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NOMENKLATUR
Datum..................: 1.1.1988
Uhrzeit.................: 0 TT (terrestrial time = Ephemeridenzeit)
Geograph. Breite...: 50
Dynamische Länge: 7
NN......................: 200
Zeile 1 - 2: Auf den Erdmittelpunkt (geozentr.) bezogene scheinbare ekl. Länge u. Breite, wahres Äquinoktium des Datums.
Zeile 3 - 4: Auf den Äquator bezogene scheinbare Koordinaten.
Zeile 5 - 6: Mondhöhe +25°42'53'' unterhalb des Horizonts in der Himmelsrichtung 71°34'42''. Diese Höhen- und Himmelsrichtungsangaben gelten für den wahren Horizont (ohne
Refraktion).
Zeile 7: Parallaxe. Winkelhalbmesser der Erde in Mondentfernung.
Zeile 8: Geozentr. Entf. (hier 394023 km).
Zeile 9 - 10: Geographische Breite und Länge der Zenitstellung (Sub-Lunar Ort) des Mondes (geograph. Breite
= Deklination + Korrektur für Erdabplattung). Dieser Ort steht (lunarzentrisch gesehen) in der Erdmitte (dynamische Länge nach Eingabe dynamischer Zeit).
Zeile 11: Scheinbare Ortssternzeit. Uhrzeit der augenblicklichen scheinbaren
Rektaszension im Nord-Süd-Kreis (7h7m30.16s).
Zeile 12 - 18: Wie unter GEOZENTR. DATEN, aber auf den jeweiligen topozentrische Beobachtungsort + Seehöhe bezogen.
Infolge der Brechungswirkung dichter atmosphärischer Schichten
(Refraktion), tritt in Horizontnähe eine Erhöhung der Gestirne um 34' ein. Geometrisch geht die Mondmitte bei 0° topozentr. Höhe auf, wird aber dann in +0°34' Höhe beobachtet. Die Höhenangaben gelten für den scheinbaren bzw.
mathematischen Horizont (Meeresspiegelhöhe) bei 0 Meter Ausgeshöhe.
Die Kimm liegt z. B. bei 100 Meter Augeshöhe über NN 1.925' Å100 = 19' (Kimmtiefe) unter dem scheinbaren Horizont für Augeshöhe 0 Meter. Kimm bei 1 Meter: 1/(1+0.001 km/6378.14 km) = arccos 0.999999843 = 0.032084° = 1.925'.
Mittl. Refraktion in entsprechender Kimmtiefe bzw. Augeshöhe: 0.31' * ÅNN.
Bei 100 m ber NN = 3.1'. Auf- bzw. Untergang am sichtbaren Horizont dann -0°34' - 3.1' mittl. Refraktion Ë16' mittl. Halbmesser - 19' mittl. Kimmtiefe = -1°12' topozentrische Höhenanzeige (oberer Mondrand - Phase unberücksichtigt).
Die differentielle Refraktion wird durch die
elliptische Gestalt des Mondes in Horizontnähe augenscheinlich. Der Mondunterrand erfährt in dichteren Luftschichten eine stärkere Anhebung die zu einer Verkürzung des vertikalen Durchmessers fhürt, wodurch der Mond scheinbar elliptisch
deformiert wird. Refraktionsdifferenz der Höhe 0° bis 0.53° = 6'. Differenz geometr. und durch Refraktion verkürzter Mondoberrand -6'.
Zeile 19: Geozentrische scheinbare ekliptikale Sonnenlänge, wahres Äquinoktium des Datums.
Zeile 20 - 21: Höhe und Azimut der Sonne (wahrer Horizont).
Zeile 22 - 23: Selenographische Breite der Erde über dem Mondäquator.
Am 1.1.1988 0 Uhr TT befindet die Erde sich -6.09° südlich des Mondäquators bzw. ist der Nordpol des
Mondes 6.09° zur Erde geneigt (Libration in Breite). Der Zentralmeridian verläuft genau durch den scheinbaren Mondmittelpunkt. Der Positionswinkel des Zentralmeridians ist gleich dem Neigungswinkel der Rotationsachse. Zentralmeridian
+5.37° (Libration in selenograph. Länge = Länge u. Breite der Erdprojektion auf die Mondmitte von der Erde gesehen).
Zeile 24: Selenograph. Länge der Lichtgrenze (-21.72°.
Zeile 25: Beleuchteter Teil 0.91 %. Mond zu 91 % beleuchtet
(1.00 = 100 % beleuchtet = Vollmond, 0.5 = 50 % Halbmond, 0.00 = Neumond).
Zeile 26: Winkelhalbmesser des Mondes 15'9.82'' (= 0.2527278°).
Zeile 27: Abweichung (Deklination) der Sonne vom Mondäquator (-1.51°).
Zeile 28: Positionswinkel der Mondachse (349.82°).
Zeile 29: Positionswinkel der unbeleuchteten Phase. (Positionswinkel stets ab irdisch Nord entgegen dem Uhrzeigersinn 0 bis 360 Grad)
Zeile 30: Parallaktischer Winkel (42.60°).
Positionswinkel der Lot- bzw. Zenitrichtung (Horizontebene) ab sphärischer Nordrichtung gemessen.
Zeile 31 - 36: Wie unter PHYSISCHE GEOZENTR. DATEN, aber auf den topozentr. Ort + Seehöhe bezogen.
Zeile 37: Ekl. Länge des mittl. Mondknoten.
Zeile 38: Komplementärlänge der Lichtgrenze.
Zeile 39: Scheinbarer Winkelhalbmesser der Sonne.
Zeile 40: Parallaxe der Sonne.
Zeile 41: Heliozentrische Entfernung des Mondes.
Zeile 42: Wahre Ekliptikschiefe.
Zeile 43: Nutation in Breite/Nutation in L„nge.
Zeile 44: Phasenwinkel des Mondes (35.419° - Ë0 = Vollmond, Ë180 = Neumond)
Mondhelligkeit (-11.75 mag). Da die Erde 36.7 % des Sonnenlichtes zurckstrahlt (albedo), beträgt die Helligkeit des so erhellten Neumondes (aschgraues Mondlicht) Ë -2 mag. In der Entfernung einer astronomischen Einheit ist die Erde V(1.0) -3.86 mag hell. Somit erreicht die >Vollerde< am lunaren Sternenhimmel -17 mag max. Helligkeit.
Horizont
Die geozentrischen Daten beziehen sich auf den hier nicht sichtbaren wahren - da dieser wegen großer Parallaxe um 1° unter dem scheinbaren Horizont liegt -, die topozentrische auf den scheinbaren Horizont.
Die
durch den Erdmittelpunkt (geozentr.) verlaufende Ebene bildet den wahren Horizont, die in Meeresspiegel- bzw. Augeshöhe parallel zum wahren Horizont verlaufende Ebene den scheinbaren Horizont. Der Unterschied (NN = 0 m) ist gleich dem
Erdhalbmesser (max. 6378.14 km). Mittl. Äquator-Horizontal-Parallaxe des Mondes: 6378.14 km / 384400 km * 57.29578 = 0.9506777° (= mittl. scheinb. Winkelhalbm. der Erde - vom Mond gesehen).
Der topozentrische oder scheinbare
Horizont, wie er etwa dem Meeresspiegelniveau entspricht, wird auch astronomischer oder mathematischer Horizont genannt. Die Höhe über NN entnimmt man einer topograph. Karte oder dem physikalischen Teil eines Atlanten. Die geozentrischen
Höhen- u. Azimutwerte beziehen sich auf den wahren, die topozentr. auf den scheinbaren Horizont;
(Augeshöhe über NN). Im Gegensatz zu den idealen Sichtbedingungen auf See, beeinträchtigt der natürliche Horizont (Hügelzüge,
Bergketten, Wälder usw.) meist die Beobachtungsmglichkeiten. Zur Definition des scheinbaren Horizonts dient dann der künstliche (z. B. eine Schale Quecksilber).
Parallaxe
Die Differenz zwischen dem wahren und scheinbaren
Horizont bezeichnet die Äquator-Horizontal-Parallaxe eines Himmelskörpers Infolge der unterschiedlichen perspektivischen Parallaxen werden die Positionen zweckäß„ig auf die Erdmitte (geozentrich) bezogen.
