Translation

Horst Schumacher

Finsternisgebiete
 
Gebiet (A) (Fig. 10): Auf Linie 2 geht die Sonne während des Finsternismaximums auf (auf der Zentrallinie total, sonst partiell), auf Linie 5 während des Finsternismaximums unter. Für alle Orte auf Bogen 1 beginnt die Verfinsterung bei Sonnenaufgang, für Orte auf Bogen 6 bei Sonnenuntergang. Auf Bogen 3 endet die Finsternis bei Sonnenaufgang, auf Bogen 4 bei Sonnenuntergang.  Dieser Finsternistyp tritt in mittl. Breiten u. im Äquatorbereich ein.
Gebiet B (Fig. 11): Die Zentrallinie beginnt u. endet im Aufgangsgebiet oder beginnt u. endet im Untergangsgebiet auf der Linie des Finsternismaximums. Dieser Finsternistyp ist nirgends mittags zentral sichtbar u. tritt nur in hohen geographischen Breiten auf. Die Linien des Auf- u. Untergangsgebiets laufen in Punkt »H« zusammen; dort steht die Sonne zu Mittag (Azimut 0°) oder Mitternacht (Azimut 180°) am Horizont (Südhemisphäre umgekehrt). Nur im Polarbereich können Sonnenauf- u.  -untergang auf einen Ort zusammenfallen.
Gebiet C (Fig. 12): Die Linien schneiden sich in Punkt »H« (Polarbereich); dort sieht ein Beobachter die Sonne zur Zeit des Finsternismaximums im Süden (fehlt die nördl. Grenze im Norden) am Horizont.   Gebiet D (Fig. 13): Bei diesem Typ kann das Maximum der Finsternis nirgends zur Mittagszeit beobachtet werden, da die nördliche Begrenzungslinie des Finsternisgebiets die Mittagslinie nicht schneidet. Am Sonnenuntergangsgebiet liegt daher (zwischen BN) noch ein kleines Finsternisgebiet.
Gebiet E (Fig. 14 partielle Finsternis): Eine Zentrallinie mit Totalitätszone fehlt. Die größte Verfinsterung tritt in Punkt »GP« ein (sichtbar am Horizont). Dieser Punkt ist der Minimalabstand zwischen Mondschattenachse u. Geozentrum (c Gamma).  g ist sowohl von der Breite, als auch von der Entfernung des Mondes abhängig (im Gegensatz zu den Perigäum-Finsternissen, tritt bei nördl. ekl.  Br. und Mond im Apogäum die Kernschattenkegelachse wesentl. nördlicher am Erdrand ein).
Gebiet F (Fig. 15): Bei diesem Typ entsteht ein kleines Totalitätsgebiet (TG) am Horizont (auf der Linie Finsternismaximum bei Sonnenuntergang oder auf der Linie Finsternismaximum bei Sonnenaufgang). 0.9972 <c < 1.026.
Datum................:  3.10.2043            
Uhrzeit...............:   0                                                                                                                                          
Geograph.  Breite:   0    
Geograph.  Länge:   0
NN....................:    0  
Ort.....................:  -
Taste F - Lunation: 1. Taste O - Erdglobus mit Totalitätsgebiet. Gewählter Anblick der Erde aus 28347 km Entfernung gesehen.  Erdglobusmitte wählen: -61°54' s. Br., 41°36' w. L. Totale Phase: Uhrzeit der Finsternismitte 3h01m47s. Lage der Mondkernschattenkontur im Totalitätsgebiet (nördl.  Grenze) zwischen 2h52.19m bis 3h10.75m TT.
Dieser Finsternistyp ist total aber nicht zentral, da dieser Erdort nur ein wenig in den äußeren Randbereich des Kernschattenkegelmantels eintaucht, die Schattenachse die Erdoberfläche jedoch nicht tangiert.
Gebiet G (Fig. 16): Dieser Finsternistyp ist entweder nur am Vor- oder Nachmittage sichtbar. Ein Auf- oder Untergangsgebiet fehlt. In diesem Gebiet tangiert der Mond die Sonne nur ein wenig. Die größte Verfinsterung tritt in Punkt »GP« ein.

Die Örter der Gesamtlinie -0°50´ des Sonnenfinsternisgebiets mit dem Sonnenoberrand exakt am scheinbaren Horizont, stimmen nur bei identischer Ortszeit mit jenen des Boges -0°50 (bis Dämmerungsbogen -6°) exakt überein.

Da Merkur und Venus innere Planeten sind, die innerhalb der Erdbahn liegen, können Durchgänge unter bestimmten Bedingungen beobachtet werden. Das ist der Fall bei einer unteren Konjunktion (Planet zwischen Sonne u. Erde) nahe dem auf- oder absteigenden Knoten der Planetenbahn mit der Erdbahn. Merkur, Venus, Erde und Mars sind für Jupiter innere Planeten, deren regelmäßige Sonnendurchgänge von Jupiter aus sichtbar sind, wenn die untere Konjunktion nahe dem jeweiligen Bahnknoten stattfindet. In unterer Konjunktion ist die scheinbare Planetenbewegung rückläufig nach Westen gerichtet, so daß der Planet am Ostrand der Sonne ein- u. am Westrand austritt.

Merkur passiert gegenwärtig am 6. bis 15, November den aufsteigenden und am 6. bis 11. Mai den absteigenden Bahnknoten, Venus am 6. bis 11. Dez. und 6. bis 11. Juni. Die säkulare Zunahme der ekl. Länge der Knoten verschiebt das Datum im Laufe der Jahrhunderte. Durchgänge nahe der Sonnenmitte im November finden nahe dem Perihelion des Merkur statt, die etwa 2.5 Std. kürzer sind als Maidurchgänge nahe dem sonnenfernsten Bahnpunkt (Aphelion).

Merkurdurchgänge finden 13mal im Jahrh. statt, während innerhalb zweieinhalb Jahrhunderte nur 4 Venusdurchgänge stattfinden. Bei Merkur besteht ein 46 jähr. Wiederholungsrhythmus. Merkur- durchgänge ereignen sich in 13, 7, 9.5, 3.5, 9.5 u.  3.5 (=46) Jahresabständen.
Bei Venusdurchgängen besteht ein Wiederholungsrhythmus von 243 Jahren. Venusdurchgänge ereignen sich in 8,121.5,8,105.5 (=243) Jahresabständen. Der Wiederholungsrhythmus ist vom Bahnknotenabstand bei Durchgangsbeginn abhängig.

145 synodische Merkurumläufe (von einer unteren Konjunktion bis zur nächsten) zu 115.87888 Tagen machen 16802.234195 Tage, und 191 drakonitische Umläufe (aufst. Knotendurchgänge) zu 87.9691317 Tagen machen 16802.104155 Tage aus (= 46.0012 siderische julian. Jahre). Die 0.13 Tage Differenz zwischen synod. und drakonit. Umläufen, bewirkt eine Verschiebung der Durchgangssehnen der Serie. 46jährige Maiserien beginnen am Nordrand und enden am Südrand der Sonne, die 46j.  Novemberserien beginnen am Südrand und enden am Nordrand . Etwa alle 217 Jahre beginnt im Mai oder November eine neue Serie. In diesem Jahrhundert finden 10 Mai- u. 19-20 Novemberserien statt. Da die Novembertransite nahe dem sonnenfernsten Bahnpunkt (Aphelion) der Merkurbahn eintreten, ergibt sich die doppelte Anzahl Serien. Pro 46j. Periode rücken die Maitransite (32' scheinbarer Sonnendurchm./10 Perioden =) um 3.2' pro Periode vor, wobei die 10. Peridode am Südrand endet. Die Sehnen der Novemberdurchgänge rücken pro 46jährige  Periode um 32'/19 = 1.7' vor, wobei die 19 oder 20 Periode am Nordrand der Sonne endet. Die 46j. Periode einer Serie sind mit demselben Buchstaben gekennzeichnet.

