Translation

Horst Schumacher

Geographische Länge und Breite aus einer topographischen Karte
 
Die Eingabe der geographischen Länge u. Breite auf 0.1° oder 1° genau (Weltatlas/Weltkarte) genügt vielfachen Anforderungen (z. B. beim Spazierensehen zur Entspannung). Für genaue Beobachtungen (Fernrohr, Messungen mit Theodoliten, Passageinstrument usw.) kann der Standort auf ±3 Meter entweder durch ein GPS Gerät oder einer topographischen Karte bestimmt werden.

Wegen ihres gekrümmten Verlaufs eignen sich die Koordinatenlinien topographischer Karten (Mastab 1:25000/ 1:50000) nicht zur" genauen Bestimmung der geographischen Länge u. Breite. Sie werden aus den ebenfalls angegebenen konformen Koordinaten genauer bestimmt.

Kleinmastäbliche Karten sind zwecks besserer Lesbarkeit generalisiert, z. B. Straßen verbreitert, Gebäude u. a. dementsprechend verschoben. Höhe ber NN nach den Höhenlinien u. -punkte einer topograph. Karte. Für die Koordinatenfestlegung dient am besten die beim Katasteramt erhältliche Deutsche Grundkarte 1:5000 (DGK 5).

Der mittl. Lagefehler für Punkte die nach der Karte wieder auffindbar sind, beträgt ±3 m. Auf 50 Grad Breite entspricht 1'' in geograph. Breite 30.9 m u. 1'' in geograph. Länge 19.3 m. Ein Punkt auf der DGK 5 ist demnach auf 3 Meter, 0.6 Kartenmillimeter 0.2'' in Länge u. 0.1'' in Breite genau.

 Der Abstand P - C [Fig. 39] ist der Hochwert h von B. Er gibt den Abstand des Ortes B in Meter vom Äquator C an. Der mit r gekennzeichnete Rechtswert ist der Abstand B vom Bezugsmeridian P-C.
Zu den ungefähren, zuvor auf einer topograph. Karte kleineren Mastabs (1:50000) bestimmten, rechtwinkl. Koordinaten r 2 554 500, h 5 712 700, gehört das DGK 5 Blatt 2554/5712 (r 2554 km = 2554000 m/ h 5712 km = 5712000 m). Die DGK 5 gibt ein 2 zu 2 km Geländestck wieder.

Ort B [Fig. 39] 30.56 cm vom Westrand u. 15.44 cm vom Südrand. Bei nicht genau maßhaltigen Karten, durch Dehnung oder Schrumpfung des Materials, kann die Verzerrung in Länge z. B. 40 .05 cm, in Breite z. B. 39.98 cm betragen.

40 cm/40.05 cm = 0.99875156 * 30.56 cm * 50 m = 1526.09 m.
40 cm/30.98 cm = 1.00050025 * 15.44 cm * 50 m =  772.39 m.

r 2 554 000 m + 1 526.09 m = r 2 555 526.09 m
h 5 712 000 m +  772.39 m = h 5 712 772.39 m

Eingabe (konforme [winkeltreue] Koordinaten nach Wahl.
Auf den mittleren Erdpol (CIO) bezogenen gepgraphische Koordinaten:
Rechtswert (r)? 2555526.09 m = geogr. Breite (b) 51°32'52.88'' (DHDN)."
Hochwert   (h)? 5712772.39 m = geogr.  Länge (l) 6°48'2.04'' (DHDN). DHDN= DeutschesHaupDreiecksNetz.

Führt man Präzisionsmessungen mit Sekundentheodoliten o.ä. durch, um Sterndurchgänge, Zenitdistanzen usw. zu messen, ist folg. zu beachten:
Dem deutschen Kartenwesen (DGK 5) liegt der Bessel’sche Erdellipsoid zugrunde:  
Äquatordurchm. a = 6 377 397.155   m.
Polardurchm.   b = 6 356 078.96325 m
Abplattung     f = 1/299.152813.

World Geodetic Survey 1984: a1 = 6 378 137 m
b1 = 6 356 752.313 m
f1 = 1/298.257223563.
Der WGS 84 Ellipsoid stimmt praktisch mit dem der IAU 1976 ( a=6378140 m, f = 1/298.257 ) überein.

In Nordamerika ist der Ellipsoid Clarke 1866 (a=6378206.4, f=294.978698) und GRS80 (a=6378137 m, f=298.257222) in Gebrauch.
Die Japanische und Schweizer Geodäsie verwendet den Bessel-Ellipsoid, die osteuropäische den Krassowsky-Ellipsoid System 42 (a=6378245 m, f 1/298.3), die franz. den Clarke-Ellipsoid von 1880.

Ellipsoidwechsel Bessel 1841 zu WGS 84: Datumshift-Werte im Meterbereich zwischen System Netz 77 (DHDN = DeutschesHauptDreiecksNetz)  u. WGS 84 (DHDN in WGS 84): ±X = +631 m, ±Y = +23 m, ±Z +451 m (Centre Offset). Vgl. Kartendatum, Datum-Shift: Datumshiftparameter http://www.lverma.nrw.de/produkte/raumbezug/ koordinatentransformation/ Koordinatentransformation.htm#

Änderung der Elliposidwerte: Elipsoidparameter a1-a = da 739.85 m, f1-f = df 0.0000100374848. l = geograph. Länge, b = geograph. Br. (l u. b in Rad: 1° = 0.01745329251994 rad). db = shifts in geograph. Breite, dl = shifts in geograph. Länge. e² = 2*f-f^2..

REM GFA-BASIC
REM Vincenty Transformation (JGR vol. 71, no.10., p 2619)
dX = 631
dY = 23
dZ = 451
h = 0 //ellipsoidische Höhe
a1 = 6378137 //Äquatorradius (Meter) WGS84
a2 = 6377397.155 //Äquatorradius  Bessel
da = a1 - a2 //Ellipsoidparameter
am = (a1 + a2) / 2 //Mittelwert
f1 = 1 / 298.257223563 //Abplattung  WGS84
f2 = 1 / 299.152813  //Abplattung Bessel
ee1 = 2 * f1 - f1 ^ 2  // 1. numerische Exentrizität WGS84
ee2 = 2 * f2 - f2 ^ 2 //1. numerische Exzentrizität  Bessel
de = ee1 - ee2   //Ellipsoidparameter
ep1 = ee1 / (1 - ee1)  //Quadrat 2. Exentrizität WGS84
ep2 = ee2 / (1 - ee2)
epm = (ep1 + ep2) / 2
b = RAD(51 + 32 / 60 + 52.88 / 3600) //geograph. Breite
l = RAD(6 + 48 / 60 + 2.04 / 3600)   //geograph. Länge
V = 1 + epm - (3 / 2) * epm * SIN(b) ^ 2
W = 1 - 0.5 * epm * SIN(b) ^ 2
C1 = -0.5 * epm * de
C2 = (epm / am) * da + (1 + epm) * de
C3 = 0.5 * epm * da + 0.5 * am * de
C4 = 0.5 * epm * (epm * da + 0.5 * am * de)
db = -((dX * COS(l) + dY * SIN(l)) * SIN(b) - dZ * COS(b)) * (V / am) + (C1 * SIN(b) ^ 2 + C2) * SIN(b) * COS(b)
dl = -(dX * SIN(l) - dY * COS(l)) * (W / am) * 1 / COS(b)
dh = (dX * COS(l) + dY * SIN(l)) * COS(b) + dZ * SIN(b) + C3 * SIN(b) ^ 2 + C4 * SIN(b) ^ 4 - da
? db * 206264.80625
? dl * 206264.80625
? dh
? da
? de

Geogr. Br.: (WGS 84) jm 51°32'48.11'' = (DHDN) 51°32'52.88'' db -4.77”
Geogr. L.: (WGS 84)   lm  6°47'59.35'' = (DHDN) 6°48'02.04''   dl -2.69”.

Die DHDN- bzw. WGS 84-Koordinaten wm, km) beziehen sich auf den mittleren Pol (CIO = Conventional International Origin = CTP Conventional Terrestrial Pole). Die Rotationsachse der Erde beschreibt einen Kreiskegel um die Hauptträgheitsachse. Diese Bewegung besitzt eine (Chandler'sche) Periode von 430 Tagen mit einer Polhodie bis zu 15 m bzw. 0.5'' (Polhöhenschwankung).

Korrektur vom mittl. (CIO) auf den aktuellen Pol (CEP):
Azimut = mittl. Azimut azm - (x sin lm  - y cos lm)/cos jm) (Azimute terrestr. Ziele mit Theodoliten o.ä.).
Geogr Br. j = jm + (x cos lm - y sin lm)
Geogr  L.  l = lm + (x sin lm + y cos lm)*tan jm.

x, y = Polkoordinaten bezogen auf den CIO (in astronom. Jahrbüchern, zirkularen des Bureau International de l'Heure [IERS Bulletin B], Paris, International Earth Rotation Service [IERS Bulletin A], U.S. Naval Observatory, oder dem BIH Annual Report for the Year).

IERS-Bulletin B: x = +0.134'', y = +0.407'' am 1.4.1988 0h UT.
Geogr. Breite j +51°32'48.20'', geogr. Länge  l +6°47'59.90'' am 1.4.1988 0h UT, bezogen auf den aktuellen Nordpol (CEP = Celestial Ephemeris Pole). Die Korrektur ist nur dann sinnvoll, wenn die Gauß-Krüger-Koordinaten (r,h) des Meßinstrumentes (Theodoliten) oder der Karte auf 1-0.1 Meter genau bekannt sind (evtl. Anschluß oder Aufstellung des Instrumentes über einen trigonometr. Punkt (TP) dessen genaue Koordinaten dem Landesvermessungsamt vorliegen).

ANHANG
 
Kalender: Die christliche Chronologie rechnet die Kalenderjahre ab Christi Geburt. Der mit der Festlegung des Kalenders beauftragte" Mönch Dionysius Exiguus (500 - 556), lie die Zahl >0< zwischen 1 v. Chr. u. 1 n. Chr. auer acht Die astronomisch-mathematische Zählweise ist daher von der historischen zu unterscheiden."

       1900 n. Chr. (hist.) = 1900 (astronom.)
             1 n. Chr. (hist.) =      1 (astronom.)
             1 v. Chr. (hist.) =      0 (astronom.)
             2 v. Chr. (hist.) =      -1 (astronom.)
         4000 v. Chr. (hist.) =-3999 (astronom.)

Historische Jahresangaben v. Chr. um 1 vermindern und negativ eingeben. Datumeingaben ab 5.10.1582 beziehen sich auf den Gregor., davor auf den Julianischen Kalender.
Eine Reihe europäischer Länder verwendete bis ins 19. Jhd. den Julianischen Kalender. Zur Verwandl. in den neuen Stil gelten folg. Differenzen:

                 29.2.1500 - 28.2.1700 = +10 Tage.
                 29.2.1700 - 28.2.1800 = +11 “
                 29.2.1800 - 28.2.1900 = +12 “
                 29.2.1900 - 28.2.2000 = +13 “

Eine auf 0.1 Grad genaue Eingabe reicht allg. aus. Für präzisere Eingaben mit Bogenminuten- u. Sekundengenauigkeit dienen folg. Beispiele:"
Geogr. Koordinaten des Kölner Doms (Dachreiter): +50°56'33.2607' nördl. Breite u. +6°57'32.3136'' östl. Länge (Bessel'scher Referenzellipsoid 1841). Parameter stets in sexagesimaler Form eingeben: Grad, Bogenminuten u. Bogensekunden (°,',''). 1° = 60' = 3600''. 1' = 60''. 1' = 0.016666666666ø. 1' = 0. 0002777777777°.
Südlische geograph. Breite: Kapstadt: -33°58'06.5''. Eingabe der südl. Breite und westl. Länge stets mit negativem Vorzeichen.
Alle Sexagesimalangaben sGrad, Bogenminuten u. -sekunden (°,','') sind nicht mit den seagesimalen Zeitangeben Std., Min. u. Sek. (h,m,s) zu verwechseln.