Ortssternzeit
Frhlingspunkt genau im Nord-Süd-Kreis um 0-Uhr Ortssternzeit. Die Ortssternzeit ist gleich der Rektaszension im Nord-Süd-Kreis. Geozentrische Rektaszension des Mondes daher gleich Ortssternzeit im Himmelsmeridian (= Ortsmeridian,
dessen geograph. Länge eingegeben wurde).
Ekliptikale Länge (c) u. Breite (b)
Bezugsebene: Erdbahnebene. Leitachse: Nord- u. Sdpol der Ekliptik.
Bei Neumond erscheint ein mehr oder weniger geschlossener, in; Sonnenrichtung gebogener Halbkreis, der bei positiver ekl. Breite nach unten, bei neg. ekl. Br. nach oben zeigt.
Planeten u. Sterne im Bereich der Mondbreite (±5°) werden oft vom Mond bedeckt. Läge die Mondbahnebene innerhalb der Erdbahn (ekl. Breite stets = 0°),
wäre eine Mondfinsternis ein allmonatliches Ereignis, da mit jedem Vollmond eine zentrale Finsternis einherginge, zudem könnte der Mond nur die Sterne der ekl. Breite um ±0.25° bedecken.
Die Umlaufzeit des auf- bzw. absteigenden Mondknoten durch die Ekliptik im Uhrzeigersinn beträgt 18.60 Jahre
(Nutationsperiode), worin der Grund für den Rhythmus der Finsternisse (18.03j Sarosperiode) und Sternbedeckungen liegt.
Bei +0° Breite kreuzt der Mond genau die Ekliptik im aufst. wahren Bahnknoten. Sonnenfinsternisse entstehen
bei Neumond und weniger als 18° ekl. Längendifferenz zum Mondknoten (geozentr. ekl. Breite des Mondes b <1.6°), Mondfinsternisse bei Vollmond und weniger als 12° Differenz zu einem Bahnknoten (geozentr. ekl. Br. b <0.9°).
Durch den größeren Spielraum entstehen Sonnenfinsternisse für die
gesamte Erde etwa (18°/12° =) 1.5x häufiger. So kommt es oft vor, daß einer Sonnen- keine Mondfinsternis folgt, diese aber stets, aufgrund günstigerer Voraussetzungen, von einer oder mehreren
Sonnenfinsternissen begleitet wird.
Sonnenfinsternisse sind jedoch nur; innerhalb einer 270 km breiten Zone total sichtbar, während Mondfinsternisse global beobachtbar sind - sofern der Mond ber dem Horizont steht. Für einen bestimmten Beobachtungsort sind Mondfinsternisse
daher viel häufiger. Im Kalenderjahr können max. 7 Finsternisse auftreten: 5 Sonnen- und 2 Mondfinsternisse, oder 5 Mond- und 2 Sonnenfinsternisse.
Leitwerte: Länge ab Nullmeridian des Frhlingspunktes (0° bis 360°), z. B. ekl.
Länge der Sonne = Frhlingspunkt 0° Widder (Tag- u. Nachtgleiche); 90° Länge = Sommeranfang (Wendekreis des Krebses - längster Tag u. kürzeste Nacht im Jahr); 180° ekl. Länge = Herbstanfang (Tag- u. Nachtgleiche). 270° ekl. Länge der
Sonne = Winteranfang (Wendekreis des Steinbocks - kürzester Tag u. längste Nacht im Jahr). Nordpol der Ekliptik: Breite +90°, Sdpol -90°, Ekliptik 0° Breite.
Rektaszension (a) und Deklination (d)
Die Rektaszension wird in Zeitmaß angegeben, da geograph. Längenkreise und stellare Rektaszensionskreise (Stundenkreise) sich zeitlich
gegeneinander verschieben, aber jeweils um 0 Uhr Ortssternzeit-Greenwich identisch sind.
Leitebene: Ebene des Himmelsäquators (an den Himmel proj. Erdäquator). Leitachse: Erdachse. Bezugspunkt: Nord u. Südpol des Himmels (verlängerte
Erdachse - s. “Sternbeobachtung”).
Leitmaß: Länge in Rektaszension ab Nullmeridian (Frühlingspunkt). Die Rektaszension nimmt ebenfalls nach Osten zu (Länge in Zeit oder Grad: 1 Std. = 15°, 4 Min. = 1°. Deklination: Winkelabstand
vom Äquator. Leitwerte: Äquator 0°, Nordpol des Himmels +90, Südpol -90°.
Höhe (h) u. Azimut (a)
Leitpole: +90° (Zenit)/-90° (Nadir) Höhe. Leitebene: Horizont (Höhe 0°). Das Azimut (Himmelsrichtung) wird astronomisch
auf der Horizontebene ab Süden (Süden 0° bis 360°) über Westen gemessen (nautisch ab Norden ber Osten 0° bis 360°. Tabellierte topozentrische Höhe ohne Korrektur für Refraktion. Um die messbare Höhe über dem scheinbaren Horizont zu
erhalten, ist folg. Refraktionskorrektur an die berechnete Höhe (h) anzubringen. X=57.29578. RAD = 0.0174532925 = PI/180. Zenitdistanz: z = 90° - Höhe h (in Grad).
Topozentrische (berechnete) Höhe zwischen 15 bis 90 Grad:
Rs=(0.01683612*TAN(z*RAD)-0.00002380562*TAN(z*RAD)^3)*X (Grad)
Topozentrische Höhe zwischen 0 bis 15 Grad:
Rs=(1.02/TAN(RAD*(h+10.3/(h+5.11))))
Rs=Rs*((p-80)/930)/(1+0.00008*(Rs+39)*(T-10)) (Rs in Bogenminuten)
h = topozentr.
Höhe; T = Lufttemperatur (° C); Luftdruck in Torr [Millimeter-Quecksilbersäule; 1000 Millibar bzw. hPa z. B. = (1000*3)/4 = 750 mm Torr] oder Millibar p.Temperatur T 21 °C. Luftdruck 770 Torr.
Topozentr. Höhe +26°12.6' + Rs 1.919' = h 26°14.52' Höhe.
T -10 °C, 750 Torr.
Topozentr. Mondhöhe +2°50.9' + Rs 15.23' = h +3°6.13' Höhe über dem scheinbaren Horizont bei Augeshöhe 0 Meter (Höhe über der Kimm nach Addition der
Kimmtiefe).
Dämmerung
Die astronomische Dämmerung endet bzw. beginnt bei -18° Sonnenhöhe, die nautische Dämm. -12°, bürgerliche -6°.
Am scheinbaren Horizont (NN = Null Meter) taucht der Sonnenoberrand auf bzw. unter bei
-0°50' topozentrischer Höhe (-34' - 0.31'* NN mittl. Refraktion - Ë 16' Halbmesser der Sonne).
Der Mond geht mit seinem Oberrand an der Kimm auf bzw. unter bei einer topozentr. Höhe: -0°34' mittl. Refraktion - 0.31'*ÅNN (= mittl. Refraktion in entsprechender Kimmtiefe) - Ë 16' scheinbarer Winkelhalbm. - 1.925'* ÅNN mittl. Kimmtiefe (NN = Höhe über Normalnull).
Der Mond geht am scheinb. (topozentr.) Horizont auf bei einer geozentr. Höhe von -0°34' Refr. - 0.31'*Å NN - 16' Ë Halbm. + (Äquator-Horizontal-Parallaxe). Das Azimut bezeichnet die jeweilige Himmelsrichtung.
Sub-Lunar Ort
Gibt
Länge und Breite des Erdortes dessen Zenit der Mond augenblicklich durchläuft (Menü Tabellenausgabe). Am 29.9.1936 um 12 Uhr 57 Min. UT bildet der Zenit des Ortes der geograph. Breite -0°28'25'' und +144°4'12'' östl. Länge, also nahe
Neugenea im Pazifischen Ozean, den Sub-Lunar Ort. Vom Mond gesehen, liegt dieser Ort genau in der Erdmitte (Projektionsort des Mondes auf die Erdmitte vom Mond gesehen).
Perigäum/Apogäum
Datum und Uhrzeit des Zeitpunktes
der minimalsten geozentr. Erdnähe oder max. Erdferne. Äquator-Horizont-Parallaxe, scheinbarer geozentrischer Winkelhalbmesser, ekl. Länge und beleuchteter Teil für diesen Zeitpunkt. Umlaufzeit des Perigäums 8.85 Jahre.
