Osten links, Westen rechts. Für Astronauten gilt allerdings die Lankartenorientierung: Nordrand oben, Südrand unten, Westrand links, Ostrand des Planeten oder Mondes rechts).

In >Kalender für Sternfreunde 1973<, ist die mitgeteilte Formel (VI) zur Messung von Mondberghöhen ( a = L' ± k') für Libration in selenograph. Länge (k') korrigiert (a = selenograph.. Längendifferenz zwischen Objekt und Lichtgrenze), obwohl die selenograph. Länge der Lichtgrenze (L') nicht von der Libration beeinflußt wird.
Hierzu teilte Dr. Ahnert dem Verfasser mit: >Sie haben recht: Richtig ist a = k - L', wo k die wahre, unkorrigierte Länge des Berges ist. In meiner Formel VI würde a um die Größe der Libration in Länge verfälscht<.  >Dabei fand ich aber auch, daß a tatsächlich von der Libration in Länge beeinflußt wird...a (das richtige a) muß noch (in genügender Näherung) durch cos(L' ± a/2) dividiert werden<.

bm,lm=Eingabe mittlerer selenozentrischer Breite und Länge (physische Libration intern berücksichtigt) der Mondformation (aus einer Mondkarte oder durch Mikrometermessung); bs,ls=selenozentr. Breite und Länge der Sonne (physische Libration intern berücksichtigt)
Höhe (hs1) und Azimut (azs1) der Sonne am Mondberg (azs = Azimut der Schattenspitze):
sin hs1=sin(bmw)*sin(bs)+cos(bmw)*cos(bs)*cos(lmw-ls). hs1 Sonnenhöhe am Berg.
x=(sin(bmw)*cos(bs)*cos(lmw-ls)-cos(bmw)*sin(bs))/cos(hs1)
y=cos(bs)*sin(lm-ls)/cos(hs1)
azs1=ATN(y/(1+x))*2 
Das Azimut der Sonne am Mondberg zählt ab Süden über Westen 0<=azs1<=360 Grad. Bergschatten-Azimut asz=azs1± 80 Grad. bmw,lmw=wahre selenozentr. mit physische Libration behaftete Breite u. Länge.
rt=topozentrischer Mondradius [rt=DEG(ATN(1737.4 km/todel))*3600] in Bogensekunden; lb,ll=wahre topozentr. (optische+physische) Libration des Mondes; todel=topozentr. Entfernung des Mondes in km; todel1=topozentr. Entfernung des Mondberges in km; rmo=1737.4 km Mondradius; w=206264.806'' (=DEG(1)*3600'' =1/SIN(1''), da >sl< in Bogensekunden gemessen wird).
cos M=sin(bs)*sin(lb)+cos(bs)*cos(lb)*cos(ls-ll); M=Phasenwinkel (M=Winkel am Mondmittelpunkt zwischen topozentrischer Beobachter
 und Sonnenrichtung).

sl : er=SIN(i); Winkel >i< (Fig. 30) gleich 180° - M (Phasenwinkel). Infolge der kugelförmigen Mondkrümmung werden mit zunehmender selenographischer Länge kürzere Schattenlängen gemessen. Die Division durch den Phasenwinkel M [oder COS(lm - ll)] ergibt die unverkürzte Schattenlänge (lm =selenograph. Länge des Berges; ll = topozentr. Libration in Länge).
Unprojizierte (unverkürzte) Schattenlänge in Einheiten des Mondradius (er) daher aus: er=sl/(rt*sin(M)) = in Bogensekunden usl=sl/SIN(M ), wobei hier die topozentr. Entfernung des Schattens (todel1) vom Beobachter vernachlässig ist. Bei Schattenlänge (slm) und Mondradius (rm) in Millimetern (Ausmessung einer Photographie oder Projektion), setzt man für sl=slm, rt=rm ein.

Da >rt< nach topozentrischer Entfernung (todel) berechnet wird, ist die in der Entf. todel1 gemessene Schattenlänge >sl< ebenfalls auf topozentrische Entf. zu reduzieren [Reduktion auf endliche Entfernung: k=(todel1/todel)].

Oder Reduktion auf endliche Entfernung >k<:
xi=COS(bmw)*SIN(lmw) // bmw,lwm=wahre selenozentrische Breite und Länge der Formation
et=SIN(bmw)
ze=COS(bmw)*COS(lm)      // lb,ll=wahre topozentrische Libration
zu=xi*SIN(ll)*COS(lb)+et*SIN(lb)+ze*COS(ll)*COS(lb)      // +Z-Achse Richtung topozentr. Beobachter
k=1-zu*SIN(todu)       //todu = topozentr. Winkelradius Mond
Gemessene Schattenlänge >sl< oder >slm< mit Faktor >k< multiplizieren.

Unprojizierte Schattenlänge (er) unter Berücksichtigung der genauen topozentr. Entfernung der Mondformation vom Beobachter in Einheiten des Mondradius: Umrechnung der gemessenen projizierten Schattenlänge sl (Bogensek.) in Kilometer (erkm) in Entf. todel1 (Reduktion auf endliche Entfernung entfällt dadurch): erkm=(todel1*sl)/w.
In Einheiten des Monddurchmessers: er=erkm/(1737.4*sin(M)); er=(todel1*sl)/(w*rmo*sin(M)).

Bei Schattenlänge und Mondradius in Millimetern (Ausmessung einer Photographie oder Projektion) wird für sl = slm eingsetzt. Die dann einzusetzende Korrektionsgröße w ergibt sich aus w=F*V; F=Brennweite des Fotoobjektivs; V=Bildvergrößerung. Fernrohr oder Teleobjektiv z. B. F=1000 mm Brennweite, scheinbarer topozentr. Winkeldurchm. des Mondes (rt*2) 1864.488'': (1864.488''*1000 )/206264.806'' = 9.03929 mm Monddurchmesser auf dem Negativ. Gemessener Monddurchmesser der Papierkopie/Diaprojektion 2367 .56 mm. Bildvergrößerung V 261.9188 = 2367.56 mm/9.03929 mm. Einzusetzender Betrag w 261918.8 = F 1000 mm * V 261.9188.

Die Winkelausdehnung der Sonne beträgt rund 32' (Bogeminuten) = 0.5 Grad. Halbmesser der Sonne im Mittel d=16'=0.267 Grad. Punktförmige Lichtquellen ergeben nur einen Schlagschatten, flächenhafte einen Kern- (lkk) und Halbschatten (lkh - Fig. 31).



Gemessen wird die Länge des Kernschattens (sl, lkk). Bei 7 Grad Sonnenhöhe (hs) wirft ein 5 km über der Ebene lk2 liegender Berggipfel (hbm1) einen 39.21 km langen Kern- (lkk) und einen 42.35 km langen Halbschatten (lkh).
d=RAD(0.267); hs=Rad(7); hbm1=5; lkk=hbm1/TAN(hs+d); lkh=hbm1/TAN(hs-d).
Die berechnete Höhe des Sonnenmittelpunktes hs1 ist daher um den Betrag des scheinbaren Sonnenradius d=RAD(0.267 Grad) zu erhöhen, da die gemessene Länge des Kernschattens (ls bzw. lkk) der Höhe des Sonnenoberrandes (= zenitnächster Punkt) entspricht: hs=hs1+d. Da die Höhe des Sonnenoberrandes (hs) in die Rechnung eingehen sollte, sind alle auf den Sonnenmittelpunkt bezogenen Berghöhen um ein paar 100 Meter zu niedrig.