Geograph. Länge ab Greenwich-Nullmeridian: 180 Grad positiv in östl. Richtung (z. B. 139°45' östl. Länge Tokio) u. 180 Grad negativ nach Westen (z. B. -73°58' westl. Länge New York). Die westl. Länge erhält ein negatives Vorzeichen.

Um Zeitverwechslungen mit der Somerzeit und Zonenzeit in Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft zu vermeiden, stets Weltzeit (UT = universal time) oder dynamische Zeit (TT = terrestrial time) eingeben.

Bei Zeiteingabe in Atomuhrenzeit bzw. terrestrial time (TT) unterscheidet sich diese um die Differenz  DT von der Weltzeit (TT = UT + DT oder TT = TAI + 32.184 Sek. TAI = internationale Atomzeit).

Eingabe Weltzeit, automatischer Berechnung der Zeitkorrektur DT auf 1 Zeitminute (UT = TT - DT).
Eingabe Weltzeit u. Zeitkorrektur (DT lt. Tabelle) für sekundengenaue Berechnung (UT = TT - DT).

Bei Zeitangaben in Atomuhrenzeit (TT) beziehet sich sowohl die eingegebene als auch ausgegebene Länge nicht mehr auf den geographischen Greenwich-Nullmeridian, sondern auf den dynamischen Nullmeridian (Ephemeridenlänge), der sich auf der Länge 0.0041780742° * DT (DT in Zeitsekunden) östlisch des geograph. Nullmeridians befindet.

Aus dynamischer Länge (Ephemeridenlänge) u. Zeit erhält man die auf die mittlere Sonnenzeit bezogene geograph. Länge u. Weltzeit (UT) nach folg. Zeitkorrektur: UT = TT -DT.

Geograph. Länge = (+)östl./(-)westl. dynamische Länge + 0.0041780742° * DT.
Dynamische Länge (Ephemeridenlänge) = (+)östl./(-)westl. geograph. Länge - 0.0041780742° * DT.

 
DT - TT - UT
 
Die sehr genaue Zeitbestimmung mit Quarz- u. Atomuhren förderte geringfügig unregelmßige Schwankungen der Erdrotation zu Tage. Die Gangabweichung betrug z. B. 1871 -0.005 Sek. u. 1907 +0.002 Sek. Diese Fluktuationen haben wahrscheinl. ihren Grund in Masseverlagerungen im Erdinneren u. meteorologischen Vorgängen. Die Gezeitenreibung, die sich im Laufe der Zeit beträchtlich aufsummiert, führt zu einer ständigen Abbremsung der Erdrotation. Durch sie wird der Tag pro Jhd. um 0.0018s vergrößert.

Die Zeitbestimmung aus der Erddrehung ist nicht sehr konstant; man ist daher zu einer völlig gleichmäßig ablaufenden von der Erdrotation unabhängigen, künstl. Zeit (Inertialzeit TT) übergegangen, wie sie heute von Atomuhren am besten wiedergegeben wird.

Die UT lät sich nicht vorhersehen, da die Fluktuationen nicht vorausberechenbar sind. Die genaue Zeitkorrektur DT ist daher nur aus astronomischen Beobachtungen (Sternbedeckungen, Finsternissen), oder mit Atomuhren im Vergleich mit Meridiandurchgänge der Sterne, bestimmen. Die Differenz (DT) zwischen UT (universal time = Weltzeit) u. der mit Atomuhren kontrollierten TT summiert sich im Laufe der Zeit beträchtl. auf u. betrug z. B. 1951 Jahre vor Chr. +12 Std. u. 46 Min.

Interne Zeitkorrektur: DT = 0.0033 Sek. * (J-1810)² (J = Jahr).

Approximierte Zeitkorrektur (Stephenson/Morrison) nach den neuesten Konstanten u. Theorien (UT-Abweichung um 4000 v. Chr. bzw. 8000 n. Chr. 2 Std.):  DT = -15 Sek. + (32.5 ± 2) Sek. * (T-0.1)². T in Jahrh. ab 1800 (2499 - 1800)/100 = T 6.99. (6.99-0.1)² = 47.4721. DT im Jahre 2499 = 1528 Sek. (Eingabe stets in Sek.).Stephenson/Morrison, 1982, Sun and Planetary Systems, vol. 96, 73, ed. W. Fricke, G. Teleki, Reidel, Dordrecht.

Korrektionswert der histor. Astronom. nach Stephenson/Morrison, 1984, Phil. Trans Royal Soc., A, Vol. 313, p. 47-70. T = (J-1800)/100:

Jahre -390 bis +948: DT (Sek.) = 1360+320*T+44.3*T².

Jahre +948 bis +1600:  DT (Sek.) = 25.5*T².

Neuester Korrektionswert der histor. Astronom. nach Stephenson/Houlden, 1986, >Altlas of Historical Eclipse Maps<, Cambridge University Press, England, p. x. T = (J-948)/100. t = (J-1850)/100:

Jahre vor +948:  DT (Sek.) = 1830-405*T+46.5*T².

Jahre +948 bis +1600:  DT (Sek.) = 22.5*t².

Ältere Werte (Zeitkorrektur nach den alten Konstanten u. Theorien) : Mller/Stephenson, 1975, Growth ryhthms and the history of the Earth's rotation, ed. G. D. Rosenberg & S. K. Runcorn, pp. 459 - 534. London: Wiley & Sons. Spencer Jones (T in Jahrh. ab 1900):

DT = 24.349 + 72.318*T + 29.95*T² + (Fluktuationen). Spencer Jones, 1939, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, England, 99, p. 541 - 558.

Die jeweilige aktuelle, sekundengenaue Zeitkorrektur DT wird in den jährl. erscheinenden astronom. Jahrbüchern angegeben (in Bibliotheken einzusehen oder bei den Volkssternwarten u. astronom. Vereinigungen zu erfragen oder der Tabelle auf der Website von Spaceglobe zu entnehmen - s. “Sternbeobachtung”), oder ist aus eigenen Beobachtungen zu bestimmen (Beobachtungsanleitung in Sonneglobus).
 
Zeitzeichen

Entsprechend einer Empfehlung des CCIR (international radio consultative comittee) strahlen die Zeitzeichensender weltweit die aus der int. Atomzeit (TAI) entstehende Koordinierte Weltzeit (UTC = coordinated universal time) aus. Die aus Meridiandurchgängen der Sonne und Sterne bestimmte Weltzeit (UT = universal time) läuft dagegen unregelmäßig ab. Durch Einfügen von Schaltsekunden (Anhalten der Atomuhr um 1 Atomsek. am 1. Jan. oder 1. Juli bei Bedarf) bleibt UTC in ungefähre šbereinstimmung mit der Weltzeit (UT). UTC u. UT differieren dadurch maximal um ±0.9 Sek. Dadurch bleibt die aus der künstl. Atomzeit TAI bestimmte UTC mit der wahren Zeit üblicher Sonnenuhren verkünpft.
Im Zeitgesetz von 1978 wurde in Deutschland die mitteleuropäische Zeit bzw. die vom letzten Sonntag im März bis letzten Sonntag im Oktober geltende mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ) festgelegt.

Beide Zeiten folgen unmittelbar aus der Koordinierten Weltzeit (MEZ = UTC + 1 Std; MESZ = UTC + 2 Std.). Nach dem Reichsgesetz vom 12.3.1893 wurde am 1. April 1893 in Deutschland die MEZ eingeführt. Bayern, Württemberg, Baden und Elsass-Lothringen (Rheinpfalz) führten MEZ bereits ab dem 1.4.1892 ein. Vor Einführung des neuen Zeitgesetzes 1978 galt bis dahin diese mittl. Sonnenzeit des 15. Längengrades (mittlere Greenwichzeit GMT + 1 Std. MEZ = UT0 + 1 Std.). Die GMT (UT0) findet keine Verwendung mehr.

Die Differenz zwischen UT1 und Atomweltzeit UTC (DUT1 = UT1 - UTC) wird von normalen Rundfunksendern nicht mitgesendet. Es gibt jedoch spezielle Zeitzeichensender die DUT1 kodiert in 0.1 Sekundeneinheiten ausstrahlen. Bei strenger Rechnung ist an dem nach Zeitzeichen kontrollierten Uhrstand UTC die DUT1 anzubringen, um UT zu erhalten. Die Differenz wird jedoch nie größer als ± 0.9 Sek. und kann bei nicht erforderlicher Strenge vernachlässigt werden.

Zeitzeichensender: FHH Paris (2.5 MHz); TAM Rom (5 MHz); MSF Rugby, England (2.5, 5 u. 10 MHz), YBS Nauen (4.525 MHz); OMA SCR (0.05 MHz); WWV USA (2.5, 10, 15, 20 u. 25 MHz). Der deutsche Sender (Mainflingen DCF 77 auf 77.5 KHz) strahlt DUT1 nicht aus.

Die Differenz DUT1 (DUT) wird von diesen Sendern ab jeder vollen Minute während der darauffolgenden 16 Sekundenmarken mitgesendet.;
Signal ab der 1 bis 8 Sekunde der vollen Minute: DUT1 ist positiv, ab der 9 bis 16 Sekunde negativ.

DUT1 läßt sich zudem aus den tab. Werten des >The Astronomical Almanac< DTT=TT-UTC und  DT=TAI-UT ableiten.
Am 1.1.1980 (1980.0) z. B. TAI-UTC (Schaltsekunden) = +19s + 32.184s Konstante = (51.184s  DTT) - (+50.54s DT) = DUT1 +0.64s.
DUT1 Werte enthält das IERS Bulletin A, U.S. Naval Observatory, Washington, oder das IERS Bulletin B, veröffentl. vom Bureau Central de L'IERS, Observatoire de Paris, 61 Avenue de l'Observatoire, F-75014 Paris, France (einschliel. x- ,y-Daten der aktuellen Polbewegung).

UT0 = aus Meridiandurchgängen der Sterne bestimmte mittl. Greenwichzeit (GMT).
UT1 (= UT) = um die geringe Meridiankonvergenz (Polbewegung) korrigierte UT0.
UT2 = um die jahreszeitl. Fluktuationen des Trägheitsmoments der Erde (Luftmassenverlagerungen durch Erwärmung über den Kontinenten usw.) korrigierte UT1.

Die Differenz zwischen UT1 und UT2 erreicht bis zu ±30 ms (Millisekunden).
Die Weltzeit UT2 wird kaum noch benutzt: UT2 = UT1 + 0.022s sin 2 o t - 0.012s cos 2 o t - 0.006s sin 4  o t + 0.007s cos 4 o t .
B1 = Datum des Besselschen Jahresbeginns, B2 = das des kommenden Besselschen Jahres.;
t = JD. Besselscher Jahresbeginn (JD): B = 2415020.31352 + 365.242198781*(J-1900); J = Jahr.
o= 3.1415926; t = Bruchteil des Besselschen Jahres.;
Bis Juli 1: t = (t - B1)/365.2422; ab Juli 1: t = (t - B2)/365.2422.
Z. B. J 1972 = B1 2441317.7518; J 1973 = B2 2441682.994. 10.1.1972 = t 2441326.5 = t +0.02395; 1.11.1972 = t 2441622.5 = t -0.16563.

Eine sehr präzise Zeit erfordert z. B. die Positionsbestimmung der Erdsatelliten und Planetensonden. Ein Fehler von 4 ms in UT bedeutet eine ebensolche Positionsungenauigkeit in Rektaszension, der bei Raumsonden entfernungsproportional anwächst (0.004s = 0.06'' = 0.002 km in Erdumlaufbahn, ~66 km in Marsentfernung, ~240 km in Jupiterentfernung).