Zwischen zwei unteren Konjunktionen (synod. Umlauf) der Venus vergehen 583.92135 Tage, zwischen zwei drakt. Durchgängen durch den aufst. Bahnknoten 224.6989291 Tage. 152 synod.  Umläufe machen 88756.0452 Tage, 395 drakonitische Umläufe machen 88756.06995 Tage aus (= 242.99658 sid. julian. Jahre). 243*365.2425 gregorianische Jahre = 88753.9275 Tage. Die Differenz zwischen 243j. gregor. Kalenderjahren und 152 synod. unteren Konjunktionen von 2.116 Tagen, verursachen die 2-3 Tage (je nach Schaltjahren) Differenz zwischen dem Datum zweier Venusdurchgänge.
Der Unterschied zwischen 152 synod. u. 395 drakont. Umläufen von 0.025 Tagen, verursacht die Verschiebung der Durchgangssehne pro 243j.  Periode um 1.7' (Junidurchgänge etwa 1') zum Südrand der Sonne. Wegen des kleineren Sehnenabstandes kommen ungefähr 32' Sonnendurchm. /((1.7´+1')/2) =  24 Perioden vor. Die 243j.  Periode einer Serie ist mit demselben Buchstaben gekennzeichnet.

Die Serien wurden von J. Meeus näher untersucht.  Vgl.  J. Meeus, The Transits of Mercury, Journal of the British Astronomical Association , Vol.  67 No. 1, p.  30-36; J. Meeus, The Transits of Venus, Journal of the British Astronomical Association, Vol.  68 No. 3, p.  98-108.

Parallaxe der Sonne

Aufgrund der von Kepler entdeckten Bahngesetze, läßt sich die mittl. Entfernung der Planeten aus ihrer Umlaufzeit berechnen (3. Bahngesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten [T u. T1] zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnachse [a u. a1]: a3 : a13  =  T2 : T12.  Proportion: a3*T12 = a13*T2. Umlaufzeit Erde T = 1 Jahr, a = 1 (mittl.  Entf.  Erde - Sonne), Venus T1 = 0.61521 Jahre, a1 = ? (1 * 0.615212)/1 = 0.37848333 = a1 0.723351 AE.
Bei Berücksichtigung des Gravitationsgesetzes ist die Umlaufzeit mit der jeweiligen Masse (Sonnenmasse = 1) zu multiplizieren (1+m)*T2 : (1+m1)*T12. Diese relativen Abstände ergeben zwar ein maßstabgetreues Modell des Planetensystems, aber noch fehlte der absolute Entfernungsmaßstab.

Einen ersten Versuch die Sonnenparallaxe aus dem Winkelverhältnis Sonne-Erde-Mond abzuleiten, unternahm bereits Aristarch von Samos um 320 v. Chr. Aristarchs Versuch wurde 1650 von G. Wendelin wiederholt. Der Belgier erhielt 14'' als Resultat der Sonnenparallaxe. Das Parallaxenverfahren zur Entfernungsbestimmung wandte Kepler 1620 auf den Planeten Mars an. Aus Beobachtungen der Marsparallaxe, unter Anwendung des 3. Keplerschen Bahngesetzes, berechneten Cassini u. Richter 1672 den Erdhalbmesser in Sonnenentfernung zu 9.5''.

Im Jahre 1663 schlug J. Gregory vor, aus Venusdurchgängen die mittl. Sonnenentfernung zu bestimmen. Halley beobachtete am 7.11.1677 den Merkurdurchgang von St. Helena aus u. befürwortete seitdem diese Idee.  In unterer Konjunktion erreicht die Venus nur 1 - 0.72333 = 0.2767 AE der Strecke Erde - Sonne. Ihr Durchgang erschien daher für Parallaxenmessungen ideal. Der Astronom Nicholas Louis de Lacaille verwendete 1761 diese Methode als erster. Expeditionen gingen auf jahrelange Weltreise um den Venusdurchgang 1761 u. 1769 von möglichst vielen Erdorten aus zu beobachten, die für manche Teilnehmer tragisch verlief.

Der Astronom Le Gentil de la Galazière (1725-92) brach auf um den Venusdurchgang am 6. Juni 1761 von Indien aus zu beobachten, konnte jedoch seine Instrumente nicht rechtzeitig aufbauen, um den Durchgang mit erforderlicher Präzision beobachten zu können. Die Expedition scheiterte am Siebenjährigen Krieg, der auch den Kolonialhafen von Pondicherry (Indien) nicht verschonte. Le Gentil blieb, um den nächsten Venustransit 8 Jahre später abzuwarten. Am 3.6.1769 war der Himmel in Pondicherry jedoch bedeckt. Die 11jährige Odyssee des Astronomen zwischen Frankreich u.  Indien ging mit zwei erlittenen Schiffbrüchen einher. Der Venusdurchgang 1761 u.  1769 wurde von 77 Stationen auf drei Erdteilen beobachtet.

Die genaue Registrierung der Kontaktzeitpunkte ermöglicht die Berechnung der Durchgangssehne. Der Vergleich des Sehnenabstandes verschiedener Beobachtungsstationen, ermöglicht mit Hilfe des 3. Keplerschen Bahngesetzes die Berechnung der Solarparallaxe bzw. des scheinbaren Winkelhalbmessers der Erde aus der Entfernung der Sonne gesehen. Zu diesem Zweck ließ sich 1769 der Astronom Charles Greene (1735-71) von Kapitän James Cook, der auf dieser Reise Australien entdeckte, auf eine günstige geograph.  Position bringen. Auf Tahiti beobachteten Greene, Cook u. Solander durch Spiegelteleskope (61 u. 91.5 cm Brennweite) in 140facher Vergrößerung den Venusdurchgang von der Matavie-Bucht aus (Otaheite: -17°29'13'' s.  Br., -149°28'47'' w.  L.).  Greene verstarb 1771 auf der Rückfahrt.

Die Länge einer Durchgangssehne sollte mindestens auf 2 Zeitsekunden genau bestimmt werden.  Kurz vor dem Ein- bzw. Austritt erscheint dem Beobachter die Venus in schwarzer Tropfenform verzerrt, da Venus- u. Sonnenrand ineinanderfließen. Die Kontaktzeitpunkte sind daher nicht mit notwendiger Genauigkeit festzulegen. Das schwarze Band (sog. »Lichtfaden«) wird auch bei Durchgängen des Merkur beobachtet, der keine nennenswerte Atmosphäre besitzt. Der Kontrastabfall zwischen Sonnen- u. Planetenrand aufgrund der Auflösungsgrenze opt. Systeme scheint dafür verantwortlich zu sein. Lalande deutete es 1771 als Erscheinung der Irradiation, die den wahren Sonnenhalbmesser um 1.5'' vergrößert.
Encke schrieb 1824 zu Lalandes Erklärung: »So lange Venus einen Theil des wirklichen Sonnenrandes uns verdeckt, hört auch die bei demselben statt findende Irradiation auf. Der scheinbare Sonnendurchmesser wird folglich in der Gegend der Venus so lange durch einen schmalen dunklen Streifen verdeckt bleiben, bis diese den wahren Sonnendurchmesser wieder zu sehen erlaubt; in diesem Augenblick beginnt aber auch wieder die Irradiation sichtbar zu werden, und Venus steht scheinbar einige Secunden innerhalb der Sonnenscheibe« (Encke, »Der Venusdurchgang von 1769«, Gotha 1824). 