Sinussatz: SIN(a):er=cos(hs):1. Winkel (a) am Mondzentrum (Fig. 30) zwischen Berg- und Schattenspitze (Zentriwinkel der Schattenlänge) somit: a=ASIN(er*COS(hs)).
Sinussatz: COS(hs):1=COS(hs-a):(1+hbm); (1+hbm)*COS(hs)=COS(hs-a); daraus folgt: Mondberghöhe (bh) in Einheiten des Mondradius: bh=cos(hs-a)/cos(hs)-1; oder: hb=COS(a)+er*SIN(hs)-1; hb=SQR(1-er^2*COS(hs)^2)+er*SIN(hs)-1; Mondberghöhe (bhm) in Meter: hbm=hb*1737400 m. k = Reduktion auf endliche Entfernung. Oder (alternativ): sin a = (sl*k*cos(hs))/(rt*sin(M)); hb=(sl*k*sin(hs))/(rt*sin(M))-2*SIN(a/2)^2.

Die Schattenlänge (lk in Kilometern) ergibt dann auf dem Großkreisbogen Fußpunkt des Berges/Schattenspitze die Länge:;
lk=(DEG(a)*1737.4*PI)/180. Ein Zentriwinkel (a) von 1 Grad ergibt lk=30.3233 km. Die lineare Schattenlänge (lk1) vom Fupunkt des Berges zur Schattenspitze lautet dann: lk1=2*r*SIN(a/2); a=Zentriwinkel. DEG(x) = GRAD in Grad. PI=3.14159265.

Die ebene Schattenlänge (lk2 in km) auf der rechtwinklig zu hbm (Mondberghöhe) gelegenen Ebene ergibt sich aus (Fig. 30): lk2=hbm1/TAN(hs); Höhe des Sonnemittelpunktes aus ebener Schattenlänge: hs=ATN(hbm1/lk2)-d. hn=(1-cos(a))*1737.4;
hbm1=hbm in km + hn.

Für einen fiktiven Beobachter am Ort der Schattenspitze, liegt der Fupunkt des Berges aufgrund der Mondkrümmung >hn< km unter der dortigen Horizontebene (Augeshöhe=Null). Die Mondkrmmung fällt somit in Entfernung Schattenspitze/Fußpunkt des Berges um hn km ab.
Zentriwinkel (a) aus: arccos a = 1-hn/rmo (rmo=1737.4 km Mondradius).
Oder: lk2=((1/206264.8062)*todel1*sl*cos(hs))/SIN(M)
lk2 = ebene Entfernung der Schattenspitze sl vom Fußpunkt des Berges

Der maximale Zentriwinkel (ma) bzw. Schattenlänge (ml) einer Berghöhe (hbm in km) wird erreicht, wenn der Bergschatten die Mondkugel tangiert (Fig. 31): arccos ma = rmo/(rmo+hbm); ml=DEG(ma)*30.3233 km. Die Entfernung >ml< ist gleich der max. Sichtweite auf der Bergspitze (Augeshhe=0 m). Max. Sichtweite über die Hypotenuse (Augeshhe 0 m): c=SQR(hbm2^2+lk3^2).;
 Die zugehörige max. Sonnenhöhe (hsm) ab der die Berghöhe hbm den Mondrand tangiert ist gleich dem Winkelbetrag des max. Zentriwinkels ma: a1=(1-cos(ma))*1737.4; c1=2*rmo*SIN(ma/2); hbm2=hbm+a1; lk3=SQR(c1^2-a1^2); hsm=DEG(ARCTAN(hbm2/lk3))-DEG(d) Sonnenradius. DEG(d)=d in Gradmaß. DEG(d)=d in Rad mal 57.2957795. GFA-BASIC ^=Potenzierung.

Sichtweite bei beispielsweise 2.3 km Berghöhe (h = 2.3 km, h² = 5.29, Mondradius R = 1738 km). Nach dem Pythagoreischen Lehrsatz ist 2Rh + h² = n²; 2 * 1738 * 2.3 + 5.29 = Å8000.09 = 89.4 km. Die Sicht vom Mondberg reicht 89.4 km weit.

Ein 1.7 m großer Astronaut verschwindet auf dem Mond nach 2.43. km unter dem Horizont (Augeshöhe 0 m), oder nach 5.066 km für einen 2 m großen Beobachter.
REM GFA-BASIC
a=DEG(ACOS(1/(1+0.0017/1737.4)))*30.32335,
PRINT A
b=DEG(ACOS(1/(1+0.002/1737.4)))*30.32335
c=a+b
PRINT c

Topographische Höhenprofile von Mondformationen aus Schattenmessungen
 
Irdische Höhen werden zweckmäßig auf Meeresniveau (N.N. = Normalnull) bezogen. Eine solche absolute Bezugsebene fehlt auf dem Mond. Die Messung ergibt daher die relative Höhendifferenz zwischen Berg- und Schattenspitze. Da Bergschatten meist in unebenes Gelände fallen, werden bei unterschiedl. Sonnenhhen verschiedene Berghöhen festgestellt. Höhenwerte müssen daher mit Höhe und Azimut des Sonnenmittelpunktes am Bergort mitgeteilt werden. Andererseits können über Stunden gemessene Schattenlängen ein Höhenprofil der Landschaft in Berg- oder Kraterumgebung zeichnen.
Das Azimut des Bergschattens variiert von einer Lunation bis zur nächsten etwas infolge Libration und unterschiedlchen Positionswinkel des Beleuchtungspols.
Azimut der Sonne um 90 Grad = Sonne geht am lunaren Westhorizont unter = Schatten werden länger, Azimut um 270 Grad = Sonne geht am Osthorizont auf = Schatten werden kürzer.

er=(todel1*sl)/(206264.806*1738.4*SIN(M)) = unprojizierte Schattenlänge in Einheiten des Mondradius. M=Phasenwinkel.
hs=hs1+d = Höhe des Sonnenmittelpunktes + Sonnenhalbmesser.
Zentriwinkel der Schattenlänge: sin a=er*cos(hs).
Mondberghöhe in Einheiten des Mondradius: bh=cos(hs-a)/cos(hs)-1.
Gemessene Mondberghöhe in Metern: hbm=bh*1737400 m (s. >Messungen relativer Mondberghöhen<).

Vorgegebene oder gemessene Berghöhe >bho< in Einheiten des Mondradius. Messung der Schattenlängen z. B. des Einzelberges Pico: Pico-Höhe 2700 m. Gewählte Normalhöhe hbo=2700 m/1737400m = hbo 0.00155404627 Mondradien.
Dadurch werden alle in Bergschattenumgebung bestimmten Höhendifferenzen (dbhm) auf das gewählte absolute Hhenniveau 2700 m unterhalb des 2700 m hohen Bergipfels Pico (bho) bezogen (N.N.MF. = Normalnull Mondformation Pico = Höhe Null Meter). Für andere Formation können entsprechende N.N.MF. festgelegt werden.

Die vorgegebene Berghöhe >hbo< projiziert die Schattenlänge >slo< durch die Relation: er=sin((hs-acos((1+hbo)*cos(hs))))/cos(hs); er=unprojizierte Schattenlänge >slo< in Einheiten des Mondradius. slo=(er/todel1)*(w*1737.4*SIN(M)) = projizierte Schattenlänge (Bogensek.) der absoluten Berghöhe >hbo<.

dbh=(hbo-hb)*1737400; dbh=Höhenunterschied in Metern, dbh positiv = Höhe (Elevation) in Metern über N.N.MF, negativ = Tiefe (Depression) in Metern unter N.N.MF. hb=hbo=sl=slo.

Entfernung (df) der zur gemessenen Schattenlänge >sl< zugehörigen Höhendifferenz >dbhm< vom Fußpunkt des Berges linear (df=lk3, Fig. 30)) in Kilometern: df=((1/206264.806)*todel1*sl*cos(hs))/sin(M).