Sternbedeckung
Sternbezeichnung. Datum. Die Eintrittszeit der Bedeckung durch den Mond gilt für den eingegebenen topozentrischen Ort.
Mondphasen
Ekliptikale Winkeldifferenz des Mondes mit der Sonne. 90 Grad:
Erstes Viertel, 180 Grad: Vollmond, 270 Grad: Letztes Viertel, 0 Grad: Neumond. Ausgabe der Mondphase im Intervall der eingegebenen Lunation (z. B. 223 Lunationen = Sarosserie, 235 Lunationen = Meton-Zyklus). Angabe der ekl. Länge des
Mondes und mittl. aufst. Mondknoten zur jeweiligen Phase.
Lokale Mondfinsternisse
Datum, Uhrzeit und Finsternisart aller Mondfinsternisse für den eingegebenen Ort, wenn diese zum Zeitpunkt des Finsternisbeginns (A), -endes
(E) oder Maximums (M) über dem Horizont des Ortes beobachtbar sind. Topozentrische Höhe und Azimut für diesen Zeitpunkt.
Mond am aufsteigenden / absteigenden wahren Mondknoten
Datum. Uhrzeit. Ekl. Länge des Mondes bzw.
Mondknotens. Ekl. Länge der Sonne. Mondalter (Neumond = 0 [29.5] Tage, Erstes Viertel = 7.4 Tage, Vollmond = 14.8 Tage nach Neumond, Letztes Viertel = 22.1 Tage, Neumond = 29.5 Tage). Beleuchteter Teil (0 = Neumond, 0.5 = Halbmond, 1 =
Vollmond).
Auf- und Untergang
Die Refraktion in Horizontnähe ist meist nie genau vorherzusehen, da sie von örtlich und zeitlich verschiedenen Parametern (Temperatur, Luftdruck und Schichtung der Atmosphäre) abhängt. Man
begnnügt sich daher allg. mit 1 Min. Genauigkeit (hier 0.1 Min) bei einem mittl. Refraktionsbetrag von -34' und 16' Halbmesser (Sonne und Mond).
Beispiel: Aufgang des Mondoberrandes an der Kimm am 1.2.1970 um 2h40.9m (Temperatur t
= +2 °C, Luftdruck 1020 mb bzw. hPa, Refraktion R = -39.1'). Aufgang des nördlichen Horns der beleuchteten Phase dagegen um 2h41.6m UT.
Beobachtungsort: +50° n. Br., +10° . L., NN 30 m, DT = +40 Sek. Fig. 38.
Topozentr. Höhe des scheinbaren Mondmittelpunktes um 2h41.6m UT: -1.00612°, Azimut 311.53472°.
Geozentrischer Mondhalbmesser (hlbm) 0.265235°; topozentr. Positionswinkel des Mittelpunktes der beleuchteten Phase 100.295°; topozentr.
parallaktischer Winkel (= Positionswinkel des durch den Mondmittelpunkt verlaufenden Vertikalkreises ab Rektaszensionskreis) = 327.609°.
Tägliche Bewegung - oberer und unterer Ortsmeridiandurchgang (Transit)
Auf- und Untergangszeiten, Zeitpunkt des oberen/unteren Meridiandurchgangs (mit Zirkummeridianhöhe) für jeden Ort der Erde. Erscheint > + < statt der Aufgangszeit, ist der Mond kontinuierlich über dem
Horizont, > - <, kontinuierlich unter dem Horizont (bei Auf- und Untergängen im Polarbereich möglich).
Die Parallaxe, Refraktion (oder nach jeweiliger Eingabe), scheinbarer Mondhalbmesser und Seehöhe
(Kimmtiefe) ist berücksichtigt. Unterbleibt die Höhenangabe über NN, bezieht sich der Auf- u. Untergangszeitpunkt auf den scheinbaren Horizont. Während der oberen Kulmination erreicht der Mond
südl. die max. Höhe über dem Horizont, in unterer Kulmination seinen tiefsten Stand nördl. (Südhalbkugel umgekehrt). Der Zeitpunkt der Kulmination und der des Meridiandurchgangs (= Himmelsmeridian =
eingegebene geograph. Länge) differiert hier bis zu 5 Min., auf Spitzbergen sogar bis zu 24 Min.
Zeitpunktangabe der oberen/unteren Kulminationshöhe (mit Höhenwert).
Bedingung oberer Ortsmeridiandurchgang: Stundenwinkel tw = 0 Uhr.
Bedingung unterer Ortsmeridiandurchgang: Stundenwinkel tw = 12 Uhr.
Stundenwinkel t = Ortssternzeit minus Rektaszension.
Bei konstanter Deklination besteht keine zeitl. Differenz zwischen dem Zeitpunkt des Meridiandurchgangs und der max. Kulminationshöhe (scheinbarer Ort der Sterne für den Kulminations- bzw.
Beobachtungszeitpunkt). Bei Objekten mit hoher Eigenbewegung ändern sich die Koordinaten Rektaszension und Deklination tägl. beträchlich, wodurch Meridiandurchgangszeit und max. Kulminationszeit differieren.
Die Differenz wird beim überschreiten des Himmelsäquators maximal; denn die tägl. Änderung der Deklin. erreicht dann den größtmglichen Wert. Passiert das Gestirn den Äquator nach Norden, erreicht es die max.
Kulminationhhe nach dem oberen und vor dem unteren Meridiandurchgang, beim Passieren nach Süden (Sonne - ein halbes Jahr nach dem nördl. Wechsel, Mond - nach 14 Tagen) vor dem oberen und nach dem unteren Meridiandurchgang.
Die Sonne berschreitet den Äquator zum Frühlings- und Herbstanfang. Die tägl. Änderung der Deklin. erreicht dann mit 0.4 (d) Grad den max. Betrag. Die max. mögliche Differenz (tz) zwischen dem Zeitpunkt
des Meridiandurchgangs und der max. Kulminationshöhe beträgt dann z. B. auf 51° geograph. Breite: sin tz = tan(j)*d (d = tägl. Deklinationsänderung in Grad, j = geograph. Breite).
DEFFN rad(x)=x*(PI/180); DEFFN deg(x)=x*(180/PI) (in GFA-BASIC definierte Funktion)
FN deg(ASIN(TAN(FN rad(50))*(0.4/360))) = tz 0.0758694°*240 = 18 Sekunden (1° Himmelsumschwung = 4 Minuten * 60 Sek. = 240 Sek.). Auf 78° n. Br. (Spitzbergen) sind es max. 72 Sek.
Die tägl. Deklinationsänderung des Mondes kann beim Äquatorübergang max. (d) 6.6° erreichen. Der Zeitunterschied Meridiandurchgang-Kulminationszeit beim Mond für Spitzbergen erreicht max. 20 Min. und für Deutschland max. 4-6 Min.
Bedingung: Zeitpunkt der maximalen Höhe über und unter dem Horizont.
Durchgang (Transit) durch den 1. Vertikalkreis (Ost-West-Kreis = Azimut exakt 90 und 270 Grad)
Beispiel: 1.1.1993, +50° nördl. Br., +10° östl. L., DT = 58 Sek.: Mond-Durchgang 1. Vertikal Westhimmel
(topozentr. Azimut exakt 90°): 23h00m16.2s UT, topozentr. Höhe +15.22016°, topozentr. parallakt. Winkel 41.010°; Mond-Durchgang 1. Vertikal Osthimmel (topozentr. Azimut 270°): 11h58m00.6s UT,
topozentr. Höhe +12.64231°, topozentr. parallakt. Winkel 319.306°.
Zeitpunkt des exakten topozentrischen Azimuts von 90 und 270 Grad (= westl. und östl. Transit auf 0.1
Sek genau durch den 1. Vertikalkreis), des Mondes, einschließliche topozentr. Höhe und topozentr. parallakt. Winkel für diesen Zeitpunkt.
Beispiel: 1.6.1872, +50° n. Br., +10° . L., DT = -1 Sek.: topozentr. Azimut 90°, topozentr. Höhe +3.3487°
und topozentr. parallaktischer Winkel 40.048° (ohne Refraktion) um 13h42m19.1s UT; topozentr. Azimut 270°, topozentr. Höhe -0.3703°und topozentr. parallakt. Winkel 319.999° um 1h32m56.5s UT.
Durchgang (Transit) durch den 6-Uhr-Kreis
Stundenwinkel 6-Uhr-Kreis (Osthimmel) = tw = 18 Uhr = 270° = -90° und Stundenwinkel 6-Uhr-Kreis (Westhimmel) tw = 6 Uhr = +90 Grad.