Reduktion von Sternbedeckungen

Die Beobachtungsdaten (Fig. 40) von Sternbedeckungen (Uhrzeit UTC, geograph. Koordinaten nach der Deutschen Grundkarte 1:5000, Bessel 1841 usw.) gehen alle 3 Monate unreduziert an The Intern. Lunar Occultation Centre (ILOC)  http://www1.kaiho.mlit.go.jp/KOHO/iloc/docs/iloc_e.html :

The Intern. Lunar Occultation Centre
Astronomical Division,
Hydrographic Department,
Tsukiji-5, Chuo-ku, Tokyo,
104 Japan

Datenblatt ILOC Fig. 40


Viele aktive Amateure sind Mitglied der International Occultation Timing Association (IOTA), die das Mitteilungsblatt >Occultation Newsletter< herausgibt ( http://www.occultations.org/ )

Dem Jahrbuch des anglo-amerikanischen Sprachraums >The Astronomical Almanac< (HMSO, London) liegt seit 1984 die Lunar Ephemerides 200 (LE200) des Jet Propulsion Laboratory (JPL) zugrunde. Die Mondephemeride des französischen Jahrbuchs - sofern noch erhältlich - >Connaissance des Temps< (CdT) basiert auf die Mondtheorie von M. Chapront-Touzé and J. Chapront Ephémréides Lunaires Parisiennes (ELP2000).

Die Reduktion besteht darin den Fehler der jeweiligen Mondtheorie LE200 oder ELP2000 in Länge (dL) und Breite (dB) aus Sternbedeckungen im Sinne Beobachtung minus Rechnung zu ermitteln. Beobachtungen einer oder weiterer Stationen können verarbeitet werden. Um Positionswinkel der Bedeckung an möglichst verschiedenen Punkten des Mondrandes zu erhalten sind viele Sternbedeckungen heranzuziehen.

Für die Station zu berechnende Stationskoordinaten. Berechnungszeitpunkt ist die beobachtete Eintrittszeit (UT). Eine unabhängige Rechnung kann auch mit der Austrittszeit (UT) durchgeführt werden. Die Koordinierte Weltzeit der Zeitzeichensender UTC ist allerdings durch Anbringung von DUT1 in UT zu korrigieren (s.>Zeitzeichen<). Zur Berechnung der Mondposition ist die UT um die terrestrische Zeit TT zu korrigieren TT = UT + DT.

Verhältnis k von Monddurchmesser / Erddurchmesser lt. IAU (Aug. 1982): k=0.2725076. 1/sin 1'' = 206264.806247'' (= 1 rad 57.29577951308*3600'').
Geozentrischer scheinbarer Winkelhalbmesser s Mond (Bogensekunden): s=k*sin(o)*206264.806''; o = Äquator-Horizontal-Parallaxe des Mondes (RAD).
d, a = geozentrische scheinbare Deklination und Rektaszension des Sterns. Stundenwinkel tw Stern: tw=osz - a; osz=Ortssternzeit.
d1, a1 = geozentrische scheinbare Deklination und Rektaszension des Mondes. r’=geozentrische Entfernung der Station vom Erdzentrum, b’=geozentrische Breite.

xg = r'*cos(b') = geozentrische kartesische Koordinaten je Beobachtungsstation
yg = r'*sin(b')

Stationskoordinaten auf der Fudamentalebene:
xi=(r'*cos(b')*sin(tw))/k
eta=(r'*sin(b')*cos(d) - r'*cos(b')*cos(tw)*sin(d))/k

Mondkoordinaten auf der Fundamentalebene.
x=(cos(d1)*sin(a1-a))/(k*sin(o))
y=(sin(d1)*cos(d)-cos(d1)*sin(d)*cos(a1-a))/(k*sin(o))

f=x-xi
g=y-eta
Dr = Differenz der Distanz Stern-Mondmittelpunkt minus Mondradius.
Sieht man von Beobachtungsfehlern ab, ist der Wert Dr bei genauer Ephemeride Null.
Dr= s*(Å(f²+g²)-1)

c=Positionswinkel des Sterns in bezug auf den Mondmittelpunkt (Positionswinkel ab irdischer Nordrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn 0 bis 360 Grad gemessen).
c1=-(x-xi)
c2=-(y-eta)
c=ARCTAN(c1/(1+c2))*2; ist c negativ +360 Grad (oder 2*PI bei Rechung in RAD) addieren.

Mondkoordinaten auf der Fundamentalebene 0.5 Std. vor dem Ereignis.
x2=(cos(d1)*sin(a1-a))/sin(o)
y2=(sin(d1)*cos(d)-cos(d1)*sin(d)*cos(a1-)a)/sin(o)

Mondkoordinaten auf der Fundamentalebene 0.5 Std. nach dem Ereignis.
x3=(cos(d1)*sin(a1-a))/sin(o)
y3=(sin(d1)*cos(d)-cos(d1)*sin(d)*cos(a1- a))/sin(o)

x1,y1=stündliche Variation der Mondkoordinaten auf der Fundamentalebene.
x1=x3-x2
y1=y3-y2

w=Positionswinkel der Richtung der Mondbewegung (ab irdischer Nordrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn 0 bis 360 Grad gemessen).
z=Å(x1²+y1²)
x1=x1/z
y1=y1/z
w=ARCTAN(x1/(1+y1))*2; ist w negativ +360 Grad (oder PI*2) addieren.

Bedingungsgleichung mit 2 Unbekannten dL, dB:
Dr = cos(w-c)*dL + sin(w-c)*dB.

Die wahrscheinlichsten Werte der Fehler in Länge und Breite dL,dB werden durch Ausgleichsrechnung bestimmt.

Normalgleichung mit 2 Unbekannten:
x=cos(w-c)*dL
y=sin(w-c)*dB.

[pxx] dL [pxy] dB = [pxDr ]
[pxy] dL [pyy] dB = [pyDr ]

Randkorrektion wegen Irradiation (in mittl. Entfernung 0.74'').
s1=-0.74''*0.00010723*s.
Dr=Dr - s1.

Die geozentrische scheinbare Deklination und Rektaszension erscheint nach Anklicken des Sterns, ebenso alle benötigten Werte (Ortssternzeit usw.). An dieser Stelle sind die >Daily Polynomial Coefficients< (Seite D23) der LE200-Mondposition idem Jahrbuch >The Astronomical Almanac< zu entnehmen und einzugeben.
Der Mondglobus übernimmt die Reduktion automatisch.

Reduktionsprogr. für ATARI ST und kompatible oder AMIGA Computer (siehe “Sternbeobachtung”).

REM GFA-BASIC/OMIKRON-BASIC PROGR. REDUKTION STERNBEDECKUNG.
REM GFA-BASIC Progr. für WINDOWS 3.x/9x.
DIM p(10,10),ko(10,10),g(20),dek(10),ar(10),tdt(10),xi(10),eta(10),sig(10),pcs(10),pcc(10)
DEFFN gzb(x) = ATN(1 / (1 + 0.006739501819 * (6378140 / (6378140 + nn))) * TAN(x))
DEFFN ro(x) = 6356755.288158 / SQR(1 - 0.006694384999591 * COS(ATN(0.993305615 * TAN(x))) ^ 2) + nn
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * 2 * PI
REM STERNBEDECKUNG 46/c-1 CAPRICORNI AM 10.6.1993  (Bedeckungszeit angenommen)
n1 = 4 //EINTRAG ANZAHL BEOBACHTUNGSSTATIONEN ODER BEI NUR EINER STATION ANGABE DER DORT BEOBACHTETEN STERNBEDECKUNGEN
k = 0.2725076
REM EINLESEN TERRESTRIAL TIME TT DER BEDECKUNG (TT=UT+dT) STD., ORTSSTERNZEIT (GRAD); STATION GEOGRAPH. BREITE, NN (METER); DEKLIN., REKTASZENSION (GRAD) STERN (GLOBUS), GEWICHT DER BEOBACHTUNG g=1
RESTORE stat
FOR i = 1 TO n1
  READ tdt,osz,b,nn,dek,ar,g(i)
  tdt(i) = tdt
  dek(i) = RAD(dek)
  ar(i) = RAD(ar)
  xg = (FN ro(RAD(b)) / 6378140) * COS(FN gzb(RAD(b))) //r'cos(b')
  yg = (FN ro(RAD(b)) / 6378140) * SIN(FN gzb(RAD(b))) //r'sin(b')
  tw = RAD(osz - ar)
  xi(i) = (xg * SIN(tw)) / k
  eta(i) = (yg * COS(dek(i)) - xg * SIN(dek(i)) * COS(tw)) / k
NEXT i
stat:
DATA 0.2878333333,263.426953,30,0,-9.110509,326.170103,1
DATA 0.9531666666,282.434277,50,0,-9.110508,326.170106,1
DATA 0.9163611111,282.8802643,48,0,-9.110508,326.170106,1
DATA 1.2295,296.5906553,53,0,-9.110508,326.170108,1
REM DAILY POLYNOMIAL COEFFICIENTS MOND 10.6.1993
REM REKTASZENSION MOND (THE ASTRONOMICAL ALMANAC LE200)
ao = 325.0709303
a1 = 11.4722628
a2 = -0.2312871
a3 = 0.0330916
a4 = 0.000943
a5 = -0.0001441
REM DEKLINATION MOND (THE ASTRONOMICAL ALMANAC LE200)
bo = -8.6201549
b1 = 4.2884121
b2 = 0.1322905
b3 = -0.0287164
b4 = 0.0014075
b5 = -0.0001087
REM PARALLAXE MOND (THE ASTRONOMICAL ALMANAC LE200)
po = 0.9142152
p1 = -0.00736757
p2 = 0.00120046
p3 = 0.00007016
p4 = -7.64E-06
REM KART. KOORDINATEN MONDMITTELPUNKT FUNDAMENTALEBENE
FOR i = 1 TO n1
  t = tdt(i) / 24
  arm = RAD(ao + a1 * t + a2 * t ^ 2 + a3 * t ^ 3 + a4 * t ^ 4 + a5 * t ^ 5) //DEKLIN. MOND RAD
  dm = RAD(bo + b1 * t + b2 * t ^ 2 + b3 * t ^ 3 + b4 * t ^ 4 + b5 * t ^ 5) //DEKLIN. MOND
  par = RAD(po + p1 * t + p2 * t ^ 2 + p3 * t ^ 3 + p4 * t ^ 4) //PARALLAXE MOND
  x = (COS(dm) * SIN(arm - ar(i))) / (k * SIN(par))
  y = (SIN(dm) * COS(dek(i)) - COS(dm) * SIN(dek(i)) * COS(arm - ar(i))) / (k * SIN(par))
  s = k * SIN(par) * 206264.806
  f = x - xi(i)
  g = y - eta(i)
  sig(i) = s * (SQR(f ^ 2 + g ^ 2) - 1) - (-0.74 * 0.0010723 * s)
  REM POSITIONSWINKEL BEDECKUNG
  c1 = -(x - xi(i))
  c2 = -(y - eta(i))
  c = FN r(ATN(c1 / (1 + c2)) * 2)
  REM -----------------
  t = (tdt(i) - 0.5) / 24
  arm = RAD(ao + a1 * t + a2 * t ^ 2 + a3 * t ^ 3 + a4 * t ^ 4 + a5 * t ^ 5)
  dm = RAD(bo + b1 * t + b2 * t ^ 2 + b3 * t ^ 3 + b4 * t ^ 4 + b5 * t ^ 5)
  par = RAD(po + p1 * t + p2 * t ^ 2 + p3 * t ^ 3 + p4 * t ^ 4)
  x2 = (COS(dm) * SIN(arm - ar(i))) / SIN(par)
  y2 = (SIN(dm) * COS(dek(i)) - COS(dm) * SIN(dek(i)) * COS(arm - ar(i))) / SIN(par)
  t = (tdt(i) + 0.5) / 24
  arm = RAD(ao + a1 * t + a2 * t ^ 2 + a3 * t ^ 3 + a4 * t ^ 4 + a5 * t ^ 5)
  dm = RAD(bo + b1 * t + b2 * t ^ 2 + b3 * t ^ 3 + b4 * t ^ 4 + b5 * t ^ 5)
  par = RAD(po + p1 * t + p2 * t ^ 2 + p3 * t ^ 3 + p4 * t ^ 4)
  x3 = (COS(dm) * SIN(arm - ar(i))) / SIN(par)
  y3 = (SIN(dm) * COS(dek(i)) - COS(dm) * SIN(dek(i)) * COS(arm - ar(i))) / SIN(par)
  x1 = x3 - x2
  y1 = y3 - y2
  z = SQR(x1 ^ 2 + y1 ^ 2)
  x1 = x1 / z
  y1 = y1 / z
  REM POSITIONSWINKEL RICHTUNG MONDBEWEGUNG
  w = FN r(ATN(x1 / (1 + y1)) * 2)
  pcs(i) = SIN(w - c)
  pcc(i) = COS(w - c)
NEXT i
REM METHODE DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE ------------------
REM EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN sig(i)=pcc(i)*dL+pcs(i)*dB
REM NORMALGLEICHUNG FšR ZWEI UNBEKANNTE
REM [pxx] dL + [pxy] dB = [pxsig],1,0
REM [pxy] dL + [pyy] dB = [pysig],0,1
REM --------------------------------------------------
p = 0
xx = 0
yy = 0
xy = 0
dpx = 0
dpy = 0
REM AKKUMULATION
FOR i = 1 TO n1
  p = p + g(i) //GEWICHT DER MESSUNG
  xx = xx + pcc(i) * pcc(i) * g(i) //[pxx]
  xy = xy + pcc(i) * pcs(i) * g(i)
  yy = yy + pcs(i) * pcs(i) * g(i)
  pxsig = pxsig + sig(i) * pcc(i) * g(i)
  pysig = pysig + sig(i) * pcs(i) * g(i)
NEXT i
REM ---------------------
resi = 3 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN
m = 2    //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 2    //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
m = m + resi
REM -------------------------
p(1,1) = xx
p(1,2) = xy
p(1,3) = pxsig //1. RESIDUUM
p(1,4) = 1     //2. RESIDUUM
p(1,5) = 0     //3. RESIDUUM
p(2,1) = xy
p(2,2) = yy
p(2,3) = pysig //1. RESIDUUM
p(2,4) = 0     //2. RESIDUUM
p(2,5) = 1     //3. RESIDUUM
GOSUB elim
REM SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE
vv = 0
FOR i = 1 TO n1
  vv = vv + (sig(i) - (pcc(i) * ko(1,1) + pcs(i) * ko(1,2))) ^ 2
NEXT i
REM MITTL. FEHLER DER KOEFFIZIENTEN dL,dB
s = ABS(vv / (n1 - 2))
mfa = SQR(s * ko(1,2))
mfb = SQR(s * ko(2,3))
s1 = SQR(s)
REM OUTPUT ---------------------------------------------
PRINT "KOEFFIZIENT dL....................: ";ko(1,1);""""
PRINT "KOEFFIZIENT dB....................: ";ko(2,1);""""
PRINT "MITTLERER FEHLER DER EINZELMESSUNG: ";s1;""""
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT dL...: ";mfa;""""
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT dB...: ";mfb;""""
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME................: ";vv;""""
END
PROCEDURE elim
  FOR j = 1 TO n - 1     //GAUSS ELIMINATION
   nr = j
   no = ABS(p(j,j))
   FOR i = j + 1 TO n   //ZEILENPIVOT
     noo = ABS(p(i,j))
     EXIT IF (noo - no) < 0
     no = noo
     nr = i
   NEXT i
   IF nr = j THEN
     GOTO jum1
   ENDIF
   FOR i = j TO m + 1
     no = p(nr,i)
     p(nr,i) = p(j,i)
     p(j,i) = no
   NEXT i
   jum1:
   FOR i = j + 1 TO m + 1   //ELIMINATION
     p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
   NEXT i
   FOR i = j + 1 TO n
     FOR k = j + 1 TO m + 1
       p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
     NEXT k
   NEXT i
  NEXT j
  FOR i = 1 TO (m + 1) - n
   ko(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n)  //RÜCKSUBSTITUTION
   FOR k = 1 TO n - 1
     l = n - k
     ko(l,i) = p(l,n + i)
     FOR s = l + 1 TO n
       ko(l,i) = ko(l,i) - p(l,s) * ko(s,i)
     NEXT s
   NEXT k
  NEXT i
RETURN