Wahre selenograph. Länge und Breite (ao,bo) der gemessenen Schattenspitze (sl) bzw. zugehörigen Höhendifferenz (dhbm):
bo=bmw-RAD((df*COS(azs)/30.32335042415))
ao=lmw-RAD((df*SIN(azs)/COS(bo))/30.32335042415)
dx=ACOS(SIN(bmw)*SIN(bo)+COS(bmw)*COS(bo)*COS(ao-lmw)) //IN GRAD GROSSKREISBOGEN
fg=DEG(dx)*1737.4*PI/180   //IN KM GROSSKREISBOGEN
bmw,lmw=wahre mit physischer Libration behaftete selenograph. Breite und Länge der Formation.

Bestimmung des Höhenprofils unter laufender Messung (z. B. jede 3. Minute) der Schattenlänge über einige Stunden unter Notierung oder Diktierung zugehöriger Uhrzeit (UT). UTC = Koordinierte Weltzeit = Funkuhrzeit MEZ - 1 Std. (MEZ = mitteleuropäische Zeit); UTC = MESZ - 2 Std. (MESZ = mitteleurpäische Sommerzeit). UT=UTC+DUT1 vernachlässigt.
Die Berechnung sämtl. Parameter (Sonnenhöhe, Azimut, Berghöhe, Phasenwinkel, topozentr. Azimut usw.) aus Datum, Uhrzeit und Ort, ergibt für jede gemessene Schattenlänge die zugehörige Höhendifferenz (dbhm) in Entfernung (df) vom Berg.
Eingabe Datum, Uhrzeit der Mitte der 1-10 mit Stoppuhr, Fadenmikrometer oder Teilungen gemessenen Schattenlängen.

Diagramm 1 (Fig. 32) setzt gemessene Schattenlängen (sl) in Beziehung zur Zeit und zu den für die Höhe N.N.MF. berechneten Schattenlängen (slo). Starke Abweichungen (sl-slo) von der Mittellinie bedeuten entsprechende Höhenunterschiede (eingetragenes Intervall N.N.MF ± 150 Metern gewählte Höhentoleranz = obere/untere Linie zwischen 3150 und 2850 Meter). Diagramm 2 (Fig. 33) stellt die gemessenen Höhen in Relation zur Entfernung vom Berg oder Wall im Profil dar.
Diagramm 3 (Fig. 34) dreidimensional in dreh- und neigbarer Zentralperspektive des Mondberges.

Bestimmung der Kraterdurchmesser
 
Hierbei sind hauptsächlich Krater- bzw. Ringwalldurchmesser; oder die Entfernung zweier Orte zu bestimmen. Sphärische Entfernung (dkm) zweier Orte (Bogenlänge) der Mondoberfläche aus gemessenen selenographichen Koordinaten (s. folg. Abschnitt) unter Anwendung des Seitencosinussatzes: d=DEG(ACOS(SIN(d1)*SIN(d2)+COS(d1)*COS(d2)*COS(l2-l1))); bkm=(d*PI*1737.4)/180; b1,l1=selenograph. Breite u. Länge Ort 1, b2,l2=Ort 2.

Die Messung mit Fadenmikrometer (oder Lineal) ergibt die projizierte lineare (Sehnenabstand) Entfernung zweier Orte (c1 Fig. 31). Sphärische Entfernung bkm: a=DEG(ASIN(dkm/(2*1737.4))*2); a = Zentriwinkel in Grad. Bogenlänge: bkm=(a*PI*1737.4)/180; dkm=gemessene Linearentfernung in Kilometer.

Mit Distanz vom scheinbaren Mondmittelpunkt erscheinen die annähernd kreisförmigen Krater bzw. Ringwälle wegen der kugelf. Mondkrümmung zunehmend elliptisch verformt. Dabei steht die große Achse der Ellipse (unverkürzter Maximaldurchmesser des Kraters) senkrecht auf der Verbindunglinie Krater - scheinbarer Mondmittelpunkt. Mit Fadenmikrometer gemessener Maximaldurchmesser des Kraters=dm (Bogensek.); todu=topozentr. Winkelhalbmesser des Mondes (Bogensek.); Kraterdurchm. in Bruchteilen des Mondradius dr=dm/todu; Reduktion auf endliche Entfernung (s. vorheriger Abschnitt): d=dr*(1-zu*SIN(todu)). Durchm. in Kilometer dkm=d*1737.4.;
Ausmessung von Photographien der Mondlandschaften mit Lineal. Für dm und todu sind die bestimmten Millimeterwerte einzusetzen.

Oder (alternativ): dkm=(dm*todel1)/w; w=206264.806; dkm=linearer Durchmesser der Formation in Kilometer; todel1 = topozentr. Entfernung des Kratermittelpunktes. Topozentr. Entf. (todel1) der Formation aus kartesischen Koordinaten oder aus: ss=ACOS(SIN(lb )*SIN(bmw)+COS(lb)*COS(bmw)*COS(lmw-ll)); lb, ll=wahre Breite und Länge des scheinbaren Mondmittelpunktes; bmw,lwm=wahre Breite und Länge der Mondformation. todel1=(SIN(ss)/SIN(ss+RAD(s1/3600)))*todel; todel = (topozentr. Delta) topozentr. Entfernung des Mondzentrums; s1 =berechnete scheinbare Winkeldistanz bmw,lmw zu lb,ll.

Divisor >w< bei Photographien (dm in Millimetern): w=F*V (F=Brennweite des Teleskops [Millimeter]; V = Vergrößerung). 1 Bogensek. bei z. B. F=2000 mm Primärbrennweite = 1*2000/206264.806'' = 0.00969 mm.

Der Positionswinkel der Messung gilt ab dem Maximaldurchmesser (große Achse der Kraterellipse). Positionswinkel des Maximaldurchmessers daher = Null Grad = Richtung senkrecht auf die Verbindungslinie Kratermitte-scheinbarer Mondmittelpunkt. Positionswinkel 90 Grad = kleine Achse der Kraterellipse = Richtung scheinb. Mondmittelpunkt. Positionswinkelangaben zählen stets entgegen dem Uhrzeigersinn.
Mikrometer erlauben Messungen in allen Positionswinkeln, ebenso die Ausmessung von Mondaufnahmen mit Lineal, während die Stoppuhr-Methode nur Durchmesserbestimmungen des Kraters in genauer West-Ost-Richtung des Himmels (auf dem Deklinationskreis der Kratermitte) ermöglicht (Fig. 35). Der Positionswinkel der West-Ost-Richtung am Kratermittelpunkt (bmw,lmw) wird bei Wahl der Stoppuhr-Methode berücksichtigt. Anzeige des jeweiligen kreisförmigen und elliptischen Positionswinkels des Längenkreises der Kratermitte (bmw,lmw). Eingabe der mittleren selenographischen. Breite und Länge (bm,lm).



Elliptischer in kreisförmiger Positionswinkel:
x=COS(ep) //ep=ELLIPTISCHER POSITIONSWINKEL
y=SIN(ep)*COS(d)   // d=BOGENLÄNGE SCHEINB. MONDMITTELPUNKT-KRATERMITTE
r=SQR(x^2+y^2)
ko1=1/r  //FAKTOR FÜR REDUKTION AUF MAXIMALDURCHMESSER
x=x/r
y=y/r
pk=FN r(ATN(y/(1+x)*2) //KREISFÖRMIGER POSITIONSWINKEL

Bei Vermessung von Kraterellipsen in verschiedenen vom Maximaldurchmesser abweichenden Positionswinkeln, ist der gemessene Halb- bzw. Durchmesser auf den Maximaldurchmesser (dmax=dm*ko) zu reduzieren.
f=1-COS(d) // f=ABPLATTUNG; d=SPHÄRISCHE DISTANZ SCHEINB. MONDMITTELPUNKT-KRATEREMITTE - SIEHE SEITENKOSINUSSATZ
ee=2*f-f^2   // EXENTRIZITÄT DER KRATERELLIPSE
b=ATN((1/(1-ee))*TAN(po))  / /po=POSITIONSWINKEL DER MESSUNG dm AB MAXIMALDURCHMESSER
b1=ATN(((1-ee))*TAN(b))
ko=1/SQR((1-ee)/(1-ee*COS(b1)^2))  //  ko=FAKTOR FÜR REDUKTION AUF MAXIMALDURCHMESSER dmax=dm*ko
Die graphischen Verhältnisse am Krater Fig. 35.