Beispiel: 1.1.1993, +50° n. Br., +10° ö. L., DT = 58 Sek.: Topozentr. Durchgang des Mondes durch den 6
-Uhr-Kreis (Osthimmel) um 11h24m14.0s UT, topozentr. Höhe +7.2914°, topozentr. Azimut 263.83667°; Mond-Durchgang 6-Uhr-Kreis (Westhimmel) um 23h41m07.8s UT (= 0h41m07.8s MEZ, 2.1.1993), topozentr. +8.93566°, topozentr. Azimut 97.5814°.
Zeitpunkt des exakten topozentr. Stundenwinkels von 90 und 270 (=-90) Grad (= westl. und östl. Transit auf 0.01 Sek genau durch den 6-Uhr-Kreis), des Mondes, einschließl. topozentr. Höhe und Azimut für diesen Zeitpunkt.
Beispiel: 1.6.1872, +50° n. Br., +10° ö. L., DT = -1 Sek.: topozentr. Stundenwinkel exakt 270°, topozentr.
Höhe -0.2144° und topozentr. Azimut 270.1799° (ohne Refraktion) um 1h33m55.4s UT; topozentr. Stundenwinkel 90°, topozentr. Höhe +1.9899°, topozentr. Azimut 91.6706° um 13h51m11.9s UT.
Datum, Uhrzeit u. Azimut nach wählbarer Höheneingabe
Bei einer Deklin. des Gestirns von z. B. -29 Grad, ergibt sich auf 50 Grad n. Br. eine Kulminationshhe von
(90°-50°) = Kobreite 40° Grad -29 = Kulminationshöhe kh 11 Grad. Ist die Kulminationshöhe kleiner als die gewählte Höhe erfolgt keine Angabe (Markierung >*<). Zeitangaben in 0.1 Zeitsekunden machen etwa
15'' = 1 Zeitsek, 0.1s = 1.5''/3600 = 0.00042 Grad aus.
Zeitpunkt zu dem der Mond die gewählte topozentr. Höhe einnimmt, einschließl. topozentr. Azimut.
Beispiel: 1.1.1969, +50° n. Br., +10° ö. L., DT = 39 Sek. Um welche Uhrzeit erreicht der Mond die exakte
topozentr. Höhe +23.23678 Grad (Refraktion unberücksichtigt)? Um 16h03m8.66s, topozentr. Mondhöhe +23.23678°, topozentr. Azimut 254.94545° (Osthimmel) 2h50m19.5s UT, topozentr. Höhe +23.23678;
(248);, topozentr. Azimut 103.57831° (Westhimmel).
Datum, Uhrzeit und Höhe nach wählbarer Azimuteingabe
Zeitpunkt zu dem der Mond das gewählte topozentr. Azimut erreicht, einschließl. topozentr. Höhe für
diesen Augenblick. Beispiel: 1.1.1972, +50°06' n. Br., +8°41'ö. L. (Frankfurt a. M.), DT = 42 Sek.
Um welche Uhrzeit erreicht der Mond die exakte Himmelsrichtung zu Mekka (Saudi-Arabien)?
Mekka: +21°26' n. Br., +39°49' ö. L. Mekka liegt in der Himmelsrichtung (Azimut) 308.0623235° von Frankfurt a. M. Entfernung zu Mekka 4188.84 km.
22h26m20.57s UT, topozentr. Mondhöhe +52.66412°, topozentr. Azimut 308.0623235° (Osthimmel); 7h57m36.1s UT, topozentr. Höhe +0.0738°, topozentr. Azimut 128.0623235° (Monduntergang am Westhimmel in entgegengesetzter Richtung zu Mekka).
Datum, Uhrzeit, Höhe und Azimut nach wählbarer Stundenwinkeleingabe
Zeitpunkt zu dem der Mond den gewählten topozentr. Stundenwinkel einnimmt, einschließl. topozentr.
Höhe und Azimut für diesen Augenblick. Beispiel: 20.7.1993, +50° n. Br., +10° ö. L., DT = 58 Sek. Um 15h23m19.0s UT nimmt der Mond den topozentr. Ortsstundenwinkel 45° ein. Topozentr. Mondhöhe +36.93587°, topozentr. Azimut 60.01207°.
Workshop lunare Rotationselemente
Der fortschrittliche Amateurastronom wird auch Messungen anstellen wollen (s. Mars-, Saturn- und Sonnenglobus).
Der Positionswinkel (P), den die lunare Rotationsachse mit der irdischen Nord-Süd-Richtung einnimmt, ist
leicht zu messen, da man lediglich ein Fadenkreuzokular und Positionswinkelkreis benötigt. Der Positionswinkelkreis ist einfach herzustellen. Eine Pappscheibe mit etwa 400 mm Durchmesser besitzt
einen Umfang von 400*PI = 1256.637 mm /360 Grad = 3.4906 mm pro Grad / 2 = 1.7453 mm pro 0.5 Grad (s. Mars-, Saturn-, Sonnenglobus).
Der Positionswinkel der Lunarachse liegt entgegen dem Uhrzeigrsinn im I. Quadranten (0 bis 90 Grad), und umgekehrt im IV. Quadranten (270 bis 360 Grad). P 8.67 Grad sind demzufolge P 351.33 Grad (oder auch P -8.67 Grad).
Nach jeder einzelnen Messung läßt man wieder ein Stern auf dem Querfaden entlang laufen und überprüft auch die exakte Übereinstimmung der Zeigerenden mit dem Achsenkreuz der Scheibe, da Dezentrierungen
leicht vorkommen. Das Resultat P ist der Mittelwert aus 5 oder 10 Messungen. Der gemessene Positionswinkel ist vom Einfluß der Refraktion zu befreien.
Auf die Erdäquatorebene bezogene Rotationselemente
De = ARCSIN(-sin(d1) sin(d)-cos(d1) cos(d) cos(a1-a)
x=(cos(d) sin(a1-a)/cos(De)
y=(-cos(d1) sin(d)+sin(d1) cos(d) cos(a1-a))/cos(De)
K=ARCTAN(y/(1+x))*2; Polwinkel der Erde K negativ +360 (oder 2*PI bei Rechnung in RAD) addieren.
Geozentr. Positionswinkel (P) der Rotationsachse:
y=(cos(d1) sin(a1- a))/cos(De)
x=(sin(d1) cos(d)-cos(d1) sin(d) cos( a1-a))/cos(De)
P=ARCTAN(y/(1+x))*2; P negativ +360 (oder 2*PI bei Rechnung in RAD) addieren.;
Der Positionswinkel mißt ab der ird. Nordrichtung des Rektaszensionskreises der scheinbaren Mondmitte (d, a) entgegen dem Uhrzeigersinn (0°<=pw<=360°).
De=Deklination (Abweichung) der Erde über dem Mondäquator, K=Rektaszension der Erde parall zum Mondäquator ab dem ausfteigenden Knoten des Erdäquators mit dem Mondäquator (N), P=Positionswinkel
der Mondachse mit der irdischen Nord-Süd-Richtung. ;
d1, a1 = Deklination und Rektaszension des lunaren Rotationsnordpols, Äquinoktium des Datums.
d, a = geozentrische Deklination und Rektaszension des Mondes, Äquinoktium des Datums.
Rn=mit der zuvor genannten Formel berechneter Positionswinkel (P) der Rotationsachse zum Beobachtungsdatum.
B=Mit Fadenkreuzokular und Positionswikelscheibe gemessener Positionswinkel (P) der Rotationsachse zum Datum.
Differenz beobachter minus berechneter Positionswinkel, Äquinoktium des Datums: dP=B-Rn (n=1,2,3...,Iteration).
b=-sin(K)/cos(De)
a=(cos(K)*cos(d1))/cos(De)
Bedingungsgleichung: dP=da*a + dd*b.
Schrittweise Verbesserung der Werte des ungefähr angenommenen Rotationsnordpols:
d1 = d1 ± dd
a1 = a1 ± da
Die Vorzeichen der Poldifferenzen ± d und ± dd können bei groen Fehlern der Messungen problematisch werden. Die Fehlerquadratsumme (vv) wird bei Eingabe der Poldifferenzen mit richtigem Vorzeichen ein Minimum.
Die beiden Unbekannten da (=dA) und dd (=dD) ermittelt man mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate.