Das Phänomen wäre dann durch Satelliten auch außerhalb der Erdatmosphäre zu beobachten. Während des Eintritts bzw. Austritts am Sonnenrand (1. u. 4. Kontakt) erscheint m. W. kein schwarzes Band bzw. Tropfen zwischen Sonnen- u. Mondrand. Diese Erscheinung tritt allerdings oft bei Sonnenuntergängen bzw. -aufgängen auf, wenn Sonnenrand und Horizont sich scheinbar berühren bzw. ineinanderfließen. Der dabei entstehende Lichtfaden bzw. Tropfen zweier inneinderfließender Ränder ist bei einem von der Sonne beleuchteten Horizont natürlich nicht schwarz; denn die Kontrastwirkung eines vor der Sonne vorüberziehenden Planeten spielt hierbei keine Rolle. Diese optisch vergleichbare Erscheinung läßt sich daher eindeutig meterologisch-optisch begründen (Refraktionsanomalie).                                              
Prof. R. Müller in Astronomische Begriffe: »Das Phänomen hat nie eine rechte Deutung erfahren; vielleicht wird es durch eine optische Täuschung, die auf Kontrasterscheinungen zurückgeht, hervorgerufen, vermutlich spielt aber auch die dichte Atmosphäre, die den Planeten Venus umgibt, beim Zustandeskommen der störenden Erscheinung eine Rolle«.    

Das Tropfenphänomen mindert erheblich die Genauigkeit der Messungen. Die damalige Methode die mittl. Entfernung Erde - Sonne aus Venusdurchgängen zu bestimmen ist heute nur noch historisch interessant; denn wie sich zeigte, ergeben Parallaxenmessungen an Planetoiden viel bessere Resultate, da z.  B. der Planetoid Eros bis auf 1/6 der Entfernung der Sonne in Erdnähe gelangt. Die besten Werte werden seit 1961 mit Hilfe der Radartechnik erzielt.
 
Solare Äquator-Horizontal-Parallaxe:
1801 - 1833  9.000000'' Mars/Venus
1834 - 1869  8.577600'' Encke 1824.
1870 - 1881  8.950000'' Leverrier 1858.
1882 - 1900  8.848000'' Newcomb 1867.
1901 - 1967  8.800000'' Paris 1896.
1968 - 1983  8.794050'' IAU 1964.
1984 -          8.794148'' IAU 1976.

Die IAU-Konferenz 1976 akzeptierte 8.794148'' als neue Konstante der Sonnenparallaxe: 149597870 km = 1 AE = (Entfernung Erde-Sonne) Erdradius 6378.14 km / Tangens Parallaxe.

Projektionsschirm

Niemals direkte Sonnenbeobachtungen vornehmen, auch nicht mit Glasfiltern, die im Strahlengang unter der Hitzeentwicklung des glühendheißen Brennpunktes leicht zerspringen können, auch Objektivfolienfilter sind abzulehnen - das Auge kann sonst schweren Schaden nehmen und für immer erblinden. Statt dessen projiziert man sicherheitshalber das Sonnenbild auf einen Projektionsschirm oder eine Dialeinwand (auch hier Vorsoge treffen, daß der gebündelte Strahlengang keinen Schaden anrichtet).

Damit auch teure Zusatzgeräte (Okulare, Filter, Mikrometer usw.) keinen Schaden nehmen, verwendet man am besten Objektiv-Sonnenfilter (vgl.  M. Schwab, Neues Objektiv-Sonnenfilter aus Glas, Sterne und Welraum, Heft 1/1990, S. 51 und 2/1995, S. 111. Produkte (Sonnen- u.  Farbfilter) der Glaswerke Schott, Mainz). H-Alpha-Filter (T-Scanner) zum Beobachten von Protuberanzen (z.  B. in Sterne und Weltraum, Heft 19/1995, S. 760).

Die Beobachtung der Sonnenflecke u. Planetendurchgänge mit der Projektionsmethode ist am gefahrlosesten. Das Zenitprisma des Teleskops lenkt das Sonnenbild auf einen kleinen Projektionsschirm auf dem sich die Sonnenflecke klassifizieren u. nachzeichnen lassen, oder projiziert einen Planetendurchgang großformatig auf eine Dialeinwand.
                           
Die Okularprojektion ist auch eine Methode der Astro-Photographie, aber statt der Photoplatte (und der hinter dem Okular befestigten objektivlosen Spiegelreflexkamera) wird hier ein Projektionsschirm verwendet.
d=Objektdurchmesser (Sonne), w=Abstand Schirm oder Schichtträger (Fotoemulsion), f=Okularbrennweite, F=Fernrohrbrennweite, s=Objektdurchmesser im Primärfokus des Fernrohres, x=Distanz des Okularbrennpunktes vom Primärfokus, g=scheinbarer Winkeldurchmesser des Objektes (d,w,f,F,s,x in Millimeter).

s=F*TAN(g); d=(f/x)*s; w=(f*(f+x))/x; x=f2/(w-f). Weitere Beziehungen: f=w*(d/s+1)-1. f=x*(d/s).

In praxi wird man den Abstand w des Schirms/Photoschicht vom Okular messen: w=200 mm. x findet man dann aus: x=f2/(w-f).
Beispiel. Sonnendurchmesser am 17.5.1993, um 12 Uhr = 0.527105 Grad (Radius 15'48.79'') / 57.29578 = g = 0.00919972 rad (Grad in RAD, da Computer Winkelfunktionen meist in RAD berechnen (1 Radiant = 1 rad  = 180°/o 57.2957795131° ;  o= 3.14159265359).
Teleskopbrennweite F=1000 mm. s 9.19998 mm = F 1000*TAN(g 0.00919972). Okularbrennweite f=15 mm. x 1.2162 mm = f 152/(w 200 - f 15). Bei w=200 mm wird der Sonnendurchmesser d=113.47 mm groß auf den Schirm projiziert.

Bei welchem Abstand w wird s=20 mm groß, wenn eine am Okularauszug angeschraubte Kleinbildkamera verwendet wird. Der Schirm hat dann das Kleinbildformat 24x36 mm². ARCTAN(24 mm / F 1000) = g 0.023995 rad. s 24 mm = F*tan(g). f 15 mm = w 27.5 mm * (d 20/s 24 mm + 1)-1.  Der Okularauszug ist um x=18 mm zu verstellen u. die Photoschicht in w 27.5 mm vor dem Okular anzubringen. Wegen des Kippspiegels der Spiegelreflexkamera liegt der Mindestabstand jedoch bei 40 mm. x=29.9904 mm.Verwendet man ein f = 25 mm Okular ist w=45.84 mm.

Panorama der Sonnenfinsternisse

Datum.................:  11.8.1999
UT = TT -  DT....:  63s
Uhrzeit................:  0 UT
Geograph. Breite:  48o8´48´´    
Geograph. Länge:  11o36´30´´      
NN......................:  600        
Ort......................:  München
Taste F - Intervall Lunation: 223 Lunationen (alle Finsternisse mit Abstand 1 Saros).

Ab Datum erscheinen mehrere Hundert Sonnenfinsternisse zu Auswahl, daher können alle Sonnenfinsternisse eines im eingegebenen Lunationsintervall (1 Lunation, Saros, Inex usw.) gewählt werden. Kolumne 1 - 6: Datum u.  Uhrzeit der Sonne/Mond-Konjunktion in Rektaszension (AR) oder ekl. Länge/Breite, Lunatiosnummer ab Neumond 1.1.1900 mit Lunation Nr. 0 (vor 1900 Vorzeichen neg.), Sarosnummer, Finsternisart, kleinster Abstand Schattenachse/Erdzentrum in Erdradien (c), ekl.  Länge des wahren Mondknotens u.  Differenz des geozentr. scheinbaren Winkelhalbmessers Mond - Sonne (d').