Weiterführende Literatur:
F. Gondolatsch: Erdrotation, Mondbewegung und das Zeitproblem der Astronomie. Astronom. Recheninstitut Heidelberg, Verff. Nr. 5, Karlsruhe: Im Kommissionsverlag von G. Braun GmbH 1953.

Bestimmung der Differenz DT=ET-UT1 zwischen Ephemeridenzeit (ET=ephemeris time) und Weltzeit (UT1=universal time 1)
 
Die Koordinierte Weltzeit UTC (s. >Zeitzeichen<) der Beobachtungszeit ist durch Anbringung von DUT1 in UT1 umzuwandeln: UT1=UTC+DUT1.
Da die Beobachtungszeit in UT1 vorliegt und man Ephemeriden nach Ephemeridenzeit ET (terrestrial time TT Ê ephemeris time ET) berechnet kann ET=UT1+DT astronomisch bestimmt werden.
Die terrestrische Zeit (TT) ist die physikalische Ephemeridenzeit (TT = TAI + 32.184s) in erster Näherung: TT ~ ET.

Die Differenz zwischen Stern und Mondmittelpunkt minus Mondradius Dr ist bei einer Sternbedeckung und exakten Mondephemeride null, so daß sich die Ephemeridenzeitkorrektur aus der Differenz Dr ergibt.

Bei ungenauer Ephemeride sind die bestimmten Korrekturen dL, dB (s.vorheriger Abschnitt) an die Deklination und Rektaszension des Mondes anzubringen.

Ekliptikschiefe (RAD): ec=0.409092804-0.00022696552*T-2.860401E-09*T*T;
T=(JD-2451545)/36525; JD=julian. Datum.

da=(-SIN(ar)*(-COS(b)*SIN(l)*dl-SIN(b)*COS(l)*db)+COS(ar)*((COS(b)*COS(l)*dl-SIN(b)*SIN(l)*db)*COS(ec)-SIN(ec)*COS(b)*db))/COS(dek)

dd=-SIN(dek)*COS(ar)*(-COS(b)*SIN(l)*dl-SIN(b)*COS(l)*db)-SIN(dek)*SIN(ar)*((COS(b)*COS(l)*dl-SIN(b)*SIN(l)*db)*COS(ec)-SIN(ec)*COS(b)*db)+COS(dek)*((COS(b)*COS(l)*dl-SIN(b)*SIN(l)*db)*SIN(ec)+COS(ec)*COS(b)*db)

b,l=ekliptikale Breite und Länge des Mondes; dek,ar=Deklin. u. Rektaszension des Mondes; ec=Ekliptikschiefe; db=dB, dl=dL Korrekturen in Länge und Breite; dd,da=Korrekturen in Deklin. u. Rektaszension des Mondes (dek=dek+dd, ar=ar+da).

Natürlich sind nur Sternkoordinaten höchster Genauigkeit brauchbar. Diese Sterne sind dem Fundamentalkatalog (FK5) zu entnehmen. Die Fundamentalsterne repräsentieren das Fundamentalsystem, das die Grundlage der Positionsbestimmung aller Objekte bildet.
Der Fundamentalkatalog (FK) beinhaltet ber 1500 ausgesuchte Sterne (<7 mag). 1907 erschien der Neue Fundamentalkatalog (NFK), 1937 der FK3, 1963 der FK4 und 1988 der FK5 (Verff. Astronom. Rechen-Institut, Heidelberg, Nr. 32, 1988, Verlag. G. Braun, Karlsruhe).

Die Rechnung mit einer Reihe eingegebener DT (z. B. 59.1,59.2,59.3... usw.) ergibt entsprechende Differenzen Dr. Bei richtigem  DT ist natürlich Dr = 0.
Die Ephemeridenzeitkorrektur ergibt sich durch Ausgleichsrechnung.; Bedingungsgleichung: Dr = a + b * DT (Lineare Regression).

REM AUSGLEICHUNG VERMITTELNDER BEOBACHTUNGEN NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE (LINEARE REGRESSION)
DIM x(100),y(100)
dt = 60 //EINTRAG EPHEMERIDENZEITKORREKTURWERT DT
n = 7  //ANZAHL WERTPAARE
x(1) = 59.5 // DT
x(2) = 59.61
x(3) = 59.69
x(4) = 59.75
x(5) = 59.81
x(6) = 59.89
x(7) = 60.05
REM -------------------
y(1) = -0.3 //DIFFERENZ Dr oder ds"
y(2) = -0.2
y(3) = -0.1
y(4) = 0.05
y(5) = 0.1
y(6) = 0.2
y(7) = 0.3
xo = 0
yo = 0
xx = 0
xy = 0
yy = 0
FOR i = 1 TO n
  xo = xo + x(i)
  yo = yo + y(i)
  xx = xx + x(i) * x(i)
  yy = yy + y(i) * y(i)
  xy = xy + x(i) * y(i)
NEXT i
REM NORMALGLEICHUNGEN N*A+XO*B=YO; XO*A+XX*B=XY
a = (yo * xx - xo * xy) / (n * xx - xo ^ 2)
b = (n * xy - yo * xo) / (n * xx - xo ^ 2)
REM AUSGLEICHSGERADE (LINEARE REGRESSION)
d = a + b * dt
dto = ABS(a / b)
REM FEHLERQUADRATSUMME (F.Q.S.)
vv = yy - yo * a - xy * b
s = SQR(vv / (n - 2))
REM MITTLERER FEHLER (M.F.) a
mfa = s * SQR(xx / (n * xx - xo * xo))
REM MITTLERER FEHLER b
mfb = s * SQR(n / (n * xx - xo * xo))
PRINT "EPHEMERIDENZEITKORREKTURWERT...: ";ROUND(dto,2);" SEK."
PRINT "DISTANZ........................: 0;" ''""
PRINT "KORREKTURWERT..................: ";dt;" SEK."
PRINT "DISTANZ........................: ";ROUND(d,2);""""
PRINT "MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT a....: ";ROUND(mfa,4);" ''"
PRINT "MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT b....: ";ROUND(mfb,4);" ''"
PRINT "MITTL. FEHLER DER EINZELMESSUNG: ";ROUND(s,4);" ''"
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME.............: ";vv;""""

Bestimmung der Ephemeridenzeitkorrektur DT durch Ausmessung von Photographien

Aufnahme mit einer am Okularauszug des Fernrohrs angebrachten Spiegelreflexkamera, mit Teleobjektiv oder CCD-Kamera. Um möglichst kurz zu belichten, sollte der Mond auf hochempfindlichem möglichst feinkörnigem Film bei schmaler Sichel (Nachtseite im aschgrauen Licht) in der Nähe eines hellen Sterns aufgenommen werden (Sternbedeckung).
Das Fernrohr an einem Stern manuell oder motorisch nachführen. Pro Zeitsekunde bewegt der Mond sich durchschnittl. um 0.5''. (0.5''/206264.806'')* F 1000 mm = 0.00242 mm. Bei Fokalaufnahme durch ein Teleskop mit F=1000 mm Brennweite sind 0.5'' auf dem Negativ = 0.00242 mm. Eine Negativauflösung von 0.02 mm erlaubt eine Belichtungzeit von 0.02 mm /0.0024 = 8.3 Sek. (F=2000 mm = 4.1 Sek.).
Belichtungsende mglichst präzise bestimmen (Stoppuhranschluß an ein Zeitzeichensignal oder zur Not an eine DCF77 Funkuhr, Drahtauslsung des Kameraverschlußes).
Ein in der Nähe des Mondes befindlicher heller Stern unter Verwendung der Doppelbelichtung bei stillstehendem Fernrohr (ohne Nachführung) durch die Aufnahme laufen lassen. Die Sternspur markiert die exakte äquatoriale Ausrichtung der Aufnahme. Da nur die Distanz zwischen Mondmitte und Stern gemessen wird, nicht der Positionswinkel, ist dieser Prozess nicht notwendig. Bei Einzeichnung des Koordinatenkreuzes ist lediglich auf den exakten rechtwinkligen Verlauf der Achsen zu achten. Eine Reihe Distanzen Stern-Mond aufnehmen.
Da topozentrische Mondkoordinaten verwendet werden, müssen die geographischen Koordinaten der Beobachtungsstation bogensekundengenau ( 1'', Höhe über Meeresspiegel ±30 Meter) bekannt sein.