Die äquatorialen Koordinaten des Mondnordpols (d1, a1) unterliegt lediglich eine Änderung durch die
Präzession von 0.002° in Rektaszension und 0.002° in Deklination pro Jahr. Selbst bei Zeitreihen mehrerer Jahre ist die Präzession der Äquinoktien daher vernachlässigbar.
Numerisches Beispiel.
In 5 Nächten ausgeführte 5 Positionswinkelmessungen, Äquinoktium des Datums, ergeben folg. Nordpol des Mondes (2.1.1997 bis 6.1.1997): d1=65.012° und a1=270.195°.
Fehlerquadratsumme: 0.1405.
1. Eingangswerte: d1 66° - dd 0.083°
a1 270° + da 2.429°
Fehlerquadratsumme: 0.7836.
1. Iteration: d1 65.917° - dd 0.9443°
a1 272.429° - da 2.177°
Fehlerquadratsumme: 0.000032
2. Iteration: d1 64.973° + dd 0.024°
a1 270.251° - da 0.0925°
Fehlerquadratsumme: 0.000221.
3. Iteration: d1 64.997° + dd 0.0153°
a1 270.158° +da 0.0364°
Fehlerquadratsumme: 7.12E-07.
4. Iteration: d1 65.012° + dd 0.00004°
a1 270.195° - da 0.0001°
DIM ko(10,10),p(10,10),a(100),b(100),dp(100),p1(100),g(100),d(100),ar(100),de(100),p2(100),t(100)
DEFFN z(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
n1 = 5 //EINTRAG ANZAHL MESSUNGEN
REM 5 POSITIONSWINKELMESSUNGEN VOM 2.1.997 - 6.1.1997, um 0 Uhr TT, auf 50 Grad nrdl. Br. u. 0 Grad . L.
RESTORE posw
FOR i = 1 TO n1
READ p,g
p1(i) = p //GEMESSENER VOM EINFLUSS DER REFRAKTION BEFREITER POSITIONSWINKEL DER MONDACHSE IN GRAD
g(i) = g //GEWICHT DER MESSUNG = 1
NEXT i
posw:
REM IDEALE MESSWERTE p,g ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
DATA 24.533,1,22.989,1,20.316,1,16.5076,1,11.6209,1
REM WERTE MIT 0.1 GRAD MESSGENAUIGKEIT
REM DATA 24.55,1,23.07,1,20.396,1,16.541,1,11.7,1
REM ---------
REM TOPOZENTRISCHE DEKLINATION UND REKTASZENSION DES MONDES ZUM
ZEITPUNKT DER MESSUNG
RESTORE topoort
FOR i = 1 TO n1
READ d,a
d(i) = RAD(d) //TOPOZENTRISCHE DEKLINATION MOND (RAD)
ar(i) = RAD(a) //TOPOZENTRISCHE REKTASZENSION MOND (RAD)
NEXT i
topoort:
DATA -4.295959,190.812336,-8.015494,202.6755286,-11.494237,215.045234,-14.5455689,228.0719115,-16.9513704,241.845405
REM ---------------------------------------------
de1 = RAD(66) //EINTRAG DEKLINATION DES UNGEFHREN NORDPOLS
po1 = RAD(270) //EINTRAG REKTASZENSION DES UNGEFHREN NORDPOLS
FOR i1 = 1 TO 300 //ITERATIONSSCHLEIFE
FOR i = 1 TO n1
de = -SIN(de1) * SIN(d(i)) - COS(de1) * COS(d(i)) * COS(po1 - ar(i))
IF ABS(de) >= 1 THEN
de = 0.99999999 * SGN(de)
ENDIF
de = ASIN(de) //DEKLINATION DER ERDE šBER DEM MONDQUATOR
x = (COS(de1) * SIN(po1 - ar(i))) / COS(de)
y = (SIN(de1) * COS(d(i)) - COS(de1) * SIN(d(i)) * COS(po1 - ar(i))) / COS(de)
IF y < -0.99999999 THEN
p = PI
ELSE
p = FN z(ATN(x / (1 + y)) * 2)
ENDIF
x = (-COS(de1) * SIN(d(i)) + SIN(de1) * COS(d(i)) * COS(po1 - ar(i))) / COS(de)
y = (COS(d(i)) * SIN(po1 - ar(i))) / COS(de)
IF y < -0.9999999 THEN
ka = PI //POLWINKEL DER ERDE
ELSE
ka = FN z(ATN(x / (1 + y)) * 2)
ENDIF
de(i) = de //RAD
p2(i) = DEG(p) //GRAD
t(i) = ka //RAD
NEXT i
CLS
REM BEOBACHTETER MINUS BERECHNETER POSITIONSWINKEL dP=B-R
FOR i = 1 TO n1
p = p1(i) //POSITIONSWINKEL BEOBACHTET (GRAD)
p1 = p2(i) //POSITIONSWINKEL BERECHNET (GRAD)
IF p >= 0 AND p < 90 AND p1 > 270 AND p1 <= 360 THEN
p = p + 360 //Reduktion intervall 0=<p<=360 Grad
ENDIF
IF p1 >= 0 AND p1 < 90 AND p > 270 AND p <= 360 THEN
p1 = p1 + 360
ENDIF
dp(i) = p - p1 //dP=B-R
a(i) = COS(t(i)) * COS(de1) / COS(de(i))
b(i) = -SIN(t(i)) / COS(de(i))
NEXT i
REM METHODE DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE ------------------
REM EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN dP=d;(&HE0);*a+d;(&HEB);*b
REM NORMALGLEICHUNG FšR ZWEI UNBEKANNTE
REM [pxx] d;(&HE0); + [pxy] d;(&HEB); = [pdpx],1,0,0
REM [pxy] d;(&HE0); + [pyy] d;(&HEB); = [pdpx],0,1,0
REM --------------------------------------------------
p = 0
xx = 0
yy = 0
xy = 0
dpx = 0
dpy = 0
REM AKKUMULATION
FOR i = 1 TO n1
p = p + g(i) //GEWICHT DER MESSUNG
xx = xx + a(i) * a(i) * g(i) //[pxx]
xy = xy + a(i) * b(i) * g(i)
yy = yy + b(i) * b(i) * g(i)
dpx = dpx + dp(i) * a(i) * g(i)
dpy = dpy + dp(i) * b(i) * g(i)
NEXT i
REM ---------------------
resi = 3 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN
m = 2 //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 2 //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
m = m + resi
REM -------------------------
p(1,1) = xx
p(1,2) = xy
p(1,3) = dpx //1. RESIDUUM
p(1,4) = 1 //2. RESIDUUM
p(1,5) = 0 //3. RESIDUUM
p(2,1) = xy
p(2,2) = yy
p(2,3) = dpy //1. RESIDUUM
p(2,4) = 0 //2. RESIDUUM
p(2,5) = 1 //3. RESIDUUM
GOSUB elim
IF ko(1,1) < 0 AND ko(2,1) < 0 THEN
u = 1
ko(1,1) = ko(1,1) * -1
ko(2,1) = ko(2,1) * -1
ENDIF
IF ko(1,1) > 0 AND ko(2,1) > 0 AND u = 0 THEN
ko(1,1) = ko(1,1) * -1
ko(2,1) = ko(2,1) * -1
ENDIF
REM SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE
vv1 = 0
FOR i = 1 TO n1 //FEHLERQUADRATSUMME BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG
vv1 = vv1 + (dp(i) - (a(i) * ko(1,1) + b(i) * ko(2,1))) ^ 2 * g(i)
NEXT i
w = 0
FOR i = 1 TO n1
w = w + dp(i) * g(i) //MITTELWERT
NEXT i
w = w / p
vv = 0
FOR i = 1 TO n1
vv = vv + (dp(i) - w) ^ 2 * g(i) //FEHLERQUADRATSUMME BEOBACHTUNG MINUS MITTELWERT
NEXT i
REM MITTL. FEHLER DER KOEFFIZIENTEN a,b,c
s = ABS(vv / (n1 - 2))
mfa = SQR(s * ko(1,2))
mfb = SQR(s * ko(2,3))
s1 = SQR(s)
IF p <> n1 THEN
s1 = s1 / SQR(p)
ENDIF
REM OUTPUT ---------------------------------------------
PRINT "KOEFFIZIENT dA....................: ";ko(1,1);" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT dD....................: ";ko(2,1);" GRAD"
PRINT "DEKLINATION ROTATIONSPOL..........: ";ROUND(DEG(de1),3);" GRAD"
PRINT "REKTASZENSION ROTATIONSNORDPOL....: ";ROUND(DEG(po1),3);" GRAD"
PRINT "MITTLERER FEHLER DER EINZELMESSUNG: ";s1;" GRAD"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT dA...: ";mfa;" GRAD"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT dD...: ";mfb;" GRAD"
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME................: ";vv;" GRAD"
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME................: ";vv1;" GRAD"
REPEAT
UNTIL INKEY$ = " "
REM EINTRAG
REM INPUT "dA: ",x
REM INPUT "dD: ",y
po1 = po1 + RAD(ko(1,1))
de1 = de1 + RAD(ko(2,1))
REM po1=po1+RAD(x)
REM de1=de1+RAD(y)
NEXT i1 //ITERATION
END
PROCEDURE elim
FOR j = 1 TO n - 1 //GAUSS ELIMINATION
nr = j
no = ABS(p(j,j))
FOR i = j + 1 TO n //ZEILENPIVOT
noo = ABS(p(i,j))
EXIT IF (noo - no) < 0
no = noo
nr = i
NEXT i
IF nr = j THEN
GOTO jum1
ENDIF
FOR i = j TO m + 1
no = p(nr,i)
p(nr,i) = p(j,i)
p(j,i) = no
NEXT i
jum1:
FOR i = j + 1 TO m + 1 //ELIMINATION
p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
NEXT i
FOR i = j + 1 TO n
FOR k = j + 1 TO m + 1
p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
NEXT k
NEXT i
NEXT j
FOR i = 1 TO (m + 1) - n
ko(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n) //RÜCKSUBSTITUTION
FOR k = 1 TO n - 1
l = n - k
ko(l,i) = p(l,n + i)
FOR s = l + 1 TO n
ko(l,i) = ko(l,i) - p(l,s) * ko(s,i)
NEXT s
NEXT k
NEXT i
RETURN
Der lunare Rotationspol ist nahezu mit dem Ekliptik-Nordpol identisch. Geozentr. Rektaszension 270° - 3.878°*SIN(W) Oszillation, Deklination 66.541° (= 90 - Ekliptikschiefe) + 1.543°*COS(W) Oszillation (auf das Äquinoktium J2000 bezogen; W = aufsteigender Mondknoten).