Lokaler Finsternisverlauf

Angabe aller  Finsternisse, die an einen beliebigen Ort der Erde lokal eintreten.
Kolumne 1 bis 5: Datum, Uhrzeit, geographische  Breite u.  Länge für Anfang u. Ende der Finsternis.  Die Finsternis beginnt (partiell) am 11.8.1999 um 8h26.24m UT auf 30°20.0' n. Br. u. -44°29.3' w. L. (zwei Markierungskreuze [s. Fig. 12] kennzeichnen den Ort an dem die Finsternis partiell beginnt bzw. endet). Die Zentralität (Finsternis total aber zu Beginn nicht zentral) beginnt z.  B. am 11.8.1999 um 9h30.35m UT auf 41°1.8' n. Br. u. -65°5.1' westl. Länge.
Zeile 3: Finsternis zu Mittag um 10h51.21m UT (Konjunktionszeit Sonne/Mond in Rektaszension) auf 46°47.0' nördl.  Br. u. 18°30.7' östl.  Länge.
Die geograph. Breite u. Länge der Finsternis zu Mittag (Azimut 0°) oder Mitternacht (Azimut 180°) wahrer Ortszeit (WOZ) bildet den Erdglobusmittelpunkt.
Zeile 6: Kleinster Abstand der Mondschattenkegelachse vom Erdzentrum (c Gamma) um 11h3.09m UT (12h3.09m MEZ) mit g 0.50620 Erdradien (Finsternismitte).
Liegt g zwischen 0.874 u. 0.997 kann es vorkommen, daß auch bei einer sonst zentralen Finsternis keine Zentrallinie zu Mittag oder Mitternacht existiert (Finsternismitte zur Uhrzeit der Minimaldistanz Zentrallinie/Erdzentrum).
Liegt g zwischen 0.968 u. 0.9974 kann es vorkommen, daß trotz Zentralität keine maximale nördl. oder südl. Begrenzung der Zentrallinie (Finsternis total oder ringförmig) existiert (Fundamentalebene: Kernschattenrand über dem Erdrand).
Liegt g zwischen  ±0.9972: Finsternis zentral (Erdabplattung ist zu 1/298.257 berücksichtigt: 0.99718 = í(1-(1-(1-1/298.257)2)*cos2 23.45° [jeweiliger Neigungswinkel der Erdachse]). g positiv, Finsternis auf der nördlichen, g negativ, auf der südl. Hemisphäre.
Zeile 12 bis 19: Datum, Uhrzeit u. Positionswinkel des lokalen Phasenablaufs. Der topozentr. sphärische Positionswinkel des Mondmittelpunkts bzw. der Kontakte wird vom zenitnächsten Punkt der Sonne (Vertex) entgegen dem Uhrzeigersinn, vollkreisig (0° bis 360°) gemessen. Die lokale Totalität für München beginnt um 10h37.22m UT.  Vertex 138.91°.  Topozentr.  Sonnenhöhe 56.083°, Azimut 341.818°.
Zeile 21 bis 23: Datum u. Uhrzeit der größten Verfinsterung für den eingegebenen Ort (lokaler Verlauf). Positionswinkel, Verfinsterungsgrad in Prozent des Sonnendurchmessers, topozentr.  Höhen- u.  Azimutangabe der Sonne zu diesem Zeitpunkt. Die Finsternis ist in München total (100.96 %) um 10h38m20.7s UT. Positionswinkel (Vertex) 205.67°. Nächste in Deutschland total sichtbare Sonnenfinsternis am 3.9.2081.
Tabelle der Finsternisdaten
 
Taste T: Kolumne 1 bis 7: Datum, Uhrzeit, geograph. Br. u. Länge der Zentrallinie. Kolumne 5: Jeweilige Sonnenhöhe ab Sonnenauf-/-untergang (mit oder ohne Berücksichtigung der Refraktion).  Kolumne 6: Zeitdauer der Totalität (negativ = totale Finsternis, positiv = ringförmige Finsternis).  Kolumne 7: Genäherte Entfernung nördlichen u. südlichen Begrenzungsortes der Zentrallinie in Kilometer (Breite der zentralen Bedeckungszone). Genaue Entfernung bzw.  Breite der zentralen Bedeckungszone nach:
x=(b1+b2)/2; y=(b1-b2)/2; z=(l1-l2)/2 (Erdabplattung: f = 0.003352813178)
S =  sin(y)2 cos(z)2 + cos(x)2 sin(z)2
C = cos(y)2 cos(z)2 + sin(x)2 sin(z)2
arctan w = íS / C (w in RAD)
A = í(S*C)/w; B = 2*w*6378.14; C1 = (3*A-1)/(2*C); C2 = (3*A+1)/(2*S).
d (in km) = B*(1+f*C1*sin(x)2*cos(y)2 - f*C2*cos(x)2*sin(y)2)
d (in Grad) = (d*180)/20037.51777 (Annuaire du Bureau des Logitudes pour 1950, Paris, S. 145).
b1 = geograph.  Br. des nördl. Begrenzungsortes, l1 seine Länge; b2 = geographische Breite des südl.  Begrenzungsortes, l2 seine Länge (Breite u. Länge b1, b2, l1, l2 zur gleichen Uhrzeit). Taste P: Ausgabe der genauen Breite der Zentrallinie in km u. Angabe der geograph. Br. u. Länge der Schattenmitte mit südl. u. nördl.  Begrenzung nach Längen- oder Datum - u. Uhrzeiteingabe.
Kolumne 1 bis 6: Datum u. Uhrzeit. Geographische Breite u.  Länge der nördl. u. südl. Begrenzung der Zentrallinie.

Partielle Finsternisse

Datum..............:  25.2.1971
UT = TT - DT..:  41s   
Uhrzeit..............:  0 UT
Geograph. Breite:  53o33´    
Geograph. Länge:    9o58´      
NN....................:  30        
Ort....................:  Hamburg
Taste F - Lunation 1. Die größte Phase (78.76 %) der Verfinsterung tritt um 9h37.07m UT auf 61°26.9' n. Br. u. -33°30.6' westl. Länge ein (wegen der Erdabplattung differieren die Zeitpunkte der größten Verfinsterungsphase u. der geringsten Annäherung der Schattenachse an den Erdmittelpunkt bis zu 20 Sek.). Der lokale Verlauf dieser Finsternis für Hamburg zeigt lediglich um 9h52m32.1s UT, einen max. Verfinsterungsgrad von 59.3 % des Sonnendurchmessers.Vertex 341.92°. Beginn der partiellen Phase um 8h49.92m UT. Vertex 285.88°. Sonnenhöhe 18.286°, Azimut 317.152°.

Spalte 3: Minimaldistanz Geozentrum-Mondschattenachse einer partiellen Finsternis stets g >0.9972. Die kleinste Distanz der Schattenachse vom Erdmittelpunkt erreicht diese Finsternis um 9h37.34m UT mit g 1.11873 Erdradien.
Taste G - Sonnenglobus. Datum: 25.2.1971, Uhrzeit: 9.52321h, geograph. Breite: 53.33°, geograph.  Länge 9.58°, NN 30 m. Max. Phase für Hamburg um 10h52m32.1s MEZ 59.3 % des Sonnendurchmessers (bedeckte Fläche der Sonne 50.29 % - Taste M).
 
Zeitgleichung
 
Taste C: Obere Kulminationszeit der Sonne am 1.2.1988 auf beispielsweise +6°54'10'' östl. Länge: 11h45m54.48s UT. Länge in Zeit: +6.90277778°/15° = 0.460185185 Std. (= +0h27m36.67s).  11h45m54.48s UT + 0h27m36.67s Länge = 12h13m31.15s MOZ obere Kulminationszeit auf +6°54'10'' östl. Länge. Die Differenz (Zeitgleichung) zwischen wahrer (WOZ) minus mittlerer Ortszeit (MOZ) beträgt +13 Min. 31.15 Sek. Die wahre Sonne kulminiert im Süden stets um 12 Uhr WOZ. Die MOZ beträgt dann 12h WOZ +13 Min. 31.1 Sek. (Zeitgleichung) = 12h13m31.1s MOZ  = 11h45m54.4s Weltzeit + 1h = 12h45m54.4s mitteleuropäische Zeit (MEZ).