Stoppuhr-Methode. Messung der Durchgangszeit des Ost- u. Westrandes einer Kraterformation über den Faden eines Fadenkreuzes. Der Faden ist zuvor äquatorial auszurichten.
Die Stoppuhr-Methode erlaubt eigentlich nur die Messung in der Ost-West-Richtung. Mit Hilfe des Fadenkreuzokulars sind jedoch auch Distanzen u. Positionswinkel von Formationen des Kraters an die Kratermitte anzuschließen.
Eingabeparameter Datum, geograph. Breite und Länge des Beobachtungsort, Uhrzeitmitte der Messungen, 1-10 Messungen der gestoppten Zeitsekunden des Kraterdurchmessers in Ost-West-Richtung oder Eingabe selenograph. Breite u. Länge der Kratermitte und der 1-10 mal gemessenen Distanz (s) und Positionswinkel (ps) einer am Mittelpunkt des Kraters angeschlossenen Formation.

Mikrometermessungen der Kraterdurchmesser. Äquatoriale Ausrichtung durch einen Stern in Mondnähe, der den Mikrometerfaden oder Mikrometerteilung entlang >läuft<. Der wahre Kraterdurchmesser ist stets auf die Richtung des Positionswinkels der Messung bezogen.
Eingabe der Uhrzeit der Mitte der 1-10 gemesenen Durchmesser in Bogensekunden u. Positionswinkel der Messung.
M. Müller >Das Positionsfadenmikrometer in der Praxis<, >Sterne u. Weltraum<, 3/1986, S. 157-161.

Kraterdurchmesser einer Mondphotographie.  Mondradius der Photographie z. B. 115.5 mm, gemessener Kraterdurchmesser 6 mm: 6/115 .5 = Eingabe 0.051948 Mondradien. Der wahre Kraterdurchmesser bezieht sich stets auf die Richtung des Positionswinkels der Messung.

Messung der selenographischen Breite und Läng lunaren Terrains mittels Mikrometer oder Ausmessung von Mondphotographien

Die selenograph. Koordinaten basieren auf Messungen von Punktabständen in Rektaszension und Deklination vom Mondrand. Die Messung von Randabständen ist allerdings mit weitaus größeren Fehlern behaftet als der Anschluß an Punkten genau bekannter selenographischer Länge und Breite. Seit Bessel wird daher ab dem Fundamentalkrater Mösting A gemessen. Die Position von Mösting A ist daher im Rahmen der Messgenauigkeit außerordentlich präzise ermittelt worden, um an diesen kleinen Krater am Westwall der Flammarion-Formation alle anderen Punkte der Mondoberfläche anzuschließen.

Mittlere selenograph. Koordinaten von Mösting A lt. Schrutka-Rechtenstamm (1958): -5°09'47'' westl. Länge, -3°10'47'' südl. Breite.
Verwendet werden die mittl. Koordinaten nach Koziel (1967): -5°09'53'' westl. Länge, -3°10'41'' südl. Breite.

Bei einem mittl. Mondradius von rund 1738000 m entpricht 1'' (Bogensek.) Bogenlänge 8.426062 Meter. In mittl. Mondentfernung von 384400 km entsprechen 8.426062 m linear = geozentrisch 0.00452133'' (100 m = 0.05366''). Das Auflösungsvermögen eines Fernrohrs mit 8 Zoll Öffnung liegt bei 0.5'' (4 Zoll bei 1''), so daß durch ein Teleskop noch Details der Mondoberfläche in 1-2 km [(0.5''/0.054'' )*100 m] Abstand (10-20fache Fuballfeldgröße) aufgelöst und getrennt gesehen werden können. Auf den besten Mondphotographien sind noch Krater von 400 m Durchm. deutlich als solche zu erkennen.

Die topozentr. Rektaszension (AR) und Deklination eines Punktes der Mondoberfläche ergibt sich durch Anschluß der gemessenen
Koordinatendifferenz in Rektaszension (AR) und Deklination an die berechnete AR und Deklin. von Mösting A.
Die durch Anschluß an Msting A bestimmte topozentrische AR (Rektaszension) und Deklin. des Anschlußortes subtrahierd von der berechneten topozentr. AR und Deklin. des scheinbaren Mondmittelpunktes, ergibt mittels Transformation die rechtwinkligen (xi,eta,zeta) oder polaren wahren selenographischen Koordinaten (b,l).
Rechtwinklinge kartesische Koordinaten bezogen auf die Mondäquatorebene in Mondradien:
xi=COS(b)*SIN(l)
eta=SIN(b)
zeta=COS(b)*COS(l)
Die +xi-Achse zeigt nach Westen (Mare Crisium), die lunare Rotationsachse bezeichnet die eta-Achse, die +zeta-Achse (=Null Grad selenographiche Breite und Länge) zeigt in Richtung Erde.;
Invers:
b=ASIN(eta)
x=zeta/COS(b)
y=xi/COS(b)
l=FN r(ATN(y/(1+x))*2).

Die 3 Eckpunkte des sphärischen Dreiecks scheinbarer Mondmittelpunkt, Mondnordpol und Mondformation ergeben die Transformation:
sin b=sin(d)*cos(lb)*cos(p-C)+cos(d)*sin(lb) //Sinuscosinussatz
cos(b)*sin(l-ll)=sin(d)*sin(p-C)   //Sinussatz
cos(b)*cos(l-ll)=-sin(d)*sin(lb)*cos(p-C)+cos(d)*cos(lb) // Sinuscosinussatz
lb,ll=wahre topozentr. Libration; C=topozentr. Positionswinkel der Mondachse; p=Positionswinkel der Formation ab Nordpol des Himmelsäquators; x,y=Rektaszensions- und Deklinationsdifferenz der Formation gegenüber dem scheinb. Mondmittelpunkt; s=SQR (x^2+y^2); x1=y/s; y1=y/s; p=ATN(x1/(1+y1))*2; s=asin(s); sin d=sin(s)/sin(todu)-s; todu=topozentr. Winkelradius des Mondes; s = lineare bzw. projizierte (topozentr.) Winkeldistanz scheinb. Mondmittelpunkt - Formation; d=selenozentr. Winkeldistanz (Bogenlänge) scheinb. Mondmittelpunkt - Formation (Zentriwinkel). Invers: arctan s=(sin(d)*sin(todu))/(1-cos(d)*sin(todu)).

Die Messungen erstrecken sich über rund 16' (mittl. Mondradius 15'32.59''). Die differentielle Refraktion ist daher einzubeziehen. Bei 30 Grad Zenitdistanz beträgt die Refraktionsdifferenz pro 1 Bogenminute Hhenunterschied 0.022'', 45 Grad = 0.033'', 70 Grad = 0.138'' (=1.38'' bei 10' Hhendifferenz), so daß besser bei kleiner Zenitdistanz (z<45°) gemessen werden sollte.