Der Rotationspol des Mondes liegt somit im Raum nicht fest, sondern oszilliert um seine mittlere Lage.
Erfaßt man die Größe der Oszillation lautet die Bedingungsgleichung.
Rektaszension Nordpol: ; a1 = a+b*sin(t1)+c*sin(t2)+d*sin(t3)+e*sin(t4).
Deklination Nordpol: d1 = a1+b1*cos(t1)+c1*cos(t2)+d1*cos(t3)+e1*cos(t4).
Argumente:
t1=125.045°-0.0529921°*d (Mondknoten).
t2=250.089°-0.1059842°*d
t3=260.008°+13.0120009°*d.
t4=176.625°+13.3407154°*d.
In RAD z. B. t2=t2/57.2957795.
d=(JD-2451545); d=Tage ab Epoche 1.1.2000, 12h TT = julian. Datum JD 2451545 (Äquinoktium J2000).
Die IAU (1996) bestimmte die Koeffizienten des Nordpols in Rektaszension zu a=269.9949°, b=-3.8787°, c=-0.1204°, d=0.07°, e=-0.0172°.
In Deklination: a1=66.5392°, b1=1.5419°, c1=0.0239°, d1=-0.0278°, e1=0.0068°.
Folg. GFA-BASIC Programm berechnet die Koeffizienten a bis e aus beobachteter Deklination und Rektaszension des lunaren Nordpols im Zeitraum eines Mondknotenumlaufes (18.6 Jahre). Statt
gemessener Nordpol-Koordinaten werden ideale Werte berechnet.
DIM p(20,20),ko(12,12),e1(1600),e2(1600),e3(1600),e4(1600),de1(1600),po1(1600)
DEFFN z(z) = z - INT(z / (PI * 2)) * (PI * 2)
f = 2450449.5 //DATUM 1.1.1997 = JD 2450499.5
mo4 = 2451545 //EPOCHE, ÄQUINOKTIUM J2000
n = 0
FOR i = 1 TO 19 * 360 STEP 10
n = n + 1
f3 = f + i
d = f3 - mo4
REM ARGUMENTE ------------------
e1 = FN z(RAD(125.045 - 0.0529921 * d))
e2 = FN z(RAD(250.089 - 0.1059842 * d))
e3 = FN z(RAD(260.008 + 13.0120009 * d))
e4 = FN z(RAD(176.625 + 13.3407154 * d))
REM IDEALE WERTE DEKLINATION de1(n), REKTASZENSION NORDPOL po1(n) MOND
de1(n) = 66.5392 + 1.5419 * COS(e1) + 0.0239 * COS(e2) - 0.0278 * COS(e3) + 0.0068 * COS(e4)
po1(n) = 269.9949 - 3.8787 * SIN(e1) - 0.1204 * SIN(e2) + 0.07 * SIN(e3) - 0.0172 * SIN(e4)
REM ARGUMENTE SINUS (COSINUS FALLS DE1(N))---
e1(n) = SIN(e1)
e2(n) = SIN(e2)
e3(n) = SIN(e3)
e4(n) = SIN(e4)
NEXT i
REM -------------------------------------------
n1 = n //EINTRAG ANZAHL MESSUNGEN
REM METHODE DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE ------------------
REM BEDINGUNGSGLEICHUNG: po1(n)=a+b*e1(n)+c*e2(n)+d*e3(n)+e*e4(n)
REM NORMALGLEICHUNG FšR FšNF UNBEKANNTE:
REM n1 a + [x] b + [y] c + [z] d + [w] e = [pol]
REM [x] a + [xx] b + [xy] c + [xz] d + [xw] e = [xp]
REM [y] a + [yx] b + [yy] c + [yz] d + [yw] e = [yp]
REM [z] a + [xz] b + [zy] c + [zz] d + [zw] e = [zp]
REM [w] a + [xw] b + [yw] c + [zw] d + [ww] e = [wp]
REM AKKUMULATION
FOR i = 1 TO n1
x = x + e1(i)
y = y + e2(i)
z = z + e3(i)
w = w + e4(i)
xw = xw + e1(i) * e4(i)
yw = yw + e2(i) * e4(i)
zw = zw + e3(i) * e4(i)
ww = ww + e4(i) * e4(i)
xx = xx + e1(i) * e1(i)
xy = xy + e1(i) * e2(i)
xz = xz + e1(i) * e3(i)
yy = yy + e2(i) * e2(i)
yz = yz + e2(i) * e3(i)
zz = zz + e3(i) * e3(i)
pol = pol + po1(i) //de1(n) falls Deklination
xp = xp + e1(i) * po1(i) //de1(n) "
yp = yp + e2(i) * po1(i) //de1(n) "
zp = zp + e3(i) * po1(i) //de1(n) "
wp = wp + e4(i) * po1(i) //de1(n) "
pp = pp + po1(i) * po1(i) //de1(n) "
NEXT i
REM ---------------------
resi = 6 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN
m = 5 //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 5 //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
REM -----------------------------
m = m + resi
p(1,1) = n1
p(1,2) = x
p(1,3) = y
p(1,4) = z
p(1,5) = w
p(1,6) = pol //1. RESIDUUM
p(1,7) = 1 //2. "
p(1,8) = 0 //3. "
p(1,9) = 0 //4. "
p(1,10) = 0 //5. "
p(1,11) = 0 //6. "
REM -------------------
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy
p(2,4) = xz
p(2,5) = xw
p(2,6) = xp //1. RESIDUUM
p(2,7) = 0 //2. "
p(2,8) = 1 //3. "
p(2,9) = 0 //4. "
p(2,10) = 0 //5. "
p(2,11) = 0 //6. "
REM ---------------------
p(3,1) = y
p(3,2) = xy
p(3,3) = yy
p(3,4) = yz
p(3,5) = yw
p(3,6) = yp //1. RESIDUUM
p(3,7) = 0 //2. "
p(3,8) = 0 //3. "
p(3,9) = 1 //4. "
p(3,10) = 0 //5. "
p(3,11) = 0 //6. "
REM --------------
p(4,1) = z
p(4,2) = zx
p(4,3) = yz
p(4,4) = zz
p(4,5) = zw
p(4,6) = zp //1. RESIDUUM
p(4,7) = 0 //2. "
p(4,8) = 0 //3. "
p(4,9) = 0 //4. "
p(4,10) = 1 //5. "
p(4,11) = 0 //6. "
REM ------------------------
p(5,1) = w
p(5,2) = xw
p(5,3) = yw
p(5,4) = zw
p(5,5) = ww
p(5,6) = wp //1. RESIDUUM
p(5,7) = 0 //2. "
p(5,8) = 0 //3. "
p(5,9) = 0 //4. "
p(5,10) = 0 //5. "
p(5,11) = 1 //6. "
REM ------------------------
GOSUB elim
REM SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE
vv = pp - pol * ko(1,1) - xp * ko(2,1) - yp * ko(3,1) - zp * ko(4,1) - wp * ko(5,1)
vv1 = 0
FOR i = 1 TO n1 //FEHLERQUADRATSUMME BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG
vv1 = vv1 + (po1(i) - (ko(1,1) + ko(2,1) * e1(i) + ko(3,1) * e2(i) + ko(4,1) * e3(i) + ko(5,1) * e4(i))) ^ 2
NEXT i
s = ABS(vv / (n1 - 5))
REM MITTLERER FEHLER DER KOEFFIZIENTEN a bis e
mfa = SQR(s * ko(1,2))
mfb = SQR(s * ko(2,3))
mfc = SQR(s * ko(3,4))
mfd = SQR(s * ko(4,5))
mfe = SQR(s * ko(5,6))
s1 = SQR(s)
REM OUTPUT ---------------------------------------------