Obere Kulminationszeit der Sonne am 1.2.1988 auf beispielsweise +6°54'10'' östl. Länge: 11h45m54.48s UT. Länge in Zeit: +6.90277778°/15° = 0.460185185 Std. (= +0h27m36.67s).  11h45m54.48s UT + 0h27m36.67s Länge in Zeit = 12h13m31.15s MOZ obere Kulminationszeit auf +6°54'10'' östl. Länge. Die Differenz (Zeitgleichung) zwischen wahrer (WOZ) minus mittlerer Ortszeit (MOZ) beträgt +13 Min. 31.1 Sek. Die wahre Sonne kulminiert im Süden stets um 12 Uhr WOZ. Die MOZ beträgt dann 12 Uhr WOZ +13 Min. 31.1 Sek. (Zeitgleichung) = 12h13m31.1s MOZ ( = 11h45m54.4s Weltzeit + 1h = 12h45m54.4s mitteleuropäische Zeit (MEZ).

MOZ u. WOZ sind 4 mal im Jahr identisch: am 16. April, 14. Juni, 1 Sept. u. am 25. Dez. Die max.  Differenz erreicht die Zeitgleichung (ZG) am 12. Febr. mit +14.3 Min., am 14. Mai mit -3.7 Min., am 27. Juli +6.4 Min. u. am 3.  Nov. -16.4 Min.
Zeigt die Sonnenuhr am 3. Nov. 12 Uhr WOZ an, zeigen die bürgerlichen Uhren dagegen erst 11 Uhr 43.6 Min. MOZ. Die mittl. Sonne kulminiert somit erst 16 Min. nach der wahren.
Am 11. Febr. um 12 Uhr WOZ beträgt die Zeitgleichung +14.3 Min. Die wahre Sonne kulminiert sonach um 12h14.3m mittl. Ortszeit. (MOZ). Am 3. Nov. kulminiert die wahre Sonne um 11h43.6m MOZ.Um 12 Uhr MOZ ist es daher bereits 12h16.4m WOZ. Der genaue Kulminationspunkt (Mittagszeit) ist seit 16.4 Min. überschritten (die Sonnenhöhe nimmt ab).                                         

Die Zeit von Sonnenaufgang bis Mittag ist der halbe Tagebogen (T) der Sonne, die demnach um 12 Uhr WOZ + ZG - T auf bzw. um 12 Uhr WOZ + ZG + T untergeht.

Am 3. Nov. beträgt ihr halber Tagebogen T =  4h46m (auf 50° geographischer Breite):
Aufgang:    12h WOZ - ZG 16.4m - T 4h46m =   6h57.6m MOZ.
Untergang: 12h WOZ - ZG 16.4m + T 4h46m = 16h29.6m MOZ.
Länge des Vormittags 12h MOZ - 6h57.6m MOZ = 5h02m.
Länge des Nachmittags 16h29.6m MOZ - 12h MOZ = 4h30m.
Differenz: 5h2m - 4h30m = 32 Min. Der Nachmittag wird daher im Herbst bis zu 32 Min. kürzer als der Vormittag. Daß die Tage kürzer werden bemerkt der an die bürgerlichen Uhrzeit gewöhnte Mensch gewöhnlich Anfang November: »Es wird schon früh dunkel«.

Der andere Extremwert ist am 12. Febr. mit +14.3 Min. Ihr halber Tagebogen beträgt dann T = 4h51m.
12h WOZ + ZG 14.3m - T 4h51m  =  7h23m MOZ Sonnenaufgang.
12h WOZ + ZG 14.3m + T 4h51m = 17h05m MOZ Sonnenuntergang.
Länge des Vormittags 12h - 7h23m = 4h37m.
Länge des Nachmittags 17h05m - 12h = 5h05m. Der Nachmittag ist nun 28 Min. (fast doppelter Zeitgleichungsbetrag) länger als der Vormittag. An der Tageslichtzunahme des Nachmittag fühlt man bereits Mitte Februar den kommenden Frühling.

Die Zeitgleichung (Stundenwinkel der wahren Sonne minus Stundenwinkel der mittl. Sonne) bildet die Differenz zwischen der wahren Sonnenzeit (Sonnenuhr/sundial) und mittl. Sonnenzeit (UT) künstlicher Uhren.Vorzeichen der Zeitgleichung: WOZ (wahre Ortszeit) + (zgl) Zeitgleichung = MOZ (mittl.Ortszeit). Vgl. Begleittext des Himmelsglobus.

D T = 46 Sek. 1975. Meridandurchgang der Sonne für Greenwich = 0° geograph. Länge:
 30.1.1975 12h13m13.49s
 31.1.1975 12h13m24.42s
 01.2.1975 12h13m33.11s
 02.2.1975 12h13m40.99s
 03.2.1975 12h13m48.09s                                                                                                                  

Durchgang der Sonne am 1.2.1975 am U.S. Naval Observatory (+38°55'14.0'' n. Br. -77°3'55.95'' = -5h08m15.73s westl. Länge, NN 86 m)?
Zeitgleichung der Sonne am 1.2.1975 +13m33.11s (zum Zeitpunkt des Meridiandurchgangs). Spätere Zeitgleichung (um die geograph. Länge des U.S. Naval Observatory): 5h8m15.73s = +13m34.86s (= mit höheren Differenzen interpolierter Wert, lineare Interpolation ergibt +13m34.97s). Meridiandurchgang der Sonne am 1.2.1975 U.S. Naval Observatory: 12h13m34.86s mittl. Ortszeit (MOZ) - (-5h8m15.73s) = 17h21m50.59s UT (Weltzeit). Der Globus gibt die tägl. Bewegung der Sonne (Aufgang, obere Kulmination Untergang, untere Kulmination) tabellarisch aus.

Sonnenfleckenaktivität
 
Die Sonnenbeobachtung erlaubt die Astronomieausübung am Tageshimmel. Nicht wenige Amateure richten ihr Augenmerk auf die gewaltigen Aktivitäten des Tagesgestirns, zumal zur Beobachtung der Phänomene (Protuberanzen, Granulation, Randverdunklung, Fackeln, Sonnenflecke, Rotation usw.) kleine Fernrohre ausreichen.

Interessant ist vor allem der Zyklus der Sonnenfleckenaktivität. Die langzeitliche Erfassung auf statistischem Wege ist von sehr großem wissenschaftlichen Wert, da der ernsthaft beobachtende und messende Amateur noch unbekannte Korrelationen nachweisen kann.                                                                                               
Jedoch müssen die Beobachtungsreihen viele Jahre umfassen, ehe an eine statistische Auswertung überhaupt zu denken ist. Nach 20 Jahren disziplinierter Beobachtung entdeckte der Apotheker und Liebhaberastronom Schwabe an Hand seiner Aufzeichnungen 1843 die 11j. Fleckenperiode. Die anfallenden Daten werden am besten mit einem Computer verarbeitet; denn die angelegten Dateien und Datenbanken erlauben eine schnelle maschinelle Auswertung in vielseitige numerische und graphische Richtungen. Interessant sind Untersuchungen im Zusammenhang mit der differentiellen Rotation und Strömungszellen.

Die Aktivität der Sonne beurteilt man naheliegenderweise nach der Zahl der auf ihr erscheinenden Gruppen- und Einzelflecke. Der Züricher Astronom Rudolf Wolf erfand den noch heute benutzten Algorithmus für die Berechnung der Sonnenfleckenrelativzahl und führte 1848 die sog. Fleckenrelativzahl (R) ein. Die Sonnefleckenrelatvzahl R wird zu Ehren des ehemaligen Direktors des Zuericher Observatoriums auch als Wolf-Zahl bezeichnet
Tägliche Sonnenfleckenraltivzahl: R=10*g+f; g=Anzahl der täglich vorhandenen Sonnenfleckengruppen, f=Anzahl der täglich vorhandenen Einzelflecke (Kerne bzw. Umbren).
Beispiel: Auf der Sonne wird eine B-Gruppe (Waldmeier-Klassifizierung Fig. 24) bestehend aus 11 Einzelflecken, eine C-Gruppe mit 16 Einzelflecke und eine E-Gruppe mit 25 Einzelflecken beobachtet. g=3 Gruppen (B,C,E), f 52=11+16+25. Die tägliche Relativzahl beträgt somit: R 82 = 10*3+52 (g erhält stets 10faches Gewicht). Bei nur einem sichtbaren Sonnenflecken ist R=11 (g=10, f=1).