Korrektion der Mikrometermessungen für Refraktion.
rh=0.5 //EINTRAG RELATIVE LUFTFEUCHTIGKEIT (HYGROMETERSTAND 0...1 = 0..100 %)
tem=5    //EINTRAG LUFTTEMPERATUR IN GRAD CELSIUS IN HÖHE ÜBER NN
mb=1027  //EINTRAG LUFTDRUCK IN HÖHE eh METER über NN IN MILLIBAR (mb)
k=REFRAKTIONSINDEX DER LUFT IN RAD
k=0.0002927305*(mb/1013.33)*(273.15/(273.15+tem))-5.333E-08*ABS(-4.067+0.008207*mb)*rh*(273.15/(273.15+tem)); k in RAD.
Berechnete mittl. und boebachtete Refraktion differieren bei einer Zenitdistanz  z<40 Grad im Mittel um 0.3'' (Bogensekunden), bei 85 Grad Zenitdistanz 0.1' (Bogenminuten), bei 89 Grad um 0.8' und zwischen 89.7-90 Grad Zenitdistanz 2' bis max. 7'.
Der genaue Refraktionsbetrag ist gleich der Differenz der mit Sekunden-Theodoliten gemessenen und der berechneten Höhe eines Sterns über dem scheinbaren Horizont.
In mittl. und geringer Höhe bewirkt die differentielle Refraktion zudem eine Kontraktion des Mondes (elliptische Deformierung, die bei Mondnunter- u. -aufgang augenscheinlich wird).

Korrektion für Refraktion der gemessenen rechtwinkligen Koordinatendifferenz in Rektaszension und Deklination (x-,y-Messung mit Fadenmikrometer; y =<d, x = <a*COS(d).

REM s = GEMESSENE WINKELDISTANZ (BOGENSEK:) UND ps = GEMESSENER POSITIONSWINKEL IN RAD ZWEIER ORTE ar,ar1
IF ar1>=0 AND ar1<PI AND ar>PI*1.5 AND ar<=PI*2 THEN;;3;(33)
ar1=ar1+PI*2
ENDIF
IF ar>=0 AND ar<PI AND ar1>PI*1.5 AND ar1<=PI*2 THEN
ar=ar+PI*2
ENDIF
aro=FN r(0.5*(ar1+ar)) //MITTE AR ZWEIER ORTE ar1, ar
do=0.5*(de1+de)  //MITTE DEKLIN. ZWEIER ORTE de1,de M™STING A - FORMATION
to=FN r(osz-aro) //STUNDENWINKEL; osz = ORTSSTERNZEIT
z=ACOS(SIN(geob)*SIN(do)+COS(geob)*COS(do)*COS(to)) //ZENITDISTANZ; geob=GEOGRAPH. BREITE
x=(SIN(geob)*COS(do)-COS(geob)*SIN(do)*COS(to))/SIN(z)
y=COS(geob)*SIN(to)/SIN(z)
et=FN r(ATN(y/(1+x))*2) //PARALLAKTISCHER WINKEL
o=ATN(TAN(z)*SIN(et)*TAN(do))

IN KARTESISCHEN KOORDINATEN:
dx=s*k*((COS(ps-et)*SIN(et)*TAN(z)^2+SIN(ps-o)/COS(o))/COS(do)) // DIFFERENTIELLE REFRAKTION IN AR x=x+dx
dy=s*k*(COS(ps-et)*COS(et)*TAN(z)^2+COS(ps-o)/COS(o)) // DIFFERENTIELLE REFRAKTION IN DEKLIN. y=y+dy

Korrektion für Refraktion des mit Mikrometer gemessenen Positionswinkels (ps RAD) und der Winkeldistanz (s) [s=SQR(x^2+y^2), x=x/s , y=y/s,
ps=ATN(x/(1+y))*2].
IN POLARKOORDINATEN:
s1=s+s*k*(1+COS(ps-et)^2*TAN(z)^2) //s1=VON REFRAKTION BEFREITE DISTANZ
pw=ps-k*(TAN(z)*SIN(et)*TAN(do)+COS(ps-et)*SIN(ps-et)*TAN(z)^2) //pw=VON REFRAKTION BEFREITER POSITIONSWINKEL (RAD)

ALTERNATIVE METHODE:
kv=1/(1-k*(1/COS(z))^2) = 1/((dz-dR)/dz); dz=kleines Winkelstck in Zenitdistanz (z. B. dz=1'), dR=Refraktionsdifferenz zwischen Anfang und Ende des Winkels dz.
kh=1/(1-k) = 1/(1-R*(1/TAN(z))); R=Refraktion (RAD) in Zenitdistanz >z<.
z=ACOS(SIN(geob)*SIN(do)+COS(geob)*COS(do)*COS(osz-aro)) // ZENITDISTANZ
kv=1/(1-k*(1/COS(z))^2) // VERTIKALE MONDKONTRAKTION FšR REFRAKTIONEFFEKT
kh=1/(1-k) // HORIZONTALE KONTRAKTION FšR REFRAKTIONEFFEKT
x=(SIN(geob)-COS(zz)*SIN(do))/(SIN(z)*COS(do))
y=SIN(osz-aro)*COS(geob)/SIN(z)
q=ATN(y/(1+x))*2 // WAHRER PARALLAKTISCHER WINKEL
q1=ATN((kv/kh)*TAN(q)) // PARALLAKTISCHER WINKEL BEHAFTET MIT REFRAKTION
a=ATN((kh/kv)*TAN(ps-q1))
pw=a+q1+PI //POSITIONSWINKEL (ÄQUADRANTEN BEACHTEN) BEFREIT VON REFRAKTION
s1=ABS(s*kv*COS(ps-q1)/COS(a)) // DISTANZ BEFREIT VON REFRAKTION

Selenographische Längen- und Breitenbestimmungen durch Mikrometer-, Stoppuhrmessungen am Fernrohr oder Ausmessung einer Mondphotographie. Äquatoriale Ausrichtung durch einen Stern, der auf einen der Mikrometerfäden entlang bewegt oder durch Sternspuraufnahmen auf der Mondphotographie.

Gemessen wird die rechtwinklige Distanz einer Formation in Rektaszension (x=Ost-West-Richtung) und Deklination (y=Nord-Süd -Richtung) vom scheinbaren Mondmittelpunkt oder in Polarkoordinaten (Distanz s und Positionswinkel ps) vom Krater Mösting A (kleiner Krater am Westrand der Flammarion-Formation).

Stoppuhr-Messungen. Mit einem einfachen Fadenkreuz sind Positionswinkel und Distanzen bereits zu messen (s. “Sternbeobachtung”); denn bei Winkeldistanzen um 0.3 Grad kann das sphärische Dreieck als ebenes rechtwinkliges Dreieck behandelt werden.

Winkeldistanz- (s) und Positionswinkel (ps) eines Punktes der Mondoberfläche vom Kratermittelpunkt Mösting A (A=Mittelpunkt Mösting A, B=Anschlußort). Messung der Durchgangszeit t. Das Okular so drehen, daß ein Anschlußort (B) oder besser ein Stern ohne
Abweichung auf dem Deklinationsfaden läuft. Am exakt orientierten Stundenfaden (Nord-Süd-Faden) stoppt man 5-10 mal die Zeit (t) zwischen A und B und mittelt die Durchgangszeiten. Fig. 36.

Positionswinkel (ps) und Distanz (s) ergeben sich unmittelbar aus einer zweiten Messung. Fig. 37.
Ebene Trigonometrie. Satz des Pythagoras: s²=tc²-b'²; Kathetensatz: s=Å(tc*t); b'=Å(tc*t1); B-b'=tc=Hypotenuse, b'-A=Gegenkathete, B-A=s=Ankathete.
Messung der Durchgangszeit tc. Fernrohr so bewegen, daß die Fadenkreuzmitte im Kratermittelpunkt Mösting A (A) liegt und Okular so drehen, daß der Anschlußort (B) durch den Stundenfaden verläuft.
B durchläuft nun die Strecke der Hypotenuse B-b' in der Zeit tc: d2=(n*tc*COS(dek); >n<=Mondbewegung pro Zeitsekunde in Bogensek. dek=topozentr. Deklin. Mösting A oder geschätzte Deklin. B.