Gemessen wird die Distanz Stern-Mondmittelpunkt. Willkürlich oder durch die Sternspur eine waagerechte Linie (-x -Achse rechts) ziehen und eine zweite (+y-Achse oben) die exakt rechtwinklg zur waagerechten verläuft. Die Ausmessung erfolgt an diesem sorgfältig rechtwinklig eingezeichneten Kreuz in Rechteckkoordinaten (x,y).
Falls kein Mikroskop mit Mikrometer oder Meßtisch zur Verfgung steht, behilft man sich wieder mit dem Diaprojektor. Der Vergrößerungsfaktor des an die Wand projizierten Negativs ergibt sich durch Division des Negativformates durch das projizierte Format, oder durch den berechneten Monddurchmesser in Millimeter auf dem Negativ durch den projizierten.
Topozentrischer Mondurchmesser z. B. 0.518 Grad / 57.295779513 * F 1000 mm = 9.0408 mm auf dem Negativ.;
Gemessener Monddurchmesser der Projektion 452.04 mm / 9.0408 = 50fache Vergrößerung.
0.1 mm der Projektion entsprechen 0.1/50 = 0.002 mm auf dem Negativ.
Die opt. Achse des Projektors sollte exakt rechtwinklig zur Projektionsebene verlaufen (evl. planen Spiegel an die Wand anlegen, der den durch eine Lochblende projizierten Lichtpunkt auf den Ausgangspunkt zurückwirft).

Die rechtwinkligen xs-,ys-Koordinaten des Sterns mißt man mehrmals hin und zurck und bildet den Mittelwert. Um die a-,b-Koordinate des Mondmittelpunktes zu erhalten sind etwa 30-40 Punkte des Mondumfanges zu vermessen.

Kreisgleichung (x-a)²+(y-b)² = r²; a,b=rechtwinklige Koordinaten der Mondmitte ab Koordinatenkreuz, r=Mondradius.
x²+y²-2xa+a²-2yb+b²-r² = 0
x²+y²+a*x+b*y+c = 0
a x(n) + b y(n) + c = x(n)²+y(n)²; 1,2,3...,n.
Die Koeffizienten a,b,c ergeben sich durch die Methode der kleinsten Quadrate.
Normalgleichung:
n1 c + [x]  a + [y] + b = [X]
[x] c + [xx] a + [xy] + b = [xX]
[y] c + [xy] a + [yy] + b = [yX]

REM BEISPIEL. KOORDINATE DES MONDMITTELPUNKTES
DIM p(10,10),ko(10,10),x(130),y(130),r(130)
n1 = 25 //EINTRAG ANZAHL WERTPAARE
RESTORE dat
FOR i = 1 TO n1
  READ x,y
  x(i) = x     //s. Fig. 36
  y(i) = y
  r(i) = x ^ 2 + y ^ 2
NEXT i
dat: //DATA-DATEI WERTPAARE x,y
DATA -23.8,5.5,-22,15,-22,27.3,-25.3,37.9,-31.7,49,-41.3,58.3,-52.5,64.7,-65.3,67.3
DATA -80.9,67.2,-93.8,61.9,-102.5,56,-113.8,41.9,-117,33,-119,24,-118.8,13.8,-117,5.5
DATA -111.2,-7,-105.5,-14,-98,-20.5,-88,-26,-73.5,-29.5,-58.5,-28,-46.8,-23,-35.5,-15,-28,-5
REM ------------------------------
REM METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
REM AKKUMULATION
x = 0
y = 0
FOR i = 1 TO n1
  x = x + x(i)
  y = y + y(i)
  xx = xx + x(i) * x(i)
  xy = xy + x(i) * y(i)
  yy = yy + y(i) * y(i)
  r = r + r(i)
  rr = rr + r(i) * r(i)
  xr = xr + r(i) * x(i)
  yr = yr + r(i) * y(i)
NEXT i
REM ---------------
resi = 4 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN
m = 3    //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 3    //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
REM ----------------
m = m + resi
p(1,1) = n1
p(1,2) = x
p(1,3) = y
p(1,4) = r //1. RESIDUENVEKTOR
p(1,5) = 1 //2. RESIDUENVEKTOR
p(1,6) = 0 //3. RESIDUENVEKTOR
p(1,7) = 0 //4. RESIDUENVEKTOR
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy
p(2,4) = xr  //1. RESIDUENVEKTOR
p(2,5) = 0   //2. RESIDUENVEKTOR
p(2,6) = 1   //3. RESIDUENVEKTOR
p(2,7) = 0   //4. RESIDUENVEKTOR
p(3,1) = y
p(3,2) = xy
p(3,3) = yy
p(3,4) = yr  //1. RESIDUENVEKTOR
p(3,5) = 0   //2. RESIDUENVEKTOR
p(3,6) = 0   //3. RESIDUENVEKTOR
p(3,7) = 1   //4. RESIDUENVEKTOR
GOSUB elim
REM ------------------------
vv = rr - r * ko(1,1) - xr * ko(2,1) - yr * ko(3,1)
REM FEHLERQUADRAT BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG
vv1 = 0
FOR i = 1 TO n1
  vv1 = vv1 + (r(i) - (ko(1,1) + x(i) * ko(2,1) + y(i) * ko(3,1))) ^ 2
NEXT i
s = ABS(vv / (n1 - 3))
s1 = SQR(s)
mfx = SQR(ABS(s * ko(2,3)))
mfy = SQR(ABS(s * ko(3,4)))
r = SQR(ABS(ko(1,1) + ((ko(2,1) / 2) ^ 2 + (ko(3,1) / 2) ^ 2))) //RADIUS
PRINT "ANZAHL MESSUNGEN: ";n1
PRINT "MITTELPUNKT   a: ";ko(2,1) / 2
PRINT "MITTELPUNKT   b: ";ko(3,1) / 2
PRINT "RADIUS.........r: ";r
PRINT "MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG: ";s1
PRINT "MITTL. FEHLER a....: ";mfx
PRINT "MITTL. FEHLER b....: ";mfy
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME.: ";vv
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME.: ";vv1
END
PROCEDURE elim
  FOR j = 1 TO n - 1     //GAUSS ELIMINATION
   nr = j
   no = ABS(p(j,j))
   FOR i = j + 1 TO n   //ZEILENPIVOT
     noo = ABS(p(i,j))
     EXIT IF (noo - no) < 0
     no = noo
     nr = i
   NEXT i
   IF nr = j THEN
     GOTO jum1
   ENDIF
   FOR i = j TO m + 1
     no = p(nr,i)
     p(nr,i) = p(j,i)
     p(j,i) = no
   NEXT i
   jum1:
   FOR i = j + 1 TO m + 1   //ELIMINATION
     p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
   NEXT i
   FOR i = j + 1 TO n
     FOR k = j + 1 TO m + 1
       p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
     NEXT k
   NEXT i
  NEXT j
  FOR i = 1 TO (m + 1) - n
   ko(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n)  //RÜCKSUBSTITUTION
   FOR k = 1 TO n - 1
     l = n - k
     ko(l,i) = p(l,n + i)
     FOR s = l + 1 TO n
       ko(l,i) = ko(l,i) - p(l,s) * ko(s,i)
     NEXT s
   NEXT k
  NEXT i
RETURN

Meßergebnis: Mondmittelpunkt a = -70.34 ± 0.111 mm, b = +19.35 ± 0.119 mm, Radius 48.70 mm.
Stern xs = +36.101 mm, ys = +54.5 mm. Distanz Stern-Mondmitte d 112.096 mm = Å((36.1-(-70.34))²+(54.5-19.34)².

Sind xs,ys (mm) die gemessenen Koordinaten des Sterns und a,b (mm) die der Mondmitte, F die Brennweite des Teleskops (mm), V=Vergrößerungsfaktor der Projektion, ist d'' die Distanz Stern-Mondmitte in Bogensekunden: d (mm) = Ö((xs-a)²+(ys-b)²); d (mm) Distanz in Millimeter.

1 Bogensekunde auf der Projektion = k (mm) =(1/206264.806'')*V*F. d'' = d (mm) / k.
F=(13713.44117733*k)/(t*cos(dek)); F=Brennweite des opt. Systems. k=Länge der Teilung in Millimeter, t=gestoppte Zeitsekunden (Mittelwert von 5 Messungen), dek=Deklination des Anhaltsterns.
Beispiel. k=Länge der Teilung des Okular-Mikrometerplättchens 10 mm, dek=23.561 Grad. Stern >läuft< 10 mm in t=149.61 Sek = F=999.98 mm. Die Primärbrennweite F des Fernrohrs ist genau zu bestimmen. Der Abstand des vom Objektiv entworfenen Bildes von der Linse ist bei Refraktoren leicht nachzumessen.

Die berechneten Distanzen von Stern und Mond vergleicht man mit den gemessenen. Sind ar,d=scheinbare Deklin. und Rektaszension des Sterns in Gradmaß; ar1,d1 die topozentrische (auf den Beobachtungsort bezogene) Deklin. u. Rektaszension des Mondes in Gradmaß, ist die berechnete Distanz Stern-Mondmitte s'' in Bogensekunden:
y=d1-d;
x=(ar1-ar)*COS(0.5*(d1+d))
s''=Ö(x*x+y*y)*3600''

d'' ist durch Ausmessung der Photographie zum Aufnahmetermin bekannt.
Die Rechnung mit einer Reihe DT (z. B. 59.1,59.2,59.3... usw.) zum Aufnahmetermin ergibt entsprechende Differenzen ds'' = d''-s''. Bei richtigem DT ist ds'' = 0.
Die Ephemeridenzeitkorrektur ergibt sich durch Ausgleichsrechnung. Bestimmungsgleichung (s. vorheriger Abschnitt): ds'' = a + b *DT (Lineare Regression).
Man bestimmt DT aus der Aufnahmeserie und bildet den Mittelwert. Siehe Sonnenglobus.

Mondfinsternisperioden



 
Finsternischarakteristik (Magnitude): Periode Accuratissima 58 i + 9 s = 22771 Lunationen = 672441 Tage = 1841 Jahre + 30 Tage.

Zeitpunkt der ekliptikalen Opposition Sonne-Mond: Periode Palae-Horologia 55 i + 3 s = 20359 Lunationen = 601213 Tage = 1646 Jahre + 25 Tage. Periode Trihex 3 i + 6 s = 2412 Lunationen = 71228 Tage = 195 Jahre + 6 Tage.
Anwendung: Gesuchte Finsternis W; Finsternis X eine Trihex vor W; Finsternis Y eine Palae-Horologia vor W; Finsternis Z eine Trihex vor Y (oder W - Accuratissima).
Gesuchte Uhrzeit der ekl. Konjunktion von W = Uhrzeit X + Uhrzeit Y - Uhrzeit Z - 0h17m.

Beispiel: Gesuchte Mondfinsternis (W) am 16.7.1954 = JD 2434940 Tage. Art und Größe der Finsternis W: JD 2434940 - Accuratissima 672441 Tage = X JD 1762499 Tage = X 16.6.113 = partielle Mondfinsternis = partiell am 16.7.1954.

Uhrzeit der Finsternis (ekliptikale Opposition): W JD 2434940 - Trihex 71228 Tage = X JD 2363712 Tage = X 10.7.1759 (= 16.7.1954 - 195 Jahre + 6 Tage = 10.7.1759) = Uhrzeit (ekl. Oppos.) der Finsternis X vom 10.7.1759 um 5h59.7m UT.
W JD 2434940 - Palae-Horologia 601213 Tage = Y JD 1833727 = Y 20.6.308 = Uhrzeit Y 16h42.7m UT.
Y JD 1833727 - Trihex 71228 Tage = Z JD 1762499 = Z 16.6.113 = Uhrzeit Z 22h0m UT.
Uhrzeit der Finsternis vom 16.7.1954 (ekl. Oppos.): X 5h59.7m + Y 16h42.7m - Z 22h0m - 0h17m = W 0h25m UT (Computerwert 0h29m UT).