Die internationale Relativzahl (R_int) wurde über 100 Jahre lang mit dem Fraunhofer-Normalrefraktor von 80 mm Öffnung u. 1100 mm Brennweite der Züricher Sternwarte gewonnen (internationale Züricher Standardskala). Die internat. Relativzahl (R_int) veröffentlicht heute das Sunspot Index Data Center (S.I.D.C], Belgien.
Instrumentengröße, Vergrößerung, Standort (Meereshöhe) Luftzustand (Bildqualität), Übung, Kondition (Aufmerksamkeit), Beobachtungstechnik (direkte Beobachtung oder Projektion) usw. spielen eine große Rolle bei der Relativzahlbestimmung. Die Relativzahlen eines einzelnen Beobachters wird daher nicht mit der internationalen Standardskala des S.I.D.C. übereinstimmen. Eigene Beobachtungen (R) sind daher aus Gründen einer einheitlichen Skala auf die des S.I.C.D zu reduzieren.
Internationale tägl. Relativzahlen: R_int=(10*g+f)*k. k = S.I.D.C Relativzahl R_int / persönliche Relativzahl R; k (oder K) = persönlicher Reduktionsfaktor. R_int=0 oder R=0 wird bei Mittelwertbildung von k nicht berücksichtigt.

Beispiel:
Datum  (Tag) R_int   R       k
1.                    5          7    0.714
2.                    2          3    0.667
4.                    2          0    -
5.                    0          0    -
8.                    3          0    -
9.                  20        18    1.111
Mittelwerte    5.3       4.6  0.8307

Umgekehrt kann man die veröffentlichten Relativzahlen des S.I.D.C (früher Sunspot-Bulletin der Eidgenössischen Sternwarte Zürich) mit dem k-Faktor die eigene Relativzahlenskala R reduzieren, um durch Schlechtwetterperioden bedingte Datenlücken zu schließen. Die frühere Züricher Sternwarte gebrauchte Beobachtungen von Amateuren mit zuverlässigem Reduktionsfaktor k, wenn schlechtes Wetter keine Monatsmittelbildung zuließ. Nicht nur die Periodizität, sondern auch das Auftreten eines großen Sonnenflecks ist Indikator der Sonnenaktivität, deren Kenntnis u.a. auch für bemannte Weltraumflüge von Bedeutung ist.

Die Beobachtungen sollten vom gleichen Beobachter, am gleichen Ort, Instrument u. bei gleicher Vergrößerung (Beobachtungstechnik) durchgeführt werden, da die Güte der Reduktionen von einem konstanten k-Faktor abhängen.
Den persönlichen k-Faktor findet man durch Ausgleichsrechnung (siehe Begleittext Himmelsglobus). Bedingungsgleichung (lineare Regression): R_int=a+k*R. In praxi wird man den k-Faktor natürlich mit weitaus mehr Daten ermitteln. Numerisches Beispiel:

Konvertierungssoftware GFA-BASIC Atari ST Computer zu PC (Betriebssystem WINDOWS)  s. “Sternbeobachtung”.
Die GFA-BASIC Trial-Version für WINDOWS 3.x/95/98 verarbeitet bis zu 1000 Programmzeilen der hier angegebenen Listings in GFA-BASIC. Die Trial-Version ist erhältlich bei der GFA Software Technologies GmbH ( http://www.gfasoft.gfa.net/de/index.htm), Volksgartenstr. 85-89, 41065 Mönchengladbach. Trial GFA-BASIC für Windows 16-Bit, letzteVersion 4.38 downloaden.

Die Programme sind in GFA-BASIC für WINDOWS geschrieben. Der evtl. über einen Scanner digitalisierte u. in einen Editor (WordPad) geladene Code kann auch einfach mit Hilfe der Befehle Ausschneiden (Cut) u. Einfügen (Paste) zwischen den Anwendungen exportiert bzw. in den GFA-Interpreter geladen werden. Bei Adaption des Codes z. B. auf einen  ATARI  ST mit GFA-BASIC-Interpreter sind alle Kommentarzeichen »//« durch  »!«  zu ersetzen. 

REM GFA-BASIC PROGR. FÜR WINDOW - PERSÖNLICHER K-FAKTOR
REM ALLE PROGR. DES BEGLEITTEXTES  AUCH AUF DER CD-ROM
OPENW #1
DIM p(20,20),ko(10),rz(100),r(100),g(100)
REM INTERNATIONALE ZÜRICHER    RELATIVZAHLEN (R_int) MONATSMITTEL  JAN.-DEZ. 1961
RESTORE relat_rint
FOR i = 1 TO 24
  READ rz
  rz(i) = rz
NEXT i
RESTORE relat_r
REM PERSÖNLICHE RELATIVZAHLEN (R)
FOR i = 1 TO 24
  READ r
  r(i) = r
NEXT i
REM INTERNATIONALE RELATIVZAHLEN Jan...Dez. 1975
relat_rint: //R_int
DATA 18.9,11.5,11.5,5.1,9.0,11.4,28.2,39.7,13.9,9.1,19.4,7.8
DATA 8.1,4.3,21.9,18.8,12.4,12.2,1.9,16.4,13.5,20.6,5.2,15.3
REM PERSÖNLICHE RELATIVZAHLEN
relat_r:  // R
DATA 15,9,13,3,11,10,30.2,43.5,14,10,19.4,10
DATA 8,4,23,19.5,12,13,2.3,16,14,22,4,15
REM ------------------------------------
n1 = 24 //EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN rz=a+b*R (b=k, rz=R_int)
REM NORMALGLEICHUNG FÜR ZWEI UNBEKANNTE (LINEARE REGRESSION)
REM  n1 a + [x]  b = [y]
REM [x] a + [xx] b = [xy]
REM AKKUMULATION [x] = x+x+x+x...,n; [xx] = x*x+x*x...,n
p = 0
x = 0
y = 0
xx = 0
yy = 0
xy = 0
FOR i = 1 TO n1
  x = x + r(i)           //[x] AUFSUMMIERTE GRÖSSEN
  y = y + rz(i)          //[y]
  xx = xx + r(i) * r(i)
  xy = xy + r(i) * rz(i)
  yy = yy + rz(i) * rz(i)
NEXT i
REM ---------------------
m = 2  //ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 2  //ANZAHL UNBEKANNTE
p(1,1) = n1
p(1,2) = x
p(1,3) = y   //RESIDUUM
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy //RESIDUUM
GOSUB elim
REM ------------------------------------------------------
REM SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE
vv = yy - y * ko(1) - xy * ko(2)
s = SQR(vv / (n1 - 2))
REM MITTL. FEHLER DER KOEFFIZIENTEN a,b
mfa = s * SQR(xx / (n1 * xx - x * x))
mfb = s * SQR(n1 / (n1 * xx - x * x))
REM KORRELATIONSKOEFFIZIENT (r = ±1 perfekte Anpassung, r>0.9 = gute Korrelation, geringe    Streuung, r<0.5 geringe Korrelation, starke Streuung der Werte, r=0 kein Zusammenhang zwischen x u. y)
r = (n1 * xy - x * y) / (SQR(n1 * xx - x * x) * SQR(n1 * yy - y * y))
REM SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE
REM NACH BEOBACHTUNGEN
vo = 0
FOR i = 1 TO n1
  vo = vo + (rz(i) - (ko(1) + ko(2) * r(i))) ^ 2
NEXT i
REM OUTPUT ---------------------------------------------
PRINT "KOEFFIZIENT a.....................: ";ko(1);" R"
PRINT "KOEFFIZIENT b.....................: ";ko(2);" R"  //k=b
PRINT "MITTLERER FEHLER DER EINZELMESSUNG: ";s;" R"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT a....: ";mfa;" R"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT b....: ";mfb;" R"
PRINT "KORRELATIONSKOEFFIZIENT...........: ";r
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME................: ";vv
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME................: ";vo
KEYGET u%
END
PROCEDURE elim
  FOR j = 1 TO n - 1     //GAUSS ELIMINATION
    nr = j
    no = ABS(p(j,j))
    FOR i = j + 1 TO n   //ZEILENPIVOT
      noo = ABS(p(i,j))
      EXIT IF (noo - no) < 0
      no = noo
      nr = i
    NEXT i
    IF nr = j THEN
      GOTO jum1
    ENDIF
    FOR i = j TO m + 1
      no = p(nr,i)
      p(nr,i) = p(j,i)
      p(j,i) = no
    NEXT i
    jum1:
    FOR i = j + 1 TO m + 1   //ELIMINATION
      p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
    NEXT i
    FOR i = j + 1 TO n
      FOR k = j + 1 TO m + 1
        p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
      NEXT k
    NEXT i
  NEXT j
  ko(n) = p(n,n + 1) / p(n,n)  //RÜCKSUBSTITUTION
  j = n
  REPEAT
    j = j - 1
    ko(j) = p(j,n + 1)
    FOR i = j + 1 TO n
      ko(j) = ko(j) - p(j,i) * ko(i)
    NEXT i
  UNTIL j < 2
RETURN