Die zwei Messungen d1=t und d2=tc ergeben die Länge der Ankathete s und somit die gesuchte Winkeldistanz des Anschlußortes (B) vom Mittelpunt Mösting A: s=SQR(d1*d2). Der Positionswinkel ergibt sich aus ps=ARCSIN(d/d2); ps=ARCSIN(d1/d). Unbedingt den richtigen Quadranten der Messung einhalten: Positionswinkel (p) im Intervall 0<=p<=360° ab ird. Nord (=p=0°) entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt.;
I. Quadrant 0=<ps<90 Grad, II. Quadrant 90<ps<=180 Grad, 180<ps<=270 Grad, 270<ps<=360 Grad. Die Messung 5-10 mal wiederholen, mitteln und den mittl. Fehler bestimmen (s. “Sternbeobachtung”).

Messung mit dem Positionsfadenmikrometer. Vermessung von Anschlußörtern ab dem Fundamentalkrater Mösting A. Eingabe der Uhrzeit der Mitte von 1-10 x-,y-Rechteckmessungen (Bogensekunden).
Datum..............: 16.1.1989
UT = TT - DT..: 57
Uhrzeit..............: 23h10m3s UT
Geograph. Breite: 40°48’35’’
Geograph. Länge: -73°57’30’’
NN...................: 30 Meter
Mikrometermessung. Messung ab Mösting A.
Ausgabe:
Geozentr. Differenz Mondmitte - Mösting A: x -161.4'', y -92.1'', Äquator-Horizontal-Parallaxe Mösting A 0.96942°.
Topozentr. Differenz Mondmitte - Mösting A: x -153.6'', y 88''.
Eingabe der mit Mikrometer gemessenen rechtwinkligen Differenz des Kraters Proclus zu Mösting A: Länge x 835.14'', Höhe y 100.71''. Proclus selenographische Breite und Länge: 16.08°, 46.954°.

Um die äquatoriale Ausrichtung einer Mondphotographie zu erhalten, ist die Nord-Süd- und Ost-West-Richtung des Himmels (x-,y-Achse) aus bekannten selenographischen Längen und Breiten einzumessen.
Ausmessung der Mondphotographie vom 23.7.1942.
Datum...............: 23.7.1942 
UT = TT - DT...: 25
Uhrzeit..............: 4h46m UT
Geograph. Breite: 34°12'59.5'' n. Br.
Geograph. Länge: -118°3'34.9'' w. L.
NN....................: 1742
Mondphotographie.

Achseneinmessung durch Eingabe der selenograph. Länge und Breite der Krater: Zentralberg Kopernikus 9°29' Br., -20°13' Länge, Mösting A -3°10'41''Br., -5°9'53'' Länge usw..
Ausgabe der Abstände der eingegebenen Kraterpositionen von der x-, y-Achse in Mondradien: Kopernikus Zentralberg x -0.31774116, y 0 .19125465 Mondradien, Mösting A x -0.016895, y 0.0434507 usw. Mit dem Lineal gemessener Mondradius der Photographie 115.5 mm.

Bestimmung der ausgegebenen Mondradienabstände der x-, y-Achse in Millimeter der Mondphotographie: Kopernikus x -0.31774 Mondradien * 115.5 = x -36.7 mm, y 0.19125 * 115.5 = y 22.09 mm usw.
Einzeichnung der x-, y-Achse in die Photographie nach den bestimmten Millimeterabständen. An der dadurch eingemessenen x-/y-Achse des scheinbaren Mondmittelpunktes werden alle Formationen nach ihren Millimeterabständen angeschlossen.

Gemessener Achsenabstand des Kraters Proclus der Mondaufnahme: x 75.63 mm, y 58.59 mm. Eingabe in Mondradien: x 75.63 mm/115.5 mm = x 0.654805 und y 58.59 mm/115.5 mm = y 0.50727 Mondradien.
Ausgabe: selenograph. Breite und Länge des Kraters Proclus: 16.081°, 46.958°. 
Selenograph. Länge und Breite. der scheinbaren Mondmitte einer Mondaufnahme nach Eingabe x = 0, y = 0.

Ausmessung von Mondphotographien. Auf Mondphotographie ein Koordinatenkreuz (x-,y-Raster) einmessen, um daran alle Punkte der Mondoberfläche anzuschließen, deren selenograph. Breite und Länge bestimmt werden sollen. Ausmessung und Ausgleichsrechnung in Rastereinheiten.
Am besten werden dazu etwa 10-33 Normalpunkte bekannter selenograph. Breite und Länge eingemessen. D.W.G. Arthur verwendete für sein Standardwerk >Consolidated Catalog of Selenographic Positions< (University of Arizona, Tucson, Arizona 1962), die von S.A. Saunder in >The Determination of Selenographic Positions and the Measurement of Lunar Photographs< (M.N. 60, No. 3 und 62, No. 1, London 1900 und 1902) angegebenen selenograph. Positionen (Genauigkeit geozentr. etwa ± 0.5'' oder lienar ±1 km der Mondoberfläche).

Der Globus berechnet daher die wahre selenograph. Breite und Länge von 33 Standardpunkten der Mondoberfläche und ihre rechtwinklingen Standardkoordinaten X,Y,Z in Mondradien (Nullpunkt = scheinbarer topozentr. Mondmittelpunkt) für die Einmessung der Standard-Koordinatenachsen. Koordinatenachsen entweder parallel in Richtung Pole des Himmelsäquators (äquatorial) oder parallel in Richtung des Mondnordpols (lunar) einmessen. Die Differenz ist gleich dem Positionswinkel des topozenzr. lunaren Zentralmeridians = Rotationsachse des Mondes (C). Die stets durch den scheinbaren Mondmittelpunkt verlaufende +Y-Hauptachse zuerst einmessen. Eine Anzahl +Y-Koordinaten der Krater in Millimeter auf der Aufnahme markieren. Linie durch die Markierungen ziehen. Ebenso eine Reihe der vom Progr. angegeben +X-Werte in Millimetern der 33 Referenzpunkte auf der Aufnahme markieren. Bei Ziehung der Linie durch die markierten +X-Punkte darauf achten, da die Linie exakt rechtwinklig zur +Y-Achse gezogen wird.

Die Lichtstrahlen fallen wegen geringer Entfernung des Mondes nicht parallel, sondern konisch ein. Die Messungen daher nicht auf endliche Distanz reduzieren. Falls auf unendliche Distanz reduzierte Messungen vorliegen, die für unendliche Distanz (Parallelprojektion);
  gültigen Berechnungen auf endliche Distanz reduzieren.

Rechtwinklige Koordinaten (bezogen auf die wahren Hauptachsen Null Grad wahrer selenograph. Breite und Länge). xi=COS(bmw)*SIN(lmw)
et=SIN(bmw)
ze=COS(bmw)*COS(lmw)
Die absoluten Höhen der 33 Referenzpunkte werden hier vernachlässigt, da für die Ausmessung von Platten, Diaprojektionen oder Papierkopien ohnehin belanglos.
Ist h der Höhenunterschied in km gegenüber dem für die gesamte Mondoberfläche festgelegten absoluten Höhennullpunkt N.N.MF. (s. Mondberghöhen), wird die Höhe h durch die Form xi=(1+h/1738)*COS(bmw)*SIN(lmw) berücksichtigt (h und xi in Einheiten des Mondradius).

bmw,lmw=wahre selenozentr. Breite und Länge der Referenzpunkte; lb,ll=wahre topozentr. Libration.
X=xi*COS(ll)-ze*SIN(ll)
Y=-xi*SIN(lb)*SIN(ll)+et*COS(lb)-ze*SIN(lb)*COS(ll)
Z=xi*COS(lb)*SIN(ll)+et*SIN(lb)+ze*COS(lb)*COS(ll)

Kontrolle (Höhen h vernachlässigt): X²+Y²+Z²=1; +X-Achse zeigt nach Westen; +Y-Achse im scheinbaren Zentralmeridian in Richtung zum Mondnordpol; +Z=zeigt auf den topozentr. Ort des Beobachters (Nullpunkt = wahre topozentr. scheinbare Mondmitte); Standardkoordinaten (=da in aller Strenge auf die scheinbaren Koordinatenachsen bezogen) X,Y,Z in Einhheiten des Mondradius.;
X,Y,Z (gültig f+r Parallelprojektion) auf endliche Distanz reduzieren (Korrektur für konischer Effekt): X=X+X*Z*SIN(todu), Y=Y+Y*Z*SIN(todu), Z=SQR(1-X^2-Y^2); todu=ASIN(1738/todel); todu = topozentr. Mondradius; todel=topozentr. Entfernung;
des Mondzentrums.