Abschätzung von Vollmonden und Mondfinsternissen
 
Dieses Kurzverfahren dient zur weiteren Veranschaulichung der Finsternisabläufe, so daß diese sich bald schnell im Kopf berschlagen lassen.
Zeitpunkt der ekliptikalen Opposition Mond-Sonne (Vollmond).
Ekl. Breite (b) >1.61° keine Mondfinsternis.
1.44°< b < 1.61° Halbschattenfinsternis möglich.
1.06°< b < 1.44° Halbschattenfinsternis.
0.89°< b < 1.06° im Halb-/Kernschatten möglich
b <=0.89° partielle Kernschattenfinsternis.
b <=0.4° totale Mondfinsternis.

Lunarzentrischer Halbmesser des Erdschattens (sr) und Mondbewegung relativ zum Erdschatten (vs) in Relation zum scheinbaren geozentrischen Winkelhalbmesser des Mondes (md'):

  md' 16.75' = sr 45.5', vs 36.1'/h
  md' 16.70' = sr 45.5', vs 36.0'
  md' 16.65' = sr 45.4', vs 35.7'
  md' 16.55' = sr 45.0', vs 35.2'
  md' 16.45' = sr 44.5', vs 34.6'
  md' 16.30' = sr 44.0', vs 33.8'
  md' 16.12' = sr 43.5', vs 33.0'
  md' 15.95' = sr 42.5', vs 32.0'
  md' 15.75' = sr 42.0', vs 31.3'
  md' 15.60' = sr 41.5', vs 30.5'
  md' 15.40' = sr 41.0', vs 30.0'
  md' 15.25' = sr 40.0', vs 29.2'
  md' 15.10' = sr 40.0', vs 28.5'
  md' 15.00' = sr 39.0', vs 28.0'
  md' 14.90' = sr 39.0', vs 27.7'
  md' 14.80' = sr 38.5', vs 27.6'
  md' 14.75' = sr 38.0', vs 27.5'
  md' 14.70' = sr 38.0', vs 27.4'
  md' 14.70' = rs 38.0', vs 27.30'

Mondfinsternis 18.11.1975: Oppositionszeitpunkt Mond-Sonne in ekliptikaler Länge (D) = 22h28m12s (= 22.47h); ekl. Breite und Länge des Mondes (b) = -0.3841°, (k) = 55.961° (ekl. Länge der Sonne ±180°), g = +13.6° -5.3° Mondbahnneigung im absteigenden Knoten = w +8.4°;
scheinbarer geozentrischer Winkelhalbmesser des Mondes (md') = 15.11', der Sonne (ms') = 16.18' (Computerwerte).;
Halbmesser des Erdschattens in Mondentfernung (sr) = 40', Mondbewegung (vs) pro Std. = 28.5'/h bei einem scheinbaren Winkelhalbmesser.von md' = 15.11'.

Größe (Magnitude) der Finsternis: g = (md' Mondhalbmesser + sr Kernschattenradius -  ekl. Breite des Mondes)/(2*md');
g > 1 = totale, g < 1 partielle Kernschattenfinsternis; ec = Ekliptikschiefe 23.45° - 0.013° (J - 2000)/100); J = Jahr; parallaktischer Winkel (g) im Ekliptiksystem zwischen äquatorialem und ekliptikalen Nordpol: arctan g = tan(ec) cos(k).

D1 (Fig. 17) mit bei positivem parallakt. Winkel (g) ab A entgegen dem Uhrzeigersinn, bei negtativem  ab A im Uhrzeigersinn.
M = Antipunkt der Sonne (Fig. 17). DE = entgegengesetzter Deklinationskreis der Sonne (Deklin. +19.2468° [Sonne -19.2468°]). EK bestimmt daher stets den ekliptikalen Breitenkreis 0° (Ekliptik). w' = 90° - g . Da die Finsternis vom 18.11 .1975 im absteigenden Knoten der Mondbahn stattfindet, schließt die Mondbahn MO der ekl. Breite 0° einen -5.3° absteigenden Winkel mit der Ekliptik (EK) ein (im aufsteigenden Knoten +5.3° oberhalb der Ekliptik EK).

Die Mondbahn MB verläuft dann parallel zur Linie MO im Abstand der ekl. Br. des Mondes b = -0.3841° * 60'  = -23.0' (Maßstab 1' [Winkelminute] = 1 mm]) = -23 mm (bei negativer südlicher ekliptikaler Breite unterhalb, bei pos. nördl. ekl. Br. oberhalb der Ekliptik). Die rechtwinklig zur Ekliptik EK verlaufende Linie D1-M-D bestimmt den ekliptikalen Lägenkreis der Oppositionszeit Mond-Sonne (k 55.961°). Ekl. Längenkreis D1 und Rektaszensionskreis A bilden den parallaktischen Winkel g +13.6°.
Die Linie M-D im Abstand der ekl. Mondbreite (hier b -0.384°) verläuft senkrecht zur Ekliptiklinie EK. Die Linie M-D schneidet die Mondbahn MB bei D, dem Oppositionspunkt Mond-Sonne in ekl. Länge (Vollmond). Die Linie M-C verläuft stes senkrecht zu MO. Punkt C markiert auf der Mondbahn MB den Zeitpunkt der max. Phase (angerissener Mondumrißkreis um Punkt C).
Abstände auf der Linie MB: A-D (D = Vollmondort) = -52 mm, B-D = -12 mm, D-C = -2.3 mm, E-D = +7.5 mm, E-F = +47.5 mm.;
Mondbewegung pro Std. relativ zum Erdschatten vs = 28.5'/h. Abstände in Zeit: -52 mm/28.5' = A -1.82h, -12/28.5'= B -0.42h, -2.3/28.5' = C -0.08h, +7.5/28.5 = E +0.26h, +47.5/28.5 = F +1.67h.

Oppositionszeitpunkt in ekl. Länge D = 22.47h UT: Eintritt in den Kernschatten: 22.47h - 1.82h = 1. Kontakt (A) 20.65h UT (Computerwert 20.64h UT). Anfang der Totalität: 22.47h - 0.42h = 2. Kontakt (B) 22.05h UT (Computerwert 22.04h UT).

Maximum der Finsternis: 22.47h - 0.08h = 22.39h UT (Computerwert 22.39h UT).
Ende der Totalität im Kernschatten: 22.47h + 0.26h = 3. Kontakt (E) 22.73h UT (Computerwert 22.74h UT).
Austritt aus dem Kernschatten: 22.47h + 1.67h = 4. Kontakt (F) 0.14h UT (Computerwert 0.14h UT).
Die größte Phase (Magnitude) g erreicht der Mond zum Finsternismaximum um 22.39h UT (= 23h23.4m MEZ).
Monddurchmesser im Kernschatten der Erde zu g 1.06 (= 106 %). (Computerwert g = 1.069) g 1.06 = (md' 15.11' + sr 40' - b |23'|)/(2*md' 15.11').

Die gestrichtelte Linie A-M, B-M, E-M und F-M bezeichnet den Positionswinkel (Pw) des Schattenein- bzw. -austrittspunktes am Mondrand (ab äquatorial Nord entgegen dem Uhrzeigersinn 0-360 Grad gemessen): A = Pw 58°, B = Pw 196°, E = Pw 151°, F = Pw 286°.
Kleinste Winkeldistanz Mondmitte-Schattenmitte (C-M) für die max. Phase g 1.06 um 22h23.4m UT: (Deklin. Mond +18.8675° + Deklin. Sonne -19.246°) cos 13.6° = -0.36789° = -22.07'.

Ballistik - Sport auf den Himmelskörpern

Freier Fall (s. Programm REM FREIER FALL ): Eingabewerte t 0.1, w 0.7, 85 kg, 0.3 qm, v=0, y=1000 m, Erde: Kreisbahn- und Entweichgeschwindigkeit der Erde 7.9 km/s, 11.18 km/s.;
Der Luftwiderstandswert w 0.7 und Querschnitt 0.3 qm entspricht etwa dem eines frei fallenden Fallschirmspringers (Gewicht 85 kg). Ohne Falschirm wird der y=1000 Meter Höhenunterschied in 18.2 Sek. zurückgelegt. Aufschlag mit 276 km/h. Ohne Luftwiderstand (w=0): Fallzeit 14.3 Sek. bei 504 km/h Endgeschwindigkeit.;
Nach etwa 4 Sek. öffnet sich der Fallschirm in 924.7 m Höhe (t 0.01, w=2, 85 km, 30 qm, v=-36.23 m/s, y=924.7 m), wodurch die -36.23 m/s freier Fall innerhalb von 2 Sek. in den Sinkflug mit konstanten -4.64 m/s bzw. -16.7 km/h übergeht, wobei dieser dann 199 Sek. dauert (y=924.7 m bis y=0). Beschleunigung/Verzögerung an der Erdoberfläche 1 G = 9.81 m/s²: 1 G = freier Fall, 12 G beim Öffnen eines Fallschirms (12fache Erdbeschleunigung).

Auf dem Mond, der keine Lufthülle besitzt (Luftwiderstandswert w=0), beträgt die Fallzeit dagegen t=35.1 Sek. mit v=205 km/h; Endgeschwindigkeit (y=1000 Meter, Erde t=14.3 Sek., v=504 km/h). Die Schwerkraft (g=1.63 m/s²) des Mondes ist gegenüber der Erde (9.81/1.63 =) 6.03x schwächer; ein Mensch mit 75 kg wiegt dort immerhin noch 12.4 kg.
 
REM GFA-BASIC für Windows 31./9x
REM FREIER FALL
REM Freier Fall/senkrechter Schuß
REM Luftwiderstandskoeffizient:
REM Rechteck w = 0.75, Kugel = 0.3
REM Stromlinie w = 0.05, Fallschirm w = 1.9
REM ---------------------------------
INPUT "Zeitinkrement (0.001 Sek. bis x).................";dt
INPUT "Widerstandswert (w)..............................";w
INPUT "Masse (kg).......................................";kg
INPUT "Querschnitt (qm)..................................";qm
INPUT "Beschleunigung (v-Meter/Sek.).....................";v
INPUT "Senkrechtschuss (y=0)/Fallhöhe (y-Meter)...........";y
INPUT "Senkrechtschuss (1) / Fallhöhe (2).................";u$
IF u$ = "1" THEN
  INPUT "Abschuss in Höhe (h in Meter).....................";alt
ENDIF
INPUT "Bezeichnung (Jupiter, Saturn, Uranus usw.).......";nn$
REM Luftdichte der Erde=1.29 kg/qm
nn$ = UPPER$(nn$)
RESTORE l
FOR o = 1 TO 24
  READ n$,m,ra
  EXIT IF n$ = nn$
NEXT o
gm = 6.672E-20 * m
g = -(gm / (ra * ra)) * 1000
hv = 1
IF u$ = "1" THEN
  al = alt / 1000
  ph = (1 / ra - (1 / (al + ra))) * gm
  ho = (v * v) / (2 * 9.81)
  hy = (ho * 9.81) / 1000000
  hh = ABS(1 / (1 / ra - hy / gm) - ra)
  h = (ho * 9.81) / 1000000 + ph
  h = ABS(1 / (1 / ra - h / gm) - ra) * 1000
  hv = (h / 1000 - al) / hh
  al = 0
  alt = 0
  h = y
  hh = y / 1000
ENDIF
r = ra + hh
a = 0.5 * (r + 1.0E-09)
tt = SQR(a ^ 3 / gm) * ((2 * ATN(SQR(r / (2 * a - r))) - SQR(r * (2 * a - r)) / a) - (2 * ATN(SQR(ra / (2 * a - ra))) - SQR(ra * (2 * a - ra)) / a))
tv = tt * hv
CLS
vk = SQR((6.672E-20 * m) / ra) * 1000
ve = vk * SQR(2)
n = 0
r1 = ra
c:
r1 = ra + (al + y / 1000)
g = -(gm / (r1 * r1)) * 1000
n = n + 1
r = -w * 0.5 * 1.29 * qm * v * ABS(v)
IF kg = 0 THEN
  kg = 1.0E+50
ENDIF
p = g + r / kg
IF n = 1 THEN
  v = v + p * 0.5 * dt
  GOTO a
ENDIF
v = v + p * dt
a:
y = y + v * dt
oy = y + alt
v1 = v + 0.5 * p * dt
v2 = v1 * 3.6
PRINT AT(1,2);n$
PRINT AT(1,3);USING "t ########.### s  ",n * dt
PRINT AT(1,4);USING "y ########.### m  ",oy
PRINT AT(1,5);USING "v ########.### m/s ",v1
PRINT AT(1,6);USING "v ########.### km/h ",v2
PRINT AT(1,8);USING "t ########.### s ",tv
PRINT AT(1,9);USING "h ########.### m ",h
PRINT AT(1,10);USING "vk ########.###  m/s ",vk
PRINT AT(1,11);USING "ve ########.###  m/s ",ve
IF y < 0 THEN
  END
ENDIF
GOTO c
REM m = Masse kg/ra = Radius km
l:
DATA MERKUR,0.33022E+24,2439,VENUS,4.869E+24,6052,ERDE,5.9742E+24,6378.14,MOND,0.07348E+24,1738
DATA MARS,0.64191E+24,3397.4,CERES,1.17357E+21,501.5,PALLAS,2.188E+20,304,VESTA,2.3869E+20,269,EROS,5E+15,11.5
DATA JUPITER,1.8988E+27,71492.4,SATURN,5.685E+26,60268.4,URANUS,8.6625E+25,25559.4,NEPTUN,1.0278E+26,25269.1
DATA SONNE,1.9891E+30,696000,PLUTO,0.015E+24,1160,PHOBOS,9.62865E+15,11.2,DEIMOS,1.9257E+15,6.4 ,MIRANDA,0.63E+20,235.8,GANYMED,1.54E+23,2635,TITAN,1.37E+23,2575
DATA ICARUS,5E+12,10,HEBE,2E+19,100.5,EUNOMIA,4E+19,136,JUNO,2E+19,144
REM Planetoiden: Ceres, Palles, Juno, Vesta, Eros, Hebe, Eunomia, Icarus
REM Marsmonde..: Phobos, Deimos
REM Saturnmond.: Titan
REM Jupitermond: Ganymed
REM Uranusmond.: Miranda
REM Das Programm ist für jeden
REM Rechner leicht adaptierbar.
REM vk = Kreisbahngeschwindigkeit
REM ve = Parabel- bzw. Fluchtgeschwindigkeit