PRINT "KOEFFIZIENT a....................: ";ko(1,1);" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT b....................: ";ko(2,1);" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT c....................: ";ko(3,1);" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT d....................: ";ko(4,1);" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT e....................: ";ko(5,1);" GRAD"
PRINT "MITTLERER FEHLER DER EINZELMESSUNG: ";s1;" GRAD"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT a...: ";mfa;" GRAD"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT b...: ";mfb;" GRAD"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT c...: ";mfc;" GRAD"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT d...: ";mfd;" GRAD"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT e...: ";mfe;" GRAD"
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME................: ";vv;" GRAD"
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME................: ";vv1;" GRAD"
END
PROCEDURE elim
FOR j = 1 TO n - 1 //GAUSS ELIMINATION
nr = j
no = ABS(p(j,j))
FOR i = j + 1 TO n //ZEILENPIVOT
noo = ABS(p(i,j))
EXIT IF (noo - no) < 0
no = noo
nr = i
NEXT i
IF nr = j THEN
GOTO jum1
ENDIF
FOR i = j TO m + 1
no = p(nr,i)
p(nr,i) = p(j,i)
p(j,i) = no
NEXT i
jum1:
FOR i = j + 1 TO m + 1 //ELIMINATION
p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
NEXT i
FOR i = j + 1 TO n
FOR k = j + 1 TO m + 1
p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
NEXT k
NEXT i
NEXT j
FOR i = 1 TO (m + 1) - n
ko(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n) //RÜCKSUBSTITUTION
FOR k = 1 TO n - 1
l = n - k
ko(l,i) = p(l,n + i)
FOR s = l + 1 TO n
ko(l,i) = ko(l,i) - p(l,s) * ko(s,i)
NEXT s
NEXT k
NEXT i
RETURN
Koeffizienten nach idealen Meßwerten des Nordpol IAU (1996): a=269.9945°, b=-3.8787°, c=-0.1204°, d=+0.0703°, e=-0.0172°.
i-äquat. = 90°- d1 (Neigungswinkel des Mondäquators mit dem Erdäquator); W-äquat. = a1+90 Grad (aufst. Knoten Mondäquator-Erdäquator).
Die Transformation der äquatorialen Polkoordinaten d1, a1 in ekliptikale Koordinaten, ergibt die auf die
Ekliptik bezogenen Rotationselemente i-ekl (Neigungswinkel des Mondäquators gegen die Ekliptikebene) und W-ekl (aufst. Mondknoten).
Ekliptikschiefe (RAD): ec=0.409092804-0.00022696552*T-2.860401E-09*T*T; T=(JD-2451545)/36525; JD=julian. Datum.
ep = ARCSIN(sin(d1) cos(ec)-cos(d1) sin(ec) sin(a1))
x=(cos(d1) cos(a1))/cos(ep)
y=(sin(d1) sin(ec)+cos(d1) cos(ec) sin(a1))/cos(ep)
el=ARCTAN(y/(1+x))*2; el negativ +360 (oder 2*PI bei Rechnung in RAD) addieren.
In der Praxis liegen der Ermittlung natürlich weit mehr Daten zugrunde.
i-ekl=90°-ep; W-ekl=el-90°.
Extinktion
Das Licht der Gestirne erfährt innerhalb der Erdatmosphäre eine Schwächung (Extinktion) und Streuung an den Staubteilchen und Molekülen der Luft. Diese Lichtschwächung ist von der Wellenlänge des Lichts
(selektive Extinktion) und der Länge des Lichtweges innerhalb der Atmosphäre abhängig. Die Extinktion nimmt daher mit der Zenitdistanz zu.
Die Absorption des Lichts erreicht in Horizontnähe entsprechende Werte, die besonders am Sonnenauf- bzw. -untergang deutlich wird.
Allg. wird das kurzwellige Licht (blauer Anteil des Sonnenspektrums) wesentlich stärker gestreut als das langwellige rote Licht, wodurch der Tageshimmel blau erscheint. Bei Sonnenunter- oder Sonnenaufgang
durchdringt das Sonnenlicht dichtere Horizontschichten, die den langwelligen Anteil stärker streuen (selektive Extinktion). Die Atmosphäre des Mars streut mehr den roten Anteil, so daß der Marshimmel tagsüber rot bis rosafarben erscheint.
Mittlere Extinktion für visuelle Beobachtung und 100 Meter ber N.N. (wahre Höhe h in Grad=mag Helligkeitsverlust) h 60°=0.0mag,50=0.1,40=0.1,30=0.2,20=0.4,10=0.9,9=1.0,8=1.1,7=1.2,6=1.4,5=1.7
,4=2.1,3=2.5,2.5=2.8,2=3.1,1.5=3.5,1=4,0.6=4.5,0.3=5,0=5.4,-0.2=5.8,-0.4=6.5 mag.
Die Zenithelligkeit eines Gestirns wird entweder auf die Helligkeit in beobachteter Höhe reduziert oder
umgekehrt auf Zenithelligkeit. Bei visuellen Messungen beträgt die Extinktionskoeffizient kv etwa 0.1 bis 0.5 mag. Die senkrecht einfallende Strahlung (Stern am Zenit) wird um den Betrag des
Extinktionskoeffizienten absorbiert [Absorption kv=0.28 mag = 22.7 % = ABS((1-10^(-0.4*kv))*100)].
Die Schwächung des Lichtes ist in guter Näherung proportional dem Secans der Zenitdistanz (z). Bis zu
einer Zenitdistanz z 75° läßt sich daher diese Näherung verwenden: dm = kv*(1/cos(z)-1) oder dm = kv*(lm-1); lm = Luftmasse 1/cos(z).
Um auf die Helligkeit außerhalb der Erdatmosphäre zu reduzieren, ist kv von der Zenithelligkeit eines Gestirns zu subtrahieren.
In unseren Breiten wird der Extinktionskoeffizient kv nie besser als 0.25 bis 0.30 mag (Mittelwert kv 0.28 mag), oder bei photograph. Helligkeiten kp 0.40 bis 0.60 mag. Der Unterschied zwischen kv und kp wird
durch die Wellenlängenabhängigkeit der Extinktion bedingt. Die Extinktionskoeffizienten kv und kp sind daher Mittelwerte eines Spektralbereichs.
Helligkeit in jeweiliger Höhe: Zenithelligkeit Mars z. B. +0.91 mag, Zenitdistanz z=75 Grad: dm=0.80 mag. Helligkeit Mars in z=75° (= Höhe h=15°) = +1.71 mag.