Oder (alternativ):
k=ATN(TAN(bmw)/COS(lmw-ll))-lb
p=ATN(TAN(lmw-ll)*COS(k+lb)/SIN(k))-pm
d=ACOS(SIN(bmw)*SIN(lb)+COS(bmw)*COS(lb)*COS(lmw-ll))
s=ATN((sin(d)*sin(todu))/(1-cos(d)*sin(todu)))/todu
xe=s*SIN(p) // +x-ACHSE RICHTUNG OSTEN (NICHT AUF ENDLICHE DISTANZ REDUZIEREN)
ye=s*COS(p) // +y-ACHSE RECHTWINKLIG ZUR x-ACHSE RICHTUNG NORDPOL DES HIMMELSQUATORS
X=s*SIN(p+C) // +X-ACHSE RICHTUNG OSTEN (NICHT AUF ENDLICHE DISTANZ REDUZIEREN)
Y=s*COS(p+C) // +Y-ACHSE RECHTWINKLIG ZUR x-ACHSE RICHTUNG NORDPOL DES MONDES
bmw,lmw = wahre selenograph. Breite und Länge der Referenzpunkte; lb,ll=wahre topozentr. Libration = Länge und Breite des scheinbaren Mondmittelpunktes; p=Positionswinkel des Referenzpunktes ab Nordpol des Himmelsäquators, C=topozentr. Positionswinkel der Mondachse; d=selenozentr. Bogenlänge scheinbarer Mondmittelpunkt-Referenzpunkt; s=topozentr. Projektion von d in Einheiten des topozentr. Mondradius (todu).
xe,ye=rechtwinklige Koordinaten der Referenzpunkte in Einheiten des Mondradius (Nullpunkt = wahre topozentr. scheinbare Mondmitte) in Richtung Himmelspol; X,Y=rechtwinkl. Koordinaten der Referenzpunkte in Einheiten des Mondradius (Nullpunkt = topozentr. wahre scheinb. Mondmitte) in Richtung Mondnordpol [oder: X=xe*COS(C)+ye*SIN(C), Y=-xe*SIN(C)+ye*COS(C); Z=SQR(1-X^2-Y^2].

Bei ziemlich genau ausgerichteter parallaktischer Montierung des Teleskops mit befestigter Kamera, kann auch ab der Randbegrenzung des Bildmaterials gemessen werden, da die Seiten dann eine äquatoriale Ausrichtung aufweisen (+y-Achse der Längsseite zeigt zum Nordpol des Himmelsäquators, +x-Achse der Breitseite nach Westen). Das parallel zu den Seiten durch die Bildmitte verlaufende Strichkreuz ergibt sich somit durch Mittelung der Längs- und Breitseite des Bildes.
Stets exakt rechtwinklig zum Standard-Koordinatenkreuz messen (-x-Werte nach Osten, +x-Werte nach Westen, +y-Werte nach Norden,-y-Werte nach Süden). Lineal an die 0.1 mm Teilung einer 10x vergrernden Melupe anschlieen.

Die äquatorial gemessenen Koordinaten (xe,ye) messen daraufhin durch Drehung um den Positionswinkel der lunaren Rotationsachse (C) in das lunare Koordinatensystem X,Y, übergeführt werden [mit X=xe*COS(C)+ye*sin(C); Y=-xe*SIN(C)+ye*COS(C)], so daß besser ein in Richtung des lunaren Mondnordols direktes Koordinatenkreuz eingemessen werden sollte. Das Ergebnis hängt u.a. davon ab, wie genau die eingemessenen den berechneten Achsen (Xk,Yk) entsprechen.

Mit Lineal gemessener Monddurchmesser (dm) der Aufnahme in Millimeter dm/2=rm Mondradius in Millimeter (oder Rastereinheiten). Auf die Mondmitte bezogene, berechnete Standardkoordinaten xe,ye bzw. X,Y,Z in Mondradien mal rm = xer,yer bzw. Xk,Yk,Zk in Millimeter.

Ausgleichsrechnung. Die gemessenen Koordinaten xm,ym sind jedoch aufgrund der Unzulänglichkeit menschlicher Sinne, Instrumente, Meßvorrichtungen usw. nie ganz fehlerfrei, so liegt die eingemessene Y-Achse meist nicht exakt in der Nordrichtung des Mondes, der Mittelpunkt des eingemessenen Koordinatenkreuzes stimmt nicht exakt mit der scheinbaren Mondmitte überein, die differentielle Refraktion ist unberücksichtigt, die Kameraoptik weist Abbildungsfehler auf, beim Entwicklen und Fixieren treten Verformungen, Kontraktion oder Expansion des Film- bzw. Bildmaterials auf usw. Die dadurch entstehenden kleinen Fehlerdifferenzen zwischen gemessenen Bild- bzw. Plattenkoordinaten (xm,ym) und berechneten Standardkoordinaten (X,Y) der Referenzkrater können linear ausgeglichen werden.

Die Punkte mit der wahren selenograph. Breite und Länge (bmw,lmw) einer Anzahl berechneter Standardkoordinaten Xk,Yk auf;
einer guten Mondkarte am Gradnetz bestimmen (oder vorgegebene Referenzkraterorte Xk,Yk nehmen) und auf der Aufnahme in Millimeter (xm,ym) am eingezogenen Kreuz nachmessen. Die Standardkoordinaten der Referenzpunkte werden dafür vom Progr. in Millimeter (Xk,Yk) angegeben, die daher nachzumessen und einzugeben (xm,ym) sind.

Die berechneten und auf endliche Entfernung reduzierten Standardkoordinaten X,Y (in Einheiten des Mondradius), die das Achsensystem des Mondes streng definieren, werden sodann mit den gemessen xm-,ym-Werten (in Millimeter) der Punkte in Beziehung gesetzt, wozu das auf Turner zurckgehende Verfahren angewendet wird. Die ausgeglichenen Standardkoordinaten x,y ergeben sich dann aus zwei linearen Bestimmungsgleichungen mit je 3 Unbekannten a,b,c; d,e,f:
x=a*xm+b*ym+c
y=d*xm+e*ym+f
a,b,c,d,e,f sind die zu bestimmenden Bild- bzw. Plattenkonstanten, wobei die Koeffizienten nur für das jeweils ausgemesse Bild gelten.

Verifizierung:
xm=ao*x+bo*y+co
ym=do*x+eo*y+fo
Koeffizienten ao,bo,co,do,eo,fo aus n-Wertpaare x,y. Differenz zwischem gemessenem xm,ym und verifiziertem xm,ym ggf. nochmals ausgleichen.

Für die Bestimmung der wahrscheinlichsten Werte der Plattenkonstanten sind mindestens drei paar Referenzkoordinaten (xm1,ym1,xm2,ym2,xm3,ym3; X1,Y1,X2,Y2,X3,Y3) der Mondoberfläche erforderlich.
xa1=a*xm1+b*ym1+c  ya1=d*xm1+e*ym1+f
xa2=a*xm2+b*ym2+c  ya2=d*xm2+e*ym2+f
xa3=a*xm3+b*ym3+c  ya3=d*xm3+e*ym3+f
Die Genauigkeit der 6 Koeffizienten verbessert sich mit der Zahl einbezogener Referenzpunkte. Die zahlreichen linearen Bestimmungsgleichungen werden mit der Methode der kleinsten Quadrate gelöst.