Bei Fußballspielen entstehen Ballgeschwindigkeiten um 30 m/s. Senkrechter Schuß auf dem Mond: t=0.1, w=0, 0 km, 0 qm, v=30 m/s, y=0. Der Ball erreicht dort den Gipfel in 277.3 m Höhe nach 18.5 Sek. Aufschlag nach 37 Sek. mit 30 m/s bzw. 108 km/h. Fig.
Unter Erdbedingungen (ohne Luftwiderstand) erreicht der Ball bei 30 m/s nur 45.93 m Hhe in 3.2 Sek. Aufprall nach 6.4 Sek. Mit Luftwiderstand (t=0.01, w=0.3, 0.26 kg, 0.05 qm, v=30 m/s, y=0, Erde) erreicht er (bei ca. 0.26 kg Gewicht u. 0.05 qm Querschnitt) lediglich 19.8 m Höhe in 1.8 Sek. Aufprall nach 4 Sek. mit nur noch 14.3 m/s bzw. 51.4 km/h, die Hälfte des Anfangsschubes.



Schräger Schuß (s. Progr.): Die Kreisbahn- und Entweichgeschwindigkeit des Planetoiden Eros 433 liegt bei nur 5.4 m/s u . 7.6 m/s. Die Schwerebeschleunigung erreicht nur g=0.00252 m/s² und ist somit gegenüber der Erde 9.81/0.00252 = 3893x schwächer. Ein 75 kg schwerer Mensch bringt dort rund 19 Gramm auf die Feinwaage, zuwenig um über die Planetoidenoberfläche in normaler ird. Gangart laufen zu können. Der Durchmesser liegt bei etwa 23 km, der Tag dauert etwa 5h16m und 1 Jahr 643 Tage. Die Äquatorgebiete rotieren demnach bei 72256.6 m Umfang mit 3.81 m/s nach Osten.

Zentrifugalbeschleunigung: zv=((4*o3.14159²)/T²)*R*cos(b); T = Rotationszeit Eros 5h16m = 18960 Sek.; Radius R = 11500 m; b = Breite (Äquator b = 0°).;
Eros zv am Äquator 0.001263 m/s². Schwerelosigkeit herrscht bei g=zv. Eros g 0.00252/zv 0.001263 = 1/2. Bei nicht rotierendem Körper ist g1=g+zv. Am Äquator wäre man daher, gegenüber dem Nord- oder Südpol, 1/2 mal leichter Da dort ein Astronaut im ruhenden Zustand am Äquator mit nur 19 Gramm aufliegt, reicht bereits der geringste Versuch einer Gehbewegung in östl. Richtung aus und er schwebt im Idealfall mit v=1.6 m/s + 3.8 m/s Rotationsschub mit 5.4 m/s um den Planetoiden (Kreisbahngeschwindigkeit = 1.6 m/s relativ zur Planetoidenoberfläche). Mit 5.4 m/s vollendet er in 3h43m einen Umlauf. Den Abflugsort der Oberfläche erreicht er allerdings erst wieder in 12.63 Std. (360°/(360/3.717 Std. - 360/5.267 Std.).
Bei einem Flug nach Westen ist dagegen die nach Osten gerichtete Umdrehungsgeschwindigkeit; zu überwinden. Der für die Kreibahneinnahme notwendige Schub erhöht sich dann um die 3.8 m/s Rotationsgeschwindigkeit + 5.4 m/s Kreisbahngeschwindigkeit = v=9.2 m/s relativ zur Planetoidenoberfläche. Aus diesem Grunde werden Erdsatelliten in östl. Richtung gestartet, um Treibstoff zu sparen.
Der Absprungsort würde bereits wieder nach 2.18 Std. erreicht werden, während die Kreisbahn erst in 3.72 Std. vollendet wäre. Auf 50° asteroide Breite beträgt die Rotationsgeschwindigkeit nur noch 3.8 m/s * cos 50° = 2.4 m/s und an den Polen 0 m/s. Dort sind daher konstant 5.4 m/s Kreisbahn- und 7.6 m/s Entweichgeschwindigkeit aufzuwenden.
Ein Anstoss mit v=7.5 m/s und ein Ball verschwindet im Weltall. Ein sanfter Schuss parallel zum Horizont von 5.4 m/s bringt ihn dagegen auf eine Kreisbahn um Eros, und nach (2*3.14159*11.5 km Radius)/0.0054 km/s = T 3.717 Std. erreicht er seinen Ausgangspunkt. Oder - falls ein Astronaut von einer 50 m hohen Klippe auf die Horizontlinie zuspringt - Umlaufzeit bei einer Bahnhöhe h von 0.05 km: 2*3.14159*Å(h 0.05 km + R 11.5 km)³/(GM 6.672E-20*5E+15) = T = 3 .751 Std. Kreisbahnhöhe h (h = r - R), T (Sek.): r = (GM (T²/4 o2))(1/3) - R (Eros Masse m = 5E+15 kg, G = 6.672E-20 = GM 0.0003336).

(R+h)/R = arccos x; (x*o*R)/180 = vk. Erde R = 6378.14 km, h 0.005 km Höhe über R, x = 0.071742°, vk=7.986 km. Auf Eros 433 verschwindet ein h=1.8 m großer Astronaut bereits nach 203.5 m unter den als rund und eben angenommenen Planetoidenhorizont (die Silhouette ergibt sich aus den beobachteten Sternbedeckungen des Planetoiden - Eros ist etwa hantelfrömig). Die Erdkrümmung fällt nach 7.986 km um h=5 Meter ab.

Ein 5 m hoher Mastbaum ist in 7.987 km bzw. 4.3126 Seemeilen (1 Seemeile = 1.852 km) Entfernung nach 1 Std. vollständig unter der Kimm verschwunden: Fahrt 4.3126 Knoten/h. Die Besatzung einer etwa 35 m hohen Frachter-Brücke kann Schiffbrüchige daher erst innerhalb eines 3.8 km Radius entdecken.
Ein Erdsatellit mit vk=7.98 km/s folgt genau der Erdkrümmung, da er pro Sek. um 5 m fällt (= Fallhöhe in der 1. Sek. g=9.81 m/s2/2).
Eros 433 besitzt vk=0.0054 km/s. Die Planetoidenkrümmung fällt in der Entfernung von 0.0054 km (g/2) um h 0.00000127 km ab = R 11.5*(1-COS((vk 0.0054*180)/(R 11.5 km * o3.14159))). Nach 1/4 Umfang 18.06 km = h=R 11.5 km.

Projektile beschreiben ballistische Wurf- bzw. Parabelbahnen weit unterhalb der Kreisbahngeschwindigkeit, mit Weiten bei denen noch von einer ebenen Erde ausgegangen werden kann. Projektile um die Kreisbahngeschwindigkeit beschreiben dagegen bereits elliptische >Interkontinentalbahnen< nach den Gesetzen des Zweikörperproblems.

REM Schräger Schuß
REM Luftwiderstandskoeffizient:
REM Rechteck w = 0.75, Kugel w = 0.3
REM Stromlinie w = 0.05, Fallschirm w = 1.9
REM ---------------------------------
INPUT "Zeitinkrement (0.001 Sek. bis x).................";dt
INPUT "Widerstandswert (w)..............................";w
INPUT "Masse (kg).......................................";kg
INPUT "Querschnitt (qm).................................";qm
INPUT "Schub (v-Meter/Sek.).............................";v
INPUT "Ansatzwinkel (Grad)..............................";a
INPUT "Abschuss in Höhe (h in Meter).....................";alt
INPUT "Bezeichnung (Sonne, Mond, Erde, Mars, Ceres usw).";nn$
REM Luftdichte der Erde = 1.29 kg/qm
nn$ = UPPER$(nn$)
RESTORE l
FOR o = 1 TO 24
  READ n$,m,ra
  EXIT IF n$ = nn$
NEXT o
CLS
xo = 1
yo = 399
x = 0
y = 0
a = a / 57.28577951308
gm = 6.672E-20 * m
g = -gm / (ra * ra) * 1000
al = alt / 1000
ph = (1 / ra - (1 / (al + ra))) * gm
h = ((v ^ 2 * SIN(a) ^ 2) / (2 * 9.81) * 9.81) / 1000000 + ph
h = ABS(1 / (1 / ra - h / gm) - ra) * 1000
vk = SQR(gm / ra) * 1000
ve = vk * SQR(2)
hx = (v ^ 2 * SIN(a) ^ 2) / (2 * 9.81)
hy = (hx * 9.81) / 1000000
hh = ABS(1 / (1 / ra - hy / gm) - ra)
hv = (h / 1000 - al) / hh
r = ra + hh
ao = 0.5 * (r + 1.0E-09)
tt = SQR(ao ^ 3 / gm) * ((2 * ATN(SQR(r / (2 * ao - r))) - SQR(r * (2 * ao - r)) / ao) - (2 * ATN(SQR(ra / (2 * ao - ra))) - SQR(ra * (2 * ao - ra)) / ao))
tv = tt * hv
IF kg = 0 THEN
  kg = 1.0E+80
ENDIF
p = (-w * 1.29 * 0.5 * qm) / kg
IF p = 0 THEN
  p = 1.0E-80
ENDIF
x1 = v * COS(a)
y1 = v * SIN(a)
f = 0
c:
r1 = ra + (al + y / 1000)
g = -(gm / (r1 * r1)) * 1000
f = f + 1
xx = p * x1 * ABS(x1)
yy = g + p * y1 * ABS(y1)
IF f = 1 THEN
  x1 = x1 + xx * dt * 0.5
  y1 = y1 + yy * dt * 0.5
  GOTO b
ENDIF
x1 = x1 + xx * dt
y1 = y1 + yy * dt
b:
x = x + x1 * dt
y = y + y1 * dt
oy = y + alt
v1 = x1 + xx * dt * 0.5
v2 = y1 + yy * dt * 0.5
v = SQR(v1 * v1 + v2 * v2)
vv = v * 3.6
a = ATN(v2 / v1) * 57.28577951308
ar = 390 / (h - alt)
xx = xo + x * ar
yy = yo - y * ar
PLOT xo,yo
DRAW TO xx,yy
PRINT AT(1,2);n$
PRINT AT(1,3);USING "t ########.### s ",f * dt
PRINT AT(1,4);USING "x ########.### m    ",x
PRINT AT(1,5);USING "y ########.### m    ",oy
PRINT AT(1,6);USING "v ########.### m/s  ",v
PRINT AT(1,7);USING "v ########.### km/h ",vv
PRINT AT(1,8);USING "a ########.### Grad ",a
PRINT AT(1,11);USING "t  ########.###  s ",tv
PRINT AT(1,12);USING "h  ########.###  m ",h
PRINT AT(1,13);USING "vk ########.###  m/s ",vk
PRINT AT(1,14);USING "ve ########.###  m/s ",ve
IF oy < 0 THEN
  END
ENDIF
GOTO c
REM m = Masse kg/ra = Radius km
l:
DATA MERKUR,0.33022E+24,2439,VENUS,4.869E+24,6052,ERDE,5.9742E+24,6378.14,MOND,0.07348E+24,1738
DATA MARS,0.64191E+24,3397.4,CERES,1.17357E+21,501.5,PALLAS,2.188E+20,304,VESTA,2.3869E+20,269,EROS,5E+15,11.5
DATA JUPITER,1898.8E+24,71492.4,SATURN,568.5E+24,60268.4,URANUS,86.625E+24,25559.4,NEPTUN,102.78E+24,25269.1
DATA SONNE,1.9891E+30,696000,PLUTO,0.015E+24,1160,PHOBOS,9.62865E+15,11.2,DEIMOS,1.9257E+15,6.4 ,MIRANDA,0.63E+20,235.8,GANYMED,1.54E+23,2635,TITAN,1.37E+23,2575
DATA ICARUS,5E+12,10,HEBE,2E+19,100.5,EUNOMIA,4E+19,136,JUNO,2E+19,144