In der Regel ermittelt man die Relativzahlen der nördl. u. südl. Hemisphäre getrennt.

Sonnenflecke sind Ausbrüche kanalisierter Gaswirbelströme, die sich unter Einfluß der Wurfschwere ständig bilden. Mit Hilfe der Fliehkraft (die Sonne dreht sich am Äquator mit 2 km/s um die Achse) und weiteren kanalisierenden Kräften (Granulen), können die aus sehr leichten und flüchtigen Gasen (Wasserstoff und Helium) bestehenden mächtigen Wirbelströme die plastisch-elastische Sonnenoberfläche durchbrechen.
Der enge Zusammenhang dieser Turbolenzvorgänge mit der lokalen Zentrifugalkraft zeigt das vollkommene Fehlen der Flecke in Breiten über ±45 Grad, zudem besteht daher eine dickere bzw. dichtere Plastizität der Oberflächenschicht im polaren Bereich. (Läßt  evtl. auf den Einfallswinkel einer energiereichen stellaren Strahlungsquelle schließen, ähnlich der Lage der Erdachse bzw. Kette solar-terrestrischer Beziehungen [Gegenpol der Sonne - manche Anteile an kosmischer Strahlung erreichen Energiewerte um 10²⁰ Eletrovolt], die auch die Korona, Chrosmosphäre und Photosphäre speisen.)
Der noch in der Sonne liegende Schwerpunkt (Bary-Zentrum) des Planetensystems (die Sonne ist dadurch kein vollkommenes Gestirn), die damit einhergehenden Störwirkungen der Planeten (die 11j. Fleckenperiode entspricht der Umlaufzeit des massenreichsten Planeten Jupiter), periodisch veränderlichen lokalen Schwerkraft- und Fliehkraftanomalien (auch wegen den sehr schnell strömenden gigantischen Massenkonzentrationen) und die damit zusammenhängende Konsistenz der plastischen Sonnenoberfläche, könnten mit der 11j. Periode der Ausbruchsherde und dem Spörerischen Gesetz korrelieren; denn die Breitenabhängigkeit der entstehenden Flecke eines Zyklus, steht in engem Zusammenhang mit der Gravitation, Rotation und Translation (2 km/s am Äquator bis 1.4242 km/s auf 45° heliograph. Breite).
Die Granulen sind geordnete Kräfte, die durch zahllose kleinere Windungskanäle aufzuströmen scheinen. Erweitern sich diese zu einem direkten sehr großen Hauptströmungskanal, entwickeln diese gewaltigen bis 1000 km/s beschleunigten Gasturbolenzen (Durchm. bis zu 10fachem Erddurchmesser) starke lokale Magnetfeldkräfte, die labile Stellen der zähen plastischen Kruste (Niveaufläche der lokalen Schwerebeschleunigung u. Fliehkraft) aufreißen können.
Die Maxima und Minima des Zeitraums 1610 bis 1698 konnten ungefähr bestimmt werden. Ab 1749 liegen Monatsmittel der Relativzahlen vor, so daß sich die Sonnenaktivität sehr genau bis zu diesem Jahr zurückverfolgen läßt. Berücksichtigt man die Beziehung zwischen überlieferten Nordlichterscheinungen und Sonnenaktivität, sind die Sonnenfleckenmaxima und -minima vom Jahre 300 n. Chr. lückenlos nachweisbar.
Lt. Gleißberg wird die 11j. Fleckenperiode durch eine 78.6jährige Periode überlagert, die sich aus den unterschiedlichen Höhen der Maxima ergibt. Die Fläche der Sonnenflecke kann zwar als Aktivitätskriterium angenommen werden, aber wie sich zeigte, stimmen die Kurvenäste von Flächen- u. Relativzahlen weitgehend überein.
 
Mit Aufkommen der Fernrohre 1610 dürften Galilei, T. Harriot (1560-1621), der Jesuitenpater Christoph Scheiner aus Wald bei Mindelheim und der ostfriesische Pfarrer Johannes Fabricius etwa gleichzeitig und unabhängig die Sonnenflecke beobachtet haben. In seinem Werk »Rosa Ursina« veröffentlichte Scheiner 1635 die Ergebnis zehnjähriger Sonnenbeobachtungen mit der Projektionsmethode.

Mittelung täglicher Relativzahlen (R_int)
 
Langfristige Trends, zyklische Einflüsse und Korrelationen usw. werden durch Zeitreihen analysiert. Die stark streuenden Werte und zufälligen Fehler in einer Zeitreihe kann man durch exponentielles Glätten oder durch gleitende Mittelwertbildung eliminieren. Werden die täglichen Relativzahlen (R) in ein Diagramm eingetragen (vertikale Ordinate = Relativzahlen, Abszisse = Monatstage Jan. bis Dez.), fällt die große Streuung der Werte auf. Durch die Punkteschar legt man daher eine durch gleitende Mittelwertbildung geglättete Kurve, die sich den Punkten möglichst gut anpassen sollte.

Beispiel. Tägl. Rrelativzahl Jan. 1961:
Tag    R_int -  gleitende 3-Tage-Mittel                                                                                                         
1.         145
                 278
2.         133       = 130.0  2 Tag
                  242
3.         109       = 108.8  3 Tag
                 193
4.           84       =   88.8  4 Tag
                 162
5.           78       =   77.3  5 Tag
                 147
6.           69 
 ................................usw.

 145+133 = 278  (278+242)/4 = 130.0  = 2 Tag
 133+109 = 242  (242+193)/4 = 108.8  = 3 Tag
 109+ 84  = 193  (193+162)/4 =  88.8  = 4 Tag
  84 + 78  = 162  (162+147)/4 =  77.3  = 5 Tag
  78 + 69  = 147
..................................usw.
Die tägl. Relativzahlen (Beobachtungslücken ergänzt man durch veröffentlichte R_int-Angaben) werden addiert und durch die Anzahl Tage Monatstage dividiert. Man erhält die Monatsmittel der Relativzahlen. Die Monatsmittel werden addiert und durch 12 dividiert. Das Ergebnis ist das Jahresmittel. 12 Monatsmittel 1975: (18.9+11.5+11.5+5.1+9.0+11.4+28.2+39.7+13.9+9.1+19.4+ 7.8)/12 = Jahresmittel 15.5.
Entsprechend zu den gleitenden 3-Tage-Mittel bildet man zur Glättung bzw. Ausgleichung der Monatsmittel gleitende 3-,5-,7-,9- oder 13-Monate-Mittel, wobei man gewöhnlich nur eine ungerade Zahl verwendet, damit die gleitende Mittelung auf den Monatsbeginn fällt).