Die Helligkeit eines Objektes ist durch Anschluß an Vergleichsternen feststellbar (s. “Kugelspiegel-Photometrie”). Die in Katalogen verzeichnete Helligkeit der Sterne bezieht sich auf Zenithelligkeit, die auf
Helligkeit in jeweiliger Zenitdistanz zu reduziert ist. Man wählt Vergleichsterne in ähnlicher Objektfarbe.
m1 2.03 = Zenithelligkeit des Vergleichsterns; z1 56.234 Grad = Zenitdistanz des Vergleichtsterns (=2.25
mag hell); dh -0.8 mag = (2.25-3.05 mag) beobachtete scheinbare Helligkeitsdifferenz Vergleichstern-Objekt; m 2.31 mag = Zenithelligkeit des Objekts (= 3.05 mag in Zenitdistanz 74.123 Grad). m 2.31 mag
= m1 2.03 - dh (-0.8) + kv 0.28*(1/cos(RAD(56.234))-1/cos(RAD(74.123))).
Der für die jeweilige Beobachtungsstation gültige Extinktionskoeffizient kv, ist durch Helligkeitsvergleich
mit Sternen gleicher Helligkeit aber in unterschiedlicher Zenitdistanz zu bestimmen. m1,m2,z1,z2=Zenithelligkeit und Zenitdistanz Stern 1 und 2; dh=beobachtete Helligkeitsdifferenz der zwei
Vergleichsterne. dh=m1-m2+kv*(1/cos(z1)-1/cos(z2)).
(Zenithelligkeit m1,m2 einem Katalog entnehmen). Wählt man noch weitere Vergleichsterne mittelt man die erhaltenen Werte kv. kv=(m1-m2-dh)/(1/COS(z1)-1/COS(z2)).
Zwei Vergleichsterne visuell m1=2 mag und m2=1.88 mag (Zenitdistanz 0 Grad) erscheinen in beobachteter Zenitdistanz z1=50° und z2=60° gleich hell (2.16 mag = dh=0).
kv 0.27=(m1 2 - m2 1.88)/(1/COS(RAD(50))-1/COS(RAD(60))).
Zwei Vergleichsterne m1=2 mag und m2=2 mag (Zenitdistanz 0 Grad) haben gleiche Zenithelligkeit, erscheinen mit zenitnahen Sternen (visuell oder photometrisch) verglichen in beobachteter Zenitdistanz
z1=40° = 2.09 mag hell u. z2=75° = 2.80 mag hell. dh -0.71 mag = m1 2.09 mag - m2 2.8 mag.
kv 0.28=(m1 2 - m2 2 - (dh -0.71))/(1/COS(RAD(40))-1/COS(RAD(75))).
Die Extinkionskorrektur führt zu Fehlern, wenn die auf Zenithelligkeit (Zenitdistanz z=0) mit den Mittelwerten einer Extinktionstafel, anstatt mit dem wahren Extinktionskoeffizienten (kv) korrigiert wird.
Der Extinktionskoeffizient kv wächst mit abnehmender Wellenlänge und ist zudem vom Beobachtungsort und Beobachtungszeit abhängig.
kv 0.3*(1/(COS(RAD(75))+0.025*EXP(-11*COS(RAD(75))))-1) = Helligkeit des Sterns v gegenüber
Zenithelligkeit 0.853 mag und Helligkeit des Vergleichsterns c 0.668 mag schwächer.
Die differentielle Extinktion (dm) zwischen Stern v und c beträgt demnach 0.853-0.668 = dm 0.185 mag.
Die Erdatmosphäre kann in guter Näherung in geringen Zenitdistanzen, als eine parallele Schicht mit konstanter Dicke angenommen werden; denn die Krümmung der Erdatmosphäre ist erst in größeren
Zenitdistanzen über 70 Grad nicht mehr zu vernachlässigen. Bei mehreren Vergleichsternen ist kv der Mittelwert über einen Wellenlängenbereich.
Beobachtet man die Helligkeitsabnahme eines Sterns im Laufe der Nacht durch die Exktinktion, ergibt die Ausgleichsrechnung den für die Wellenlänge des Sterns gültigen Extinktionskoeffizienten kv [=ko(2)=b;
Helligkeit des Sterns außerhalb der Erdatmosphäre gemäß Koeffizient ko(1)=a=Zenithelligkeit Stern minus kv bzw. Koeffizient a=Zenithelligkeit außerhalb der Erdatmosphäre + kv = beobachtbare Zenithelligkeit].
Im folg. Beispiel: a=ko(1)=0.75 mag, ko(2)=b=kv=0.25 mag.
DIM p(10,10),ko(10,10),x(30),d(30)
REM BERECHNETE ZENITDISTANZ DER STERNE
z1 = RAD(43.123)
z2 = RAD(55.139)
z3 = RAD(73.987)
z4 = RAD(80.777)
REM KORROSPONDIERENDE LUFTMASSE ------------------------
x(1) = 1 / (COS(z1) + 0.025 * EXP(-11 * COS(z1)))
x(2) = 1 / (COS(z2) + 0.025 * EXP(-11 * COS(z2)))
x(3) = 1 / (COS(z3) + 0.025 * EXP(-11 * COS(z3)))
x(4) = 1 / (COS(z4) + 0.025 * EXP(-11 * COS(z4)))
REM BEOBACHTETE HELLIGKEIT (mag) DER STERNE IN JEWEILIGER ZENITDISTANZ
d(1) = 1.09
d(2) = 1.19
d(3) = 1.6
d(4) = 2.16
REM AKKUMULATION DER NORMALGLEICHUNG MIT 2 UNBEKANNTEN
n1 = 4 //EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN mag=a+b*x
x = 0
y = 0
xx = 0
xy = 0
yy = 0
FOR i = 1 TO n1
x = x + x(i)
y = y + d(i)
xx = xx + x(i) * x(i)
xy = xy + x(i) * d(i)
yy = yy + d(i) * d(i)
NEXT i
resi = 3 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN
m = 2 //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 2 //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
m = m + resi
p(1,1) = n1
p(1,2) = x
p(1,3) = y
p(1,4) = 1 //1. RESIDUENVEKTOR
p(1,5) = 0 //2. RESIDUENVEKTOR
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy
p(2,4) = 0 //1. RESIDUIENVEKTOR
p(2,5) = 1 //2. RESIDUENVEKTOR
GOSUB elim
vv = yy - y * ko(1,1) - xy * ko(2,1)
REM FEHLERQUDRAT AUS BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG
vv1 = 0
FOR i = 1 TO n1
vv1 = vv1 + (d(i) - (ko(1,1) + ko(2,1) * x(i))) ^ 2
NEXT i
s = ABS(vv1 / (n1 - 2))
s1 = SQR(s)
mfx = SQR(ABS(s * ko(1,2)))
mfy = SQR(ABS(s * ko(2,3)))
PRINT "HELLIGKEIT AUSSERHALB DER ERDATMOSPHÄRE: ";ko(1,1) //KOEFFIZIENT a
PRINT "EXTINKTIONSKOEFFIZIENT kv..............: ";ko(2,1) //KOEFFIZIENT b
PRINT "MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG: ";s1
PRINT "MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT a............: ";mfx
PRINT "MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT b............: ";mfy
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME.: ";vv
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME.: ";vv1
x = x(1) //EINTRAG LUFTMASSE
mag = ko(1,1) + ko(2,1) * x //LINEARE REGRESSION mag=a+b*x
PRINT "HELLIGKEIT ";mag
END
PROCEDURE elim
FOR j = 1 TO n - 1 //GAUSS ELIMINATION
nr = j
no = ABS(p(j,j))
FOR i = j + 1 TO n //ZEILENPIVOT
noo = ABS(p(i,j))
EXIT IF (noo - no) < 0
no = noo
nr = i
NEXT i
IF nr = j THEN
GOTO jum1
ENDIF
FOR i = j TO m + 1
no = p(nr,i)
p(nr,i) = p(j,i)
p(j,i) = no
NEXT i
jum1:
FOR i = j + 1 TO m + 1 //ELIMINATION
p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
NEXT i
FOR i = j + 1 TO n
FOR k = j + 1 TO m + 1
p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
NEXT k
NEXT i
NEXT j
FOR i = 1 TO (m + 1) - n
ko(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n) //RÜCKSUBSTITUTION
FOR k = 1 TO n - 1
l = n - k
ko(l,i) = p(l,n + i)
FOR s = l + 1 TO n
ko(l,i) = ko(l,i) - p(l,s) * ko(s,i)
NEXT s
NEXT k
NEXT i
RETURN
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