Ausgleichsrechnung für n-Gleichungen mit N-Unbekannten.
 Normalgleichung für n-Gleichungen mit 3 Unbekannten (für 2 Unbekannte):
  n*c+[x]*a+[y]*b=[X]            n*f+[x]*d+[y]*e=[Y]
[x]*c+[xx]*a+[xy]*b=[xX]       [x]*f+[xx]*d+[xy]*e=[xY]
[y]*c+[xy]*a+[yy]*b=[yX]     [y]*f+[xy]*d+[yy]*e=[yY]

Mittlerer Fehler der Koeffizienten a,b,c,d,e,f:
[vvx]=[XX]-[X]*a-[xX]*b-[yX]*c   mfx=SQR([vvx]/(n-N))
[vvy]=[YY]-[Y]*d-[xY]*e-[yY]*f   mfy=SQR([vvy]/(n-N))

n=Zahl der Bestimmungsgleichungen, N=Zahl der Unbekannten (hier N=3)
 mfx,mfy=mittlerer Fehler der Einzelmessung.
x(1)=xm1 y(1)=ym1 x1(1)=x1 y1(1)=y1
x(2)=xm2 y(2)=ym1 x1(2)=x2 y1(2)=y2
x(3)=xm3 y(3)=ym1 x1(3)=x2 y1(3)=y3
x(n),y(n)=xm,ym gemessene Standardkoordinaten in Millimeter (nicht auf endliche Distanz reduzieren, da an reduzierten Achsen gemessen ) x1(n),y1(n)=X,Y berechnete und auf endl. Distanz reduzierte Standardkoordinaten in Einheiten des Mondradius.

FOR i=1 TO n
xo=xo+x(i)               //xo=[x]
yo=yo+y(i)               //yo=[y]
xx=xx+x(i)*x(i)        //xx=[xx]
yy=yy+x(i)*y(i)        //yy=[yy]
xy=xy+x(i)*y(i)        //xy=[xy]
x1=x1+x1(i)              //x1=[X]
y1=y1+y1(i)            //y1=[Y]
xx1=xx1+x(i)*x1(i)   // xx1=[xX]
yx1=yx1+y(i)*x1(i)   //yx1=[yX]
xy1=xy1+x(i)*y1(i)   //xy1=[xY]
yy1=yy1+y(i)*y1(i)   //yy1=[yY]
xx2=xx2+x1(i)*x1(i)  //xx2=[XX]
yy2=yy2+y1(i)*y1(i) //yy2=[YY]
NEXT n
Ausgleichsrechnung (siehe >PROCEDURE elim<).

Selenographische Koordinaten aus den gemessenen Standardkoordinaten x,y. Reduktion auf unendliche Distanz:
x=a*xm+b*ym+c
y=d*xm+e*ym+f  // x,y,z AUSGEGLICHENE STANDARDKOORDINATE X,Y,Z
z=SQR(1-x^2-y^2)
x1=x-x*z*SIN(todu) // REDUKTION AUF UNENDLICHE DISTANZ
y1=y-y*z*SIN(todu)
z1=SQR(1-x1^2-y1^2)
REM---------------------------------------
xi=x1*cos(ll)-y1*sin(lb)*sin(ll)+z1*cos(lb)*sin(ll)
et=y1*cos(lb)+z1*sin(lb)
ze=-x1*sin(ll)-y1*sin(lb)*cos(ll)+z1*cos(lb)*cos(ll)
Kontrolle (absolute Höhen vernachlässigt): xi^2+et^2+ze^2=1.
bmw=ASIN(eta); xx=zeta/COS(b); yy=xi/COS(b); lmw=FN r(ATN(yy/(1+xx))*2); bmw,lmw=wahre selenographische Breite und Länge (in RAD).

REM ---- KORREKTION FÜR PHYSISCHE LIBRATION --
le=FN r(lmw+aa-af) //aa= MITTL. LÄNGE MOND; af=MITTL. LÄNGE AUFST. MONDKNOTEN
wb1=RAD((kn*COS(le)-ii*SIN(le))/3600)
wl1=RAD((-ta+(ii*COS(le)+kn*SIN(le))*TAN(bmw))/3600)
bm=bmw-wb1 // bm=MITTL. SELENOZENTR. BREITE
lm=lmw-wl1 // lm=MITTL. SELENOZENTR. LÄNGE
kn,ii,ta = physische Libration in Knoten, Breite und Länge.

Computer-Zusatzgeräte mit 1300 dpi (dpi=dots per inch = Punkt pro 25.399 mm Zoll) Punkteauflösung können die Negativauflösung von rund 1300 dpi (Zoll/0.02 mm) voll ausnutzen. Handelüsbliche. Flachbettscanner besitzen meist 300-1200 dpi. Die Auflösung von Videokameras liegt gegenwärtig bei 1024 x 512 Punkten (bei hierzulande üblicher Fernsehnorm >PAL< beträgt die Auflsung 768 x 576 Bildpunkte). Die eingescannten digitalisierten Bilder (Photos, Dias oder Negative) können pixelweise ausgemessen und mittels Bildverabeitungssoftware weiter verarbeitet werden.

Beispiel. Ausmessung der in D. Alter >LUNAR ATLAS<, Dover Publications, New York 1968, reproduzierten >Lick-Plate No 18<.;
Lick-Observatorium: +37°20'25.3'' n. Br., -121°38'43.95'' w. L., NN 1283 Meter. Plattendaten: 3.5.1947, 6h30m UT, topozentr. Libration: -4.0719° Breite , 5.4178° Länge, todu=0.2599396°.

Koordinatenkreuzeinmessung (rechtwinklige auf endliche Distanz reduzierte Standartkoordinaten) z. B. Krater Bessarion Xk(n) -71.6699 mm, Yk(n) +33.511 mm u.a. Nachmessung der eigenzeichneten Standardkoordinaten Xk,Yk: xm(n)=-71.1 mm, ym(n)=33.5 mm u.a. (1,2,3...,n).
Plattenkonstante: a =  0.0091745 ± 0.0000015708 m.F.
Plattenkonstante: b =  0.00000319 ± 0.0000027802 m.F.
Plattenkonstante: c = -0.00011214 ± 0.00009829  m.F.
Plattenkonstante: d = -0.000005718 ± 0.0000063946 m.F.
Plattenkonstante: e =  0.0091754 ± 0.000011318 m.F.
Plattenkonstante: f =  0.00035704 ± 0.00040016  m.F.

Gemessener Mondradius r=109 mm. 1 mm auf der Mitte der Aufnahme = 180/(PI*r) = 0.525649 Grad.
Eingabe von 3 Messungen des Kraters Mösting A: xm=-20.1 mm, ym=1.7 mm, xm=-20.0 mm,ym=1.6 mm,xm=-20.1 mm,ym=1.7 mm.

Ausgabe. Ausgegelichene Standardkoordinaten Mösting A: X=-0.183384 ± 0.000304, Y=0.0156939 ± 0.000305, Z=0.9829158 ±0.000062.
Kartesische selenozentrische Koordinaten xi, eta, zeta Mösting A: xi=-0.089886 ± 0.000307, eta=-0.054141 ± 0.000308, zeta=0.994478 ± 0.000011.
Wahre selenozentr. Breite: -3.1034° ± 0.0177°.
Wahre selenozentr. Länge.: -5.1648° ± 0.0176°.
Mittl. selenozentr. Breite: -3.1411° ± 0.0177°.
Mittl. selenozentr. Länge.: -5.1501° ± 0.0176°.
Genaue mittl. selenozentr. Breite und Länge: -3.1781° mittl. selenozentr. Breite, -5.1647° mittl. selenozentr. Länge

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