Numerisches Beispiel. Gleitende 13-Monate-Mittel werden zur Glättung der Jahresmittel verwendet.
Monatsmittel  R_int

Jahr 1749   R_int
1)          Jan.    58.0
2)        Febr.    62.6  -
3)       März     70.0  -
4)         Apr.    55.7  -
5)         Mai     85.0  -
6)          Jun.    83.5  -
                               971.1
7)           Jul.    94.8      = 81.6
                               986.4
8)         Aug.    66.3      = 82.8
                               999.7
9)       Sept.      75.9      = 84.1
                                943.0
10)     Okt.    75.5  usw.
11)    Nov.  158.6
12)     Dez.   85.2
Jahr 1750
13)       Jan.   73.3
14)     Febr.   75.9
 15)    März   89.2
 16)     Apr.   88.3
 17)     Mai    90.0

Gleitender Durchnitt: y2=(y1+y2+y3+...yn)/N, y3=(y2+y3+y4+...yn)/N ... yn-1 = (yn-2+yn-1+...yn)/N; N=Zahl der zu mittelnden Werte, yn=Werte (n=1,2,3...).

58+62.6+70+55.7+85+83.5+94.8+66.3+75.9+75.5+158.6+85.2 = Summe 971.1 (Monat 1-12).
62.6+70+55.7+85+83.5+94.8+66.3+75.9+75.5+158.6+85.2+73.3 = Summe 986.4 (Monat 2-13).
(971.1+986.4)/24 = 81.6 gleitendes 13 Monate-Mittel für den 7. Monat.
70+55.7+85+83.5+94.8+66.3+75.9+75.5+158.6+85.2+73.3+75.9 = Summe 999.7 (Monat 3-14)
(986.4+999.7)/24 = 81.6 gleitendes 13 Monate-Mittel für den 8. Monat.
55.7+85+83.5+94.8+66.3+75.9+75.5+158.6+85.2+73.3+75.9+89.2= Summe 1018.9 (Monat 4-15).
(999.7+1018.9)/24 = 84.1 gleitendes 13 Monate-Mittel für den 9. Monat usw.
F. Baur verwendet übergreifende 9 oder 17 Monate-Mittel, da 9 bzw. 17 Monate nahezu 10 bzw. 19 synod. Sonnenrotationen (27.2753 Tage) ausmachen.

Da die arithmetische Mittelung die Monatsmittel nicht sehr gut glättet, finden verschiede Verfahren Anwendung, von denen man sich eine bessere Ausgleichung verspricht.
Die Polynomausgleichung 3. bis 6. Grades kann abschnittweise verwendet werden (s. “Sternbeobachtung”).

Man wichtet die zentralen Monatsmittel bei einer 13-Monate-Mittelung größer als am Anfang oder Ende. Zürich gab die Monate am Anfang und Ende der 13-Monate-Mittelung halbes Gewicht.
58/2+62.6+70+55.7+85+83.5+94.8+66.3+75.9+75.5+158.6+85.2 = Summe 942.1.
62.6+70+55.7+85+83.5+94.8+66.3+75.9+75.5+158.6+85.2+73.3/2 = Summe 949.75.
(942.1+949.75)/23 = 82.3 gleitendes 13 Monate-Mittel für den 7. Monat usw.
Bei der Wichtung mit Binomialkoeffizienten (n/k) = (n(n-1) (n-2)...(n-k+1))/(1*2*3...k), multipliziert man das erste Monatsmittel mit (12/0) = 1, das zweite mit (12/1) = 12, das dritte mit (12/3) = 66 usw. Die Summe der mit den Koeffizienten multiplizierten Monatsmittel wird durch die Summe der Koeffizienten dividiert. Folg. Programm übernimmt die Wichtung mit Biomialkoeffizienten.

Gleitende 13-Monate-Mittelung 1749: Jul. = 81.0 (80.99), Aug. 82 (81.99), Sept. 83.7 usw.

REM GFA-BASIC PROGR.
REM GLEITENDE 13-MONATE-MITTELUNG MIT BINOMIALKOEFFIZIENTEN
OPENW #1
DIM rint(100)
nn = 4   //ANZAHL DATA ZEILEN MONATSMITTEL 1749-1750
n = 12  // MONATE
REM -------------
y = 0
RESTORE dat
FOR k = 1 TO nn
  FOR i = 0 TO n
    GOSUB fak
    y = y + y * (n - i)
    IF i = 1 THEN
      y = 1
    ENDIF
    x = n * y / c  //BERECHNUNG BINOMIALKOEFFIZIENT
    IF i = 0 THEN
      x = 1
    ENDIF
    READ rint  //R_int EINLESEN
    z = z + rint * x  //AKKUMULATION DER MULTIPLIKATION DER MONATSMITTEL MIT DEM  KOEFFIZIENTEN
    x1 = x1 + x   //SUMME DER BINOMIALKOEFFIZIENTEN
  NEXT i
  rint(k) = z / x1  //n-MONATE-MITTELUNG
NEXT k
FOR k = 1 TO nn
  PRINT rint(k)
NEXT k
END
PROCEDURE fak   // SUBROUTINE FAKULTÄT
  b = 0
  c = 1
  p2:
  IF b = i THEN
    GOTO p1
  ENDIF
  b = b + 1
  c = c * b
  GOTO p2
  p1:
RETURN
REM MONATSMITTEL 1749-1750
dat:
DATA 58,62.6,70,55.7,85,83.5,94.8,66.3,75.9,75.5,158.6,85.2,73.3
DATA 62.6,70,55.7,85,83.5,94.8,66.3,75.9,75.5,158.6,85.2,73.3,75.9
DATA 70,55.7,85,83.5,94.8,66.3,75.9,75.5,158.6,85.2,73.3,75.9,89.2
DATA 55.7,85,83.5,94.8,66.3,75.9,75.5,158.6,85.2,73.3,89.2,88.3
END

REM GFA-BASIC PROGR.
REM EXPONENTIELLES GLÄTTEN
DIM a(50),b(50),c(50)
n = 12    //EINTRAG ANZAHL DATEN
FOR i = 1 TO n  //DATEN EINLESEN
  READ a(i)
NEXT i
REM --------------------
s = 1.0E+10
FOR k = 0.1 TO 0.9 STEP 0.1
  d = 0
  b(1) = a(1)
  FOR i = 2 TO n
    b(i) = k * a(i) + (1 - k) * b(i - 1)
    d = d + (b(i) - a(i)) ^ 2
  NEXT i
  IF d < s THEN
    s = d
    FOR j = 1 TO n
      c(j) = b(j)
    NEXT j
  ENDIF
NEXT k
FOR i = 1 TO n
  PRINT  i,a(i),ROUND(c(i),2)
NEXT i
REM MONATSMITTEL JAN. BIS DEZ. 1749
DATA 58,62.6,70,55.7,85,83.5,94.8,66.3,75.9,75.5,158.6,85.2,73.3
END


Literatur & M. Waldmeier, The Sunspot-Activity in the Years 1610-1960, Schulthess u. Co AG, Zürich 1961. J. Meeus, Astronomical Tables of the Sun, Moon, and Planets. Willman-Bell. Inc. P.O. Box 3125, Richmond, Virginina 23235, USA. Tables-Part 6. Monatl. und jährl. Mittel der Sonnenflecke 1749-1981.
Aufsätze & M. Waldmeier, The Sunspot-Activity in the Years 1961-1975, Astronomische Mitteilungen der Eidgenössischen Sternwarte Zürich, No. 346. F. Baur,  Neufestsetzung der Epochen der Minima und Maxima der Sonnenflecken. Meteorologische Abhandlungen des Instituts für Meteorologie und Geophysik der Freien Universität Berlin, Bd. 50, Heft 3, I. Teil (1964). P. Ahnert, Kalender für Sternfreunde 1972. J.A. Barth-Verlag, Leipzig 1972, S. 162-169.

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