Die Bahngeschwindigkeit zur Aufrechterhaltung einer Kreisbahn um den Marsmond Deimos beträgt 4.48 m/s. Ein Leistungssportler im Hochsprung spingt mit v=4.646 m/s auf der Erde h=1.1 m hoch (+ 1 m Schwerpunkthöhe).Die Absprunggeschwindigkeit v=4.646 m/s entspricht der Deimos-Kreisbahngeschwindigkeit. Statt eines Wettrennens, kann man dort um den Mond springen und schweben. Um in eine Kreisbahn zu gelangen, müßte der Absprungwinkel von einer Klippe parallel zum Horizont 0 Grad betragen. Knapp unterhalb der Kreisbahngeschwindigkeit führt jeder andere Absprungwinkel <90° in eine ballistische >Interkontinentalbahn<.

Die Erdumdrehung erreicht am Äquator z. B. max. 0.465 km/s. Die geograph. Reichweite kann bei einer Flugzeit von 1000 Sek. um bis zu 465 km abweichen, da die Flugbahn von Interkontinentalraketen in geograph. raumfesten Koordinaten erfolgt, die auf das rotierende System umgerechnet werden.
Mit v=4.4805 m/s in einem Winkel von 80°, springt ein Sportler auf Deimos 6.3 km hoch, 2.2 km weit und schwebt 7300 Sek. im Raum (s. >Interkontinentalbahnen<). Ein Astronaut, der sich von einer Klippe mit 4.4805 m bei einem Winkel von 0.298° fast parallel zum Horizont abstößt, erreicht dort 0.0033 km max. Höhe und 19.9 km Weite. Schubwerte innerhalb der Kreis- und Entweichgeschwindigkeit (v=>vk und v<ve; Erde vk 7.91 km/s und ve= 11.1 km/s) bezeichnen ellipsoide Satellitenbahnen um den Zentralkörper, die bei v=>ve in Flucht- bzw. Parabelbahnen oder in eine gradlinige Bahn übergehen.

Die hier beschriebenen Bahnen gelten für Artilleriegeschosse oder antriebslose Mobile nach Brennschluß. t=0.01 Sek, w=0.3, 0.26 kg, 0.05 qm, 30 m/s, 45 Grad, Erde.

Erde: Ein Torwart; schießt einen Ball in 45° Winkel mit v=30 m/s über das Feld. Nach t=1.52 Sek. erreicht er den Gipfelpunkt der Bahn mit y=13.3 m, x=21.2 m, v=9.6 m/s bzw. 34.9 km/h. Den Boden erreicht es nach 3.3 Sek. (y=0), x=34.4 m. Aufprall mit v=14.2 m/s bzw. 51 km/h unter einem Winkel von 65.6°. Die theoret. Gipfelhöhe und Wurfweite der Bahn ohne Luftwiderstand liegt bei y=22.97 m u. x=91.853 m. Nimmt man die Ausgangs- als Eingangswerte (unter Vernachlässigung der Bodenbeschaffenheit), springt der Ball einige Male, um schließlich auszurollen.
Auf dem Mond (w=0) erreicht der Ball nach t=13.1 Sek. den Bahnscheitel mit y=138.7 m, x=277.9 m, v=21.2 m/s, und nach 26.2 Sek. den Boden mit x=554.5 m, y=0, v=30 m/s.
Auf den größten bekannten Planetoiden Ceres (Durchm. 1003 km), erreicht der Ball nach 68.3 Sek. seinen Bahnscheitel mit y=722.9 m, x=1446.5 m, v=21.2 km/s, und nach 136.3 prallt es bei y=0, x=2890.8 m mit 108 km/h am staubigen oder felsigen Boden des Planetoiden ab, (Einfallwinkel = Ausfallwinkel) um eine neue Bahn einzuschlagen.

Kleinplanet Eros 433, Radius R = 11.5 km, GM = 0.0003336: GM/R*g (g Erde = 0.00981) = h 0.00296 km = 2.96 m auf der Erde.
Absprunggeschwindigkeit: Å2*g 9.81*2.96 m = 7.62 m/s Entweichgeschwindigkeit des Kleinplaneten Eros 433. Dieselbe Sprungkraft mit der auf der Erde 2.96 m Höhe erreicht wird, führt auf dem Kleinplaneten Eros 433 zum Verlassen seines Schwerefeldes.

Der Stratovulkan Olympus Mons ist mit 27 km Höhe und 600 km Durchmesser der größte Schichtvulkan im Sonnensystem. Ein Ausbruch des bis in die Stratosphäre reichenden Marsvulkans Ascraeus Mons (104° westl. areograph. Länge, +12° nördl. areograph. Br.), wirft Magma aus einer Höhe von h=25000 m mit 200 m/s in einem Winkel von 60° aus. Unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes würde die Schlacke in 48 Sek. bis in 29.1 km Höhe geschleudert und nach 174 Sek. in einem Umkreis von 17 km mit 1704 km/h unter einem Winkel von 78° niederregnen.
Aus der Schwerebeschleunigung g = GM/R2 erhält man umgekehrt die Masse m = g*R2/G 6.67259E-20 und daraus die mittl. Dichte  = m/(4 ÅR3/ 3).

REM Interkontinentalbahnen
INPUT "Zeitinkrement (Sek.).............................";dt
INPUT "Schub (v m/s <= vk). z. B. 5000 m/s.....";v
INPUT "Abschusswinkel....................................";w
INPUT "Name (Erde,Mond,Ceres,Saturn,Phobos usw.)........";nn$
CLS
nn$ = UPPER$(nn$)
RESTORE DAT
FOR o = 1 TO 24
  READ n$,m,ra
  EXIT IF n$ = nn$
NEXT o
d = 100 / ra
gm = 6.672E-20 * m
xo = 460
yo = 290
k = 57.29577951308
w1 = w / k
vk = SQR((6.672E-20 * m) / ra)
ve = vk * SQR(2)
vv = v / 1000
v = vv / vk
wmax = ACOS(SQR((1 / (2 - v ^ 2)))) * k
a = ra / (2 - v ^ 2)
e = SQR(1 - v ^ 2 * (2 - v ^ 2) * COS(w1) ^ 2)
h = a * (1 + e) - ra
ph = ACOS((1 - v ^ 2 * COS(w1) ^ 2) / (SQR(1 - v ^ 2 * (2 - v ^ 2) * COS(w1) ^ 2)))
wa = 2 * ATN(TAN((PI - ph) / 2) / SQR((1 + e) / (1 - e)))
FOR o = 0 TO 50
  mm = wa - e * SIN(wa)
NEXT o
n = SQR(gm / a ^ 3)
ss = 2 * ra * ph
tt = 2 * (ra / vk) * (a / ra) ^ (3 / 2) * (PI - 2 * ATN(SQR((1 - e) / (1 + e)) * (1 / TAN(ph / 2))) + (e * SQR(1 - e ^ 2) * SIN(ph)) / (1 - e * COS(ph)))
xz = COS(ph)
yz = SIN(ph)
PRINT AT(1,4);n$
PRINT AT(1,5);USING "Idealer Startwinkel ###.### Grad ",wmax
PRINT AT(1,6);USING "Flugzeit      ########.### s  ",tt
PRINT AT(1,7);USING "Max. Flughöhe ########.### km ",h
PRINT AT(1,8);USING "Reichweite    ########.### km ",ss
PRINT AT(1,9);USING "Kreisbahn vk  ########.####### km/s ",vk
PRINT AT(1,10);USING "Parabelbahn    ########.###### km ",ve
FOR z = 0 TO PI * 2 STEP 0.01
  x = xo + d * ra * SIN(z)
  y = yo + d * ra * COS(z)
  PLOT x,y
NEXT z
f = -1
c:
f = f + 1
mn = mm + n * dt * f
FOR zz = 0 TO 40
  ee = ee - (mn - ee + e * SIN(ee)) / (e * COS(ee) - 1)
NEXT zz
rr = a * (1 - e * COS(ee))
h = rr - ra
vx = SQR(gm * (2 / rr - 1 / a))
x = d * a * (COS(ee) - e)
y = d * a * SQR(1 - e ^ 2) * SIN(ee)
IF f = 0 THEN
  h = ABS(h)
  xs = x / d
  ys = y / d
ENDIF
xxs = x / d
yys = y / d
s = SQR((xs - xxs) ^ 2 + (ys - yys) ^ 2)
s1 = (2 * ASIN(s / (ra * 2)) * k * PI * ra) / 180
x1 = x * yz + y * xz + xo
y1 = x * xz - y * yz + yo
PLOT x1,y1
PRINT AT(1,12);USING "Flugzeit     ########.### s  ",dt * f
PRINT AT(1,13);USING "Flughöhe     ########.### km ",h
PRINT AT(1,14);USING "Reichweite   ########.### km ",s1
PRINT AT(1,15);USING "Startortentf. ########.### km ",s
PRINT AT(1,16);USING "Geschwind.   ########.####### km/s ",vx
IF h < 0 THEN
  END
ENDIF
GOTO c
END
REM m = Masse kg/ra = Radius km
DAT:
DATA MERKUR,0.33022E+24,2439,VENUS,4.869E+24,6052,ERDE,5.9742E+24,6378.14,MOND,0.07348E+24,1738
DATA MARS,0.64191E+24,3397.4,CERES,1.17357E+21,501.5,PALLAS,2.188E+20,304,VESTA,2.3869E+20,269,EROS,5E+15,11.5
DATA JUPITER,1898.8E+24,71492.4,SATURN,568.5E+24,60268.4,URANUS,86.625E+24,25559.4,NEPTUN,102.78E+24,25269.1
DATA SONNE,1.9891E+30,696000,PLUTO,0.015E+24,1160,PHOBOS,9.62865E+15,11.2,DEIMOS,1.9257E+15,6.4 ,MIRANDA,0.63E+20,235.8,GANYMED,1.54E+23,2635,TITAN,1.37E+23,2575
DATA ICARUS,5E+12,10,HEBE,2E+19,100.5,EUNOMIA,4E+19,136,JUNO,2E+19,144

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